2019届河北省中考数学系统复习第三单元函数第10讲第1课时一次函数的图象与性质(8年真题训练)

第10讲 一次函数第1课时 一次函数的图象与性质命题点1 一次函数的图象与性质1．(2011·河北T5·2分)一次函数y ＝6x ＋1的图象不经过(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2014·河北T6·2分)如图，直线l 经过第二、三、四象限，l 的解析式是y ＝(m －2)x ＋n ，则m 的取值范围在数轴上表示为(C)A BC D3．(2015·河北T14·2分)如图，直线l: y ＝－23x －3与直线y ＝a(a 为常数)的交点在第四象限，则a 可能在(D)A ．1＜a ＜2B ．－2＜a ＜0C ．－3≤a ≤－2D ．－10＜a ＜－44．(2016·河北T5·3分)若k ≠0，b ＜0，则y ＝kx ＋b 的图象可能是(B)A B C D命题点2 确定一次函数的解析式5．(2017·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy 中，A(0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E.点B ，E 关于x 轴对称，连接AB.(1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式；(2)设面积的和S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．解：(1)把y ＝0代入y ＝－38x －398，得x ＝－13.∴C(－13，0).1分把x ＝－5代入y ＝－38x －398，得y ＝－3.∴E(－5，－3).2分∵点B ，E 关于x 轴对称，∴B(－5，3)． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，－5k ＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝25，b ＝5.∴直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.5分(2)∵CD ＝8，DE ＝DB ＝3，OA ＝OD ＝5. ∴S △CDE ＝12×8×3＝12，S 四边形ABDO ＝12×(3＋5)×5＝20.∴S ＝32.8分(3)当x ＝－13时，y ＝25x ＋5＝－15≠0，∴点C 不在直线AB 上，即A ，B ，C 三点不共线．∴他的想法错在将△CDB 与四边形ABDO 拼接后看成了△AOC.10分6．(2018·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－12x ＋5的图象l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1交于点C(m ，4)． (1)求m 的值及l 2的解析式； (2)求S △AOC －S △BOC 的值；(3)一次函数y ＝kx ＋1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值．解：(1)把C(m ，4)代入一次函数y ＝－12x ＋5，可得4＝－12m ＋5，解得m ＝2，∴C(2，4)．设l 2的解析式为y ＝ax ，则4＝2a ，解得a ＝2. ∴l 2的解析式为y ＝2x.(2)过点C 作CD ⊥AO 于点D ，CE ⊥BO 于点E ，则CD ＝4，CE ＝2，∵y ＝－12x ＋5的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，令x ＝0，则y ＝5，令y ＝0，则x ＝10，∴A(10，0)，B(0，5)．∴AO ＝10，BO ＝5.∴S △AOC －S △BOC ＝12×10×4－12×5×2＝15.(3)k 的值为32或2或－12.命题点3 一次函数的平移7．(2013·河北T23·10分)见本书P46变式训练3重难点1 一次函数的图象与性质已知，函数y ＝(1－2m)x ＋2m ＋1，试解决下列问题：图1 图2(1)当m ≠12时，该函数是一次函数，当m ＝－12时，该函数是正比例函数；(2)当m ＝2时，直线所在的象限是第一、二、四象限； (3)函数的图象如图1所示，则m 的取值范围是－12<m<12；(4)当m<12时，y 随x 的增大而增大；(5)当函数y ＝(1－2m)x ＋2m ＋1向上平移3个单位长度时得到y ＝(1－2m)x ＋2，则m 的值为－1； (6)若函数图象与x 轴的交点坐标为A ，与y 轴的交点为B(0，3)，则△ABO 的面积为92；(7)函数图象必过点(1，2)；(8)若函数图象与直线y ＝x －1交于点(2，1)，则关于x 的不等式x －1>(1－2m)x ＋2m ＋1的解集是x>2； (9)当m ＝0时，y ＝x ＋1，将正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2按如图2所示方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x ＋1和x 轴上，则点B 10的坐标是(210－1，29)． 【变式训练1】 (2018·湘潭)若b ＞0，则一次函数y ＝－x ＋b 的图象大致是(C)【变式训练2】 (2018·石家庄裕华区一模)一次函数y ＝(m －1)x ＋(m －2)的图象上有点M(x 1，y 1)和点N(x 2，y 2)，且x 1>x 2，下列叙述正确的是(B)A ．若该函数图象交y 轴于正半轴，则y 1<y 2B ．该函数图象必过点(－1，－1)C ．无论m 为何值，该函数图象一定过第四象限D ．该函数图象向上平移一个单位长度后，会与x 轴正半轴有交点 方法指导根据图象经过的象限可确定k ，b 的符号：易错提示养成画图的习惯，注意数形结合的方法. 重难点2 确定一次函数的解析式(2018·唐山乐亭县一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A(－6，0)的直线l 1与直线l 2：y ＝2x 相交于点B(m ，4)．(1)求直线l 1的解析式；(2)直线l 1与y 轴交于点M ，求△AOM 的面积；(3)过动点P(n ，0)且垂直于x 轴的直线与l 1，l 2的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，直接写出n 的取值范围．【变式】 (4)将(3)中条件“过动点P(n ，0)且垂直于x 轴的直线l 1，l 2的交点分别为C ，D ”保持不变，“当点C 位于点D 上方时”改为“且CD ＝2”，求点C 的坐标．【思路点拨】 (1)点B 在直线y ＝2x 上，所以m ＝2，即点B(2，4)，利用待定系数法可得直线l 1的解析式；(2)直线l 1与y 轴的交点坐标，利用三角形的面积公式求出三角形的面积；(3)点C 位于点D 的上方，l 1>l 2，即当n<2时．(4)当CD ＝2时，需分点C 在点D 上方和下方进行讨论．【自主解答】 解：(1)∵直线y ＝2x 经过点B ， ∴4＝2m ，∴m ＝2，即B(2，4)． 设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵直线l 1的经过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－6k ＋b ，4＝2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝3.∴直线l 1的解析式为y ＝12x ＋3.(2)∵当x ＝0时，y ＝3，∴M(0，3)． ∴S △AOM ＝12×6×3＝9.(3)n<2.(4)①当点C 在点D 上方时，有12x ＋3－2x ＝2，解得x ＝23.此时点C 的坐标为(23，103)；②当点C 在点D 下方时，有2x －(12x ＋3)＝2，解得x ＝103.此时点C 的坐标为(103，143)．【变式训练3】 (2018·郴州)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，且∠AOC ＝60°，A 点的坐标是(0，4)，则直线AC 的解析式是y ＝－3x ＋4． 【变式训练4】 (2013·河北T23·10分)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P 从点A 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x ＋b 也随之移动，设移动时间为t 秒． (1)当t ＝3时，求l 的解析式；(2)若点M ，N 位于l 的异侧，确定t 的取值范围；(3)直接写出t 为何值时，点M 关于l 的对称点落在坐标轴上． 解：(1)∵直线y ＝－x ＋b 交y 轴于点P(0，b)， ∴由题意，得b ＞0，t ≥0，b ＝1＋t. 当t ＝3时，b ＝4， ∴y ＝－x ＋4.(2)当直线y ＝－x ＋b 过点M(3，2)时，2＝－3＋b ， 解得b ＝5.∵5＝1＋t ，∴t ＝4.当直线y ＝－x ＋b 过点N(4，4)时，4＝－4＋b ， 解得b ＝8.∵8＝1＋t ，∴t ＝7. ∴4＜t ＜7.(3)当t ＝1时，该对称点落在y 轴上； 当t ＝2时，该对称点落在x 轴上．方法指导用待定系数法求函数解析式是必须掌握的一种方法．要熟练掌握解二元一次方程组的方法．一次函数的图象与坐标轴的交点坐标是直线上的特殊点，常常与其他点构成三角形等图形，也是常见的一种命题形式．易错提示注意“分类讨论”思想的应用． 重难点3 一次函数与方程、不等式的关系(2017·台州改编)如图，直线l 1：y ＝2x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋4相交于点P(1，b)．(1)求b ，m 的值；(2)直接写出关于x 的不等式2x ＋1<mx ＋4的解集；(3)垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1，l 2分别交于点C ，D.若线段CD 长为2，求a 的值．【思路点拨】 (1)把点P 的坐标代入l 1求出b ，再将(1，b)代入l 2求出m ；(2)观察图象，由两直线的交点P 的横坐标可得；(3)C ，D 两点横坐标相同时，线段CD 的长等于其纵坐标的差，但要注意有两种情况．【自主解答】解：(1)∵点P(1，b)在直线l 1：y ＝2x ＋1上，∴b ＝2×1＋1＝3.∵点P(1，3)在直线l 2：y ＝mx ＋4上， ∴3＝m ＋4.∴m ＝－1. (2)x<1.(3)当x ＝a 时，y C ＝2a ＋1，y D ＝4－a.∵CD ＝2，∴|2a ＋1－(4－a)|＝2，解得a ＝13或a ＝53.∴a 的值为13或53.【变式训练5】(2018·河北模拟)观察函数y 1和y 2的图象，当x ＝0，两个函数值的大小关系为(A)A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1≥y 2 【变式训练6】(2018·呼和浩特)若以二元一次方程x ＋2y －b ＝0的解为坐标的点(x ，y)都在直线y ＝－12x ＋b －1上，则常数b ＝(B)A.12B ．2C ．－1D ．1【变式训练7】 (2018·资阳)已知直线y 1＝kx ＋1(k ＜0)与直线y 2＝mx(m ＞0)的交点坐标为(12，12m)，则不等式组mx －2＜kx ＋1＜mx 的解集为(B)A ．x ＞12B.12＜x ＜32 C ．x ＜32D ．0＜x ＜32方法指导1．解决此类题一般是先找出两函数值相等时x 的值，然后过这点作x 轴的垂线，在这个点的左侧和右侧，必然存在不等关系，最后观察图象，上方的函数值大于下方的函数值．2.在坐标系内的线段长，若线段平行于x(y)轴，则线段长等于其横(纵)坐标的差．,易错提示)线段CD 长为2时，有两种情况，在交点P 的左右都有可能．1．(2018·玉林)等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是(B)A ．正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．二次函数2．(2018·沈阳)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是(C)A ．k>0，b>0B ．k>0，b<0C ．k<0，b>0D ．k<0，b<03．(2017·呼和浩特)一次函数y ＝kx ＋b 满足kb ＞0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过(A)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．(2017·怀化)一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P(－2，3)，且与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，则△AOB 的面积是(B)A.12B.14C ．4D ．85．(2018·唐山乐亭县一模)如图的坐标平面上有四直线l 1，l 2，l 3，l 4，其中方程3x －5y ＋15＝0对应的直线为(A)A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 46．(2018·济宁)在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝－2x ＋1的图象经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点．若x 1<x 2，则y 1>y 2.(填“>”“<”或“＝”)7．(2017·荆州)将直线y ＝x ＋b 沿y 轴向下平移3个单位长度，点A(－1，2)关于y 轴的对称点落在平移后的直线上，则b 的值为4．8．【分类讨论思想】(2018·昆明)如图，点A 的坐标为(4，2)，将点A 绕坐标原点O 旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A ′，则过点A ′的正比例函数的解析式为y ＝－43x 或y ＝－4x ．9．(2018·淮安)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(－2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1.(1)求k ，b 的值；(2)若点D 在y 轴负半轴上，且满足S △COD ＝13S △BOC ，求点D 的坐标．解：(1)当x ＝1时，y ＝3x ＝3， ∴点C 的坐标为(1，3)．将A(－2，6)，C(1，3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝6，k ＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝4.(2)当y ＝0时，－x ＋4＝0. 解得x ＝4.∴点B 的坐标为(4，0)．设点D 的坐标为(0，m)(m ＜0)， ∵S △COD ＝13S △BOC ，即－12m ＝13×12×4×3.解得m ＝－4.∴点D 的坐标为(0，－4)． 10．【数形结合思想】(2018·廊坊模拟)如图，正方形ABCD 的边长为2，BC 边在x 轴上，BC 的中点与原点O 重合，过定点M(－2，0)与动点P(0，t)的直线MP 记作l.(1)若l 的解析式为y ＝2x ＋4，判断此时点A 是否在直线l 上，并说明理由； (2)当直线l 与AD 边有公共点时，求t 的取值范围．解：(1)此时点A 在直线l 上． ∵BC ＝AB ＝2，点O 为BC 中点， ∴点B(－1，0)，A(－1，2)．把点A 的横坐标x ＝－1代入解析式y ＝2x ＋4，得 y ＝2，等于点A 的纵坐标2， ∴此时点A 在直线l 上．(2)由题意可得，点D(1，2)，及点M(－2，0)，当直线l 经过点D 时，设l 的解析式为y ＝kx ＋t(k ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋t ＝0，k ＋t ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，t ＝43.由(1)知，当直线l 经过点A 时，t ＝4.∴当直线l 与AD 边有公共点时，t 的取值范围是43≤t ≤4.11．(2018·保定竞秀区模拟)如图，已知直线l 1：y ＝－2x ＋4与直线l 2：y ＝kx ＋b(k ≠0)在第一象限交于点M.若直线l 2与x 轴的交点为A(－2，0)，则k 的取值范围是(D)A ．－2<k<2B ．－2<k<0C ．0<k<4D ．0<k<2 12．【数形结合思想】(2018·宿迁)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l ，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l 的条数是(C)A ．5B ．4C ．3D ．2 13．(2018·河北模拟)若P(m ＋1，m －1)在直线y ＝－x ＋3的下方，则m 的取值范围是m ＜32．14．(2018·保定竞秀区二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的解析式为：y ＝kx ＋x －k ＋1.若将直线l 绕A 点旋转，如图所示，当直线l 旋转到l 1位置时，k ＝2且l 1与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ；当直线l 旋转到l 2位置时，k ＝－25且l 2与y 轴交于点D.(1)求点A 的坐标；(2)直接写出B ，C ，D 三点的坐标，连接CD ，求△ADC 的面积；(3)已知坐标平面内一点E ，其坐标满足条件E(a ，a)，当点E 与点A 距离最小时，直接写出a 的值．解：(1)当k ＝2时，y ＝3x －1， 当k ＝－25时，y ＝35x ＋75.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －1，y ＝35x ＋75，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴点A 的坐标为(1，2)．(2)B(0，－1)，C(13，0)，D(0，75)．∴BD ＝125，OC ＝13.∴S △ADC ＝S △ADB －S △BDC ＝12×125×1－12×125×13 ＝45. (3)a ＝32.。