湖南省益阳市箴言中学2017-2018学年高三上学期第二次模拟考试 数学(文) Word版含答案

益阳市箴言中学2017-2018学年高三第二次模拟考试文科数学试题时间120分钟 满分150分1. 设集合A ＝{1,2,3,5,7}，B ＝{x ∈Z |1＜x ≤6}，全集U ＝A ∪B ，则A ∩(∁U B )的子集个数为( )A.1B.2C.4D.8 2. 复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3 4. 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1 5. 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] 6. 函数y ＝cos 422x xx--的图象大致为( )7. 连续掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ＞90°的概率是( )A.512B.712C.13D.128. 已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．29. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π10. 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.522＋2B.522＋1C.522－2D.522－111. 已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,1) D ．(0，＋∞) 12. 已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1二．填空题：（每小题5分，共20分）13. 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________． 14. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于__________．15. 已知s in 2α＝23，则co s 2(α＋π4)＝16. 已知函数3()f x x x sinx =--+,当(0,)2πθ∈时,恒有2(c o s 2s i n )(22)0f m f m θθ++-->成立,则实数m 的取值范围三．解答题：17.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：(1)(2)请你用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．其中⎩⎨⎧b ^＝∑n i＝1 (x i－x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x 2，a^＝y －b ^x .18. 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫12，12sin x ＋32cos x 与b ＝(1，y )共线，设函数y ＝f (x )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)已知锐角△ABC 中三个内角分别为A ，B ，C ，若有f ⎝⎛⎭⎫A －π3＝3，BC ＝7，sin B ＝217，求△ABC 的面积．19. 若数列{a n }满足：a 1＝23，a 2＝2,3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2.(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等差数列；(2)求使1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n >52成立的最小的正整数n .20. 如图，已知F(2,0)为椭圆2222x y 1a b+=(a ＞b ＞0)的右焦点，过点F 且垂直长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，线段OF 的垂直平分线与椭圆相交于C ，D 两点，且∠CAD=90°.(1)求椭圆方程.(2)设过点F 且斜率为k(k ≠0)的直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，若存在一定点E(m ,0)，使得x 轴上的任意一点(异于点E ，F)到直线EP ，EQ 的距离相等，求m 的值.21. 已知函数f (x )＝ln x －ax ，a ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若不等式f (x )＋a <0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22. 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．23.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．24. 已知函数f (x )＝|2x ＋3|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|m －1|的解集不是空集，求实数m 的取值范围．文科数学参考答案：一．选择题：1-5CDABA ；6-10DADAD ；11-12BB ； 二．填空题：13. λ＜32且λ≠－6. 14. 95 15. 16；16. 1[,)2-+∞三．解答题：17. 【解】 (1)由图表知，5天的平均投篮命中率y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，(2)x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∴b ^＝－2×(－0.1)＋(－3)×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×(－0.1)(1－3)2＋(2－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝0.01，a ^＝y －b ^x ＝0.5－0.01×3＝0.47，故回归直线方程为y ^＝0.47＋0.01x将x ＝6代入，得y ^＝0.53，∴6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53. 18. 解：(1)由向量a ＝⎝⎛⎭⎫12，12sin x ＋32cos x 与b ＝(1，y )共线得f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期是2π.…………4分 (2)令△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由f ⎝⎛⎭⎫A －π3＝3得sin A ＝32. 又△ABC 为锐角三角形，所以∠A ＝π3.…………6分又a ＝7，sin B ＝217，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝2，………8分 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以c ＝3，…………10分 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝332.…………12分19. 解：(1)由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2可得：a n ＋1－2a n ＋a n －1＝23，即(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝23，故数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝43为首项，23为公差的等差数列．…………6分(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝43＋23(n －1)＝23(n ＋1)，于是累加求和得a n ＝a 1＋23(2＋3＋…＋n )＝13n (n ＋1)，∴1a n ＝3⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3－3n ＋1>52，∴n >5， ∴最小的正整数n 为6.………12分20. 解：(1)由条件知A(2，2b a ),C(1,y 0),D(1,-y 0),其中y 0所以2200b b AC (1,y ),AD (1,y ).a a=--=---因为∠CAD=90°,所以AC AD,AC AD ⊥即=0.所以()224420222b a 1b b 1y ,1,a a a-=--=即 可解得a 2=6,b 2=2.所以椭圆方程为22x y 162+=. (2)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),直线l 的方程为y=k(x-2)(k ≠0).由()22x y 1,62y k x 2⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得(1+3k 2)x 2-12k 2x+12k 2-6=0.所以x 1+x 2=2212k ,13k +x 1x 2=2212k 613k -+. 根据题意,x 轴平分∠PEQ,则直线EP,EQ 的倾斜角互补，即k EP +k EQ =0. 因为E(m,0)，则有1212y y 0x m x m+=--(当x 1=m 或x 2=m 时不合题意).将y 1=k(x 1-2),y 2=k(x 2-2)代入上式，得()()1212k x 2k x 2x m x m--+--=0. 又k ≠0,所以1212x 2x 20,x m x m --+=--即()()()()()()122112x 2x m x 2x m 0,x m x m --+--=-- 即()()()()1212122x x m 2x x 4m0,x m x m -+++=--即2x 1x 2-(m+2)(x 1+x 2)+ 4m=0.将x 1+x 2=2212k ,13k +x 1x 2=2212k 613k -+代入，可解得m=3.21. 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，则f (x )只有单调递增区间(0，＋∞)； ②当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <1a ，由f ′(x )<0，得x >1a，所以f (x )的单调递增区间是(0，1a )，单调递减区间是(1a，＋∞)．(2)解法一：因为f (x )＋a <0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，即ln x －a (x －1)<0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，设g (x )＝ln x －a (x －1)，则g ′(x )＝1x－a ，注意到g (1)＝0，①当a ≥1时，g ′(x )<0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，则g (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )<g (1)＝0，则a ≥1时满足题意．②0<a <1时，令g ′(x )>0得0<x <1a ；令g ′(x )<0得x >1a.则g (x )在(1，1a )上单调递增，所以当x ∈(1，1a )时，g (x )>g (1)＝0，即0<a <1时不满足题意(舍去)．③当a ≤0时，g ′(x )＝1x －a >0，则g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ∈(1，＋∞)时，g (x )>g (1)＝0，即a ≤0时不满足题意(舍去)．综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．解法二：由题意知，f (x )＋a <0，即ln x －ax ＋a <0在x ∈(1，＋∞)上恒成立， 设g (x )＝ln x －a (x －1)，则g ′(x )＝1x－a ，由(1)知，当a ≤0时，g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以对任意的x ∈(1，＋∞)，有g (x )>g (1)＝0，即f (x )＋a >0(不合题意，舍去)． 由(1)知，当a >0时，g (x )在(0，1a )上单调递增，在(1a，＋∞)上单调递减，①当1a ≤1时，即a ≥1时，g (x )在(1，＋∞)上单调递减，则g (x )<g (1)＝0，符合题意．②当1a >1时，即0<a <1时，g (x )在(1，1a )上单调递增，在(1a ，＋∞)时单调递减．x ∈(1，1a )时，g (x )>g (1)＝0不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．22. (1)证明 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .(2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC ·sin ∠BAC ＝AD ·AE .则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.23. 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.24解 解：(1)原不等式为：|2x ＋3|＋|2x －1|≤6，当x ≤－32时，原不等式可化为－4x －2≤6，即－2≤x ≤－32；当－32<x <12时，原不等式可化为4≤6，恒成立，即－32<x <12；当x ≥12时，原不等式可化为4x ＋2≤6，即12≤x ≤1，∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤1}． (2)由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －2，x ≤－32，4，－32<x <12，可得函数y ＝f (x )的最小值为4，4x ＋2，x ≥12，∴|m －1|>4，解得：m <－3或m >5.。