第2讲空间几何体的表面积与体积

第2讲空间几何体的表面积与体积
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
两种方法
(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．
(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
考向一几何体的表面积
【例1】►(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
()．
A ．48
B ．32＋817
C ．48＋817
D ．80
【训练1】 若一
个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( )． A. 3 B ．2 C ．2 3
D ．6
考向二 几何体的体积
【例2】►(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )．
A ．18 3
B ．12 3
C ．9 3
D ．6 3
【训练2】 (2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )．
A.283π
B.16
3π C.4
3
π＋8 D ．12 π 考向三 几何体的展开与折叠
【例3】►(2012·广州模拟)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体DABC ，如图2
所示．
(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体DABC 的体积． 【训练3】 已知
在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，如图所示，则CP ＋P A 1的最小值为________．
双基自测
1．(人教A 版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )． A ．4πS B ．2πS C ．πS
D.23
3
πS
2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．
A ．3πa 2
B ．6πa 2
C ．12πa 2
D ．24πa 2
3．(2011·北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是
( )．
A ．8
B ．6 2
C ．10
D ．8 2
4．(2011·湖南)设
右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )． A.92π＋12 B.9
2π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18
5．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 6、若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积等于
A ．6
B ．6π
C ．π53
D ．π56
7、如左下图所示，一个空间几何体的主视图和左视图 都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆， 那么这个几何体的表面积为 A ．3π B ．2π C ．
π2
3
D ．4π
8、一空间几何体的三视图如右上图所示，该几何体的体积为3
5
812+
π，则正视图中x 的值为
A.5
B.4
C.3
D.2
答案
【例1】[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积． 解析 换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋817. 答案 C
以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分
析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
【训练1】解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6. 答案 D
【例2】[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．
解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V ＝3×3×3＝9 3. 答案 C
【训练2】解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋43π＝283π.
答案 A
【例3】[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC 垂直于平面ACD 内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明． (1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22，
从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 取AC 的中点O ，连接DO ，
则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ，
又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面ACD .
(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥BACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V BACD ＝ 13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423
， 由等体积性可知，几何体DABC 的体积为423
.
(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间
图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．
(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．
【训练3】解析 P A 1在平面A 1BC 1内，PC 在平面BCC 1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A 1B ＝AB 1＝40，BC 1＝2，又A 1C 1＝6，故△A 1BC 1是∠A 1C 1B ＝90°的直角三角形．铺平平面A 1BC 1、平面BCC 1，如图所示．
CP ＋P A 1≥A 1C .
在△AC 1C 中，由余弦定理得
A 1C ＝62＋(2)2－2·6·2·cos 135°＝50＝52，故(CP ＋P A 1)min ＝5 2. 答案 5 2
双基自测
1.解析 设圆柱底面圆的半径为r ，高为h ，则r ＝ S π
， 又h ＝2πr ＝2πS ，∴S 圆柱侧＝(2πS )2＝4πS . 答案 A
2.解析 由于长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，则长方体的体对角线长为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a .又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线，∴2R ＝6a .∴S 球＝4πR 2＝6πa 2. 答案 B
3.解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选择C.
4.解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π⎝⎛⎭⎫323＝92π＋18. 答案 B
5.解析 V ＝4π
3R 3＝43π，∴R ＝3，S ＝4πR 2＝4π·3＝12π.
答案 12π。