数学分析(华东师大版)上第一章1-2_ppt课件
数学分析课件(华东师大版)1.1
2.两个实数的大小关系
（1）定义1
给定两个非负实数 x a0 .a1a 2 L a n L , y b0 .b1b2 L bn L , 其中 a0 , b0为非负整数 ， a k , bk ( k 1, 2, L)为整数 ， a k 9,0 bk 9. 0 若有 a k bk , k 1, 2, L , 则称 x与 y相等 ， 记为 x y； 若 a0 > b0或存在非负整数 l , 使得 a k bk ( k 1, 2 L l )而 al +1 > bl +1 则称 x大于 y或 y小于 x， 分别记为 x > y或 y < x.
二 绝对值与不等式
一、实数及其性质： 1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.
q 有理数:任何有理数都可以用分数形式 p ( p, q为整数且q 0)表示， 也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示. 无理数:用无限十进不循环小数表示.
实 数
若规定：
a0 .a1a2 an a0 .a1a2 (an 1)999
1 由于x < y, 故存在非负整数n，使得 x n < y n .令r ( x n + yn ) 2 则r为有理数，且有x x n < r < yn y,即得x < r < y.
例2 设a, b R, 证明 : 若对任何正数e有a < b + e , 则a b. 证明 用反证法 .假若结论不成立
数学分析华东师大第一章第一节
( 2) x1 x2 , y1 y2 , 则 x1 y1 x2 y2 .
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四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性:
a, b R + , n N+ , 使得 nb a.
k 1 π a 与 b 之间的有理数, 而 是 a 与 b 之间 n 4n 的无理数.
例2 若a , b R, 对 0，a b ，则 a b. 证 倘若a b，设 a b 0, 则 a b ,
与 a b 矛盾.
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k 1 k 2 k 1 k 2 于是, a b, 则 , 是 n n n n
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若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即: 若 x a0 .a1a2 an ,
y b0 .b1b2 bn ,
则 x y an bn , n 0, 1, 2, . 用无限小数表示实数，称为正规表示. m 3. Q { x | x , 其中 m , n Z, n 0} 表示有理数集. n x Q, x 可用循环十进制小数表示， 1 42857 . 如 0 .1 7
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ;
x 0.1010010001 .
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二、实数的大小
定义1 x , y R + , 若
x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
是正规的十进制小数表示, 规定
a b a0 b0 或 n N+ , 使
数学分析(华东师范版)PPT
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 已证明过以下几个极限：
x x0
lim C = C ,
x x0
lim x = x0 ,
x x0
lim sin x = sin x0 ,
1 lim = 0, x x
x
lim arctan x =
2
x x0
lim cos x = cos x0 ;
$d 2 > 0,当0 < x - x0 < d 2时有 f ( x) - B < e ,
A - B = ( f ( x) - A) - ( f ( x) - B) f ( x) - A + f ( x) - B < 2e .
(2)
取d = min(d1 , d 2 ), 则当0 < x - x0 < d时(1), (2)同时成立，故有
0
0
1） 2）
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B
；
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B ：
f ( x) A lim = x x0 g ( x ) B
3） B 0,
定理3.7之3）的证明 1 = 只要证 xlim x
0
lim g ( x ) = B ， $ d 1 > 0 使得当 0 < x - x0 < d 1 x x
.
（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用.
.
.
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些 “简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。
例１ 例２ ( 利用极限
.
§2 数集 · 确界原理 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt 华东师大教材配套课件
一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界*点击以上标题可直接前往对应内容记号与术语(;){|||}:U a x x a a δδδ=-<点的邻域；(;){|0||}:U a x x a a δδδ=<-<点的空心邻域；(;){|0}:U a x x a a δδδ+=≤-<点的右邻域；(;){|0}:U a x a x a δδδ-=≤-<点的左邻域；(;){|||}:U M x x M M ∞=>∞的邻域；(;){|}:U M x x M M +∞=>+∞的邻域；(;){|}:U M x x M M -∞=<-∞的邻域；.；max :S S 数集的最大值min :S S 数集的最小值后退前进目录退出定义1有界集R,.S S 设⊂≠∅(1)R,,,M x S x M M 若使得则称为∃∈∀∈≤,.S S 的一个上界称为有上界的数集(2)R,,,L x S x L L 若使得则称为∃∈∀∈≥,.S S 的一个下界称为有下界的数集.S 则称为有界集(3),S 若既有上界又有下界:0,,||.M x S x M ∃>∀∈≤其充要条件为使有(1),,S S '若不是有上界的数集则称无上界00R,,.M x S x M ∀∈∃∈>使得(2),,S S '若不是有下界的数集则称无下界00R,,.L x S x L ∀∈∃∈<使得(3),,S S '若不是有界的数集则称无界集000,,||.M x S x M ∀>∃∈>使得即即即[]102[]1,M x M M +=>+>取证取L = 1,{2|N },.nS n +=∈证明数集无上界有下界例1例22+31N .2n S n n ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭证明数集有界证2+31N ,2n n n -∀∈.S 因此有界,,2L x S x n ≥∈=∀则故S 有下界.因此S 无上界.,1,<∈∀M R M 若;210M x >=取，若1≥M 233122n n n ≤+111,22≤+=定义2确界:R . R,满足若设∈≠⊂η∅S S .sup ,S S =ηη记为的上确界是则称;,)i (η≤∈∀x S x ,,(ii)0S x ∈∃<∀ηα0,x α>使得若数集S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中最小的一个具有重要的作用. 确界. 确界.最小的上界称为上同样，若S 有下界，则最大的下界称为下定义3R,.R :S S ξ设若满足⊂≠∅∈(i),;x S x ξ∀∈≥00(ii),,;x S x βξβ∀>∃∈<.inf ,S S =ξξ记为的下确界是则称00,.x S x εξε∀>∃∈<+0,(ii)下确界定义中的亦可换成注2注1由定义,下确界是最大的下界.注4(ii)显然,条件亦可换成:00,.x S x εηε∀>∃∈>-0,注3 条件(i) 说明是的一个上界, S η比小的数都不是的上界,从而是最小的上界S ηη界,条件(ii )说明即上确界是最小的上界.证先证sup S =1.;111,i)(≤-=∈∀n x S x .,211000αα>∈-=≤x S x ，则取若(ii) 1.α<设例3 11,1,2,,S x x n n ⎧⎫==-=⎨⎬⎩⎭设证明.0inf 1sup ==S S ，.1sup =S 因此，00,10,,,n αεα若令由阿基米德性>=->∃01.n ε使得<00011,1.x S x n εα取则=-∈>-=.0inf =S 因此.0inf =S 再证00(ii)0,0,.x S x αα∀>∃=∈<;011,)i (≥-=∈∀nx S x 以下确界原理作为公理,不予证明.虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的存在性, 不一定有最小值, 例如(0, ∞) 无最小值.这是由于上界集是无限集, 而无限数集确界存在性定理定理1.1（确界原理）设若有上界则必有上确界⊂≠∅S S S SR,.,;若有下界则必有下确界,.S S.,,y x B y A x ≤∈∀∈∀有:.,满足为非空数集设B A 例4.inf sup B A ≤且证明：数集A 有上确界，数集B 有下确界，由定义, 上确界sup A 是最小的上界, 因此, 任意证由假设, B 中任一数y 都是A 的上界, A 中的任界, B 有下确界.y ∈B ; sup A ≤y . 而inf B 是最大的下界, 因此sup A ≤inf B.一数x 都是B 的下界. 因此由确界原理, A 有上确这样, sup A 又是B 的一个下界,例5,R 中非空有上界的数集是设S (i)R,{|},a S a x a x S ∈+=+∈若定义则sup {}sup ;S a S a +=+=∈(ii)>0,{|},b bS bx x S 若定义则sup {}sup .bS b S =⋅证,)i (a S a x +∈+∀,S x ∈其中必有,sup S x ≤于是.sup a S a x +≤+,,00S x ∈∃>∀ε对于使,sup 0ε->S x 从而,0a S a x +∈+且,)(sup 0ε-+>+a S a x 因此.sup )sup(a S a S +=+,)ii (bS bx ∈∀其中,S x ∈必有,sup S x ≤于是.sup S b bx ≤0,0,b εεε'∀>=>令则存在,0S x ∈使0sup ,x S ε'>-因此0sup sup .bx b S b b S εε'>-=-这就证明了.sup }sup{S b bS =非正常确界;R,)i (.1+∞<<∞-∈∀a a 规定supN ,inf{2|N }.nn +=+∞-∈=-∞2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界..sup ,)ii (+∞=S S 记无上界若.inf ,-∞=S S 记无下界若例2 设数集1R ,.A B x A x +⎧⎫⊂=∈⎨⎬⎩⎭求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=例1,M ε1令=001,,.x B x M εε=∃∈<令于是0001,.y A y M x 且=∈>证设sup .A 若=+∞,0.x B x ∀∈>显然0,ε∀>于是0001,.y B y x ε=∈<且因此inf 0.B =sup .A 因此=+∞反之,若inf 0,B =则0,M ∀>求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=sup ,A =+∞则由于00,.x A x M ∃∈>复习思考题2. 1212,,S S S S ⊂和都是数集且21sup sup S S 和比较.inf inf 21的大小和及S S .sup S a =其中形式一定为,),[∞+a 1. 数集S 有上界，则S 的所有上界组成的集合是否3. 在上确界的定义中，00(ii),,x S x αηα使∀<∃∈>能否改为00(ii ),,?x S x αηα'∀<∃∈≥使或改为00(ii ),,?x S x αηα使''∀≤∃∈≥。
华师大版数学分析第一章实数集与函数1.4函数的性质ppt
图(1)
12、设定义在[a,+∞)上的函数f 在任何闭区间[a,b]上有界，定义[a, + ∞)上的函数： m(x)= f(y)，M(x)= f(y).试讨论它们的图像， (1)f(x)=cosx, x∈[0,+∞)；(2)f(x)=x2，x∈[-1,+∞). (2)当x∈[-1,0]时,m(x)=x2；当x∈[0, + ∞)时,m(x)≡0; 当x∈[-1,1]时，M(x)≡1；当x∈[1, + ∞)时，M(x)= x2; ∴m(x)与M(x)的图象如图(2).
(3)f(x)=
=
；
(1)(2)中已证在[-a,a]上, F(x)是偶函数, G(x)是奇函数；
∴在[-a,a]上, 是偶函数； 是奇函数. 得证！
5、设f为定义在D上的函数。若存在σ>0，使得 对一切x∈D有f(x±σ)=f(x)，则称f为周期函数， σ为f的一个周期。 在所有周期中最小的周期，称为基本周期， 或简单称为周期。 常量函数没有基本周期。
数学分析课件华东师大版
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汇报人：
目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
华东师大第四版数学分析上册课件
数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪 和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学 分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况，通过换元将问题转化为更易 于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值 定理等性质。
定积分的计算方法
华东师大第四版数学分析上册课件
目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微 性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他 们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和 发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性 为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连 续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等 ，它具有广泛的应用价值。
华师大版数学分析第一章实数集与函数1实数ppt
(3)
.
(3)两边平方得：x-1+2x-1-2
≥3x-2；
化简得-
≥0
∴(x-1)(2x-1)=0；解得x=1或x=1/2.
经检验都不符合原不等式，∴原不等式无解。
3、设a、b∈R， 证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a=b. 证：设a>b，令ε=a-b>0，则|a-b|=ε，与题设不符， 同理可证a<b时，与题设不符，∴a=b.
(3)
.
(2)∵0≤|x-1|<|x-3|，∴
<1；即-1<
<1.
当x-3>0时，-x+3<x-1<x-3；无解.
当x-3<0时，-x+3>x-1>x-3；解得x<2.
∴原不等式的解为x<2 x<2
02
2、求下列不等式的解，并在数轴上表示出来：
(1)x(x2-1)>0；(2)|x-1|<|x-3|；
ak=bk(k=1,2,…j)而aj+1>bj+1， 则称x大于y或y小于x，分别记为x>y或y<x.
2、设x=a0.a1a2…an…为非负实数。 称有理数xn=a0.a1a2…an为实数x的n位不足近似， 而有理数 =xn+10-n称为实数x的n位过剩近似. 对于负实数x= -a0.a1a2…an…， 其n位不足近似与过剩近似分别规定为 xn=a0.a1a2…an-10-n与 =a0.a1a2…an.
一、实数集与函数
1. 实数
1、(两个实数的大小关系) 给定两个非负实数 x=a0.a1a2…an…，y=b0.b1b2…bn…， 其中a0，b0为非负整数，ak，bk（k=1,2,…）为整数， 0≤ak≤9，0≤bk≤9。 若有ak=bk，k=1,2,…，则称x与y相等，记为x=y； 若a0>b0或存在非负整数j，使得
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1 ( i) x S ,x 1 1 ; n 1 0 ，则取 x 1 S , x . ( i i )设 1 .若 0 0 2 若 0 , 则 令 1 0 , 由 阿 基 米 德 性 , n , 0 1 1 使 得令 .x 1 Sx , 则 1 . 0 0 n n 0 0 因此， sup S 1 .
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再证 inf S 0 .
1 ( i ) x S ,x 1 0 ; n ( i i ) 0 , x 0 S , x . 0 0
因此 inf S 0 .
虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的
存在性, 这是由于上界集是无限集, 而无限数集
注1 由定义,下确界是最大的下界.
确 界 定 义 中 的 ( i i ) , 亦 可 换 成 注2 下
0 , x S , x . 0 0
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1 S x x 1 , n 1 , 2 , ,求 证 例2 设 n sup S 1 ， inf S 0 .
0 , x S , x . 0 0
x
x0
点击上图动画演示
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定义3 设 S R , S . 若 R 满 足 :
( i ) x S , x ;
( i i ) , x S , x ; 0 0
则称 是 S 的下确界 , 记为 inf S .
数学分析(华东 师大版)上第一 章1-2
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U ( a ; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻 域
记号与术语
U ( a ; ) { x | 0 | x a |} : 点 a 的 空 心 邻 域
U ( a ; ) { x | 0 x a } : 点 a 的 右 邻 域
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( 1 ) 若 S 不 是 有 上 界 的 数 集 , 则 称 S 无 上 界 , 即
M R , x S , 使 得 x M . 0 0
L R , x Sx , 使 得 L . 0 0
( 2 ) 若 S 不 是 有 下 界 的 数 集 , 则 称 S 无 下 界 , 即
M R , 若 M 1 , 取 x 2 M ; 若 M 1 ,
1 0
[] M 1 取 x 2 [] MM 1 ,因此 S 无上界. 0
2 n 1 明 数 集 S N 有 界 . 3 n 例2 证 + 2 n 2 2 n 1 n 1 11 证 n N , 3 3 3 1 , + 2 n 2 n 2 n 22 因 此 S 有 界 .
( 3 ) 若 S 不 是 有 界 的 数 集 , 则 称 S 无 界 集 , 即
M 0 , x S , 使 得 | x | M . 0 0
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n 例1 证 明 数 集 S { 2 | n N } 无 上 界 , 有 下 界 .
n 证 取 L = 1, 则 x 2 S , x L ,故 S 有下界.
U ( a ; ) { x | 0 a x } ( ; M ) { x | | x | M } :的 M 邻 域
U ( ; M ) { x | x M } : 的 M 邻 域 U ( ; M ) { x | x M } : 的 M 邻 域
( i ) x S , x ; (ii) , x S , 使 得 x , 0 0
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注1 条件(i) 说明 是 S 的一个上界, 条件(ii)说明
比 小的数都不是 S 的上界,从而 是最小的上
界,即上确界是最小的上界.
然 , 条 件 ( i i ) 亦 可 换 成 : 注2 显
记 S { x | x S , x 0 }.
不一定有最小值, 例如 (0, ) 无最小值. 以下确界原理也可作公理,不予证明.
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三、确界存在性定理
定理1.1 (确界原理)
设 S R , S . 若 S 有 上 界 , 则 S 必 有 上 确 界 ;
若 S 有 下 界 , 则 S 必 有 下 确 界 .
证法一 设 S 是有上界的非空集合.为叙述方便起 见,不妨设 S 含有非负数.
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m a x S : 数 集 S 的 最 大 值 m i n S : 数 集 S 的 最 小 值
一、有界集
定义1 设 S R , S .
( 1 ) 若 M R , 使 得 x S , x M , 则 称 M 为
S 的 一 个 上 界 , 称 S 为 有 上 界 的 数 集 .
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二、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其
中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为
上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下 确界. 定义2 设 S R, S . 若 R 满足 :
则称 是 S 的上确界 , 记为 sup S .
( 2 ) 若 L R , 使 得 x S , x L , 则 称 L 为
S 的 一 个 下 界 , 称 S 为 有 下 界 的 数 集 .
( 3 ) 若 S 既 有 上 界 又 有 下 界 , 则 称 S 为 有 界 集 .
其 充 要 条 件 为 : M 0 , 使 x S , 有 | x | M .