2020-2021学年辽宁庄河高中高二10月考文数试卷

2020-2021学年辽宁庄河高中高二10月考文数试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数1log )(2+=x x f 的定义域为（ ）A ．),0(+∞B ．),0[+∞C ．),1(+∞-D ．),1[+∞- 2．已知，，，那么的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数)62cos()(π+=x x f 的一条对称轴为（ ）A ．6π B ．125π C ．32πD ．32π-4．设是等比数列的前项和，且27320a a +=，则52S S =（ ） A ．11 B ．5 C ．8- D ．11-5．已知数列{}n a 满足3tanπn a n =，那么201621a a a ++的值为（ ） A ． 3 B ． 3- C ． 33D ． 0 6．函数，那么的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列命题说法正确的是（ ）A ．若，则B ．数列为等比数列，则数列为等比数列C ．函数均为增函数，则函数为增函数 D ．在中，若，则8．阅读下面的程序框图.若使输出的结果不大于，则输的整数的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．等差数列的前项和为，若，那么的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 10．已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则=（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()sin cos f x a x b x =+（x ∈R ），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 2x =，则()a b ，所在的直线为（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=12．一个几何体的三视图如图．该几何体的各个顶点都在球O 的球面上，球O 的体积为（ ）A．3 B．3 C．3 D．3二、填空题 13．和中较大的为 ．14．数列{}n a 的前n 项和为nn S 3=，则=n a ．15．若直线()0,01>>=+b a bya x 过点)1,2(，则b a +3的最小值为 ． 16．已知数列{}n a 的通项公式6(2)7nn a n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的项取最大值时，n = ．三、解答题17．关于y x ,的方程C ：04222=+--+m y x y x ． （1）若方程C 表示圆，求实数m 的范围；（2）在方程C 表示圆时，若该圆与直线042:=-+y x l 相交于N M ,两点，且554||=MN ，求实数m 的值． 18．已知向量m ⃗⃗ =(√3sin x4,1),n ⃗ =(cos x4,cos 2x4)，记f(x)=m ⃗⃗ ⋅n ⃗ ． （I ）若f(a)=32，求cos(2π3−a)的值；（Ⅱ）将函数y =f(x)的图象向右平移2π3个单位得到y =g(x)的图象，若函数y =g(x)−k 在[0,7π3]上有零点，求实数k 的取值范围．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()121n n a S n N *+=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD，2,AB PD ==O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥P EAD -的体积.21．已知ABC ∆是斜三角形，内角A B C 、、所对的边的长分别为a b c 、、．己知．（I ）求角C ；（II ）若csin sin()5sin 2,C B A A +-=求ABC ∆的面积.22．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-2()n ≥.（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）证明：当2n ≥时，1231113 (232)n S S S S n ++++<.参考答案1．A 【解析】试题分析：由题意得，根据对数函数的定义，0>x ，故选A ． 考点：对数的性质. 2．A【解析】试题分析：由题意得，，，，即，故选A ．考点：1.指数函数的性质；2.对数函数的性质. 3．B 【解析】试题分析：由题意得，)(62Z k k x ∈=+ππ,则122ππ-=k x ，故选B ． 考点：余弦函数的图象性质. 4．D 【解析】试题分析：由题意得，032611=+q a q a ,则325-=q ，即2-=q ，故选D ． 考点：等比数列的性质. 5．D 【解析】试题分析：由题意得，数列{}n a 是一个以3为周期的周期数列，并且0321=++a a a ，67232016=÷，故201621a a a ++=0，故选D ．考点：1.正切函数的性质；2.数列的周期性. 6．A【解析】试题分析：由题意得，因为，则或，则，故选A ．考点：1.复合函数的性质；2.三角函数的性质. 7．D 【解析】试题分析：由题意得，由A 可知，当，但，故A 错误，由B可知，当时，数列不为等比数列，故B 错误，由C 可知，当时，不是增函数，由D 可知，由正弦定理可得，D 正确，综合故选D ．考点：1.数列的性质；2.三角函数的性质. 8．B 【解析】试题分析：由题意得，经过第一次循环得到1,1==n S ；经过第二次循环得到2,3==n S ；经过第三次循环得到3,7==n S ；经过第四次循环得到4,15==n S ；经过第五次循环得到5,31==n S ，经过第六次循环得到6,63==n S ，∵输出的结果不大于64，∴n 的最大值为6，∴i 的最大值为6，故选B ． 考点：程序框图. 9．A【解析】试题分析：由题意得，因为，则，那么，故选A ．考点：1.等差数列的性质；2.基本不等式. 10．C【解析】试题分析：由题意得，圆的标准方程为,因为直线是圆的对称轴，即过圆心，将圆心代直线方程解得，则直线的方程为，且,,故本题正确答案为C.考点：直线与圆的位置关系. 11．C 【解析】函数()sin cos f x a x b x =+（x ∈R ），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，则0x x =是函数()f x 的一个极值点，()cos sin f x a x b x -'=，根据题意有()000cos sin =0f x a x b x =-'，又0tan 2x =，故0tan 2a b x b ==，结合选项，点(,)a b 所在的直线为20x y -=. 故选C. 12．C【解析】试题分析：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为，底面为等腰直角三角形，如图，⊥平面，，的中点为，在等腰直角三角形中，取为的中点，∴，∴为三棱锥外接球的球心,，∴外接球的体积,故本题正确答案为C.考点：由三视图求立体几何体的体积及面积.【方法点睛】本题主要考查的是由三视图求立体几何体的体积及面积，通过三视图想象出立体几何体的图形，再根据已知的条件进行计算，属于中档题，通过三视图转化成立体图，可发现这是一个直三棱锥，根据已知条件可求出的斜边的长度即为球的直径，因此此类题目的解题最主要的思路就是将三视图转换成立体几何图，再根据已知条件进行计算即可. 13．【解析】试题分析： 由题意有，，因此（）较大.考点：平方比大小.14．⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n a n n 【解析】试题分析： 由题意有，当1=n 时，则31=a ，当2≥n 时，1132--⋅=-=n n n n S S a ，综合：⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n a n n 考点：利用数列前n 项和求通项公式n a . 15．627+ 【解析】试题分析： 由题意得，将点)1,2(代入直线()0,01>>=+b a b y a x 中，可得112=+ba ，则62723271236)12()3(3+=⋅+≥+++=+⋅+=+a bb a a b b a b a b a b a （当且仅当16,362+=+=b a 取等号） 考点：基本不等式的应用.【方法点睛】本题主要考查的是基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于基础题，对于此类题目而言，首先利用已知条件求出b a ,之间的关系，即112=+ba ，然后利用乘1法对b a +3进行处理，发现abb a b a b a b a 237)12()3(3++=+⋅+=+，可利用基本不等式进行计算，即可求解，因此此类题目灵活运用基本不等式是解题的关键. 16．4或5 【解析】试题分析： 由题意得，假设n a 是数列}{n a 的项取最大值，则n n a a ≤+1且n n a a ≤-1,即n n n n )76()2()76()3(1⋅+≤⋅++且n n n n )76()2()76()1(1⋅+≤⋅+-，即276)3(+≤⋅+n n 且76)2(1⋅+≤+n n ，即54≤≤n ，∵n 是整数，∴4=n 或5=n . 考点：数列的函数特性.【方法点睛】本题主要考查的是数列的函数的性质的应用，根据条件建立不等式n n a a ≤+1且n n a a ≤-1的关系是解决本题的关键，属于中档题，首先此类题目无法判断数列是递增还是递减的时候，可假设其中某一项为最大值，根据n n a a ≤+1且n n a a ≤-1得到不等式组，解这个不等式组即可求出关于n 的范围，从而可求出n 的值. 17．（1）)5,(-∞；（2）4=m . 【解析】试题分析：（1）把已知的方程配方后，令等号右边的式子大于0列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即为方程为圆时m 的取值范围；（2）先求出圆心C 到直线l 的距离d ，然后根据垂径定理及勾股定理，由MN 21和圆的半径m -5及求出距离d ，列出关于m 的方程，求出方程的解即可求出m 的值.试题解析：（1）方程可化为m y x -=-+-5)2()1(22，若方程C 表示圆只需05>-m ，所以m 的范围是)5,(-∞--------6分（2）由（1）圆的圆心)2,1(C 半径为m -5，过圆心C 作直线l 的垂线CD ，D 为垂足，则55||=CD ，又554||=MN ，知552||=MD 则222)552()55()5(+=-m ，解得4=m --------10分考点：1.直线与圆相交的性质；2.点到直线的距离公式的合理运用. 18．（1）1；（2）．【解析】试题分析：（Ⅰ）先化简求得的解析式，由已知可求得的值，从而可求cos(2π3−a)；（Ⅱ）先求得y =g(x)−k 的解析式，从而可求的值域，由函数y =g(x)的图象与直线在[0,7π3]有交点，即可求出实数的取值范围.试题解析：(I)由已知f(a)=32得sin(α2+π6)+12=32，于是α=4kπ+2π3,k ∈Z ∴cos(2π3−α)=cos(2π3−4kπ−2π3)=1-----------4分(II)f(x)=√3sin x 4cos x 4+cos 2x 4=sin(x 2+π6)+12------------6分将函数y =f(x)的图象向右平移2π3个单位得到函数g(x)=sin(12x −π6)+12的图象. -----8分当x ∈[0,7π3]时，−π6≤12x −π6≤π，所以−12≤sin(12x −π6)≤1， 所以0≤sin(12x −π6)+12≤32. 若函数y =g(x)−k 在[0,7π3]上有零点，则k ∈[0，32]------------12分 考点：1.三角函数的图象与性质；2.三角函数的恒等变换应用；3.平面向量及应用.19．（1）13n n a -=；（2）1263n n n T -+=-. 【解析】试题分析：（1）通过()121n n a S n N *+=+∈与()1212n n a S n -=+≥作差、整理可知数列{}n a 是首项为1、公比为3的等比数列，进而计算可得结论；（2）通过13n n a -=可知131212-+=+n n n a n ，利用错位相减法计算即得结论. 试题解析：（1）因为()121n n a S n N *+=+∈，所以()1212n n a S n -=+≥， 两式相减得13n n a a +=()2n ≥. 由121n n a S +=+得21213a a =+=，所以213a a =.因此数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，13n n a -=; ------ 4分（2）因为0213521213333n n n n n T ---+=++++， 所以21135212133333n n nn n T --+=++++，两式相减得212111213233333n n n n T -+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭2443nn +=-， 所以1263n n n T -+=-. ------ 12分 考点：1.数列递推式求通项公式；2.数列的前n 项和. 20．（1）见解析（2【分析】(1)由AC PD ⊥,AC BD ⊥可推出AC ⊥平面PBD ,从而可证明平面 EAC ⊥平面PBD ;(2)由//PD 平面EAC 可推出E 是PB 中点,因此12P EAD E ABD P BAD V V V ---==. 【详解】(1)PD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面 ABCD , AC PD ∴⊥,∵四边形 ABCD 是正方形,AC BD ∴⊥,PD BD D ⋂＝,AC ∴⊥平面PBD ,AC ⊂平面EAC ,∴平面 EAC ⊥平面PBD ;(2)//PD 平面EAC ,平面EAC 平面PBD OE =,//PD OE ∴, O 是BD 中点,E ∴是PB 中点,11112222323P EAD E ABD P BAD V V V ---∴===⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查面面垂直,考查空间几何体体积的求法,属于中档题.在解决此类几何体体积问题时,可利用中点进行转化.21．（I ）；（II ）. 【详解】试题分析：（I ）根据正弦定理算出 csin A asinC =，与题中等式比较可得，结合为三角形内角，可得的大小；（II ）余弦定理2222cos c a b ab C =+-的式子，列式解出5,1a b ==，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到ABC ∆的面积． 试题解析：（I ）根据正弦定理a c sinA sinC=，可得 csin A asinC =，sinA cos ,sin cos c C a C C =∴=，可得sin C C =，得sinC tanC cosC ==03C C ππ∈∴=（，），； （II ）sin sin(B A)5sin 2A,C 3C π+-==sin sin()C A B ∴=+sin(A B)sin(B A)5sin 2A ∴++-=，2sin cosA 25sin cos B A A ∴=⨯为斜三角形，cos 0A ∴≠，sinB 5sinA ∴=，由正弦定理可知5b a = (1)由余弦定理2222cos c a b ab C=+-2212122a b ab …..（2） 由（1）（2）解得1,5a b==11sin 152224ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯= 考点：1.正弦定理的运用；2.余弦定理的运用；3.面积公式的运用.【方法点睛】本题主要考查的是正弦定理，余弦定理和面积公式的运用，三角函数的化简和求值，运算能力，属于中档题，此类题目的解题方法主要是在对正弦定理与余弦定理的灵活运用，对正弦定理进行变形可得，从而求出的大小，通过三角函数之间的转化加上正弦定理可求出5b a =，再利用余弦定理可求出5,1a b ==，从而求出ABC ∆的面积，因此此类题目灵活运用正余弦定理是解决问题的关键.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求出n S n1的通项公式，利用放缩法进行证明不等式. 试题解析：（1）当2n ≥时，21221n n n n S S S S --=-，112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列. -------6分 （2）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，121n S n ∴=-∴当2n ≥时，11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=----- 从而123111*********...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<-.考点：1.裂项求和；2.放缩法；3.推理能力.【方法点睛】本题主要考查的是裂项求和，放缩法，等差数列的通项公式，考查了变形能力，推理能力与计算能力，属于中档题，首先根据2221n n n S a S =-可求出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，（2）问中根据（1）中条件进行裂项求和，可发现中间部分项被消掉，因此可适当利用放缩的方法对前n 项和进行放大或缩小，即可证明结论，因此根据数列的递推关系结合等差数列的定义是解决问题的关键.。