2016高考(新课标)数学(理)一轮全程复习构想练习：10-8古典概型

课时作业65 古典概型
一、选择题
1．(2014·陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
A.15
B.25
C.35
D.45
解析：从这5个点中任取2个，有C 25＝10种取法，满足两点间的
距离不小于正方形边长的取法有
C 24＝6种，因此所求概率P ＝610＝35.
故选C.
答案：C 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
( )
A.18
B.58
C.38
D.78
解析：由题知所求概率P ＝24－224＝78，选D.
答案：D
3．(2014·亳州高三质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )
A.12
B.13
C.14
D.18
解析：易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的
有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14.
答案：C
4．(2014·江南十校联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )
A.115
B.25
C.35
D.1415
解析：记2名来自A 大学的志愿者为A 1，A 2,4名来自B 大学的志愿者为B 1，B 2，B 3，B 4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种．其中至少有一外A 大学志愿者的事件有9种．故所求
概率P ＝915＝35.故选C.
答案：C
5．(2014·合肥模拟)从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是( )
A.16
B.14
C.13
D.12
解析：不妨设取出的三个数为x ，y ，z (x ＜y ＜z )，要满足x ＋y ＝z ，
共有20种结果，从十个数中取三个数共有C 310种结果，故所求的概率
为20C 310
＝16. 答案：A
6．(2014·郑州模拟)在二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A.16
B.14
C.13
D.512 解析：注意到二项式⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12·4x r ＝C r n ·2－r ·x 2n －3r 4 .依题意有C 0n ＋C 2n ·2－2＝2C 1n ·2－1＝n ，即n 2－9n ＋8＝0，(n －1)(n －8)＝0(n ≥2)，因此n ＝8.∵二项式
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋12·4x 8的展开式的通项是T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－ 3r 4 ，其展开式中的有理项共有3项，所求的概率等于A 66·A 37A 99
＝512，选D. 答案：D
二、填空题
7．(2014·广东卷)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为__________．
解析：十个数中任取七个不同的数共有C 710种情况，七个数的中
位数为6，那么6只有处在中间位置，有C 36种情况，于是所求概率P
＝C 36C 710
＝16. 答案：16
8．(2014·江西卷)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是__________．
解析：从10件产品中任取4件共有C 410＝210种不同的取法，因为10件产品中有7件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有C 13C 37＝105种不同的取法，故所求的概率为P ＝105210＝12.
答案：12
9．(2014·江苏卷)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为16的概率是__________．
解析：从1，2,3,6这4个数中随机地取2个数，不同的取法为{1,2}，{1,3}，{1,6}，{2,3}，{2,6}，{3,6}共6个基本事件，其中乘积为6的
有{1,6}，{2,3}两个基本事件，因此所求事件的概率为P ＝26＝13.
答案：13
三、解答题
10．(2014·济南模拟)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)．
(1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率；
(2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率
解析：(1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种．
使得a ⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3,1)、(6,2)，
所以事件a ⊥b 的概率为236＝118.
(2)|a |≤|b |，即m 2＋n 2≤10，
共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种使得|a |≤|b |，其概率为636＝16.
11．(2014·安徽省级示范高中一模)设a ∈{2,4}，b ∈{1,3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.
(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；
(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率．
解析：(1)f ′(x )＝ax ＋b ，由题意f ′(－1)≤0，即b ≤a ，而(a ，b )
共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四种，满足b ≤a 的有3种，故概率为34.
(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．
∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，
∴这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足，
∴概率为16.
12．(2014·莱芜模拟)中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x ，y ，且x ＜y ”．
(1)共有多少个基本事件？并列举出来；
(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．
解析：(1)共有36个基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)，共36个．
(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A，即事件A为“x，y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且11≤x＋y＜17，其中x＜y”，由(1)可知事件A共含有15个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共15个．“都是男记者”记作事件B，则事件B为“x ＜y≤5”，包含：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，
(3,5)，(4,5)，共10个．故P(A)＋P(B)＝15
36＋
10
36＝
25
36.。