2017-2018学年高中数学常用逻辑用语1.2.2充要条件课后提升训练(含解析)

充要条件
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2015·安徽高考)设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由q:2x>20⇒x>0可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q成立的充分不必要条件.
2.(2017·济南高二检测)设α,β∈,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.在中,函数y=tanx为增函数,所以设α,β∈,那么“α<β”是“tanα<tanβ”的充要条件.
3.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.直线l与平面α内无数条直线都垂直,不能得到直线l⊥α,因为有可能是直线l与平面α内的一组平行直线垂直.若l⊥α,则直线l垂直于α内的所有直线.
4.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当四边形ABCD为菱形时,其对角线互相垂直,必有AC⊥BD;但当AC⊥BD时,
四边形不一定是菱形(如图),因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
5.(2016·北京高考)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.由|a+b|=|a-b|可得a⊥b.所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.
6.设{a n}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由题可知,若a1<a2<a3,即当a1>0时,解得q>1,此时数列{a n}是递增数列,当a1<0时,解得0<q<1,此时数列{a n}是递增数列;反之,若数列{a n}是递增数列,则a1<a2<a3成立,所以“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件,故选C.
7.“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为当α=+2kπ(k∈Z)时,cos2α=cos=,所以“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos 2α=”的充分条件.而当α=-时,cos2α=,但-≠+
2kπ(k∈Z),所以“α=+2kπ(k∈Z)”不是“cos2α=”的必要条件.
8.(2017·天津高考)设θ∈R,则“<”是“sinθ<”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.<⇒0<θ<⇒sinθ<,
但是,当θ=0时,满足sinθ<,不满足<,所以是充分而不必要条件.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.
【解析】p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件,
所以q是p的充分不必要条件,
即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},
故有或解得m≤3.
又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}.
答案:(0,3]
10.下列命题:
①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件;
②“b2-4ac<0”是“一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R”的充要条件;
③“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件;
④“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要不充分条件.
其中真命题的序号为________.
【解析】①x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6.
所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件;
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0,
故②为假命题;
③当a=2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则=,
所以a=2.因此,a=2是两直线平行的充要条件;
④lgx+lgy=lg(xy)=0,所以xy=1且x>0,y>0.
所以lgx+lgy=0成立,xy=1必成立,反之不然.
因此“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要不充分条件.
综上可知,真命题是④.
答案:④
三、解答题
11.(10分)(2017·郑州高二检测)(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件?
(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件?
【解析】(1)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件,则只要⊆{x|x<-1或x>3},即只需-≤-1,所以m≥2.
故存在实数m≥2,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件,则只要{x|x<-1或x>3}⊆,这是不可能的.故不存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件.
【能力挑战题】
已知f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0).试证明:方程f(x)=0有两个不相等的实数解,当且仅当存在x0∈R,使af(x0)<0.
【证明】若存在x0∈R,使af(x0)<0,则b2-4ac=b2-4a[f(x0)-a-bx0]
=b2+4abx0+4a2-4af(x0)=(b+2ax0)2-4af(x0)>0.
所以方程f(x)=0有两个不相等的实数解.
若方程f(x)=0有两个不相等的实数解,
则b2-4ac>0,设x0=-,
则af(x0)=a×
=-+ac=<0.
综上可知结论成立,即问题得证.。