数学分析华东师大版
《数学分析华师大》课件
数学分析是一门重要的数学学科，涵盖了诸多内容，从函数性质到微积分应 用等。本课件将带您深入了解数学分析的各个方面。
导言
学科介绍
数学分析是研究数学对象的性质和变化规律的一门学科。
重要性
它为其他数学学科提供了理论基础，并在科学研究和实际应用中发挥着关键作用。
应用领域
数学分析在物理学、工程学、经济学等众多领域有广泛的应用。
了解连续函数的定义和性质，探索连
续函数的局部性质和级数定义。
3
间断点
研究间断点的各种类型，包括可去间
复合函数
4
断和跳跃间断。
学习复合函数的概念和性质，掌握复 合函数的求导和求极限的方法。
导数与应用
1 导数的定义
深入研究导数的定义和 性质，掌握导数的计算 方法和应用。
2 最值与极值
3 曲线的变化
研究函数的最大值和最 小值，探索极值的判定 条件和优化问题的解法。
函数定义、性质和图像， 理解函数的各种特性和变换。
研究二维和三维曲线曲面的性 质，包括弧长、曲率和曲面积 分。
指数函数
探索指数函数的性质和应用， 了解指数增长和衰减的规律。
极限与连续性
1
极限的概念
深入研究极限的定义和性质，掌握极
连续函数
2
限运算和极限存在的条件。
极坐标和指数形式
研究极坐标和指数形式的复数 表示，深入理解复数的乘方和 开方。
微分方程
1 常微分方程
学习常微分方程的基本概念和解法，掌握常微分方程在实际问题中的应用。
2 偏微分方程
了解偏微分方程的基本概念和分类，研究常见偏微分方程的解法。
3 数值方法
探索数值方法在微分方程求解中的应用，包括欧拉方法和龙格-库塔方法。
数学分析(华东师范版)PPT
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 已证明过以下几个极限：
x x0
lim C = C ,
x x0
lim x = x0 ,
x x0
lim sin x = sin x0 ,
1 lim = 0, x x
x
lim arctan x =
2
x x0
lim cos x = cos x0 ;
$d 2 > 0,当0 < x - x0 < d 2时有 f ( x) - B < e ,
A - B = ( f ( x) - A) - ( f ( x) - B) f ( x) - A + f ( x) - B < 2e .
(2)
取d = min(d1 , d 2 ), 则当0 < x - x0 < d时(1), (2)同时成立，故有
0
0
1） 2）
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B
；
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B ：
f ( x) A lim = x x0 g ( x ) B
3） B 0,
定理3.7之3）的证明 1 = 只要证 xlim x
0
lim g ( x ) = B ， $ d 1 > 0 使得当 0 < x - x0 < d 1 x x
.
（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用.
.
.
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些 “简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。
例１ 例２ ( 利用极限
.
数学分析华东师大第十一章反常积分
第十一章反常积分§1 反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v 0 至少要多大?设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为mg R2F = .x2于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为rmg R ∫∫2∫d x = mg R21 - 1 .Rx2Rr当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”:图 11 - 1+ ∞mg R 2d x = limrmgR2Rx2r → + ∞ Rd x = mg R . x2最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使1 22mv 0 = mg R .用 g = 9 .81 ( m 6s /2) , R = 6 .371× 106( m ) 代入 , 便得v 0 =2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) .例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?2∫· R u∫ R2§1 反常积分概念265从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为v =2 g( h - x) ,其中 g 为重力加速度 .设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为d x , 它们之间应满足πR 2 d x = v πr 2 d t ,图 11 - 2由此则有d t =R d x , x ∈ [0 , h] . r 22g( h - x )所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:ht f =R 2d x .r 22 g( h - x)但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是u2t f = lim∫2d xu → h-r 2 g( h - x)= lim-22g r 2h - h - uu → h=2 h R .g r相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .二 两类反常积分的定义定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限区间 [ a , u]上可积 .如果存在极限lim∫f ( x ) d x = J, ( 1)u → + ∞ a则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) , 记作+ ∞J =f ( x ) d x ,( 1′)a∫ ∫ + ∞ + ∞并称f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称 f ( x) d xaa发散 .类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 :bb∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫u266第十一章 反 常 积 分∫ f ( x )d x =lim∫f ( x ) d x .( 2)- ∞u → - ∞ u对于 f 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 :+ ∞af ( x ) d x = - ∞- ∞+ ∞ f ( x) d x + af ( x) d x ,( 3)其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 .注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取无关 . 注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、( 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在 任 何有限区间 [ v , u] ì ( - ∞ , + ∞ ) 上 , 首先必须是可积的 .+ ∞注 3af ( x ) d x 收 敛 的 几 何 意 义 是 : 若 f 在[ a , + ∞ ) 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3 中介于曲线y = f ( x) , 直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向右无限 延伸的阴影区域有面积 J .例 3 讨论无穷积分+ ∞图 11 - 3的收敛性 .解 由于d x1xp( 4)ud x 1x p=1 1 - p ( u1 - p - 1 ) , p ≠ 1 ,ln u ,p = 1 ,1lim∫d x=u → + ∞ 1xpp - 1 ,p > 1 + ∞p ≤ 1 ,因此无穷积分 (4 ) 当 p > 1 时收敛 , 其值为1; 而当 p ≤1 时发散于 + ∞ .p - 1从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p的值越大 , 曲线 y = 1当 x > 1 时越靠近 x 轴 , 从xp而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 就越大 .例 4 讨论下列无穷积分的收敛性:∫1∫)+ ∞d x2x( ln x)p ; 2) + ∞d x- ∞ 1 + x2 .解 1 ) 由 于无 穷 积分 是 通 过变 限 定积 分 的 极限来 定义 的 , 因此 有关定 积分 的换元 积分 法和图 11 - 4a b∫ ∫∫ §1 反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来 .对于本例来说 , 就有∫+ ∞d x+ ∞d t 2x ( l n x )p=∫ln 2tp.从例 3 知道 , 该无穷积分当 p > 1 时收敛 , 当 p ≤1 时发散 .2) 任取实数 a, 讨论如下两个无穷积分 :∫d x+ ∞d x- ∞1 + x2和∫a由于a1 + x2.lim∫d x =lim ( arctan a - arctan u )u → - ∞u 1 + x 2vu → - ∞= arctan a + π,2lim∫d x =lim ( arctan v - arctan a)v → + ∞a1 + x 2v → + ∞π2- arctan a ,因此这两个无穷积分都收敛 .由定义 1 ,∫+ ∞d x ad x+ ∞d x- ∞1 + x2=∫- ∞1 + x2+∫a1 + x2= π .注 由于上述结果与 a 无关 , 因此若取 a = 0 , 则可使计算过程更简洁些 .定义 2 设函数 f 定义在区间 ( a , b] 上 , 在点 a 的 任一右 邻域内无 界 , 但 在任何内闭区间 [ u , b] ì ( a , b] 上有界且可积 .如果存在极限lim∫f ( x ) d x = J ,( 5)u → a+u则称此极限为无界函数 f 在 ( a , b] 上的反常积分 , 记作bJ =f ( x ) d x ,( 5′)ab并称 反 常 积 分 f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 5) 不 存 在 , 这 时 也 说 反 常 积 分abf ( x ) d x 发散 .a=∫在定义 2 中 , 被积函数 f 在点 a 近旁是无界的 , 这时点 a 称为 f 的瑕点 , 而无 b界函数反常积分 f ( x ) d x 又称为瑕积分 .a类似地 , 可定义瑕点为 b 时的瑕积分 :bu∫f ( x) d x =lim∫f ( x )d x . au → b-a其中 f 在 [ a , b) 有定义 , 在点 b 的任一左邻域内无 界 , 但在任何 [ a , u] ì [ a , b)1 268第十一章 反 常 积 分上可积 .若 f 的瑕点 c ∈ ( a , b) , 则定义瑕积分bcb∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x )d x aacub= lim∫ f ( x ) d x + lim ∫f ( x ) d x .( 6)u → c - av → c+v其中 f 在 [ a , c) ∪ ( c, b] 上有定义 , 在点 c 的 任一领 域内 无界 , 但 在任何 [ a , u] ì[ a , c) 和 [ v , b] ì ( c, b] 上都可积 .当且仅当 ( 6 ) 式右 边两个 瑕积分都 收敛时 , 左边的瑕积分才是收敛的 .又若 a 、b 两点都是 f 的瑕点 , 而 f 在任何 [ u , v ] ì ( a, b) 上可积 , 这时定义 瑕积分bcb∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x ) d xaaccv= lim∫f ( x) d x + lim ∫f ( x) d x , ( 7)u → a+uv → b-c其中 c 为 ( a , b) 内任一实数 .同样地 , 当且仅当 ( 7) 式右边两个 瑕积分都 收敛时 ,左边的瑕积分才是收敛的 .例 5 计算瑕积分∫d x的值 .1 - x 2解 被积函数 f ( x) =1 在 [ 0 , 1 ) 上 连续 , 从 而在 任何 [ 0 , u] ì [ 0 , 1)1 - x2上可积 , x = 1 为其瑕点 .依定义 2 求得1u∫d x = lim∫d x 01 - x 2-u → 11 - x2例 6 讨论瑕积分= limu → 1 -1arcsin u = π.2∫d x 的收敛性 .xq( q > 0 ) ( 8)∫1 1 x解 被积函数在 (0 , 1 ] 上连续 , x = 0 为其瑕点 .由于1d x uxq=1 1 - q( 1 - u1 - q) ,q ≠ 1 ,( 0 < u < 1) ,- ln u ,q = 1故当 0 < q < 1 时 , 瑕积分 (8 ) 收敛 , 且∫d x ∫ d x 1 q=limu → 0 +uxq= 1 - q;∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫§1 反常积分概念269而当 q ≥1 时 , 瑕积分 ( 8) 发散于 + ∞ .上述结论在图 11 - 4 中同样能获得直观的反映 . 如果把例 3 与例 6 联系起来 , 考察反常积分+ ∞我们定义d x 0xp ( p > 0 ) .( 9)∫+ ∞d x 1d x + ∞d x 0xp=∫xp+∫1xp,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分 都收 敛时 才收敛 .但 由例 3 与 例 6 的结 果 可知 , 这 两 个 反 常 积 分 不 能 同 时 收 敛 , 故 反 常 积 分 ( 9 ) 对 任 何 实 数 p 都 是 发散的 . 习 题1 . 讨论下列无穷积分是否收敛 ? 若收敛 , 则求其值 :( 1∫)+ ∞x e- x2+ ∞d x ; (2)- ∞2x e - xd x ;( 3∫)+ ∞1+ ∞d x ; (4)d x20 e x+ ∞1 x ( 1 + x)+ ∞( 5∫)d x; (6)∫ e- xsin x d x;- ∞ 4 x 2+ 4 x + 50 + ∞+ ∞( 7∫)e xsin x d x ; (8)- ∞d x .1 + x 22 . 讨论下列瑕积分是否收敛 ?若收敛 , 则求其值 :( 1∫)bd x 1d x;(2);a( x - a) p2 0 1 - x 21( 3∫)d x ;(4)∫xd x ;| x - 1| 01 - x 2( 5∫)11ln x d x ;(6)xd x; 1 - x( 7∫)1d x1d x;(8)p.x - x 2x( ln x);a∫ b3 . 举例说明 : 瑕积分∫f ( x ) d x 收敛时∫, bf 2 ( x) d x 不一定收敛 .a4 . 举例说明∫:+ ∞f ( x) d x 收敛且 f 在 [ a , + ∞ ) 上连续时 , 不一定有 limax → +∞f ( x) = 0 .+ ∞ 5 . 证明: 若af ( x )d x 收敛 , 且存在极限 lim x → +∞f ( x) = A , 则 A = 0 .∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫270 第十一章 反 常 积 分+ ∞ 6 . 证明: 若 f 在[ a, + ∞) 上可导 , 且a+ ∞f ( x)d x 与 af ′( x )d x 都收敛 , 则 lim x → +∞f ( x) = 0 .§2 无穷积分的性质与收敛判别一 无穷积分的性质+ ∞由定 义 知 道 , 无 穷 积 分auf ( x) d x 收 敛 与 否 , 取 决 于 函 数 F( u ) =f ( x ) d x 在 u → + ∞ 时是否存在极限 .因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则 .+ ∞定理 11 .1 无穷积分a≥ a, 只要 u 1 、u 2 > G , 便有f ( x ) d x 收敛 的充要条件是 : 任给 ε > 0 , 存在 Guuu∫2f ( x ) d x -∫1f ( x )d x= ∫ f ( x )d x< ε .a au此外 , 还可根据函数极限的性质与定积分的性质 , 导出无穷积分的一些相应 性质 .+ ∞ 性质 1 若a+ ∞+ ∞f 1 ( x) d x 与 af 2 ( x ) d x 都 收 敛 , k 1 、k 2 为 任 意 常 数 , 则[ k1 f 1( x) + k 2 f 2 ( x) ] d x 也收敛 , 且a+ ∞+ ∞+ ∞[ k 1 f 1 ( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x = k 1aaf 1 ( x ) d x + k 2af 2 ( x) d x .( 1)+ ∞性 质 2 若 f 在 任 何 有 限 区 间 [ a , u] 上 可 积 , a < b, 则af ( x ) d x 与+ ∞f ( x) d x 同敛态 ( 即同时收敛或同时发散 ) , 且有b+ ∞b+ ∞∫ f ( x ) d x =∫ f ( x )d x +∫ f ( x )d x ,( 2)aab21∫ ∫ 其中右边第一项是定积分 .+ ∞性质 2 相当于定积分的积分区间可加性 , 由它又可导出af ( x ) d x 收敛的另一充要条件 : 任给 ε > 0 , 存在 G ≥ a , 当 u > G 时 , 总有+ ∞f ( x ) d x< ε .u∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ 2=§2 无穷积分的性质与收敛判别271事实上 , 这可由+ ∞u+ ∞∫ f ( x ) d x =∫ f ( x ) d x +∫ f ( x ) d xaau结合无穷积分的收敛定义而得 .+ ∞性质 3 若 f 在任何有限区间 [ a , u ] 上可积 , 且有a+ ∞f ( x) d x 亦必收敛 , 并有a| f ( x ) | d x 收敛 , 则+ ∞ + ∞f ( x) d x ≤ aa+ ∞f ( x ) d x . ( 3)证 由af ( x) d x 收敛 , 根据柯西准则 ( 必要性 ) , 任给 ε > 0 , 存在 G ≥a , 当 u 2 > u 1 >G 时 , 总有uuf ( x )d x 2uf ( x )d x < ε .1u 1利用定积分的绝对值不等式 , 又有uu2f ( x ) d x ≤ 2uu11+ ∞f ( x )d x < ε .再由柯西准则 ( 充分性 ) , 证得af ( x ) d x 收敛 .uu又因∫ f ( x ) d x ≤∫ f ( x )d x ( u > a) , 令 u → + ∞ 取极限 , 立刻得到不aa等式 (3 ) .+ ∞+ ∞当f ( x ) d x 收敛时 , 称aaf ( x )d x 为绝对收敛 .性质 3 指出 : 绝对收敛的无穷积分 , 它自身也一定收敛 .但是它 的逆命 题一 般不成 立 , 今 后将举 例说 明 收敛的无穷积分不一定绝对收敛 .∫ ∫ ∫我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛 . 二 比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法 .u+ ∞由于 | f ( x ) | d x 关于上限 u 是单调递增的 , 因此aa| f ( x ) | d x 收敛的u充要条件是a| f ( x) | d x 存在上界 .根据这一分析 , 便立 即导出下 述比较判 别法 ( 请读者自己写出证明 ) :定理 11 .2 ( 比较法则 ) 设定义在 [ a , + ∞ ) 上的 两个 函数 f 和 g 都 在任 何∫ ∫ ∫∫ 0∫∫ ∫∫ ∫∫∫272 第十一章 反 常 积 分有限区间 [ a , u] 上可积 , 且满足f ( x) ≤g ( x ) , x ∈ [ a, + ∞ ) ,+ ∞ + ∞ 则当g( x ) d x 收敛时 a a+ ∞+ ∞| f ( x) | d x 必收敛 ( 或者 , 当 a| f ( x) | d x 发散时 ,ag ( x ) d x 必发散 ) .+ ∞例 1 讨论sin xd x 的收敛性 .1 + x2+ ∞解 由于1d x π1 + x2≤ 1 + x2 , x ∈ [0 , + ∞ ) , 以及∫1 + x 2=为收敛2(§1 例 4 ) , 根据比较法则∫,sin xd x 为绝对收敛 . 01 + x2上述比较法则的极限形式如下 : 推论 1 若 f 和 g 都在任何 [ a , u] 上可积 , g( x ) > 0 , 且 lim x → + ∞| f ( x) | g( x )= c,则有 :( i ) 当 0 < c < + ∞ 时∫,+ ∞+ ∞+ ∞| f ( x ) | d x 与aa+ ∞g( x ) d x 同敛态 ;( ii) 当 c = 0 时 , 由ag( x ) d x 收敛可推知 a+ ∞f ( x) d x 也收敛 ;+ ∞(i ) ) 当 c = + ∞ 时 , 由a+ ∞g( x ) d x 发散可推知 a+ ∞f ( x ) d x 也发散 .当选用∫d x 作为比较对 象g( x ) d x 时 , 比较 判别 法及 其 极限 形式 成1x pa为如下两个推论 ( 称为柯西判别法 ) .推论 2 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) ( a > 0 ) , 且在 任何 有限区 间 [ a , u] 上 可积 , 则有 :( i ) 当 f ( x) ≤ 1, x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p > 1 时+ ∞+ ∞∫∫∫∫f ( x) d x 收敛 ;xpa+ ∞( i i) 当 f ( x) ≥ 1, x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p ≤ 1 时f ( x) d x 发散 .xpa推论 3 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) , 在任何有限区间 [ a , u] 上可积 , 且则有 :lim x → + ∞x p f ( x ) = λ .+ ∞( i) 当 p > 1 , 0 ≤λ< + ∞时 ,f ( x ) d x 收敛 ;a+ ∞( ii) 当 p ≤ 1 , 0 < λ≤ + ∞ 时 ,af ( x) d x 发散 .∫∫ ∫ ∫∫§2 无穷积分的性质与收敛判别273例 2 讨论下列无穷限积分的收敛性 :1∫)+ ∞x αe - x d x; 2 )1+ ∞x 2d x .x 5+ 1解 本例中两个被积函数都是非负的 , 故收敛与绝对收敛是同一回事 . 1) 由于对任何实数 α都有limx → + ∞x 2 · x αe- x= lim x → + ∞xα+ 2ex= 0 ,因此根据上述推论 3( p = 2 , λ= 0) , 推知 1 ) 对任何实数 α都是收敛的 .2) 由于12limx → + ∞x 2 · x x 5+ 1= 1 ,因此根据上述推论 3( p = 1, λ= 1 ) , 推知 2) 是发散的 .2b对于f ( x ) d x 的比较判别亦可类似地进行 .- ∞三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法 .u定理 11 .3 ( 狄利克雷判别法 ) 若 F( u ) =f ( x ) d x 在 [ a , + ∞ ) 上有界 ,a+ ∞ g( x) 在 [ a , + ∞ ) 上当 x → + ∞ 时单调趋于 0 , 则af ( x ) g( x ) d x 收敛 .limx → + ∞u证 由 条 件 设f ( x) d x ≤ M , u ∈ [ a , + ∞ ) . 任 给 ε > 0 , 由 于ag ( x ) = 0 , 因此存在 G ≥ a , 当 x >G 时 , 有g( x ) < ε.4 M又因 g 为单调函数 , 利用积分第二中值 定理 ( 定理 9 .10 的推论 ) , 对 于任 何 u 2 > u 1 > G , 存在 ξ∈ [ u 1 , u 2 ] , 使得u∫ ∫ 21∫ f ( x ) g( x ) d x = g ( u 1∫) ξf ( x ) d x +g ( u 2∫)u2f ( x) d x .uuξ11于是有uξuf ( x ) g( x ) d x ≤g( u 1 ) ·uuf ( x ) d x+ g( u 2 ) ·∫ f ( x ) d x11ξξu= g( u 1 ) ·∫f ( x ) d x ∫-f ( x ) d xaa22u ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫∫274 第十一章 反 常 积 分2+ g( u 2 ) ·ξf ( x ) d x -∫f ( x ) d xε4 M·2 M ++ ∞aaε4 M·2 M = ε .根据柯西准则 , 证得af ( x ) g( x ) d x 收敛 .+ ∞ 定理 11 .4 ( 阿贝尔 ( Abel) 判别法 ) 若af ( x) d x 收敛 , g( x ) 在[ a , + ∞ )+ ∞ 上单调有界 , 则af ( x )g ( x ) d x 收敛 .这定理同样可用积分第二中值定理 来证 明 , 但又 可利用 狄利 克雷判 别法 更 方便地获得证明 ( 留作习题 ) .+ ∞例 3 讨论∫sin x d x 与+ ∞cos x1xp1xpd x ( p > 0 ) 的收敛性 .解 这里只讨论前一个无穷积分 , 后者有 完全 相同的 结论 .下面分 两种 情 形来讨论 :+ ∞( i) 当 p > 1 时1sin xd x 绝对收敛 .这是因为 xp + ∞d x而sin x xp≤ 1x p , x ∈ [1 , + ∞ ) ,+ ∞sin x1xp当 p > 1 时收敛 , 故由比较法则推知∫1+ ∞xpd x 收敛 .( ii) 当 0 < p ≤ 1 时1usin xd x 条 件 收 敛 .这 是 因为 对 任 意 u ≥ 1 , 有 xp∫sin x d x =cos 1 - cos u ≤ 2 , 而 1当 p > 0 时单调趋于 0 ( x → + ∞ ) , 故1xp+ ∞由狄利克雷判别法推知1sin x d x 当 p > 0 时总是收敛的 . xp另一方面 , 由于sin xxp≥+∞sin 2xx=+ ∞<∫∫∫12 x -cos 2 x2 x ,x ∈ [ 1 , +∞ ) ,cos 2 x 1其中12 xd x =22cos t td t 满 足 狄 利 克 雷 判 别 条 件 , 是 收 敛 的 , 而+ ∞d x 12 x是发散的 , 因此当 0 < p ≤ 1 时该无穷积分不是绝对收敛的 .所以它是条件收敛的 .例 4 证明下列无穷积分都是条件收敛的 :∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫+ ∞3§2 无穷积分的性质与收敛判别275+ ∞ sin x 2d x ,1+ ∞ cos x 2d x ,1+ ∞x sin x 4d x .1证 前两个无穷积分经换元 t = x 2得到+ ∞+ ∞sin x 2d x = 1 1+ ∞+ ∞cos x 2d x = 11sin td t ,2 tcos t d t .2 t由例 3 已知它们是条件收敛的 .对于第三个无穷积分 , 经换元 t = x 2而得∫x sin x 4 d x = 1 + ∞sin t 2d t ,1它也是条件收敛的 .2∫1从例 4 中三个无穷积分的收敛性可 以看到 , 当 x → + ∞ 时被 积函数 即使 不 趋于零 , 甚至是无界的 , 无穷积分仍有可能收敛 . 习 题1 . 证明定理 11 .2 及其推论 1 .2 . 设 f 与 g 是定义在 [ a , + ∞ )上的函数 , 对任何 u > a , 它 们在 [ a , u] 上 都可积 .证明 :+ ∞ 若a收敛 .+ ∞f2( x) d x 与a+ ∞ g 2 ( x) d x 收 敛 , 则a+ ∞f ( x) g( x) d x 与 a[ f ( x) + g( x ) ]2 d x 也 都3 . 设 f 、g 、h 是定义 在 [ a , + ∞ ) 上 的 三 个 连 续 函数 , 且 成 立 不等 式 h ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g( x) .证明 :+ ∞ (1) 若a+ ∞ h( x )d x 与 a+ ∞g( x) d x 都收敛 , 则 af ( x) d x 也收敛 ;+ ∞(2) 又若a+ ∞h( x )d x =a+ ∞g( x) d x = A , 则af ( x) d x = A .4 . 讨论下列无穷积分的收敛性 :+ ∞+ ∞( 1∫)d x; (2)xd x ;x 4+ 1+ ∞∫11 - ex+ ∞( 3∫)( 5∫) d x ; (4)0 1 +x ln ( 1 + x)d x ;(6)x arctan x 11 + x 3 d x;+ ∞ xmd x( n 、m ≥ 0 ) .1x n1 + xn5 . 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 :( 1∫)sin xd x ; (2 )1x+ ∞sgn( sin x)d x ;1 + x2+ ∞ + ∞∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ a ∫bbu∫276第十一章 反 常 积 分( 3∫)x cos xd x;(4 )100 + xln( ln x) sin x d x .eln x6 . 举 例 说 明∫:+ ∞+ ∞ + ∞f ( x) d x 收 敛 时aaf 2( x ) d x 不 一 定 收敛∫;+ ∞f ( x )d x 绝 对 收 敛时 ,af2( x) d x 也不一定收敛 .a+ ∞+ ∞7 . 证明: 若af ( x )d x 绝对收敛 , 且 lim x →+ ∞f ( x) = 0 , 则a+ ∞f 2( x) d x 必定收敛 .8 . 证明: 若 f 是 [ a , + ∞) 上的单调函数 , 且 af ( x)d x 收敛 , 则 lim x → +∞f ( x) = 0 , 且 f ( x)= o1 x , x →+ ∞ .+ ∞9 . 证明: 若 f 在 [ a , + ∞ ) 上一致连续 , 且a10 . 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法 .f ( x) d x 收敛, 则 lim x → +∞f ( x) = 0 .§3 瑕积分的性质与收敛判别类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后 的三个性 质 , 瑕积分 同样可由 函bb数极限 lim∫f ( x) d x =∫f ( x ) d x 的原意写出相应的命题 . u →+ uab 定 理 11 .5 瑕积分 f ( x ) d x( 瑕点为 a) 收敛的充要条件是 : 任给ε> 0 , 存a在 δ > 0 , 只要 u 1 、u 2 ∈ ( a , a + δ) , 总有∫f ( x ) d x -∫ f ( x) d x2=f ( x )d x < ε .uuu121性质 1 设 函数 f 1 与 f 2 的 瑕 点 同为 x = a , k 1 、k 2 为 常 数 , 则 当瑕 积 分bb b∫ f 1( x ) d x 与∫ f 2( x ) d x 都 收敛 时 , 瑕积 分∫[ k1 f 1( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x 必 定 收aaa敛 , 并有+ ∞+ ∞a ∫∫b b b∫[ k1 f1 ( x) + k2 f2 ( x ) ]d x =k∫1f1 ( x ) d x + k2af2 ( x ) d x . ( 1) a性质2 设函数 f 的瑕点为x = a, c ∈( a ,b ) 为任一常数. 则瑕积分b c∫f ( x ) d x 与∫f ( x ) d x 同敛态, 并有a ab c b∫f ( x ) d x =∫f ( x) d x +∫f ( x ) d x , ( 2)a a cb其中 f ( x ) d x 为定积分.c∫ ∫ ∫∫∫∫∫ ∫b∫∫§3 瑕积分的性质与收敛判别277性质 3 设函数 f 的瑕点为 x = a , f 在 ( a , b] 的任一内闭区间 [ u , b] 上可b积 .则当af ( x )d x 收敛时∫,bbf ( x) d x 也必定收敛 , 并有ab∫f ( x ) d x ≤∫ f ( x)d x . ( 3)aa bb同样地 , 当af ( x )d x 收敛时 , 称 f ( x) d x 为绝对收敛 .又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的 .判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下 :定理 11 .6 ( 比较法则 ) 设定义在 ( a , b] 上的两个函数 f 与 g , 瑕点 同为 x = a, 在任何 [ u , b] ì ( a , b] 上都可积 , 且满足f ( x ) ≤ g( x) , x ∈ ( a , b] .b则当 g( x ) d x 收 敛时 ,ab bf ( x ) d x 必定 收 敛 ( 或者 , 当aaf ( x) d x 发散 时 ,bg ( x ) d x 亦必发散 ) .a推论 1 又若 g( x) > 0 , 且 limx → a +bf ( x ) g( x)= c, 则有 :b( i) 当 0 < c < + ∞ 时 ,abf ( x ) d x 与 g( x ) d x 同敛态 ;ab( i i ) 当 c = 0 时 , 由∫g( x ) d x 收敛可推知∫ f ( x )d x 也收敛 ;aabb( i ii ) 当 c = + ∞ 时 , 由∫g( x ) d x 发散可推知∫f ( x ) d x 也发散 .aa当选用∫d xb作为比 较对象 g( x) d x 时 , 比较法则及其 推论 1 成 为a如下的推论 :( x - a)pa推论 2 设 f 定义于 ( a , b] , a 为其瑕点 , 且在任何 [ u , b] ì ( a , b] 上可积 , 则有 :( x - a) p ( x - a) p∫∫( i) 当 f ( x) ≤1, 且0 < p < 1 时,abf ( x) d x 收敛;( i i) 当 f ( x) ≥1, 且p ≥1 时,af ( x) d x 发散.推论3 设 f 定义于( a , b] , a 为其瑕点, 且在任何[ u , b] ì( a , b] 上可积. 如果则有: limx →a +( x - a) p f ( x ) = λ,b∫∫∫ 278 第十一章 反 常 积 分b( i ) 当 0 < p < 1 , 0≤λ< + ∞时af ( x) d x 收敛 ;b( ii) 当 p ≥ 1 , 0 < λ≤ + ∞ 时a例 1 判别下列瑕积分的收敛性 :f ( x) d x 发散 .1∫)ln xd x ; 2∫) 0x2x 1ln xd x .解 本例两个瑕 积 分 的被 积 函数 在 各自 的 积分 区 间 上分 别 保持 同 号———ln x 在 ( 0 , 1] 上恒为负 , x在 ( 1 , 2 ] 上 恒为 正———所以 它们 的瑕 积 分收 敛与 绝x对收敛是同一回事 .ln x1) 此瑕积分的瑕点为 x = 0 .由上述推论 3 , 当取 p = 34< 1 时, 有λ= lim x → 0 +3x 4 ·1ln x x= - limx → 0 +ln x1x-4所以瑕积分 1) 收敛 .= lim x → 0 +( 4 x 4 ) = 0 ,2) 此瑕积分的瑕点为 x = 1 .当取 p = 1 时 , 由λ = lim +x → 1( x - 1 ) · x ln x= lim + x → 1x - 1 ln x = 1 ,推知该瑕积分发散 . 最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子 . 例 2讨论反常积分的收敛性 .+ ∞Φ(α) =xα- 11 + x d x解 把反常积分 Φ( α) 写成1α- 1+ ∞α- 1Φ(α) =∫x d x +∫x d x1 + x11 + x= I(α) + J(α) .1x ( i) 先讨论 I(α) .当 α- 1≥ 0 , 即 α≥1 时它 是定积 分 ; 当 α< 1 时它是瑕 积 分 , 瑕点为 x = 0 .由于limx → 0 +α- 1x1 - α·1 + x= 1 ,根据定理 11 .6 推论 3 , 当 0 < p = 1 - α< 1 , 即 α> 0 且 λ= 1 时 , 瑕 积分 I (α) 收α∫∫ §3 瑕积分的性质与收敛判别279敛 ; 当 p = 1 - α≥1 , 即 α≤0 且 λ= 1 时 , I (α) 发散 .( ii) 再讨论 J(α) , 它是无穷积分 .由于α- 1limx → + ∞x2 - α·x1 + x= lim x → + ∞x 1 + x= 1 ,根据定理 11 .2 推论 3 , 当 p = 2 - α> 1 , 即 α< 1 且 λ= 1 时 , J(α) 收敛 ; 而当 p = 2 -α≤1 , 即 α≥1 且 λ= 1 时 , J(α) 发散 .综上所述 , 把讨论结果列如下表 :习 题1 . 写出性质 3 的证明 .2 . 写出定理 11 .6 及其推论 1 的证明 .3 . 讨论下列瑕积分的收敛性 :( 1∫)( 3∫)d x ; (2 )( x - 1 )2d x;(4 ∫)x ln x sin x d x ;x362/ln x d x ;1 - x ( 5∫) ( 7∫)1arctan x 01 - x 3d x ; (6 )1 sin 1 d x; (8 )π62/ 0+ ∞1 - cos xx md x;e - x ln x d x .0xx0 4 . 计算下列瑕积分的值 (其中 n 为正整数 ) :( 1∫)1( ln x ) nd x ; (2 )π62/1x nd x . 01 - xπ62/5 . 证明瑕积分 J =∫ln( s in x )d x 收敛 , 且 J = - πln 2 .( 提示 : 利用∫ln (sin x) d x =π62/ 02ln( cos x )d x , 并将它们相加 .)6 . 利用上题结果 , 证明 :π2( 1∫)θln( sin θ)d θ = -πln 2;2 1π1 102( 2∫)θsin θdθ= 2πln 2 .0 1 - cos θπ1 ∫2∫ ∫∫ λ∫∫ ∫∫ ∫280 第十一章 反 常 积 分总 练 习 题1 . 证明下列等式 :1p - 1+ ∞- p( 1∫)xd x =∫xd x , p > 0;x + 1 1x + 1+ ∞p - 1+ ∞- p( 2∫)xd x =∫xd x , 0 < p < 1 .x + 1 0x + 12 . 证明下列不等式 :( 1) π<∫d x<π ;2 2 ( 2) 12 01 -1e1 - x 4+ ∞<2e - x d x < 1 + 1 .2e3 . 计算下列反常积分的值 :+ ∞+ ∞( 1)e - axcos bx d x( a > 0 ) ; (2)0 e- a xsin bx d x( a > 0 ) ;( 3∫)+ ∞ln x π62/ d x ; (4)ln( tan θ) d θ .01 + x 2+ ∞4 . 讨论反常积分sin bx d x ( b ≠ 0 ) , λ取何值时绝对收敛或条件收敛 . x5 . 证明: 设 f 在 [0 , + ∞ ) 上连续 , 0 < a < b . (1) 若 lim x → +∞f ( x) = k , 则+ ∞f ( ax) - f ( bx) 0x+ ∞d x = ( f (0) - k) ln b ;a(2) 若af( x) d x 收敛 , 则x6 . 证明下述命题 :+ ∞f ( ax) - f ( bx) 0xd x = f (0) ln b .a+ ∞(1) 设 f 为[ a , + ∞) 上的非负连续函数 .若a+ ∞x f ( x )d x 收敛 , 则 af ( x) d x 也收敛 .∫ ∫ (2) 设 f 为 [ a , + ∞ ) 上的连续可微函数 , 且当 x → + ∞ 时 , f ( x) 递减地 趋于 0 , 则+ ∞+ ∞f ( x ) d x 收敛的充要条件为aax f ′( x ) d x 收敛 .●。
数学分析课件华东师大版
数学分析课件华东师大版
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目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
华东师大数学分析答案完整版
华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。
2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。
3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。
4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。
6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。
7. 变限积分的导数是原函数的导数。
8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。
9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。
10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。
二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。
A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。
A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。
A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。
A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。
解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。
2. 求不定积分∫(e^x) dx。
解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。
华东师大第四版数学分析上册课件
数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪 和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学 分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况，通过换元将问题转化为更易 于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值 定理等性质。
定积分的计算方法
华东师大第四版数学分析上册课件
目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微 性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他 们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和 发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性 为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连 续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等 ，它具有广泛的应用价值。
数学分析(华东师范版)PPT
这种间断点称为 震荡间断点。
y
1
y sin
1 x
●
x
●
x x
●●
1
●：Hi, 小蓝点，你停不住， 我也停不住啊。还想连上， 你可真逗！
●：Hi, 小红点，你能不能停 住？我怎么也停不住，那可 怎么连上啊？
1 例8 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性 . x 解 在x 0处没有定义,
第四章 函数的连续性
4.1 连续性概念
4.2 连续函数的性质
4.3 初等函数的连续性
4.1连续性概念
一、函数在一点的连续性 1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点.
第一类间断点
•可去间断点 •跳跃间断点
第二类间断点
•无穷间断点 •震荡间断点
第一类间断点
可去间断点 无定义、值太高、值太低 跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点 震荡间断点
情形1.1 ：f ( x)在x0处无定义 .
y sin( x x ) sin x 2 sin
x cos( x ) 1, 2
对任意的, 当 0时,
x 当x 0时, y 0. 故 y 2 sin x , 2 即 函数 y sin x对任意 x ( ,)都是连续的.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
20-2华东师大数学分析的练习和课件(历史上最好的-最全面的)学习的最好资料
y2 x
xydx xydx xydx
L
AO
OB
0
1
A(1,1)
1 x( x)dx 0 x xdx
2
13
x 2dx
4.
0
5
(2) 化为对y的定积分，
x y2,
y从 1到1.
xydx xydx
L
AB
1 y2 y( y2 )dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
B(1,1) y2 x
解 由P207公式 (7),
I π (a3 cos t sin2 t a2 cos2 t a2 sin t cos t a2bcos2 t )dt 0
1 3
a3
sin3
t
1 2
a3
sin2
t
1 2
a
2
(1
b)(t
1 2
sin
2t
)
π 0
1 a2 (1 b)π. 2
A(1,1)
例2 计算 y2dx, 其中L为 L
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; (2) 从点 A(a,0) 沿 x 轴到点 B(a,0) 的直线段.
解
(1)
L
:
x
y
a cos a sin
,
从 0 变到 ，
原式 a2 sin2 (asin )d 0
B(a,0)
则
b
Pdx Qdy {P[x,(x)] Q[x,(x)](x)}dx.
L
a
(2) L : x ( y) y起点为c，终点为d.
则
d
Pdx Qdy {P[ ( y), y] ( y) Q[ ( y), y]}dy.
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也是
例1 证明集合
E
y
y 1, x
x ( 0 ,1)
是无界数集.
证明：对任意 M 0 , 存在
x 1 (0,1) , y 1 E, y M 1 M
M 1
x
由无界集定义，E 为无界集。
2❖确定界义: E R, 数M若满足
❖ 1）M是E的上界
2）M是 任一上界，必有 M M 则称M是
一、区间与邻域
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM,
A {a1 , a2 , , an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集
❖ 闭区间 a, b 、开区间 (a,b) 为有限
数）、邻域等都是有界数集，
❖ 集合 E y y sin x, x ( , )
也是有界数集.
❖ ( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) , 等都是无
❖
界数集,
集合 E
y
无界数集.
y 1, x
x(
0
,
1
)பைடு நூலகம்
xE
❖ 命题2 m= inf E 的 充要条件
1）m是E的下 界，
2） 0, x E 使得 x＜/ m .
❖
例2
⑴
S
1
(1 ) n n
,
则
❖ supS ______, inf S _______.
❖ ⑵ E y y sin x, x (0,).
❖ 则 supE ________, inf E _________. ❖ 例3 设S和A是非空数集，且有S A. 则
故由下确界的定义证得 sup A inf B.
例5 A 和 B 为非空数集, S A B.
试证明: inf S min inf A , inf B .
证 x S, 有 x A 或 x B,
由 inf A 和inf B分别是 A B 的下界,有
x inf A 或
x inf B. x min inf A , inf B .
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作U
0
(a
).
U (a) { x 0 x a }.
二 有界集·确界原理
❖ 1 有（无）界数集:定义(上、下有界, 有界)
❖ 数集S有上界 M ¡ ,x S有x M. ❖ 数集S无上界 M ¡ ,x0 S有x0＞ M. ❖ 数集S有下界 L¡ ,x S有x L. ❖ 数集S无下界 L ¡ ,x0 S有x0＜ L. ❖ 数集S有界 M ¡ ,x S有 x M. ❖ 数集S无界 M ¡ ,x0 S有 x0 ＞ M.
即 min inf A , inf B 是数集 S 的下界,
inf S min inf A , inf B .
又 S A, S 的下界就是 A 的下界,
inf S 是 S 的下界, inf S 是
A 的下界, inf S inf A;
同理有 inf S inf B.
于是有 inf S min inf A , inf B
上确界，即 M 是上界,但 M M 。
令 M M 0 ，由2)， x E ，
使得 x M M ，与M 是E的上界
矛盾。
❖ 定义2 E R，m满足
❖ 1） m 是下界，
❖ 2）m' 是E的任意下界，必有m' m .
❖ 则称m为E的下确界或最大下界。记作：inf E 或 inf x .
综上, 有 inf S min inf A , inf B
例5 A 和 B 为非空数集, S A B.
试证明: inf S min inf A , inf B .
证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且 sup A inf B.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界, A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界. y B, y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知
supA 是数集A的最小上界, 故有 supA y. 而此式又表明数 supA 是数集B的一个下界,
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 , 点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
E的最小上界或上确界，记 作 M supE
或 M sup x 。
xE
❖ 命题1 M supE 的充要条件 1）M 是E上界， 2） 0, x E 使得 x M 。
❖证 必要性，用反证法。设2）不成立，
则
使 0 得 0,
，x 均E
有 x M 0 ，与M是上确界矛盾。
❖ 充分性， 用反证法。设M不是E的
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
有 supS sup A, inf S inf A.
.
❖ 例4 设A和B是非空数集. 若对x A 和y B ❖ 都有x y, 则有 sup A inf B.
❖ 证 y B, y 是A的上界, sup A y.
❖ sup A 是B的下界, sup A inf B.
例4 设 A, B为非空数集,满足: x A,y B有x y.