第十一章 第二节 参数方程

课时规范练
A 组 基础对点练
1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝mt (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α
(α为参数)．
(1)若直线l 与圆C 的相交弦长不小于2，求实数m 的取值范围．
(2)若点A 的坐标为(2，0)，动点P 在圆C 上，试求线段P A 的中点Q 的轨迹方程．
解析：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝mt
(t 为参数)，普通方程为y ＝mx ， 圆C 的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)， 普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.圆心到直线l 的距离d ＝
1m 2＋1，相交弦长＝21－1m 2＋1
， 所以2
1－1m 2＋1≥2，所以m ≤－1或m ≥1. (2)设P (cos α，1＋sin α)，Q (x ，y )，则
x ＝12(cos α＋2)，y ＝12(1＋sin α)，
消去α，整理可得线段P A 的中点Q 的轨迹方程(x －1)2
＋(y －12)2＝14. 2．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极
轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α
(t 是参数)．
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．
(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线l 的倾斜角α的值．
解析：(1)因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，
所以曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θ可化为ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ， 所以(x －2)2＋y 2＝4.
(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α
代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得：(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，
化简得t 2－2t cos α－3＝0.
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
则⎩⎨⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，
所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12，
因为|AB |＝14， 所以4cos 2α＋12＝14.
所以cos α＝±22.
因为α∈[0，π)，
所以α＝π4或α＝34π.
所以直线的倾斜角α＝π4或α＝34π.
3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数，α∈R )，在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π4＝ 2.
(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；
(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值．
解析：(1)由⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α⇒⎩⎨⎧x ＝cos α，y －1＝sin α
⇒x 2＋(y －1)2＝1， 由ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π4＝2⇒22ρsin θ－22ρcos θ＝2⇒y －x ＝2，即C 2：x －y ＋2＝0.。