2014年成考高等数学(二)应试模拟及解析第5套

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2014成人高考专升本《高数二》经管类冲刺真题训练讲义1

2021成人高考专升本?高数二?经管类冲刺真题训练讲义1(微积分局部基此题型)说明：我们根据十多年来专升本考试内容及实体的分析与研究，按考试中出现的知识点及题型进展分类归纳，可以使大家一目了然地看出：哪些知识是必考的，考试题型是什么，此题型在十几年的试卷中考到的概率是多少。

备注【10-1】表示2021年试卷笫1题。

题目后的【A 】代表答案。

笫一章极限和连续常考知识点一、极限〔1〕函授在一点处的左极限与右极限以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。

〔2〕极限的性质以及四那么运算。

〔3〕无穷小量的概念、性质及无穷小量阶的比较，等价无穷小量代换及其应用。

〔4〕两个重要的极限及其应用。

二、连续(1)函数在一点处连续与连续的概念及连续的判定。

〔2〕闭区间上连续函数的性质。

三、试卷内容比例本章内容约占试卷总分的15%共计22分。

真题训练及常用解题方法与技巧一. 求极限1. 代入法考试要点：lim ()()x af x f a →=，直接把x a =代入()f x 中，其依椐是初等函数连续性定理。

考察概率：50% 【10-1.】1ln(1)lim 1x x x →+=+A.ln 22B.0C.ln 2D.ln 2-[]【A 】【09-1.】2tan(1)lim1x x x →-=-A.0B.tan1C.4πD.2[]【B 】【06-11】2031lim 1x x x x →+-+【1-】【05-11】31lim(2)x x x →-+【2】【04-07】2limln(1)x x →+【0】2. 第一重要极限与等价无穷小替换法考察概率：70% 考试要点0sin (1)lim 1;(2)0~sin ~tan x xx x x x x→=→当时，【11-12】.2sin(2)lim_________.2x x x →-=-【1】【10-21】计算21sin(1)lim 1x x x →--.【12】【10-12】当0x →时,()f x 与sin 2x 是等价无穷小量,那么0()lim _____.sin 2x f x x→=答案：【1】【08-12】____________0sin 2limx xx→=.【2】【07-12】____________21sin(1)lim 1x x x →-=-.【12】【06-12】0tan 3lim x xx→=_________.【3】【05-1】设0sin 5lim x xx →等于〔〕A.0B.15C.1D.5【答案D 】【04-8】假设0x →时,函数()f x 与sin x 是等价无穷小，那么0()lim sin x f x x→=________.【答案1】【04-2】设0sin lim 3x axx→=,那么a 的值为〔〕A.13B.1C.2D.3【答案D 】【03-2】x xx 52sin lim 0→等于〔〕A.0B.52C.1D.25【答案B 】VIP 免费资料【02-7】xxx 2sin lim0→=__________.【答案2】【01-17】计算xx x sin )21ln(lim 0+→.【答案：2cos )21(2lim sin )21ln(lim0"0"0=+=+→→xx x x x x 】【01-2.】4)2sin(lim22--→x x x 等于〔〕 A.0B.41C.21D.1【答案B 】【00-6】65)1sin(lim21-+-→x x x x =____________.【答案71】3. 重要极限考试要点〔1〕101lim(1);lim(1);xx x x e x e x→∞→+=+=〔2〕对于演算题，常用“添倒数辅助项方法〞；〔3〕推广公式0(1)lim(1);lim(1);bC bx C ab ab xx x a e ax e x++→∞→+=+= 考察概率40%【11-21.】计算20lim(1)xx x →+.【答案.2122lim(1)lim[(1)]x x x x x x e →→+=+=】【09-12.】1lim(1)_________.3xx x→∞-=【13e -】【06-1.】()20lim 1xx x →+=〔〕A.1B.eC.2eD.2e 【答案.D 】【05-12】3lim(1)x x x→∞-=________.【答案3e -】【04-16】计算2lim(1)x n x →∞+.【答案22222lim(1)lim(1)x x x x e x x →∞→∞⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦】【03-6】xx x)211(lim -∞→=_________.【12e -】【01-18.】计算xx xx 3)2(lim -∞→_________. 【答案(2)3332221lim()lim(1)lim(1)()2xx x x x x x x x x x -⋅-⋅→∞→∞→∞-=-=+-6621lim[(1)]()2xx e x---→∞=+=-】【01-1】以下各式中,正确的选项是[]A.e xxx =-∞→)11(lim ;B.e x x x =+∞→1)11(lim ;C.e x x x =+-→10)1(lim ;D.e x x x =+→10)1(lim【答案D 】【00-17】假设xx kx k x )2(lim -+∞→=8,求常数k .【答案：k k k xx xx x x x x x e ee xk x k x k x x k x k x k x 32)21(lim )1(lim )()(lim )2(lim ==-+=++=-+-∞→∞→∞→∞→】4. 用洛必达法那么求极限要点：对于00,∞∞型,直接用洛必达公式()'()lim lim ()'()=f x f x g x g x 洛,对于⋅∞∞-∞0,型,设法化为00,∞∞型后,再用洛必达方法. 考察概率：1993-2021年共考了20次，属于必考题，概率为100%。

数学_2014年浙江省某校高考数学二模试卷(文科)(含答案)

2014年浙江省某校高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A ＝{x|x >1}，B ＝{x|x <m}，且A ∪B ＝R ，那么m 的值可以是（）A −1B 0C 1D 22. 已知a ，b ∈R ，则“a 2+b 2<2”是“ab <1”的（）A 必要而不充分条件B 充要条件C 充分而不必要条件D 既不充分也不必要条件3. 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80)，[80, 90)[90, 100)，则图中x 的值等于（）A 0.754B 0.048C 0.018D 0.0124. 已知f(x)=cos(ωx +π3)的图象与y =1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y =f(x)的图象，只需把y =sinωx 的图象（）A 向左平移512π个单位长度B 向右平移512π个单位长度C 向左平移712π个单位长度D 向右平移712π个单位长度5. 下列命题正确的是（）A 若平面α不平行于平面β．则β内不存在直线平行于平面αB 若平面α不垂直于平面β．则β内不存在直线垂直于平面αC 若直线l 不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lD 若直线l 不垂于平面α．则α内不存在直线垂直于直线l6. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A 126B 105C 91D 667. 若α∈(π4, π)且3cos2α=4sin(π4−α)，则sin2α的值为（）A 79B −79C −19D 198. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形AF 1F 2的一边AF 1与双曲线左支交于点B ，且AF 1→=4BF 1→，则双曲线C 的离心率的值是（）A √32+1B √13+13C √133+1D √3+129. 已知函数f(x)=x 3−6x 2+9x −abc ，其中a <b <c ，且f(a)=f(b)=f(c)=0，现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0．其中正确结论的个数是（）A 1B 2C 3D 410. 用n(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A ∗B ={n(A)−n(B)，当n(A)≥n(B)n(B)−n(A)，当n(A)<n(B)，若A ={x|x 2−ax −14=0, a ∈R}，B ={x||x 2+bx +2014|=2013, b ∈R}，设S ={b|A ∗B =1}，则n(S)等于（）A 4B 3C 2D 1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11. 分别在集合A ={1, 2, 4}和B ={3, 5, 6}中随机的各取一个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为________．12. 一个几何体的三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，俯视图是半圆和正方形，则这个几何体的体积为________．13. 过点A(11, 2)作圆x 2+y 2+2x −4y −164＝0的弦，其中弦长为整数的共有________条．14. 若实数x ，y 满足不等式组{x +2y ≥22x +y ≤4x −y ≥−1，则4|x −1|+y 的最大值是________．15. 已知F 1为椭圆C ：x 22+y 2=1的左焦点，直线l:y =x −1与椭圆C 交于A 、B 两点，那么|F 1A|+|F 1B|的值为________．16. 已知O 为△ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC =120∘．若AO =λ1AB +λ2AC ，则2λ1+λ2=________．17. 设a +2b =3，b >0，则12|a|+|a|3b 的最小值为________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. △ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60∘，a=(√3−1)c．（1）求角A的大小；（2）已知△ABC的面积为12+4√3，求函数f(x)=cos2x+asinx的最大值．19. 已知等差数列数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2+S2=12，S2=b2q．（1）求a n与b n；（2）设c n=3b n−λ⋅2a n3(λ∈R)，若{c n}满足：c n+1>c n对任意的n∈N∗恒成立，求λ的取值范围．20. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=AB，E是BD的中点．∠BCD=90∘，PA=PD=DC=CB=12（1）求证：EC // 平面APD；（2）求BP与平面ABCD所成角的正切值；（3）求二面角P−AB−D的正弦值．21. 已知函数f(x)=2x2+3(a2+a)lnx−8ax．（I）若曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线与直线y=32x−62平行，求a的值；（II）若函数f(x)在其导函数f′(x)的单调区间上也是单调的，求a的取值范围．22. 如图，已知过点A(1, 2)的抛物线C:y2=ax与过点T(3, −2)的动直线l相交于P、Q两点．（1）求直线AP与直线AQ的斜率的乘积；（2）若∠APQ=∠AQP，求证：△APQ的周长为定值．2014年浙江省某校高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. C3. C4. A5. B6. B7. C8. B9. B10. A11. 7912. (π+8)√36 13. 3214. 515. 8√2316. 317. 12 18. 解：（1）∵ B =60∘，∴ A +C =120∘，即C =120∘−A ，∵ a =(√3−1)c ，由正弦定理可得：sinA =(√3−1)sinC ，sinA =(√3−1)sin(120∘−A)=(√3−1)(√32cosA +12sinA)，整理得：32cosA +√32sinA −√32cosA −12sinA =sinA ，即3−√32cosA =3−√32sinA ，即sinA =cosA ，∴ tanA =1，则A =45∘；（2）∵ S △ABC =12acsinB =12+4√3，c =√3−1，sinB =√32， ∴ 122√3−1√32=12+4√3，解得：a =4√2，∴ f(x)=1−2sin 2x +4√2sinx =−2(sinx −√2)2+5，则当sinx =1时，函数f(x)取得最大值4√2−1．19. 解：（1）由S 2=a 1+a 2=3+a 2，b 2=b 1q =q ，且b 2+S 2=12，S 2=b 2q ．∴ {q +3+a 2=123+a 2=q2，消去a 2得：q 2+q −12=0，解得q =3或q =−4（舍）， ∴ a 2=q 2−3=32−3=6，则d =a 2−a 1=6−3=3，从而a n =a 1+(n −1)d =3+3(n −1)=3n ，b n =b 1q n−1=3n−1；（2）∵ a n =3n ，b n =3n−1，∴ c n =3b n −λ⋅2a n3=3n −λ2n ．∵ c n+1>c n 对任意的n ∈N ∗恒成立，即：3n+1−λ⋅2n+1>3n −λ⋅2n 恒成立，整理得：λ⋅2n <2⋅3n 对任意的n ∈N ∗恒成立，即：λ<2⋅(32)n 对任意的n ∈N ∗恒成立．∵ y =2⋅(32)x 在区间[1, +∞)上单调递增，∴ y min =2⋅32=3， ∴ λ<3．∴ λ的取值范围为(−∞, 3)．20. （1）证明：如图，取PA 中点F ，连结EF 、FD ，∵ E 是BP 的中点，∴ EF // AB 且EF =12AB ，又∵ DC // AB 且DC =12AB ， ∴ EF // DC 且EF =DC ，∴ 四边形EFDC 是平行四边形，故得EC // FD …又∵ EC ⊄平面PAD ，FD ⊂平面PAD ，∴ EC // 平面ADE …（2）解：取AD 中点H ，连结PH ，因为PA =PD ，所以PH ⊥AD∵ 平面PAD ⊥平面ABCD 于AD∴ PH ⊥面ABCD∴ HB 是PB 在平面ABCD 内的射影∴ ∠PBH 是PB 与平面ABCD 所成角…∵ 四边形ABCD 中，∠ABC =∠BCD =90∘∴ 四边形ABCD 是直角梯形，DC =CB =12AB 设AB =2a ，则BD =√2a ，在△ABD 中，易得∠DBA =45∘，∴ AD =√2a ，PH =√PD 2−DH 2=√22a ，又∵ BD 2+AD 2=4a 2=AB 2，∴ △ABD 是等腰直角三角形，∠ADB =90∘∴ HB =√DH 2+DB 2=√102a ， ∴ 在Rt △PHB 中，tan∠PBH =PH HB =√55… （3）解：在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于G 点，连结PG ，则HG 是PG 在平面ABCD 上的射影，故PG ⊥AB ，∴ ∠PGH 是二面角P −AB −D 的平面角，由AB =2a…∴ HA =√22a ，又∠HAB =45∘∴ HG =12a ，PG =√32a 在Rt △PHG 中，sin∠PGH =PH PG =√63，∴ 二面角P−AB−D的正弦值为√63…21. 解：(I)由于函数f(x)=2x2+3(a2+a)lnx−8ax，则f′(x)=4x+3(a2+a)⋅1x−8a．因为曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线与直线y=32x−62平行，则切线的斜率k=32，即3a2−5a−28=0，解得或a=−73．而当a=−73时，切线与y=32x−62平行，符合题意当a=4时，切线为y=32x−62重合，不合条件，舍去故a=−73．(II)f′(x)=4x+3(a2+a)⋅1x −8a=4x2−8ax+3(a2+a)x，设g(x)=4x2−8ax+3(a2+a)，△=16(a2−3a)，设g(x)=0的两根为x1，x2(x1<x2)（1）当△≤0即0≤a≤3时，f′(x)≥0，∴ f(x)单调递增，满足题意；（2）当△>0即a<0或a>3时，①若x1<0<x2，则34(a2+a)<0，即−1<a<0，此时，f(x)在(0, x2)上单调递减，在(x2, +∞)上单调递增，而f′(x)在(0, +∞)上单调递增，故不满足题意②若x1<x2≤0，则{2a<034(a2+a)≥0解得a≤−1，此时，f(x)在(0, +∞)上单调递增，满足题意③若0<x1<x2，则{2a>034(a2+a)>0解得a>0，此时，f(x)在(0, x1 )上单调递增，(x1, x2)上单调递减，在(x2, +∞)上单调递增，故不满足题意综上得a的取值范围为(−∞, −1]∪[0, 3]．22. （1）解：由抛物线C:y2=ax过点A(1, 2)知a=4…设直线l的方程为x=m(y+2)+3代入抛物线方程得y2−4my−8m−12=0…设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则y1+y2=4m，y1y2=−8m−12…∴ k AP k AQ=16y1y2+2(y1+y2)+4=−2…（2）证明：PQ的中点坐标为(x1+x22, y1+y22)，即(y124+y2242, y1+y22)，∴ PQ的中点坐标为(2m2+2m+3, 2m)，…由已知得2m−22m2+2m+3−1=−m，即m3+m2+2m−1=0．…设f(m)=m3+m2+2m−1，则f′(m)=3m2+2m+2>0，∴ f(m)在R上是增函数，又f(0)=−1，f′(1)=3，故f(m)在(0, 1)内有一个零点，函数f(m)有且只有一个零点，即方程m3+m2+2m−1=0有唯一实根．∴ 满足条件的三角形唯一确定，从而△APQ的周长为定值．…。

2014届山东省高三高考仿真模拟冲刺考试(五)文科数学试题及答案

绝密★启用前试卷类型：A山东省2014届高三高考仿真模拟冲刺考试（五）数学（文）试题满分150分考试用时120分钟参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．直线l 1：kx-y-3=0和l 2：x+（2k+3）y-2=0互相垂直，则k=（）A ．-3B ．-2C ．12-或-1 D ．12或1 2． 300cos 的值是（）A ．21B ．21- C ．23D ．23-3．设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（）A ．-3B ．-1C ．1D ．34．若a ＞b ＞0，则下列不等式不成立的是（）A．a b +< B ．1122a b > C ．ln ln a b > D ．0.30.3a b <5．执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的（）A ．49B ． 67C ．89D ．10116．“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（）A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数z=x+y ，则（） A ．max 0z = B ．max 52z = C ．min 52z = D ．max 3z = 8．若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积是（） A．12π B．12π C．3π D．3π 9．已知2010120101ln-=a ，2011120111ln -=b ，2012120121ln -=c 则（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>10．函数()(a x y a 13log -+=＞0，且)1≠a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上（其中m ，n ＞0），则nm 21+的最小值等于（）A ．16B ．12C ．9D ．8第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（5小题，每题5分，共25分） 11．22,sin sin sin ,,ABC C A B B a C +==在中则角△ ．12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a = ．13．过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF （O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为．14．在平面区域()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥=20,y x x x y y x M 内随机取一点P ，则点P 取自圆122=+y x 内部的概率等于__________.15．已知f （1，1）=1，f （m ，n ）∈N *（m 、n ∈N *），且对任意m 、n ∈N *都有：① f （m ，n+1）= f （m ，n ）+2； ② f （m ＋1，1）=2 f （m ，1）．给出以下三个结论：（1）f （1，5）=9；（2）f （5，1）=16；（3）f （5，6）=26．其中正确的个数为．三、解答题（共75分） 16．（本小题满分12分）已知向量)cos ,(sin ),sin 3,(sin x x n x x m -==，设函数n m x f ⋅=)(．（Ⅰ）求函数()f x 在3[0,]2π上的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，若1)62sin()(=-+πA A f ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求边a 的长．如图，在直角坐标系xoy 中，有一组底边长为n a 的等腰直角三角形n n n A B C （n =1，2，……），底边n n B C 依次放置在y 轴上（相邻顶点重合），点1B 的坐标为（0，b ）．（Ⅰ）若1b =，12a =，24a =，求点12,A A 的坐标；（Ⅱ）若123,,A A A ，……，n A 在同一直线上，求证：数列{}n a 是等比数列．小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋．（Ⅰ）写出数量积X的所有可能取值；（Ⅱ）分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点，且CC ．1（Ⅰ）求证：CN∥平面AMB1；（Ⅱ）求证：B1M⊥平面AMG．已知中心在原点O，焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线2y=-的焦点为F1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）垂直于OC的直线ι与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线ι的方程和圆P的方程．21．（本小题满分14分）设0a >，0b >，已知函数()1ax b f x x +=+.（Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数．（i ）判断(1)f ， f ，()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤;（ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H .若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围．文科数学（五）一、选择题二、填空题11．π612． 6- 13．8π 15．3三、解答题16．解：（Ⅰ）由题意得21cos 2()sin cos 22x f x x x x x -==1sin(2)26x π=-+ ………………………………………………………………………3分令3222262k x k πππππ+≤+≤+,Z k ∈解得：263k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈ 30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，263x ππ∴≤≤，或7362x ππ≤≤.所以函数()f x 在3[0,]2π上的单调递增区间为2[,]63ππ，73,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………6分（Ⅱ）由1)62sin()(=-+πA A f 得：1)62sin()62sin(21=-++-ππA A ,化简得：212cos -=A ,又因为02A π<<，解得：3π=A ………9分由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC ，解得8=bc ，又7=+c b ,所以22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+14928(1)252=-⨯⨯+=,故所求边a 的长为5． ……12分17．18．(1) x 的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1 (2)数量积为-2的只有25OA OA ∙一种数量积为-1的有15OA OA ∙,1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙∙六种数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为1715p =因为去唱歌的概率为2415p =,所以小波不去唱歌的概率2411111515p p =-=-= 19．解：（Ⅰ）设AB 1 的中点为P ，连结NP 、MP ………………………1分∵CM 112AA ，NP 112AA ，∴CM NP ， …………2分 ∴CNPM 是平行四边形，∴CN ∥MP …………………………3分 ∵CN ⊄埭平面AMB 1，MP ⊂奂平面AMB 1，∴CN ∥平面AMB 1…4分（Ⅱ）∵CC 1⊥平面ABC ，∴平面CC 1 B 1 B ⊥平面ABC ， ∵AG ⊥BC ，∴AG ⊥平面CC 1 B 1 B ，∴B 1M ⊥AG ………6分设：AC=2a ，则1CC =Rt ,MCA AM ==在中△……8分同理，1B M =………………………………………9分 ∵ BB 1∥CC 1，∴BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AB ，1,AB ∴===222111,,AM B M AB B M AM ∴+=∴⊥…………………10分1,.AG AM A B M AMG ⋂=∴⊥又平面 ……………………12分20．解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>22441,a b+=则①………………………1分21y F =-抛物线的焦点为,c ∴= ②………２分222a b c =+又 ③由①、②、③得a 2=12,b 2=6……………3分所以椭圆E 的方程为221126x y +=……………………4分（Ⅱ）依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线ι的方程为y=-x+m ，……………5分代入椭圆E 方程，得22342120.x mx m -+-=……6分22221612(212)8(18),18.m m m m ∆=--=-<由得………………7分11(,)A x y 记、22212124212(,),,33m m B x y x x x x -+==则……………8分1212,,22x x y y P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭圆的圆心为12r x =-=半径9分2121212(),2,24x x x x P y r x x ++==当圆与轴相切时,则2222(212)4,918,339m m m m -==<=±即………………11分当m=3时，直线ι方程为y=-x+3，此时，x 1 +x 2=4，圆心为（2， 1），半径为2，圆P 的方程为（x-2）2+（y-1）2=4；…………………12分同理，当m=－3时，直线ι方程为y=-x －3，圆P 的方程为（x+2）2+（y+1）2=4；……………13分。

(完整word版)2014-2015年考研数学二真题及答案解析,推荐文档

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1siny x x =+(D) 21siny x x=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（）(A)50(B)100(C)(D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ （）(A)1(B)23(C)12(D)13(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得(7) 行列式0000000ab a bcd c d= （）(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2222a dbc -(D) 2222b c a d -(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ((9)12125dx x x -∞=++⎰__________.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________. (11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小值.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y ∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明： (I)0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,(II)()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.(20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,L 1()(()),n n f x f f x -=L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.(21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L LM M M M L与00100200n ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L 相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2【答案】B【解析】由定义 1000ln (12)(2)limlim lim 20x x x x x x x x-→→→+===αααα 所以10->α，故1>α.当0x +→时，211(1cos )~2xx -ααα是比x 的高阶无穷小，所以210->α，即2<α.故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x =+(D) 21siny x x=+ 【答案】C【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]limsin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =. 故选C(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选D.(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（）(C)(D)【答案】C 【解析】1112'21122432212t t t t t dy t dxtd y dy tdx dx t=====+==-===-()()''33'22211,11y k R kq y ==∴==++ 故选C(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ （）(A)1 (B)23(C)12(D)13【答案】D【解析】因为'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2()()x f x f x -=ξ 22222200011()arctan 11limlimlim lim ()arctan 33x x x x x f x x xx x x f x x x x →→→→---+====ξ故选D.(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得【答案】A【解析】记22222,,,0,,u u uA B C B A C x x y y∂∂∂===≠∂∂∂∂相反数则2=AC-B 0∆<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7) 行列式0000000ab a bcd c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a d b c - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列000000000000a b a b a b a b a cd c b c d dcdc d=--()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的 ( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.)⇒ 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.故选A二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)12125dx x x -∞=++⎰__________.【答案】38π【解析】()111221111arctan 252214132428x dx dx x x x -∞-∞-∞+==++++⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰πππ(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________. 【答案】1【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈，且为偶函数则()()[]'212,0f x x x =--∈-，又()22f x x x c =--+且为奇函数，故=0c()[]222,0f x x x x ∴=--∈-，又()f x Q 的周期为4，()()711f f ∴=-= (11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.【答案】1()2dx dy -+ 【解析】对2274yzex y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导22210(22)20yzyz z z e y x x z z e z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当11,22x y ==时,0z = 故1111(,)(,)222211,22z z x y∂∂=-=-∂∂故11(,)22111()()222dzdx dy dx dy =-+-=-+(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】22y x =-+ππ【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==⎧⎨==⎩θθθθθθ，于是(),,,22r ⎛⎫=⎪⎝⎭ππθ对应于(),0,,2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭π 切线斜率cos sin cos sin dydy d dx dx d +==-θθθθθθθθ0,22dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭∴=-ππ所以切线方程为()202y x -=--ππ即2=2y x -+ππ(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________. 【答案】1120【解析】质心横坐标()()1010x x dx x x dx=⎰⎰ρρ()()()()31122100042112310005=2133211=2143212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ρρ111112=5203x ∴=(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xtx t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim[(e 1)]xx x x →+∞=--12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小值.【解析】由221x y y y ''+=-，得22(1)1y y x '+=-………………………………………………………①此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为331133y y x x c +=-+ 由(2)0y =得23c =又由①可得 221()1x y x y -'=+当()0y x '=时，1x =±，且有：1,()011,()01,()0x y x x y x x y x '<-<'-<<>'><所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值 (1)0,(1)1y y -==即：()y x 的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y xy x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则：D D=⎰⎰12D D I dxdy ∴==⎢⎥⎣⎦⎰⎰1sin(2Ddxdy =⎰⎰π 2201211sin 21()cos 4d r rdrrd r =⋅=-⎰⎰⎰πθππππ22111cos |cos 4r r rdr ⎡⎤=-⋅-⎢⎥⎣⎦⎰ππ211121sin |4r ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ππ34=-(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,xz f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， ()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂，代入得， ()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,xe y t 得()()4f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+设特解*y at b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4t ty f t c e c e t -=+-由()()'00,00f f ==，得1211,1616c c ==-, 则 ()22111=16164u u y f u e e u -=--.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：（I ）0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,（II ）()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.【解析】（I ）由积分中值定理()()(),[,]xag t dt g x a a x =-∈⎰ξξ()01g x ≤≤Q ，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ()()0xa g t dt x a ∴≤≤-⎰（II ）直接由()01g x ≤≤，得到()()01=x xaag t dt dt x a ≤≤-⎰⎰（II ）令()()()()()ua u a g t dt aaF u f x g x dx f x dx +⎰=-⎰⎰()()()()()()()()()()'uaua F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由（I ）知()()0u ag t dt u a ≤≤-⎰ ()uaa a g t dt u ∴≤+≤⎰又由于()f x 单增，所以()()()0u af u f ag t dt -+≥⎰()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立. (20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===L L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x xf x f x f x f x x x x nx====++++L 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx+-∴===++⎰⎰⎰1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++⎰⎰ 211ln(1)n n n=-+ ln(1)ln(1)1lim 1lim 1lim 1lim 1n n n x x n x nS n x x→∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fy y∂=+∂,所以2(,)2(),f x y y y x =++ϕ其中()x ϕ为待定函数. 又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--ϕ，从而()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为()()2221122112ln ln 22V y dx x xdxx xd x =+=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰πππ22211221ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.444x x x x dxx x ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰πππππππ(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭,(I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L LM M M M L 与00100200n ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L 相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M L L M ，()12001B n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭LM =，则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T L ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量；故A 相似于对角阵=0n ⎛⎫⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭O .B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B .2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

2014年高三数学第五次模拟考试理科(文科)试题及答案

2014年高三第五次模拟考试数学试题（理/文）2014.3.22命题人：邬小军审核：高三数学组第Ⅰ卷选择题（共75分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分;）1．（理）已知集合{}2,0xA y y x -==<，集合{}12B x y x ==，则A B ⋂=( B )A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ （文）复数(34)i i +的虚部等于（ A ）A. 3B. 3iC. 4-D. 42．（理）下列函数中，即是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ B ） A. 32x y = B. 1+=x yC. 42+-=x yD. xy -=2（文）函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为（ B ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]- 3．（理）已知2()sin ()4f x x π=+若a =f (lg5),1(lg )5b f =则（ A ）A ．a+b=1B ．a-b=0C ．a+b=0D ．a-b=1 （文）下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（ D ）A. sin()23xy π=+ B. sin()23x y π=-C. sin(2)3y x π=- D. sin(2)3y x π=+4．函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（ B ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)5．（理）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则数列{}n a 是（C ）A ．等差数列B ．等比数列C ．既非等差又非等比D ．既是等差又是等比（文）已知x ，y 满足,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 46．已知x 、y 的取值如右表所示从散点图分析，y 与x 线性相关，且a x y +=8.0ˆ，则a =( B )A. 0.8B. 1C. 1.2D. 1.57.已知平面向量,a b 满足||2,||3,(2)0a b a a b ==⋅-= 则||a b -=（ B ）A ．2 B. 3 C. 4 D. 68．（理）航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ D ） A ．12种B.16种C.24种D. 36种（文）已知一个三棱柱的所有棱长均相等，侧棱垂直于底面,其侧视图如图所示，那么此三棱柱正视图的面积为（ A ）A.23B. 4C. 3D. 439．(理)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则（ A ） A.a<v<ab B.v=ab C.ab <v<2a b + D.v=2a b+ (文)已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是（ B ） A ．相切B. 相交C. 相离D. 不确定10．如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( C )A ． 112π-B ．1πC ．21π-D ．2π第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题：（本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分）11．（理）如果(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，那么a 1＋a 2＋…＋a 6的值等于 0 . （文）已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则n S = 24n n + .12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝154;13．已知函数()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是（0，1） .侧视图214．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则正整数0n = 8或9 .15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a －b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是 R .B . (几何证明选做题)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= 5 .C . (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是（1，0）。

2014-2015年考研数学二真题及答案解析

线性无关的（）
(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件
(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
((9) __________.
(10)设是周期为的可导奇函数，且，则 __________.
(11)设是由方程确定的函数，则 __________.
2014
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
(2)下列曲线中有渐近线的是( )
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题：( )小题，每小题4分，共24分。
(9)设则
【答案】48
【解析】由参数式求导法
再由复合函数求导法则得
=
,
综上所述，本题正确答案是48。
【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导
(10)函数处的n阶导数
【答案】
【解析】
解法1用求函数乘积的阶导数的莱布尼茨公式
其中注意 ,于是
因此
【解析】
(21)(本题满分11分)
已知函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.
【解析】因为 ,所以其中为待定函数.
又因为则，从而
.
令可得，当时，或，从而所求的体积为
(22)(本题满分11分)
设矩阵，为三阶单位矩阵.
(I)求方程组的一个基础解系；
(II)求满足的所有矩阵 .

数学_2014年安徽省高考数学模拟试卷(五)(理科)(含答案)

2014年安徽省高考数学模拟试卷（五）（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题锁所给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 复数z =(2−i)(1+i)i（i 为虚数单位），则|z|等于（）A 10B √10C 5D √52. 已知全集U =R ，A ={x|−1<x ≤1}，B ={x|lg(2x 2−1)≤0}，则A ∩(∁U B)等于（） A [12, √22] B [−√22, −12] C [−√22, 12] D [−√22, √22] 3. 已知cos2α=13，则sin 2(α+π2)等于（） A √53B 13C 14D 234. 已知命题p ：“a <−12”是“函数f(x)=x 2+4ax +1在区间(−∞, 1)上是减函数”的充分不必要条件，命题q:a ，b 是任意实数，若a >b ，则a 2>b 2．则（） A “p 且q”为真 B “p 或q”为真 C p 假q 真 D p ，q 均为假命题 5. 已知单位向量a →，b →的夹角为π3，则|a →−4b →|等于（） A 13 B 11 C √13 D √116. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（）A 26B 572 C 27 D 5927. 函数f(x)=sin(2x +φ)+√3cos(2x +φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π2个单位后关于y 轴对称，则φ的值为（）A π6B π4C π3D −π68. 等比数列x ，3x +3，6x +6，…的前十项和等于（） A −1 B −3 C −1024 D −30699. 设关于x ，y 的不等式组{x −2y +1>0x −m >0y −m >0表示的平面区域内存在点P(x 0, y 0)，满足3x 0−2y 0=1．则m 的取值范围是（）A (−∞, 23) B B(−∞, 13) C (−∞, 1) D (−∞, −1)10. 已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0, +∞)上是增函数，如果f(ax+1)≤f(x−2)在x∈[12，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A [−2, 1]B [−5, 0]C [−5, 1]D [−2, 0]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11. (1−x)2(1+y)5的展开式中含xy2项的系数是________．12. 在平面直角平面内，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=√2，圆M的参数方程为为{x=2+2cosθy=−1+2sinθ（其中θ为参数），若直线l与圆M相交于A，B两点，M是圆心，则直线AM与BM的斜率之和________．13. 某程序框图如图所示，则该程序框图运行后输出的结果是14. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面ABCD的中心是O，顶点A1，B1，C1，D1在以O 为球心的球O的球面上，若正方体的棱长为2，则球O的表面积为________．15. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，①若A=60∘，b=2，c=3，则a=√7；②若C=60∘，b=√6，c=3则A=75∘；③b2+c2<a2，则A为钝角；④若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形；⑤若cosCc =cosBb+cosAa，则abc2的最大值为32，在这五个命题中真命题是________．三、解答题（共6小题，满分75分）16. 已知向量a→=(sin x3, cos x3)，b→=(cos x3, √3cos x3)，函数f(x)=a→⋅b→，（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）如果△ABC的三边a、b、c，满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域．17. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的N件产品作为样本称出它们的重量（单位；克），重量的分组区间为(490, 495]，(495, 500]，…(510, 515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示，若其中重量超过510克的产品件数为3． (1)求N ；(2)在抽取的重量超过505克的产品中任取2件，设ξ为重量超过510克的产品数量，求ξ的分布列及数学期望．18. 如图，ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的夹角为60∘（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）求二面角C −PB −D 的正弦值．19. 已知正项等比数列{a n }满足：lna 1+lna 3=4，lna 4+lna 6=10． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n =lna 1+lna 2+...+lna n ，数列{b n }满足b n =12S n，若存在n ∈N ，使不等式K <(b 1+b 2+...+b n )(23)n 成立，求实数K 的取值范围．20. 已知抛物线D:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，P 是抛物线上一动点，Q 是圆M ：(x +1)2+(y −2)2=12上一动点，且|PF|+|PQ|最小值为3√22．（1）求抛物线D 的方程；（2）已知动直线l 过点N(4, 0)，交抛物线D 与A ，B 两点，坐标原点O 为线段NG 中点，求证：∠AGN =∠BGN ．21. 已知a 为常数，a ∈R ，函数f(x)=(x −1)lnx ，g(x)=−13x 3+2−a 2x 2+(a −!)x ．（1）求函数f(x)的最值；（2）若a >0，函数g′(x)为函数g(x)的导函数，g′(x)≤k(a 3+a)恒成立，求k 的取值范围．（3）令ℎ(x)=f(x)+g(x)，若函数ℎ(x)在区间(0, 1]上是单调函数，求a 的取值范围．2014年安徽省高考数学模拟试卷（五）（理科）答案1. B2. D3. D4. B5. C6. B7. A8. D9. C 10. D11. −20 12. −8313. 8314. 24π15. ①②③⑤16. 解：（1）∵ 向量a →=(sin x3, cos x 3)b →=(cos x3, √3cos x3)，∴ 函数f(x)=a →⋅b →=sin(2x 3+π3)+√32，令2kπ−π2≤2x 3+π3≤2kπ+π2，解得3kπ−54π≤x ≤3kπ+π4(k ∈Z)．故函数f(x)的单调递增区间为[3kπ−54π，3kπ+π4](k ∈Z)．（2）由已知b 2=ac ，cosx =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac2ac≥2ac−ac 2ac=12，∴ 12≤cosx <1，∴ 0<x ≤π3∴ π3<2x 3+π3≤5π9∴ √32<sin(2x3+π3)≤1， ∴ √3<sin(2x 3+π3)+√32≤1+√32∴ f(x)的值域为(√3, 1+√32] 17. 解：(I)∵ 重量超过510克的产品件数为3，由频率直方图得重量超过510克的产品的频率为0.01×5=0.05． ∴ 由N ×0.01×5=3，得N =60． (II)ξ的所有可能取值为0，1，2，重量超过505克的产品数量为60×(0.05×5+0.01×5)=18件， P(ξ=0)=C 152C 182=3551，P(ξ=1)=C 151C 31C 182=517，P(ξ=2)=C 32C 182=151，∴ ξ的分布列为：∴ Eξ=0×3551+1×1551+2×151=13．18. （1）证明：∵ PD ⊥平面ABCD ，∴ PD ⊥AC ，∵ ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ， ∴ AC ⊥平面PBD ．（2）解：∵ DA ，DC ，DP 两两垂直， ∴ 建立空间直角坐标系D −xyz ，如图，∵ BE 与平面ABCD 所成角为60∘，即∠DBP =60∘， ∴ PDDB =√3，由AD =3，得PD =3√6，∴ D(0, 0, 0)，B(3, 3, 0)，C(0, 3, 0)，P(0, 0, 3√6)，A(3, 0, 0)， PB →=(3, 3, −3√6)，PC →=(0, 3, −3√6)，设平面PBC 的法向量n →=(x,y,z)，则{n →⋅PC →=3y −3√6z =0˙，取z =√6，得n →=(0, 6, √6)，∵ AC ⊥平面PBD ，∴ 平面PBD 法向量为AC →=(−3, 3, 0)，设二面角C −PB −D 的平面角为θ，则cosθ=|cos <n →，AC →>|=|18√42⋅√18|=√217， ∴ sinθ=√1−(√217)2=2√77． ∴ 二面角C −PB −D 的正弦值为2√77． 19. 解：(I)∵ 正项等比数列{a n }满足：lna 1+lna 2=4，lna 4+lna 5=10，∴ a 1a 3=e 4，a 4a 6=e 10，∴ q 6=e 6，由q >0，解得q =e ，a 1=e ， ∴ a n =e n ．(II)由(I)知S n =1+2+3+...+n =n(n+1)2，b n =1n(n+1)=1n −1n+1，∴ b 1+b 2+...+b n =1−12+12−13+...+1n −1n+1=1−1n +1=n n+1，设c n =(b 1+b 2+...+b n )(23)n ， ∴ c n =n n+1(23)n ，c n+1−c n =n +1n +2(23)n+1−n n +1(23)n=−n 2−2n+23(n+1)(n+2)⋅(23)n <0，∴ c n >c n+1，∴ 数列{c n }单调递减， (c n )max =c 2=13，∴ k <13．20. 解：（1）圆M ：(x +1)2+(y −2)2=12的圆心坐标为M(−1, 2)，半径为√22， ∵ |PF|+|PQ|最小值为3√22，Q 是圆M ：(x +1)2+(y −2)2=12上一动点，∴ 当Q 、P 、F 三点共线时，|QF|最小，M 、Q 、P 、F 四点共线时，|MF|最小为2√2， ∴ √(p2+1)2+4=2√2，∴ p =2，∴ 抛物线D 的方程是y 2=4x ；（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由于O 为NG 之中点，故当l ⊥x 轴时，由抛物线的对称性知，一定有：∠AGN =∠BGN ，当l 不垂直x 轴时，设l:y =k(x −4)，代入抛物线方程得k 2x 2−4(2k 2+1)x +16k 2=0， ∴ x 1+x 2=4(2k 2+1)k 2，x 1x 2=16， ∴ k AG +k BG =k(x 1−4)x 1+4+k(x 2−4)x 2+4=0，∴ ∠AGN =∠BGN ．21. 解：（1）由题意可知f(x)的定义域为{x|x >0}，f ′(x)=1−1x +lnx ，且f ′(1)=0，当0<x <1时，f ′(x)<0，当x >1f ′(x)>0．所以在x =1时取极小值，且为最小值，f(x)无最大值．所以f(x)min =f(1)=0 （2）g(x)=−13x 3+2−a 2x 2+(a −!)x ．g′(x)=−x 2+(2−a)x +(a −1)，对称轴x =1−a2∴ g′(x)max=a24，要使g′(x)≤k(a3+a)恒成立，只需a24≤k(a3+a)，即k≥a 24(a3+a)=14(a+1a)，因为14(a+1a)≤18，所以k≥18（3）ℎ(x)=f(x)+g(x)，ℎ′(x)=−x2+(2−a)x+a−1x+lnx．设m(x)=−x2+(2−a)x+a−1x +lnx，m′(x)=−2x+1x2+1x+(2−a)观察可得m′(x)在区间(0, 1]上是单调函数，所以m′(x)≥m′(1)=2−a∵ 函数ℎ(x)在区间(0, 1]上是单调函数，∴ 只有ℎ′(x)不变符号，ℎ′(1)=0，ℎ′(12)<0可以判断ℎ′(x)≤0，ℎ′(x)≤ℎ′(1)，∴ m(x)为增函数，m′(x)≥0，从而可得2−a≥0，所以a≤2。

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高等数学(二)应试模拟第5套
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．
1．下列等式不成立的是（）．
A．
B．
C．
D．
2．函数y=ƒ(x)在点x0处的左、右极限存在且相等是函数在该点极限存在的（）．A．必要条件
B．充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分条件，也非必要条件
3．
A.0
B．1/3
C．1/2
D.3
4．若ƒˊ(x)<0(a<x≤b)，且ƒ(b)>0，则在(α，b)内必有（）．
A．ƒ(x)>0
B．ƒ(x)<0
C．ƒ(x)=0
D．ƒ(x)可正可负
5．
A．-2
B．-1
C．1/2
D．1
6．
A．极大值1/2
B．极大值-1/2
C．极小值1/2
D．极小值-1/2
7．设ƒ(x)的一个原函数是xln x，则ƒ(x)的导函数是（）．
A．1+1nx
B．-1/x
C．1/x
D．1/x2
8．图2-5—1所示的ƒ(x)在区间[α，b]上连续，则由曲线y=ƒ(x)，直线x=α，x=b及x轴所围成的平面图形的面积s等于（）．
A．
B．
C．
D．
9．
A．1/2
B.1
C．3/2
D.2
10．
A．2(x-y)
B．2(x+y)
C．4
D．2
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上．
11．
12．
13．
14．
15．
16．
17．
18．
19．
20．
三、解答题：21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．
21．
22．(本题满分8分)设y=In[COS(2x+1)]，求dy．
23．(本题满分8分)设函数ƒ(x)=x-Inx，求ƒ(x)的单调区间和极值．
24．
25．
26．
27．
高等数学(二)应试模拟第5套参考答案及解析
一、选择题
1．【答案】应选C．
【提示】利用重要极限Ⅱ的结构式，可知选项C不成立．
2．【答案】应选C．
【提示】根据极限存在定理可知选C．
3．【答案】应选B．
4．【答案】应选A．
【提示】利用函数单调的定义．
因为ƒˊ(x)<0(a<x<b)，则ƒ(x)在区间(α，b)内单调下降，即ƒ(x) > ƒ(b)>0，故选A．5．【答案】应选B．
6．【答案】应选D．
【解析】本题主要考查极限的充分条件．
7．【答案】应选C．
【解析】根据原函数的定义及导函数的概念，则有
8．【答案】应选C．
如果分段积分，也可以写成：
9．【答案】应选B．
【解析】本题考查的是导函数的概念和定积分的分部积分法．
10．【答案】应选B．
二、填空题
11．【答案】应填1/7．
12．
【解析】用复合函数求导公式计算．
13．
14．【答案】应填2xe x2．
15．
16．
【懈析】用凑微分法积分可得答案．
17．【答案】应填1/4．
18．【答案】应填1．
【解析】利用反常积分计算，再确定a值．
19．【答案】应填ln|x+1|-ln|x+2|+C．
【解析】本题考查的知识点是有理分式的积分法．
简单有理函数的积分，经常将其写成一个整式与一个分式之和，或写成两个分式之和(如本题)，再进行积分．
20．【答案】应填0．
【解析】用对数函数的性质化简得z=ln x+ln y，再求偏导得
三、解答题
21．本题考查的知识点是“∞一∞”型不定式极限的计算．
22．用复合函数求导公式求出yˊ，再写出dy．
所以dy=-2tan(2x+1)dx．
23．本题考查的知识点是利用导数判定函数的单调性并求其极值．
【解析】函数的定义域为{x|x>O}．
所以当x>1时ƒˊ(x)>0，函数f(x)的单调增加区间为(1，+∞)；当0<x<1时ƒˊ(x)<0，函数ƒ(x)的单调减少区问为(0，1)．ƒ(1)=1为其极小值．
24．本题考查的知识点是分部积分法和原函数的概念．
25．本题考查的知识点有定积分的变量代换和常见的证明方法．
【解析】注意到等式两边的积分限一样，只是被积函数的变量不一样，所以对等式右端考虑用变量代换t=α+b-x即可得到证明．这里一定要注意积分的上、下限应跟着一起换，而且定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即
请考生注意：如果取α和b为某一定值，本题可以衍生出很多证明题：
(1)
(2)取α=0，b=1，则有：
(i)
(ii)
(3)
这种举一反三的学习方法不仅能开拓考生的思路，而且能极大地提高考生的解题能力．26．本题主要考查对隐函数偏导数的求解方法和对全微分概念的理解．
【解析】求隐函数偏导数的方法有以下三种．
解法2直接求微分法．
将等式两边求微分得
解法2显然比解法1简捷，但要求考生对微分运算很熟练．
解法3隐函数求导法．
将等式两边对X求导，此时的z=(X，Y)，则有
27．本题的关键是求出切线与坐标轴的交点．
28．本题考查的知识点是随机变量X 的分布列的概念及数学期望的计算．
【解析】一次取3个球的最大号码只能是3，4，5．当X 取3时其样本点数为1(只能是1，2，
X 345 p
136 101010
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