积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题
和差化积公式八个口诀
和差化积公式八个口诀
拿起笔来，写下来！口诀一：积前导平方差，积后导平方和。
口诀二：积前导加减同差，积后导加减异差。
口诀三：和差化积往下推，差和化积往上求。
口诀四：积差式因式分，和差式通分式。
口诀五：平方差公式翻倍用，平方和公式负号记。
口诀六：一加一减同除二，二加一减同除三。
口诀七：二次项系数难求解，配方法不忘记。
口诀八：根式平方看正负，二次项系数看大小。
这八个口诀是和差化积公式的重要方法，记住它们，运用它们，可以更好地应对数学考试。
三角函数和差积公式的记忆口诀
三角函数和差积公式的记忆口诀三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb前面是a后面b二、积化和差与和差化积公式记忆积化和差公式：sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。
比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。
这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。
2歌诀记忆法就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。
比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。
”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。
和差化积公式速记口诀
和差化积公式速记口诀和差化积公式是初中数学中常见的一种公式，它可以将两个数的和或差转化为它们的积。
掌握这个公式可以为日后的数学学习打下坚实的基础。
下面，我们来介绍一下和差化积公式的速记口诀。
“和差化积，积化和差”是我们熟悉的和差化积公式的速记口诀。
它是指将两个数的和或差化为它们的积，以及将两个数的积化为它们的和或差。
这个公式在数学中经常被用到，而速记口诀则可以帮助我们更快地记住这个公式。
我们来看一下和差化积公式的具体内容。
和差化积公式是指对于任意两个数a和b，有以下两个公式：a+b = (a-b) + 2ba-b = (a+b) - 2b其中，“和”可以转化为“差加二倍数”，“差”可以转化为“和减二倍数”。
这两个公式可以用来简化计算，特别是在进行代数运算时十分有用。
例如，如果我们需要将数字3和5相乘，可以使用和差化积公式将其转化为(a+b)(a-b)=a²-b²的形式，即：3×5 = (4-1)×(4+1) = 4²-1² = 15这个例子说明，和差化积公式可以将两个数的乘法运算转化为更简单的加减运算，从而提高计算效率。
除了速记口诀“和差化积，积化和差”外，还有一些其他的口诀可以帮助我们记住这个公式。
比如，“和差无常数，积和有平方”就是一个常用的口诀，它强调了和差化积公式中没有常数项，而积和则往往包含平方项。
还有一种常用的口诀是“同减同加，异减异加”，它指的是在利用和差化积公式时，两个数的正负关系必须要一致，否则就要使用不同的公式。
和差化积公式是初中数学中重要的一个知识点，掌握这个公式可以帮助我们更加高效地进行数学计算。
同时，记住它的速记口诀也是很有必要的，它能够帮助我们更快地记忆和运用这个公式。
积化和差以及和差化积最简记忆口诀
三、总结公式 “ sin 和差前后积， cos 和差 cos 负 sin ” 1）首先关注 sin sin 即“ sin 和差”，口诀一“ sin 和差前后积”的形象记忆其实是
sin 和 差
|| 前后积
我们认为“sin”是比较“主要的”，所谓的“前后”就是，sin 和 cos 相乘时，sin 在前 还是在后，如下
|| cos -sin 其中关于 cos+cos 其公式中，函数名全是 cos
cos cos =2 cos
cos
2
2
cos 和 — cos
而关于 cos-cos 其公式中，变换后函数名全是 sin 加多一个负号
cos cos = 2 sin sin
sin
cos
2
2
为 前积
对应 sin 和
cos
sin
2
2
为 后积
对应 sin 差
由口诀“ sin 和差前后积”迅速写出：
sin + sin = sin cos sin 和 — 前积
sin sin = cos sin
2
2
cos 差 — 负 sin
由口诀“ cos 和差 cos 负 sin ”迅速写出：
cos cos = cos cos
cos 和 — cos
cos cos = sin sin
cos 差 — 负 sin
再填入内容可得：
cos cos =2 cos cos
cos
和差化积公式顺口溜
和差化积公式顺口溜
1. 正弦加正弦，两角和除二在前，同名乘余弦，和差化积真简单。
2. 正弦减正弦，差除二后余弦连，就像火车跑专线，和差化积有妙言。
3. 余弦加余弦，相加之半乘余弦，好似双侠把手牵，和差化积不犯难。
4. 余弦减余弦，负的半差正弦填，仿佛魔术大转变，和差化积记心间。
5. 正弦和正弦，和化积来像乘船，两角和半余弦揽，公式牢记乐无边。
6. 正弦差正弦，差化积像爬高山，半差余弦来作伴，数学高峰咱敢攀。
7. 余弦加余弦，化积如同织锦缎，两角和半乘余弦，美妙公式金光灿。
8. 余弦减余弦，差化积像翻山涧，半差正弦要出现，数学之海任我转。
9. 正弦加正弦，两角和半像领班，余弦跟着来作伴，和差化积很舒坦。
10. 正弦减正弦，半差余弦像大仙，一施魔法就化完，和差化积不费难。
11. 余弦加余弦，两角和半是关键，乘个余弦就化完，和差化积似闪电。
12. 余弦减余弦，半差正弦来掌权，化积就像魔法演，数学公式真好玩。
13. 正弦和正弦，就像兄弟把手挽，两角和半余弦管，和差化积不再乱。
14. 正弦差正弦，差化积像开飞船，半差余弦来值班，数学天空任我旋。
15. 余弦加余弦，化积好比聚财源，两角和半乘余弦，和差化积乐颠颠。
16. 余弦减余弦，半差正弦来开篇，犹如神兵降人间，和差化积一瞬间。
17. 正弦加正弦，两角和半似航船，余弦相伴稳稳安，和差化积不犯嫌。
18. 正弦减正弦，半差余弦像利剑，斩断难题化积完，和差化积很酷炫。
积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题
D.
3 4
6.cos72°－cos36°的值为( )
1
A．3－2 3
B.2
1 C．－2
D．3＋2 3
7.在△ABC 中，若 sinAsinB＝cos2C2，则△ABC 是(
)
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形
8．函数 y＝sinx－π6 cosx 的最大值为(
A.12
B.14
答案： 24＋1＝21 22＋21＝ 24＋1.＝21(sin45°＋sin30°)
1 4 解析：sin37.5°cos7.5°＝2[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
5 解析：选 A.
1
1
sin70°cos20°－sin10°sin50°＝2(sin90°＋sin50°)＋2(cos60°－cos40°)
2 解析：选 B.sin15°sin75°＝－21[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)] ＝－21(cos90°－cos60°)＝－12(0－21)＝41.
3 解析：选 C.sin105°＋sin15°＝2sin105°2＋15°cos105°2－15° ＝2sin60°cos45°＝ 26.
＝cos(x＋π6 )．
∵x∈0，π2 ，
∴π6 ≤x＋π6 ≤2π3 ，
∴y∈－12， 23.
) C．1
D.
2 2
9．若 cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则 cos2α－sin2β等于(
)
2
1
1
2
A．－3
B．－3
C.3
D.3
10．函数 y＝sinx＋π3 －sinx(x∈[0，π2 ])的值域是(
积化和差公式八个口诀
积化和差公式八个口诀
积化和差公式的口诀：
1. 正弦加正弦，正加正；余弦加余弦，余加余；符号看象限，同号异名一加一。
2. 正弦加余弦，正减余；余弦加正弦，余减正；符号看象限，同名相减一减一。
3. 正弦的平方与余弦的平方和，正加余；正弦的平方与正弦的乘积，一乘一。
4. 余弦的平方与正弦的乘积，一乘一；余弦的平方与余弦的乘积，正加正。
5. 余弦与半角的正弦之差，余减正；半角的余弦与余弦的乘积，正减正。
6. 半角的正弦与余弦之差，正减余；半角的正弦与正弦的乘积，一乘一。
7. 余弦与半角余弦之和，余加余；余弦与半角正弦之差，余减正。
8. 正弦、余弦、正切和余切的和与差，互为倒数。
以上信息仅供参考，如果您还有疑问，建议咨询专业人士。
教你3秒记住和差化积-积化和差公式(原创).txt
和差化积公式3秒记住的方法：第一步：首先观察公式，你很明显可以看到和差化积时，积的三角函数的角是一样的，就是前面是（A+B）/2，后面是（A-B）/2，这个先记住，下面我们就该确定和化为积时，三角函数依次是什么第二步：记住“+”代表的意义是“本函数和差公式之前”，“-”代表的意义是“本函数和差公式之后”，什么意思呢？比如说把sinA+sinB和差化积，“+”意思是本函数也就是sin和差公式之前，我们知道sin （A+B）=sinAcosB+cosAsinB，那么前面就是“sin”“cos”。
第三步：记住在进行第二步时，如果用到了cos和差公式之后时，也就是“sin”“sin”时前面系数是-2 ，其余都是2好了，接下来我们就可以快速的凑了：1，将sinA+sinB和差化积看到+，是sin和差公式之前，是sin,cos，所以sinA+sinB=2*sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]2，将sinA-sinB和差化积看到-，是sin和差公式之后，是cos,sin，所以sinA-sinB=2*cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]3，将cosA+cosB和差化积看到+，是cos和差公式之前，是cos,cos，所以cosA+cosB=2*cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]4，将cosA-cosB和差化积看到-，是cos和差公式之后，是sin,sin，所以cosA-cosB=-2*sin[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2] （此时特别注意cos和差公式之后时，前面是-2）于是：sinA+sinB=2*sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]sinA-sinB=2*cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]cosA+cosB=2*cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]cosA-cosB=-2*sin[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]同学们看了和差化积公式的记法后是不是有点感觉了呢？告诉大家只要知道了怎么和差化积，积化和差其实轻而易举！现在还是一样的方法教大家记住积化和差公式：首先记住固定的前后两个角：（A+B）,（A-B），前面系数是1/2，然后观察是什么类型的三角函数之积，比如“sinAcosB”，这时你可能会问了，那个“+”，“-”呢？不是用这种方法吗？那么怎么用呢？呵呵，别急，你要倒着记：sinAcosB，是“sin和差公式之前”，那么sinAcosB=1/2[sin（A+B）+sin（A-B）]，看懂了么，“+”出现了！就是sin和差公式之前代表“+”！同样，当要求sinAsinB的积化和差时，因为sinAsinB是“cos和差公式之后”，那么别忘了前面加个负号哦~1，将sinAcosB积化和差看到sinAcosB，是sin和差公式之前，那么sinAcosB=1/2[sin(A+B)+sin(A-B)]2，将cosAsinB积化和差看到cosAsinB，是sin和差公式之后，那么cosAsinB=1/2[sin(A+B)-sin(A-B)]3，将cosAcosB积化和差看到cosAcosB，是cos和差公式之前，那么cosAcosB=1/2[cos(A+B)+cos(A-B)]4，将sinAsinB积化和差看到sinAsinB，是cos和差公式之后，那么sinAsinB=-1/2[cos(A+B)-cos(A-B)]（注意了！cos和差公式之后，前面要加负号哦！）于是：sinAcosB=1/2[sin(A+B)+sin(A-B)]cosAsinB=1/2[sin(A+B)-sin(A-B)]cosAcosB=1/2[cos(A+B)+cos(A-B)] sinAsinB=-1/2[cos(A+B)-cos(A-B)]。
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积化和差
记忆口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。
和差化积
■，一"卫+ 0
sinit-i- sinp = 2 si n C <JS
. t 』f ・抚一0
sm a —sin p = 2 cos —-— sin —亍一
tan 十0二竺屮……⑸
<os orcas p “ sinrffl - SI
* cos a 十 cos p 二 2 cos <05 (3
)
cos IT -cos^ = -2si 口 •⑷
j [sin (a + ^)+siii(a-/J)] cos a
sin 0 二 y [si 0 - ^[cos(a+^) + Gas(a —^)] sin £i
sin = -^[cos(n+/?J-«a8(a-p)]
sin acos^1 = cosnros sin (tr+ siti(a 一0)]
八
tan a - tan S 二 (6)
1下列等式错误的是( )
A. sin( A+ B) + sin( A — B) = 2sin AcosB
B. sin( A+ B) — sin( A — B) = 2cosAsin B
C. cos( A+ B) + cos( A — B) = 2cosAcosB
D. cos( A+ B) — cos( A — B) = 2sin AcosB
2. sin 15 ° sin75 °=( )
1
1 A.1 B.4 C
3. sin105 ° + sin 15。
等于( )
A .字 B. ¥ C. 4. sin37.5 ° cos7.5 ° = 5.sin70 ° cos20 ° -sin10 sin50。
的值为（
) 3 3 1
A. B.
4 2 c. 2
D
6. cos72 ° — cos36。
的值为（ ）
A. 3— 2 3
B. 1 C . —1 D . 3 + 2 3
亠 2C
_ 6
~2
7. 在厶ABC中，若 sin Asin B= cos?,则厶 ABC是（）A等边三角形B .等腰三角形C .不等边三角形D .直角三角形
n
8. 函数y= sin x —百cosx的最大值为（
1
A.2 B
1
a —B ) = 3,贝U cos2a — sin 3 4B 等于(
3
3解析：选C.sin105 °+ sin15 ° = 2sin 105 +
15 cos"5 — 15
2sin60 ° cos45 °
2+ 2 . = 2(sin45 °+ sin30 ° )
D.
9.若COS(a + B)COS(
n n
10.函数 y = sin x+3 — sin x(x € [0 ,㊁])的值域是( A. [ — 2,2] B. — 1,子 C. 2，1 D.
答案
1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知
A 、
B 、
C 正确.
sin72 ° cos72° sin144 sin36 ° =— 2sin36
1 1
7 解析：选 B.由已知等式得 2【cos( A — B ) — cos( A + B )] = 2(1 + cos C ),
又 A + B =n — c 所以 cos( A- B ) — cos( n — C ) = 1 + cosC ，
A.
C. D.
—1(cos90 ° — cos60° ) 2' 2
答案：斗-1 '
4 解析：sin37.
5 ° cos7.5 2【sin(37.5 + 7.5 ° ) + sin(37.5 ° - 7.5 ° )]
5解析：选A.
sin70 ° cos20 ° — sin10
sin50 =2(sin90 + sin50 ° ) + 2(c°s60 ° — cos40 ° ) 11 11
3 二尹丹50 °十4—产s4° °= <
6解析：选C.
原式=—2sin
72° + 36 2 sin 72°— 36
2 —2sin54 -sin18 ° =— 2cos36 ° cos72
sin36 ° cos36 ° cos72
sin36 ° 1，故选C.
所以cos( A- B ) = 1，又一n <A — B <n,所以A — B= 0,所以A= B ,故厶ABC 为等腰三角形. 选
B.
8解析: 选 B.y = sin n 1 x —百 cos x = 2 sin n n + x + sin x — — x 6 6 =2 sin n 2x — 2X 6 1 1 2 = 2sin n 2x —石 1 4. 1 1 1 …ymax =2 ―4= 4. 9解析: 选 C.cos( 1 2(COS 2 1 [(2cos
2
• 2小 cos a — sin B ，
1
3. —1) + (1 — 2sin 2 B )] . 2 . 2 --cos a — sin B 10 解析：选 B.y = sin n n n x + 百 —sin x = 2cos x + 6 sin 百
=cos( x +
n
：X € 0,
， n n 2 n
1 -.3 2，~2
1
2解析：选
B.sin15
°
sin75 ° =—
^[cos(1
5 °+ 75° )
—
cos(15 ° —
75° )]。