3.3.1两条直线的交点坐标-3.3.2两点间的距离-教案(人教A版必修2)

3.3.1两条直线的交点坐标 3.3.2两点间的距离●三维目标1．知识与技能(1)会用解方程组的方法求两直线的交点坐标． (2)会用方程组解的个数判断两直线的位置关系．(3)掌握直角坐标系两点间的距离，会用坐标法证明简单的几何问题． 2．过程与方法(1)组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程． (2)通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性． 3．情感、态度与价值观(1)通过两直线交点和二元一次方程组的联系，认识事物之间的内在的联系． (2)体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题． ●重点难点重点：判断两直线是否相交，交点坐标、两点间距离公式的推导．难点：两直线相交与二元一次方程的关系、应用两点间距离公式证明几何问题． ●教学流程 【问题导思】观察下列各组直线． (1)x ＋y ＝0，x ＋y ＋1＝0； (2)2x ＋3y ＋1＝0,3x ＋y ＋2＝0.这两组直线的位置关系怎样？若平行，说明理由；若相交，求出交点坐标． 【提示】 第(1)组直线平行，因为两直线的斜率相等且在y 轴上的截距不相等．第(2)组直线相交，其交点坐标为(－57，17)．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝y 0，则两直线相交，交点坐标为(x 0，y 0). 【问题导思】1．在x 轴上两点A 1(x 1,0)，B 1(x 2,0)间的距离如何计算？ 【提示】 |A 1B 1|＝|x 2－x 1|.2．在y 轴上两点C (0，y 1)，D (0，y 2)间的距离如何计算？ 【提示】 |CD |＝|y 2－y 1|.3．你能结合问题1、2推导出空间两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式吗？【提示】 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 两点间的距离(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)两点间距离的特殊情况①原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. ②当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. ③当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.(1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.【思路探究】 解方程组有惟一解相交有无数组解重合无解平行【自主解答】 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为(－103，143)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0， ①y ＝13x ＋12， ②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0， ①y ＝13x ＋12， ②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2.判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(2012·曲靖高一检测)两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24【解析】 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将(0，k3)代入x －ky ＋12＝0，解得k＝±6.【答案】 C已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)、B (3，－3)、C (1,7)，试判断△ABC 的形状． 【思路探究】 可先在直角坐标系中画出△ABC ，估计其形状，然后以边长和角为着眼点，分析印证估计的正确性．【自主解答】 法一 ∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2 ＝52，又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104， ∴AB 2＋AC 2＝BC 2，且AB ＝AC ， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC ·k AB ＝－1， ∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52，|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52， ∴AC ＝AB .∴△ABC 是等腰直角三角形．1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理．已知点A (4,12)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，求点P 的坐标． 【解】 设点P 的坐标为(x,0)， 由|P A |＝13，得(4－x )2＋(12－0)2＝13， 解得x ＝－1或x ＝9.所以点P 的坐标为(－1,0)或(9,0)．求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)． 【思路探究】建立适当的坐标系――→“形”化到“数” 坐标表示A 、B 、C 、D 各点―→代数计算――→“数”化到“形”几何关系 【自主解答】 设BC 所在边为x 轴，以D 为原点，建立坐标系，如图所示，设A (b ，c )，C (a,0)，则B (－a,0)．∵|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2，|AC |2＝(a －b )2＋c 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|DC |2＝a 2， ∴|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2， ∴|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤： (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．已知：等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，对角线为AC 和BD . 求证：|AC |＝|BD |.【证明】 如图所示，建立直角坐标系，设A (0,0)，B (a,0)，C (b ，c )，则点D 的坐标是(a －b ，c )．∴|AC |＝(b －0)2＋(c －0)2＝b 2＋c 2， |BD |＝(a －b －a )2＋(c －0)2＝b 2＋c 2. 故|AC |＝|BD |.对称问题的求解策略(12分)(2013·临沂高一检测)光线通过点A (2,3)在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射，反射光线经过点B (1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．【思路点拨】 求点A 关于直线l 的对称点A ′―→求反射光线所在直线的方程―→求入射光线与反射光线的交点坐标―→求入射光线所在的直线方程．【规范解答】 设点A (2,3)关于直线l 的对称点为A ′(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解之，得A ′(－4，－3).4分由于反射光线经过点A ′(－4，－3)和B (1,1)， 所以反射光线所在直线的方程为 y －1＝(x －1)·1＋31＋4，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P (－23，－13)．8分所以入射光线所在直线的方程为 y －3＝(x －2)·3＋132＋23，即5x －4y ＋2＝0.12分1．光线的入射、反射问题、角的平分线问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小问题均属于点关于直线对称问题．解决这类问题的方法是设对称点坐标，由“垂直”和“平分”列方程解得．2．点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·(－AB)＝－1(AB ≠0)，A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y 02＋C ＝0求得．1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．3．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C ．(43，13) D ．(13，43)【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是(43，13)．【答案】 C2．已知M (2,1)，N (－1,5)，则|MN |等于( ) A ．5 B.37 C.13 D ．4 【解析】 |MN |＝ (2＋1)2＋(1－5)2＝5.【答案】 A3．下列直线中，与直线x ＋3y －4＝0相交的直线为( ) A ．x ＋3y ＝1 B ．y ＝－13x －12C.x 2＋y 3＝1 D ．y ＝－13x ＋4 【解析】 若直线与直线x ＋3y －4＝0相交，则两条直线的斜率不相等，故选C. 【答案】 C4．已知在Rt △ABC 中，∠B 为直角，|AB |＝a ，|BC |＝b .建立适当的坐标系，写出顶点A ，B ，C 的坐标，并求证斜边AC 的中点M 到三个顶点的距离相等．【解】 取边BA 所在的直线为x 轴，边BC 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，如图，则三个顶点的坐标分别为A (a,0)，B (0,0)，C (0，b )．由中点坐标公式得，斜边AC 的中点M 的坐标为(a 2，b2)，则|MA |＝ (a －a 2)2＋(0－b 2)2＝ 12a 2＋b 2，|MB |＝ (0－a 2)2＋(0－b 2)2＝ 12a 2＋b 2，|MC |＝(0－a 2)2＋(b －b 2)2＝ 12a 2＋b 2.故|MA |＝|MB |＝|MC |.即斜边AC 的中点M 到三个顶点的距离相等．一、选择题1．直线x －2y ＋1＝0与2x ＋y －1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交且垂直 C ．相交但不垂直 D ．重合【解析】 ∵12≠－21且12×(－2)＝－1，∴两直线相交且垂直． 【答案】 B2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5C ．1或－5D ．－1或5【解析】 由|AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5，可知(a ＋2)2＝9. ∴a ＝1或－5. 【答案】 C3．(2013·周口高一检测)直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)【解析】 直线kx －y ＋1＝3k 可变形为k (x －3)－y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，1－y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.当k 变动时，直线恒过点(3,1)．【答案】 C4．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形．故选B. 【答案】 B5．(2013·聊城高一检测)直线x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0得直线2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入直线x ＋ky ＝0得k ＝－12.【答案】 B 二、填空题6．直线y ＝x ＋2被坐标轴截得的线段长为________． 【解析】 令x ＝0，得y ＝2；令y ＝0，得x ＝－2， ∴点(0,2)和点(－2,0)间的距离为22＋(－2)2＝2 2. 【答案】 2 27．已知△ABC 的顶点坐标为A (7,8)，B (10,4)，C (2，－4)，则BC 边上的中线AM 的长为________．【解析】 线段BC 的中点坐标为M (6,0)，又A (7,8)， ∴|AM |＝(6－7)2＋(0－8)2＝65. 【答案】658．直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎨⎧x ＝2a ＋37，y ＝a －27，交点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y <0，解得－32<a <2.【答案】 (－32，2)三、解答题9．(2013·浏阳高一检测)求过两条直线2x －y －3＝0和4x －3y －5＝0的交点，并且与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直的直线方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3＝0，4x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则两直线交点为(2,1)．直线2x ＋3y ＋5＝0的斜率为－23，则所求直线的斜率为32故所求直线的方程为y －1＝32(x －2)，即3x －2y －4＝0.10．过点M (0,1)作直线，使它被两已知直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程．【解】 法一 过点M 与x 轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y ＝kx ＋1，若与两已知直线分别交于A 、B 两点，则解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0， 可得x A ＝73k －1，x B ＝7k ＋2.由题意73k －1＋7k ＋2＝0， ∴k ＝－14.故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.法二 设所求直线与两已知直线分别交于A 、B 两点，点B 在直线2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )，由中点坐标公式得A (－t,2t －6)．又因为点A 在直线x －3y ＋10＝0上，所以(－t )－3(2t －6)＋10＝0，得t ＝4，即B (4,0)． 由两点式可得所求直线方程为x ＋4y －4＝0. 11．(思维拓展题)在x 轴上求一点P ，使得(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大，并求出最大值； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小，并求出最小值． 【解】 如图，(1)直线BA 与x 轴交于点P ，此时P 为所求点，且|PB |－|P A |＝|AB |＝(0－4)2＋(4－1)2＝5.∵直线BA 的斜率k BA ＝1－44＝－34， ∴直线BA 的方程为y ＝－34x ＋4.令y ＝0得x ＝163，即P (163，0)．故距离之差最大值为5，此时P 点的坐标为(163，0)． (2)作A 关于x 轴的对称点A ′，则A ′(4，－1)，连接CA ′，则|CA ′|为所求最小值，直线CA ′与x 轴交点为所求点．又|CA ′|＝(4－3)2＋(－1－4)2＝26，直线CA ′的斜率k CA ′＝－1－44－3＝－5， 则直线CA ′的方程为y －4＝－5(x －3)．令y ＝0得x ＝195，即P (195，0)． 故距离之和最小值为26，此时P 点的坐标为(195，0).求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一个定点．【思路探究】 既然m 不论取何值，直线恒过定点，可以任取m 的两个不同值，得到两条直线都过定点，再利用两直线交点求出定点，最后证明直线恒过该点．【自主解答】 法一 取m ＝1，得直线y ＝－4.取m ＝12，得直线x ＝9. 故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过点(9，－4)． 将x ＝9，y ＝－4代入方程，左边＝(m －1)·9－4·(2m －1)＝m －5＝右边，故直线恒过点(9，－4)．法二 直线方程可变形为(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0.∵对任意m 该方程恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4. 故直线恒过定点(9，－4)．法一分“探求”和“验证”两部分，先使用特殊值找出问题的结论，进而给出证明，这是解决与参数无关的问题常用的一种方法；法二是利用过两直线交点的直线系方程求解．不论a 为何实数，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0可变形为a (x ＋2y )＋(6－3x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，6－3x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 故直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)，又点(2，－1)在第四象限，故该直线恒过第四象限，选D.【答案】 D。