新人教版九年级数学上册同步测试：21.2.1因式分解法解一元二次方程
（人教版）数学九年级上册21.2解一元二次方程同步习题（有答案）
（⼈教版）数学九年级上册21.2解⼀元⼆次⽅程同步习题（有答案）21．2解⼀元⼆次⽅程21．2.1配⽅法第1课时直接开平⽅法1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平⽅根，记为x＝≥0)，由平⽅根的意义降次来解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫做直接开平⽅法．2．直接开平⽅，把⼀元⼆次⽅程“降次”转化为__两个⼀元⼀次⽅程___．3．如果⽅程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝或mx＋n＝．知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型⽅程的解法1．⽅程x2－16＝0的根为( C)A．x＝4B．x＝16C．x＝±4 D．x＝±82．⽅程x2＋m＝0有实数根的条件是( D)A．m＞0 B．m≥0C．m＜0 D．m≤03．⽅程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C)A．0个B．1个C．2个D．3个4．若4x2－8＝0成⽴，则x的值是．5．解下列⽅程：(1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3(2)2x2＋4＝12；解：x1＝2，x2＝－2(3)5x2＋8＝3.解：没有实数根知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法6．⼀元⼆次⽅程(x＋6)2＝16可转化为两个⼀元⼀次⽅程，其中⼀个⼀元⼀次⽅程是x ＋6＝4，则另⼀个⼀元⼀次⽅程是( D)A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－47．若关于x的⽅程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D)A．k＜1 B．k＜－1C．k≥1 D．k＞18．⼀元⼆次⽅程(x－3)2＝8的解为．9．解下列⽅程：(1)(x－3)2－9＝0；解：x1＝6，x2＝0(2)2(x－2)2－6＝0；解：x1＝2＋3，x2＝2－ 3(3)x2－2x＋1＝2.解：x1＝1＋2，x2＝1－ 210．(2014·⽩银)⼀元⼆次⽅程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的⼀个根为0，则a ＝__1___．11．若x 2－4x ＋2的值为0，则x ＝__2___．12．由x 2＝y 2得x ＝±y ，利⽤它解⽅程(3x －4)2＝(4x －3)2，其根为__x ＝±1___．13．在实数范围内定义⼀种运算“*”，其规则为a*b ＝a 2－b 2，根据这个规则，⽅程(x ＋2)*5＝0的根为__x 1＝3，x 2＝－7___．14．( C ) A ．x 2－3＝0 B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2x ＝0D ．(x －1)2＝(2x ＋1)2 15．(2014·枣庄)x 1，x 2是⼀元⼆次⽅程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( A )A ．x 1⼩于－1，x 2⼤于3B ．x 1⼩于－2，x 2⼤于3C ．x 1，x 2在－1和3之间D ．x 1，x 2都⼩于316．若(x 2＋y 2－3)2＝16，则x 2＋y 2的值为( A ) A ．7 B ．7或－1 C ．－1 D ．19 17．解下列⽅程： (1)3(2x ＋1)2－27＝0；解：x 1＝1，x 2＝－2(2)(x －2)(x ＋2)＝10；解：x 1＝23，x 2＝－2 3(3)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2；解：x 1＝1，x 2＝5(4)4(2x －1)2＝9(2x ＋1)2.解：x 1＝－52，x 2＝－11018．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，求x ＋3x2的值．解：由题意得2(x 2＋3)＋3(1－x 2)＝0，∴x ＝±3.当x ＝3时，x ＋3x 2＝23；当x ＝－3时，x ＋3x2＝019．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸⽚的四个⾓都剪去⼀个边长为x的正⽅形．(1)⽤a，b，x表⽰纸⽚剩余部分的⾯积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的⾯积等于剩余部分的⾯积时，求正⽅形的边长．解：(1)ab－4x2(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代⼊，得x2＝3，解得x1＝3，x2＝－3(舍去)，即正⽅形的边长为3第2课时配⽅法1．通过配成__完全平⽅形式___来解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫做配⽅法．2．配⽅法的⼀般步骤：(1)化⼆次项系数为1，并将含有未知数的项放在⽅程的左边，常数项放在⽅程的右边；(2)配⽅：⽅程两边同时加上__⼀次项系数的⼀半的平⽅___，使左边配成⼀个完全平⽅式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；(3)若p__≥___0，则可直接开平⽅求出⽅程的解；若p__＜___0，则⽅程⽆解．知识点1：配⽅1．下列⼆次三项式是完全平⽅式的是( B)A．x2－8x－16B．x2＋8x＋16C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋162．若x2－6x＋m2是⼀个完全平⽅式，则m的值是( C)A．3 B．－3C．±3 D．以上都不对3．⽤适当的数填空：x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；m2__±3___m＋94＝(m__±2___)2.知识点2：⽤配⽅法解x2＋px＋q＝0型的⽅程4．⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程x2－4x＝5时，此⽅程可变形为( D) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝95．下列配⽅有错误的是( D)A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝1246．(2014·宁夏)⼀元⼆次⽅程x2－2x－1＝0的解是( C)A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋2，x2＝－1－ 2C．x1＝1＋2，x2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 27．解下列⽅程：(1)x2－4x＋2＝0；解：x1＝2＋2，x2＝2－ 2(2)x2＋6x－5＝0.解：x1＝－3＋14，x2＝－3－14知识点3：⽤配⽅法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的⽅程8．解⽅程3x 2－9x ＋1＝0，两边都除以3得__x 2－3x ＋13＝0___，配⽅后得__(x －32)2＝2312___．9．⽅程3x 2－4x －2＝0配⽅后正确的是( D ) A ．(3x －2)2＝6 B ．3(x －2)2＝7C ．3(x －6)2＝7D ．3(x －23)2＝10310．解下列⽅程： (1)3x 2－5x ＝－2；解：x 1＝23，x 2＝1(2)2x 2＋3x ＝－1.解：x 1＝－1，x 2＝－1211．对于任意实数x ，多项式x 2－4x ＋5的值⼀定是( B ) A ．⾮负数 B ．正数 C ．负数 D ．⽆法确定12．⽅程3x 2＋2x ＝6，左边配⽅得到的⽅程是( B )A ．(x ＋26)2＝－3718B ．(x ＋26)2＝3718C ．(x ＋26)2＝3518D ．(x ＋26)2＝611813．已知⽅程x 2－6x ＋q ＝0可以配⽅成(x －p)2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配⽅成下列的( B )A ．(x －p)2＝5B ．(x －p)2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝514．已知三⾓形⼀边长为12，另两边长是⽅程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三⾓形的⾯积为__30___．15．当x ＝__2___时，式⼦200－(x －2)2有最⼤值，最⼤值为__200___；当y ＝__－1___时，式⼦y 2＋2y ＋5有最__⼩___值为__4___．16．⽤配⽅法解⽅程： (1)23x 2＝2－13x ；解：x 1＝32，x 2＝－2(2)3y 2＋1＝23y.解：y 1＝y 2＝3317．把⽅程x 2－3x ＋p ＝0配⽅得到(x ＋m)2＝12，求常数m 与p 的值．解：m ＝－32，p ＝7418．试证明关于x 的⽅程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，⽆论a 为何值，该⽅程都是⼀元⼆次⽅程．解：∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4≠0，∴⽆论a 取何值，该⽅程都是⼀元⼆次⽅程19．选取⼆次三项式ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中的两项，配成完全平⽅式的过程叫做配⽅．例如：①选取⼆次项和⼀次项配⽅：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取⼆次项和常数项配⽅：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取⼀次项和常数项配⽅：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配⽅； (2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值．解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x－2)2－4x (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x 2＋xy ＋14y 2)＋(34y 2－3y ＋3)＝0，(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0，⼜∵(x ＋12y)2≥0，34(y －2)2≥0，∴x ＋12y ＝0，y －2＝0，∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝121．2.2 公式法1．⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当__b 2－4ac ≥0___时，x ＝－b±b 2－4ac2a，这个式⼦叫做⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0的__求根公式___．2．式⼦__b 2－4ac___叫做⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，常⽤Δ表⽰，Δ＞0?ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0?ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0?ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__没有实数根___．知识点1：根的判别式1．下列关于x 的⽅程有实数根的是( C )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝0 2．(2014·兰州)⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B )A ．b 2－4ac ＝0B ．b 2－4ac ＞0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≥03．⼀元⼆次⽅程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有⼀个实数根D ．没有实数根4．利⽤判别式判断下列⽅程的根的情况： (1)9x 2－6x ＋1＝0；解：∵a ＝9，b ＝－6，c ＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此⽅程有两个相等的实数根(2)8x 2＋4x ＝－3；解：化为⼀般形式为8x 2＋4x ＋3＝0，∵a ＝8，b ＝4，c ＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此⽅程没有实数根(3)2(x 2－1)＋5x ＝0.解：化为⼀般形式为2x 2＋5x －2＝0，∵a ＝2，b ＝5，c ＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此⽅程有两个不相等的实数根知识点2：⽤公式法解⼀元⼆次⽅程5．⽅程5x ＝2x 2－3中，a ＝__2___，b ＝__－5___，c ＝__－3___，b 2－4ac ＝__49___．6．⼀元⼆次⽅程x 2－x －6＝0中，b 2－4ac ＝__25___，可得x 1＝__3___，x 2＝__－2___．7．⽅程x 2－x －1＝0的⼀个根是( B )A ．1－ 5B .1－52C ．－1＋ 5D .－1＋528．⽤公式法解下列⽅程： (1)x 2－3x －2＝0；解：x 1＝3＋172，x 2＝3－172(2)8x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝2＋24，x 2＝2－24(3)2x 2－2x ＝5.解：x 1＝1＋112，x 2＝1－1129．(2014·⼴东)关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( B )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－9410．若关于x 的⼀元⼆次⽅程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( C ) A ．k ＞－1 B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠011．已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．12．关于x 的⽅程(a ＋1)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满⾜的条件是__a ≥－5___． 13．⽤公式法解下列⽅程： (1)x(2x －4)＝5－8x ；解：x 1＝－2＋142，x 2＝－2－142(2)(3y －1)(y ＋2)＝11y －4.解：y 1＝3＋33，y 2＝3－3314．当x 满⾜条件x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）时，求出⽅程x 2－2x －4＝0的根．解：解不等式组得215．(2014·梅州)已知关于x 的⽅程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该⽅程的⼀个根为1，求a 的值及该⽅程的另⼀根；(2)求证：不论a 取何实数，该⽅程都有两个不相等的实数根．解：(1)a ＝12，另⼀个根为x ＝－32(2)∵Δ＝a 2－4(a －2)＝(a －2)2＋4＞0，∴⽆论a 取何实数，该⽅程都有两个不相等的实数根16．关于x 的⼀元⼆次⽅程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实数根． (1)求a 的最⼤整数值；(2)当a 取最⼤整数值时，求出该⽅程的根．解：(1)∵关于x 的⼀元⼆次⽅程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤709且a≠6，∴a的最⼤整数值为7(2)当a＝7时，原⼀元⼆次⽅程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝－（－8）±282＝4±7，即x1＝4＋7，x2＝4－717．(2014·株洲)已知关于x的⼀元⼆次⽅程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是⽅程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果⽅程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三⾓形，试求这个⼀元⼆次⽅程的根．解：(1)△ABC是等腰三⾓形．理由：∵x＝－1是⽅程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a －c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三⾓形(2)∵⽅程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直⾓三⾓形(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－121．2.3 因式分解法1．当⼀元⼆次⽅程的⼀边为0，另⼀边可以分解成两个⼀次因式的乘积时，通常将⼀元⼆次⽅程化为__两个⼀次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等于0，从⽽实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．2．解⼀元⼆次⽅程，⾸先看能否⽤__直接开平⽅法___；再看能否⽤__因式分解法___；否则就⽤__公式法___；若⼆次项系数为1，⼀次项系数为偶数可先⽤__配⽅法___．知识点1：⽤因式分解法解⼀元⼆次⽅程 1．⽅程(x ＋2)(x －3)＝0的解是( C ) A ．x ＝2 B ．x ＝－3 C ．x 1＝－2，x 2＝3 D ．x 1＝2，x 2＝－32．⼀元⼆次⽅程x(x －5)＝5－x 的根是( D ) A ．－1 B ．5C ．1和5D ．－1和5 3．(2014·永州)⽅程x 2－2x ＝0的解为__x 1＝0，x 2＝2___． 4．⽅程x 2－2x ＋1＝0的根是__x 1＝x 2＝1___5．⽤因式分解法解下列⽅程： (1)x 2－4＝0；解：x 1＝2，x 2＝－2(2)x 2－23x ＝0；解：x 1＝0，x 2＝2 3(3)(3－x)2－9＝0；解：x 1＝0，x 2＝6(4)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2.解：x 1＝1，x 2＝53知识点2：⽤适当的⽅法解⼀元⼆次⽅程6．解⽅程(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6＝0时，我们可以将x ＋1看成⼀个整体，设x ＋1＝y ，则原⽅程可化为y 2－5y ＋6＝0，解得y 1＝2，y 2＝3.当y ＝2时，即x ＋1＝2，解得x ＝1；当y ＝3时，即x ＋1＝3，解得x ＝2，所以原⽅程的解为x 1＝1，x 2＝2.利⽤这种⽅法求⽅程(2x －1)2－4(2x －1)＋3＝0的解为( C )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝－1，x 2＝－3C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－1 7．⽤适当的⽅法解⽅程： (1)2(x －1)2＝12.5；解：⽤直接开平⽅法解，x 1＝3.5，x 2＝－1.5(2)x 2＋2x －168＝0；解：⽤配⽅法解，x 1＝12，x 2＝－14(3)2x 2＝2x ；解：⽤因式分解法解，x 1＝0，x 2＝ 2(4)4x 2－3x －2＝0.解：⽤公式法解，x 1＝3＋418，x 2＝3－4188．⽅程x(x －1)＝－x ＋1的解为( D ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x 1＝0，x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－19．⽤因式分解法解⽅程，下列⽅法中正确的是( A ) A ．(2x ＋2)(3x ＋4)＝0化为2x ＋2＝0或3x ＋4＝0 B ．(x －3)(x ＋1)＝1化为x －3＝1或x ＋1＝1 C ．(x －2)(x －3)＝2×3化为x －2＝2或x －3＝3 D ．x(x －2)＝0化为x －2＝010．⼀个三⾓形的两边长分别为3和6，第三边的边长是⽅程(x －2)(x －4)＝0的根，则这个三⾓形的周长是( C )A ．11B ．11或13C ．13D ．以上都不对11．(2014·陕西)若x ＝－2是关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－52ax ＋a 2＝0的⼀个根，则a 的值是( B )A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－4 12．已知x ＝1是关于x 的⽅程(1－k)x 2＋k 2x －1＝0的根，则常数k 的值为__0或1___．13．已知(x 2＋2x －3)0＝x 2－3x ＋3，则x ＝__2___． 14．⽤因式分解法解下列⽅程： (1)x 2－3x ＝x －4；解：x 1＝x 2＝2(2)(x －3)2＝3(x －3)．解：x 1＝3，x 2＝615．⽤适当的⽅法解下列⽅程： (1)4(x －1)2＝2；解：x 1＝2＋22，x 2＝－2＋22(2)x 2－6x ＋4＝0；解：x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5(3)x 2－4＝3x －6；解：x 1＝1，x 2＝2(4)(x ＋5)2＋x 2＝25. 解：x 1＝－5，x 2＝016．⼀跳⽔运动员从10 m ⾼台上跳下，他离⽔⾯的⾼度h(单位：m )与所⽤时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到⼊⽔所⽤的时间是多少？解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到⼊⽔所⽤的时间为2 s17．先阅读下列材料，然后解决后⾯的问题：材料：因为⼆次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以⽅程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.问题：(1)⽤因式分解法解⽅程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数x满⾜(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___．专题训练(⼀) ⼀元⼆次⽅程的解法及配⽅法的应⽤⼀、⼀元⼆次⽅程的解法 1．⽤直接开平⽅法解⽅程： (1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8；解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．⽤配⽅法解⽅程： (1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7. 解：x 1＝4，x 2＝23．⽤公式法解⽅程： (1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原⽅程⽆实数根4．⽤因式分解法解⽅程： (1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0. 解：x 1＝x 2＝35．⽤适当的⽅法解⽅程： (1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8. 解：x 1＝1，x 2＝－3⼆、配⽅法的应⽤ (⼀)最⼤(⼩)值6．利⽤配⽅法证明：⽆论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最⼤值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成⽴．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最⼤值－347．对关于x的⼆次三项式x2＋4x＋9进⾏配⽅得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最⼩值，并求出最⼩值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最⼩值是5(⼆)⾮负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满⾜a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由⾮负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直⾓三⾓形。
人教版数学九年级上册解一元二次方程因式分解法同步练习题含答案与解析
21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法一、单项选择题1. 一元二次方程x 2－x ＋＝0的根是( ) A ．， B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝ D ．x 1＝x 2＝2. 方程3x 2=0与方程3x 2=3x 的解（ ）A ．都是x=0B ．有一个相同的解x=0C ．都不相同D ．无法确定3．解方程(x ＋5)2－3(x ＋5)＝0，较为简便的方法是( )A ．直接开平方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法4．方程x(x －4)＝32－8x 的解是( )A ．x ＝－8B ．x 1＝4，x 2＝－8C ．x 1＝－4，x 2＝8D ．x 1＝2，x 2＝－85. 一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x-3）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长（ ）A ．13B ．11或13C ．11D ．11和136、要使4452-+-x x x 的值为0，x 的值为（ ）A ．4或1B ．4C ．1D ．-4或-114112x =21=2x -12-127、已知x2-5xy+6y2=0，那么x与y的关系是（）A．2x=y或3x=y B．2x=y或3y=xC．x=2y或x=3y D．x=2y或y=3x8、已知（a2+b2）2-2（a2+b2）+1=0，则a2+b2的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．±1二、填空题9．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．10．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．11．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是______．12. 一元二次方程x(x－1)＝0的解是__________．13. 一元二次方程x2-3x=0的根是__________．14. 方程（x+1）（3x-2）=0的根是15. 请写出一个根为x=1，另一个根满足-1＜x＜1的一元二次方程：16. 已知一元二次方程（m-1）x2+7mx+m2+3m-4=0有一根为0，则m=y=17. 若2x2+9xy-5y2=0，则x三、解答题18. 用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.19. 如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，求方程x2－6mx ＝0的根.20. 用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，求m的值.21. 若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，切m≠0，则m+n的值是多少？22. 有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32cm2，求这两个正方形的边长．23. 阅读材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0，我们可以将x 2-1看作一个整体，然后设x 2-1=y ①，那么原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=±2；当y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=±5，故原 方程的解为x 1=2，x 2= -2，x 3=5，x 4= -5解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。
新人教版九年级数学上21.2.1公式法同步测试含答案
《21.2.1 公式法》一、选择题:1．一元二次方程x(x ﹣2)=0根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x ﹣1)2=b 的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个实数根3．已知关于x 的一元二次方程(x+1)2﹣m=0有两个实数根，则m 的取值范围是( )A ．m ≥﹣B ．m ≥0C ．m ≥1D ．m ≥24．关于x 的一元二次方程kx 2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＜B ．k ＞C ．k ＜且k ≠0D ．k ＞且k ≠0二、填空题5．一元二次方程x 2+x=3中，a=______，b=______，c=______，则方程的根是______．6．若x 1，x 2分别是x 2﹣3x+2=0的两根，则x 1+x 2=______．7．已知三角形两边长是方程x 2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c 的取值范围是______．8．已知关于x 的一元二次方程(k+1)x 2﹣2x ﹣1=0有两个不相同的实数根，则k 的取值范围是______．9．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根______．10．一次二元方程x 2+x+=0根的情况是______．11．若关于x 的方程ax 2+2(a+2)x+a=0有实数解，那么实数a 的取值范围是______．12．已知代数式7x(x+5)与代数式﹣6x 2﹣37x ﹣9的值互为相反数，则x=______．13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k 的取值范围是______．14．对于实数a ，b ，定义运算“﹡”:a ﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x+6=0的两个根，则x 1﹡x 2=______．三、解答题(共4小题，满分0分)15．用公式法解方程:①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．16．不解方程，判断下列方程的根的情况:①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．17．已知关于x的方程mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2=0，求证:无论m取任何实数时，方程恒有实数根．18．已知关于x的一元二次方程:x2﹣(2k+1)x+4(k﹣)=0．(1)求证:这个方程总有两个实数根；(2)若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．《21.2.1 公式法》参考答案与试题解析一、选择题:1．一元二次方程x(x﹣2)=0根的情况是( )A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解:原方程变形为:x2﹣2x=0，∵△=(﹣2)2﹣4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．2．已知b＜0，关于x的一元二次方程(x﹣1)2=b的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根【解答】解:∵(x﹣1)2=b中b＜0，∴没有实数根，故选:C．3．已知关于x的一元二次方程(x+1)2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是( ) A．m≥﹣B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2【解答】解；(x+1)2﹣m=0，(x+1)2=m，∵一元二次方程(x+1)2﹣m=0有两个实数根，∴m≥0，故选:B．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A ．k ＜B ．k ＞C ．k ＜且k ≠0D ．k ＞且k ≠0【解答】解:根据题意得k ≠0且△=(﹣1)2﹣4k ＞0，解得k ＜且k ≠0．故选C ．二、填空题5．一元二次方程x 2+x=3中，a= ，b= 1 ，c= ﹣3 ，则方程的根是 x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣ ． 【解答】解:移项得，x+x ﹣3=0∴a=，b=1，c=﹣3∴b 2﹣4ac=7∴x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣．6．若x 1，x 2分别是x 2﹣3x+2=0的两根，则x 1+x 2= 3 ．【解答】解:根据题意得x 1+x 2=3．故答案为3．7．已知三角形两边长是方程x 2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c 的取值范围是 1＜c ＜5 ．【解答】解:∵三角形两边长是方程x 2﹣5x+6=0的两个根，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=6∵(x 1﹣x 2)2=(x 1+x 2)2﹣4x 1x 2=25﹣24=1∴x 1﹣x 2=1，又∵x 1﹣x 2＜c ＜x 1+x 2，∴1＜c ＜5．故答案为:1＜c ＜5．8．已知关于x的一元二次方程(k+1)x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是k＞﹣2且k≠﹣1 ．【解答】解:根据题意得k+1≠0且△=(﹣2)2﹣4(k+1)•(﹣1)＞0，解得k＞﹣2且k≠﹣1．故答案为k＞﹣2且k≠﹣1．9．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根x2+x﹣1=0 ．【解答】解:比如a=1，b=1，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，∴方程为x2+x﹣1=0．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是方程有两个相等的实数根．【解答】解:∵△=12﹣4×=0，∴方程有两个相等的实数根故答案为方程有两个相等的实数根．11．若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥﹣1 ．【解答】解:当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当a≠0时，方程是一元二次方程，若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解，则△=[2(a+2)]2﹣4a•a≥0，解得:a≥﹣1．故答案为:a≥﹣1．12．已知代数式7x(x+5)与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数，则x= 1±．【解答】解:根据题意得:7x(x+5)﹣6x2﹣37x﹣9=0，这里的:x2﹣2x﹣9=0，这里a=1，b=﹣2，c=﹣9，∵△=4+36=40，。
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案一、选择题1．用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是（ ） A ．(x −34)2=1716 B ．(x −34)2=12 C ．(x −34)2=134D ．(x −34)2=1142．一元二次方程(x −22)2=0的根为（ ）． A ．x 1=x 2=22B ．x 1=x 2=−22C ．x 1=0，x 2=22D ．x 1=−223．关于一元二次方程x 2+kx −9=0（k 为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定根的情况4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A ． 且B ．C ．且D ．5．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则的的值为（ ）A ．2B ．-1C ．2或-1D ．1或-26．已知a ，b 是一元二次方程x 2+3x −2=0的两根，则a 2+5a +2b 的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．07．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2−16x +60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A ．24B ．48C ．24或8√5D ．8√5 8．已知一元二次方程x 2+2x +6=10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2x 1x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12D ．−12二、填空题9．若用配方法解方程x 2+4x +1=0时，将其配方为(x +b)2=c 的形式，则c = ． 10．若实数a ，b 满足a −2ab +2ab 2+4=0，则a 的取值范围是 ． 11．已知(a 2+b 2)2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 .12．关于x 的一元二次方程x 2+2x-a ＝0的一个根是2，则另一个根是 .13．设x1，x2是方程2x2+6x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是．三、解答题14．解方程：（1）x2−4x+3=0；（2）3x2−5x+1=0．15．已知x=√5−1，求代数式x2+2x−3的值．16．关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．17．已知关于的一元二次方程（1）若方程的一个根为，求的值及另一个根；（2）若该方程根的判别式的值等于，求的值.18．若关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是、且满足，求的值.参考答案1．A2．A3．A4．A5．A6．B7．C8．B9．310．−8≤a<011．312．-413．−7214．（1）解：∵x2−4x+3=0∴(x−3)(x−1)=0∴x−3=0或x−1=0∴x1=3，x2=1．（2）解：∵3x2−5x+1=0∴a=3，b=−5，c=1∴Δ=25−12=13>0∴x=5±√136∴x1=5+√136，x2=5−√136．15．解：当x=√5−1时x2+2x−3＝x2+2x+1−1−3＝(x+1)2−4＝(√5−1+1)2−4＝5－4＝1．16．解：∵∴且，即．解得：且．17．（1）解：设方程的另一根是x2.∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3∴x=3是原方程的解∴9m﹣（m+2）×3+2=0解得m= ；又由韦达定理，得3×x2=∴x2=1，即原方程的另一根是1（2）解：∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3.18．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根∴即解得：；（2）解：设方程的两根分别是∴又∵∴∴∴解得：. 经检验，都符合原分式方程的根∵，∴。
人教版九年级数学上册 21.2解一元二次方程 教材同步培优测评卷(包含答案)
人教版九年级数学上册 第21章 21.2解一元二次方程 教材同步培优测评卷21.2.1配方法解一元二次方程教材同步学习要求掌握配方法的概念，会用配方法解一元二次方程．课堂学习检测一、填上适当的数使下面各等式成立 1．x 2－8x ＋______＝(x －______)2． 2．x 2＋3x ＋______＝(x ＋______)2． 3．x x 232-＋______＝(x －______)2． 4．x x 322+＋______＝(x ＋______)2． 5．x 2－px ＋______＝(x －______)2． 6．x abx -2＋______＝(x －______)2． 二、选择题7．用配方法解方程01322=--x x ，应该先把方程变形为( )． (A)98)31(2=-x(B)98)31(2-=-x(C)910)31(2=-x(D)0)32(2=-x8．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5的过程中，配方正确的是( )． (A)(x ＋2)2＝1 (B)(x －2)2＝1(C)(x ＋2)2＝9(D)(x －2)2＝99．x x 212-配成完全平方式需加上( )． (A)1(B)41 (C)161 (D)8110．若x 2＋px ＋16是一个完全平方式，则p 的值为( )．(A)±2(B)±4(C)±8(D)±16三、解答题(用配方法解一元二次方程) 11．x 2－2x －1＝0． 12．y 2－6y ＋6＝0．综合、运用、诊断一、选择题13．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( )(A)31)3(2=-x(B)31)1(32=-x (C)(3x －1)2＝1 (D)32)1(2=-x 14．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为( )．(A)－2(B)－4(C)－6(D)2或615．将4x 2＋49y 2配成完全平方式应加上( )．(A)14xy(B)－14xy(C)±28xy(D)016．用配方法解方程x 2＋px ＋q ＝0，其配方正确的是( )．(A).44)2(22qp p x -=+ (B).44)2(22qp p x -=-(C).44)2(22p q p x -=+ (D).44)2(22p q p x -=- 二、解答题(用配方法解一元二次方程)17．3x 2－4x ＝2． 18．.231322=+x x拓展、探究、思考19．用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?21.2.2 公式法解一元二次方程教材同步学习要求熟练掌握用公式法解一元二次方程．课堂学习检测一、填空题1．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是______．2．一元二次方程(2x ＋1)2－(x －3)(2x －1)＝3x 中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______． 二、选择题3．方程x 2－2x －2＝0的两个根为( )． (A)x 1＝1，x 2＝－2 (B)x 1＝－1，x 2＝2 (C)31,3121-=+=x x (D)13,1321+=-=x x4．用公式法解一元二次方程x x 2412=-，它的根正确的应是( )． (A)2522,1±-=x (B)2522.1±=x (C)2512,1±=x(D)2312,1+=x 5．方程mx 2－4x ＋1＝0(m ≠0)的根是( )． (A)4121==x x(B)m mx -±=422,1 (C)mmx -±=4222,1 (D)mm m x -±=422,1 6．若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，则x 的值应为( )． (A)1或5(B)7或－1(C)－1或－5(D)－7或1三、解答题(用公式法解一元二次方程) 7．x 2＋4x －3＝0．8．3x 2－8x ＋2＝0． 综合、运用、诊断一、填空题9．若关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根是2，则m ＝______，另一根是______． 二、选择题10．关于x 的一元二次方程ax a x 32222=+的两个根应为( )．(A)222,1ax ±-=(B)a x 21=，a x 222=(C)4222,1ax ±=(D)a x 22,1±=三、解答题(用公式法解下列一元二次方程) 11．2x －1＝－2x 2．12．(x ＋1)(x －1)＝x 22拓展、探究、思考一、解答题(用公式法解关于x 的方程) 13．x 2＋mx ＋2＝mx 2＋3x (m ≠1)． 14．x 2－4ax ＋3a 2＋2a －1＝0．21.2.3 一元二次方程根的判别式教材同步学习要求掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，能灵活应用有关概念解决实际问题．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为＝b2－4ac，当b2－4ac______0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac______0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac______0时，方程没有实数根．2．若关于x的方程x2－2x－m＝0有两个不相等的实数根，则m______．3．若关于x的方程x2－2x－k＋1＝0有两个实数根，则k______．4．若方程2x2－(2m＋1)x＋m＝0根的判别式的值是9，则m＝______．二、选择题5．方程x2－3x＝4根的判别式的值是( )．(A)－7 (B)25 (C)±5 (D)56．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )． (A)正数(B)负数(C)非负数(D)零7．下列方程中有两个相等实数根的是( )． (A)7x 2－x －1＝0 (B)9x 2＝4(3x －1)(C)x 2＋7x ＋15＝0(D)02322=--x x8．方程03322=++x x ( )． (A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的有理根 (C)没有实数根(D)有两个相等的无理根三、解答题9．k 为何值时，一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．10．关于x 的一元二次方程－x 2＋(2k ＋1)x ＋2－k 2＝0有实数根，求k 的取值范围．11．求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-mx m x 都有两个不相等的实数根．综合、运用、诊断一、选择题12．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的判别式是( )．(A)242ac b b -±-(B)ac b 42-(C)b 2－4ac (D)a 、b 、c13．若关于x 的方程(x ＋1)2＝1－k 没有实数根，则k 的取值范围是( )．(A)k ＜1 (B)k ＜－1 (C)k ≥1(D)k ＞114．若关于x 的方程3kx 2＋12x ＋k ＋1＝0有两个相等的实数根，则k 的值为( )．(A)－4 (B)3 (C)－4或3(D)21或32-15．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2mx ＋m ＋3＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )． (A)23<m (B)23<m 且m ≠1 (C)23≤m 且m ≠1 (D)23>m 16．如果关于x 的二次方程a (1＋x 2)＋2bx ＝c (1－x 2)有两个相等的实数根，那么以正数a 、b 、c 为边长的三角形是( )．(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形(D)任意三角形二、解答题17．已知方程mx 2＋mx ＋5＝m 有两个相等的实数根，求方程的解．18．求证：不论k 取何实数，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)＝0都没有实根．拓展、探究、思考19．已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a＝1，c＝4，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．20．已知关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围：(2)0可能是方程的一个根吗?若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．21.2.4 因式分解法解一元二次方程教材同步学习要求掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法．课堂学习检测一、写出下列一元二次方程的根1．x (x －3)＝0______． 2．(2x －7)(x ＋2)＝0 ______． 3．3x 2＝2x ______．4．x 2＋6x ＋9＝0 ______． 5．03222=-x x ______． 6．x x )21()21(2-=+ ______．7．(x －1)2－2(x －1)＝0______．8．(x －1)2－2(x －1)＝－1 ______． 二、选择题 9．方程(x －a )(x －b )＝0的两个根是( )．(A)x 1＝a ，x 2＝b (B)x 1＝a ，x 2＝－b(C)x 1＝－a ，x 2＝b(D)x 1＝－a ，x 2＝－b 10．下列解方程的过程，正确的是( )．(A)x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1(B)x 2＋4＝0，直接开平方法可得，x ＝±2(C)(x －2)(x ＋1)＝3×2 ∵x －2＝3，x ＋1＝2， ∴x 1＝5，x 2＝1(D)(2－3x )＋(3x －2)2＝0整理得 3(3x －2)(x －1)＝0 ∴x 1＝32，x 2＝1 三、用因式分解法解下列方程(*题用十字相乘法因式分解解方程)11．3x (x －2)＝2(x －2)．12．x 2－4x ＋4＝(2－3x )2．*13．x 2－3x －28＝0．*14．x 2－6x ＋8＝0．*15．(2x －1)2－2(2x －1)＝3．*16．x (x －3)＝3x －9．综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根17．.06222=-x x ______________________________．18．(x ＋1)(x －1)＝2．_______________________________．19．(x －2)2＝(2x ＋5)2．______________________________．二、选择题20．方程x (x －2)＝2(2－x )的根为( )．(A)x ＝－2 (B)x ＝2(C)x 1＝2，x 2＝－2(D)x 1＝x 2＝2 21．方程(x －1)2＝1－x 的根为( )．(A)0 (B)－1和0 (C)1 (D)1和022．若实数x 、y 满足(x －y )(x －y ＋3)＝0，则x －y 的值是( )．(A)－1或－2 (B)－1或2 (C)0或3 (D)0或－3三、用因式分解法解下列关于x 的方程23．x 2＋2mx ＋m 2－n 2＝0．24．.04222=-+-b a ax x25．x 2－bx －2b 2＝0．拓展、探究、思考一、解答题26．已知x 2－5x ＝14，求(x －1)(2x －1)－(x ＋1)2＋1的值．27．解关于x的方程：x2－2x＋1－k(x2－1)＝0．21. 2.5 一元二次方程解法综合训练教材同步学习要求会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力．课堂学习检测一、写出下列一元二次方程的根1．3(x－1)2－1＝0．_____________________________．2．(2x＋1)2－2(2x＋1)＝3．_______________________．3．3x2－5x＋2＝0．_____________________________．4．x2－4x－6＝0．______________________________．二、选择题5．方程x2－4x＋4＝0的根是( )．(A)x ＝2 (B)x 1＝x 2＝2(C)x ＝4 (D)x 1＝x 2＝4 6．5.27.0512=+x 的根是( )．(A)x ＝3 (B)x ＝±3(C)x ＝±9 (D)3±=x 7．072=-x x 的根是( )． (A)77=x(B)x 1＝0，x 2＝77 (C)x 1＝0，x 2＝7(D)x ＝7 8．(x －1)2＝x －1的根是( )．(A)x ＝2(B)x ＝0或x ＝1 (C)x ＝1(D)x ＝1或x ＝2 三、用适当方法解下列方程9．6x 2－x －2＝0．10．(x ＋3)(x －3)＝3．四、解关于x 的方程11．x 2－2mx ＋m 2－n 2＝0．12．2a 2x 2－5ax ＋2＝0(a ≠0)．综合、运用、诊断一、填空题13．若分式1872+--x x x 的值是0，则x ＝______． 14．x 2＋2ax ＋a 2－b 2＝0的根是____________．二、选择题15．关于方程3x 2＝0和方程5x 2＝6x 的根，下列结论正确的是( )．(A)它们的根都是x ＝0(B)它们有一个相同根x ＝0 (C)它们的根都不相同 (D)以上结论都不正确16．关于x 的方程abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab ＝0(ab ≠0)的根是( )．(A)x 1＝a b 2，x 2＝b a 2 (B)x 1＝a b ，x 2＝ba (C)x 1＝ab b a 22+，x 2＝0 (D)以上都不正确三、解下列方程17．.02322=+-x x18．(y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)＝26．19．x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k －6．20．.066)3322(2=++-x x四、解答题 21．已知：x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，求yx y x +-的值．22．求证：关于x 的方程(a －b )x 2＋(b －c )x ＋c －a ＝0(a ≠b )有一个根为1．拓展、探究、思考一、填空题23．若方程3x 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为 ．24．在实数范围内把x 2－2x －1分解因式为 ．参考答案21.2.1配方法解一元二次方程 1．16，4． 2．⋅23,49 3．⋅43,1694．⋅31,915．2,42p p 6．⋅a b a b 2,422 7．C ． 8．D ． 9．C ． 10．C ． 11．.21±=x 12．.33±=y 13．D ． 14．D ． 15．C ． 16．A ． 17．⋅-=+=3102,310221x x 18．.2,2321-==x x 19．x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1≥0，当x ＝2时有最小值为1．21.2.2公式法解一元二次方程1．).04(2422≥--±-=ac b aac b b x 2．2，8，－2． 3．C ． 4．B ． 5．B ． 6．B ．7．.72,7221--=+-=x x 8．⋅-=+=3104,310421x x 9．m ＝1，－3． 10．B ． 11．⋅--=+-=231,23121x x 12．.32,3221-=+=x x13．mx -=121，x 2＝1.14．x 1＝a ＋1，x 2＝3a －1. 21.2.3一元二次方程根的判别式1．＞，＝，＜． 2．＞－1． 3．≥0． 4．m ＝2或m ＝－1．5．B ． 6．C ． 7．B ． 8．D ．9．①k ＜1且k ≠0；②k ＝1；③k ＞1． 10．⋅-≥49k11．＝m 2＋1＞0，则方程有两个不相等的实数根．12．C ． 13．D ． 14．C ． 15．B ． 16．C ．17．m ＝4，2121-==x x ． 18．证明＝－4(k 2＋2)2＜0．19．∵b ＝c ＝4 ∴△ABC 是等腰三角形．20．(1)＝[2(k －1)]2－4(k 2－1)＝4k 2－8k ＋4－4k 2＋4＝－8k ＋8．∵原方程有两个不相等的实数根，∴－8k ＋8＞0，解得k ＜1，即实数k 的取值范围是k ＜1. (2)假设0是方程的一个根，则代入得02＋2(k －1)·0＋k 2－1＝0， 解得k ＝－1或k ＝1(舍去)．即当k ＝－1时，0就为原方程的一个根． 此时，原方程变为x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4，所以它的另一个根是4．21.2.4 因式分解法解一元二次方程1．x ＝0，x 2＝3． 2．271=x ，x 2＝－2． 3．x 1＝0，⋅=322x 4．x 1＝x 2＝－3． 5．x 1＝0，.62=x 6．x 1＝0，.3222-=x7．x ＝1，x 2＝3． 8．x 1＝x 2＝2． 9．A ． 10．D ．11．x 1＝2，⋅=322x 12．x 1＝0，x 2＝1． 13．x 1＝7，x 2＝－4． 14．x 1＝4，x 2＝2．15．x 1＝0，x 2＝2． 16．x 1＝x 2＝3．17．x 1＝0，.322=x 18．.3,321-==x x19．x 1＝－1，x 2＝－7． 20．C ． 21．D ． 22．D ．23．x 1＝－m ＋n ，x 2＝－m －n ． 24．.2,221b a x b a x -=+=25．x 1＝2b ，x 2＝－b ．26．15．27．当k ＝1时，x ＝1；当k ≠1时，x 1＝1，⋅-+-=112k k x 21.2.5一元二次方程解法综合训练1．⋅-=+=331,33121x x 2．x 1＝1，x 2＝－1． 3．.1,3221==x x 4．.102,10221-=+=x x 5．B ． 6．B ． 7．B ． 8．D ．9．⋅-==21,3221x x 10．.32,3221-==x x 11．x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n ． 12．⋅==ax a x 2,2121 13．8． 14．x 1＝－a －b ，x 2＝－a ＋b ．15．B ． 16．B ．17．⋅==22,221x x 18．⋅-==227,22721x x 19．x 1＝k －2，x 2＝k －3． 20．.33,2221==x x21．当x ＝－4 y 时，原式35=；当x ＝y 时，原式＝0． 22．略．23．3(x －1)(x ＋3)．24．).21)(21(+---x x。
人教版九年级数学上册21.2：解一元二次方程 (二)同步练习(包含答案)
第二十一章 21.2 解一元二次方程（二）同步练习解一元二次方程：公式法同步练习（答题时间：15分钟）1. 利用求根公式求x x 62152=+的根时，a 、b 、c 的值分别是 （ ） A.6215、、 B. 2165、、 C. 2165、、- D. 2165--、、 2. 方程012=-+x x 的一个根是 （ ）A. 1 –5B. 251- C. –1＋5 D. 251+- 3. 要使6429+-n n a 与n a 3是同类项，则n 等于 （ ）A. 2B. 3C. 0D. 2或3 4. 若04)1(5)2(22=-+-+-m x m x m 是关于x 的一元二次方程，且该方程有一个根是0，则m ＝_______。
5. 若)0(03422≠=+-xy y xy x ，则y x 的值是_________。
6. 用公式法解下列方程：（1）0432=--x x （2）322=+x x （3） 24210x x --=（4）2610y y --=7. 已知921-=x y ，x y -=32，当x 为何值时，1y 与2y 相等?解一元二次方程：公式法同步练习参考答案1. C 解析：先将原方程化为一般形式得，215602x x -+=，即1562a b c ==-=，，，故选C 。
2. D 解析：利用求根公式得：x ==，112-+=x212--=x ，故选D 。
3. D 解析：∵两代数式是同类项，∴246n n n -+=，即：2560n n -+=，利用求根公式可得：1232n n ==，，故选D 。
4. －2 解析：把0x =代入方程得：240m -=，∴2m =±，∵20m -≠，∴2m ≠， ∴2m =-。
5. 1或3 解析：∵0xy ≠，∴00x y ≠≠，，两边同时除以2y 得：22430x x y y-+=， 令x a y=，则原方程可化为：2430a a -+=，利用求根公式得： 1231a a ==，。
人教版初中数学九年级上册21.2解一元二次方程同步测试题含答案
人教版初中数学九年级上册21.2解一元二次方程同步测试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．解下列方程用直接开平方法较简单的是（ ）A ．2x =4xB ．()221x -=9xC ．()23x +-7=0D ．2x +2x=1 2．如果关于x 的方程2x +mx+n=0经过配方可化为()24x -=13，则m 、n 的值是（ ）A ．m=8，n=3B ．m=-8，n=3C ．m=8，n=-3D ．m=-8，n=-3 3．如果关于x 的一元二次方程a 2x +bx+c=0有一个根是x=-1，则a 、b 、c的关系是（ ）A ．a+b+c=0B ．a-b+c=0C ．a+b-c=0D ．a-b-c=04．如果二次三项式a 2x +bx+c 可分解为a （x-2）（x+3）=0，则方程a 2x +bx+c=0的两根是（ ）A ．1x =2，2x =-3B ．1x =-2，2x =3C ．1x =-2，2x =3D ．1x =2，2x =35．一元二次方程（x+2）（x+3）=6的两根（ ）A ．都是0B ．一个0，一个正数C ．一个0，一个负数D ．都是无理数651- ） A ．2x -x-1=0 B ．2x +x-1=0 C ．2x -x+1=0 D ．2x +x+1=0 7．已知非零实数x 、y 满足2x +4xy=52y ，如果分式5x y x y-+有意义，则分式x yy -的值是（ ）A ．0B ．-6C ．0或-6D ．0或-48．某图书馆2016年建馆时购进图书20万册，计划以后每年购进图书比上一年增加一个相同的百分数，到2018年藏书达到72．8万册，设每年增加的百分数为x ，根据题意列方程得（ ） A ．20()21x +=72.8 B ．20（1+x ）=72.8C ．20+20()21x +=72.8 20+20（1+x ）+20()21x +=72.89．已知0x 是一元二次方程a 2x +bx+c=0的根，设M=()202ax b +，N=2b -4ac ，则M-N 的结果是（ ）A ．小于零B ．等于零C ．大于零D ．不能确定10．已知x=232x +bx+c=0的根，如果b 、c 为有理数，则b 、c 的值分别是（ ）A ．b=4，c=1B ．b=4，c=-1C ．b=-4，c=1D ．b=-4，c=-1 二、填空题（本大题6相同，每题4分，共24分） 11．方程()22x -+x=2两根的和是 ．12．如果关于x 的一元二次方程（m-1）2x +（2m-1）x+2m -1=0有一个根为0，则m 的值等于 ．13．如果分式()22516x x x+-+的值为0，则x= ．14．已知三角形的两边长为3和6，第三边是方程()26x --3x+18=0的根，则该三角形的周长是 ．15．如果2x +2y -4x+6y+13=0，则y x 的值等于 ． 16．已知m 是方程2x -2019x+1=0的一个根，则2m -2018m+220191m +的值等于．三、解答题（本大题9小题，共86分）17（8分）．解方程：()23x-=0．x--4()2218（8分）．解方程：2()22t-+t=2．19（8分）解方程：22y-2y-1=0．20（8分）．用配方法解方程：2x-32x+56=0．21（8分）．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何?”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？22（10分）．已知关于x 的一元二次方程（2m -2n ）2x -4mnx=2m -2n （2m -2n ≠0），你能选择一种适当的方法把它解出来吗？ 22．解：原方程化为（2m -2n ）2x -4mnx-（2m -2n ）=0，2b -4ac=162m 2n +4（2m -2n ）（2m -2n ）=4（4m +22m 2n +4n ）=4()222m n +，所以()()222442mm m n m n±+-=()()2222422mn m n m n±+-=()()()222mn m n m n m n ±++-，所以1x =()()()2m n m n m n ++-=m n m n +-，2x =()()()2m n m n m n --+-=-m nm n -+．23（10分）．已知两个一元二次方程a 2x +bx+c=0①和2x +bx+ac=0②（a ≠1）． （1）如果a=2时方程①的两根为2和3，则方程②的两根是 ； （2）如果方程②的两根为1x 和2x ，求证：方程①的两根为1x a 和2xa．24（13分）．如图，一架长2．5米的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，这时B 到墙底C 的距离为0．7米．（1）如果梯子的顶端沿墙下滑0．4米，哪么点B将向外移动多少米？（2）在梯子下滑过程中，是否存在顶端点A 下滑的距离AA 1与底端点B 滑出的距离BB 1相等？如果存在，请求出这个距离；如果不存在请说明理由．25（13分）已知关于x 的一元二次方程（2k +k ）2x +（2k-1）x-3=0． （1）当k=-14，解这个方程；（2）如果已知方程有整数根，求k 的所有整数值．1参考答案3-2x+4)=0，即（3x-7）(-x+1)=0， 所以1x =73，2x =1．18．解：原方程化为2()22t -+（t-2）=0，因式分解，得（t-2）(2t-4+1)=0，即（t-2）(2t-3)=0， 所以1t =2，2t =32．19．解：a=2，b=-2，c=-1，2b -4ac=12， 由求根公式，得y=222±⨯， 所以1y 13+，2y 13-． 20．解：移项，得：2x -32x=-56，两边加上216，得216，得：2x -32x+216=-56+256， 配方，得：()216x -=200，所以x-16=±2，所以1x =16+2，2x =16-2．21．解：设矩形田地的长为x 步（x>30），则宽为（60-x ）步，根据题意得： x （60-x ）=864，整理得：2x -60x+864=0，解得1x =36，2x =24(舍去)，所以x-（60-x ）=12． 答：长比宽多12步．22．解：原方程化为（2m -2n ）2x -4mnx-（2m -2n ）=0，2b -4ac=162m 2n +4（2m -2n ）（2m -2n ）=4（4m +22m 2n +4n ）=4()222m n +，所以()()222442mm m n m n ±+-=()()2222422mn m n m n ±+-=()()()222mn m n m n m n ±++-，所以1x =()()()2m n m n m n ++-=m n m n +-，2x =()()()2m n m n m n --+-=-m nm n-+．23．解：（1）1x =4，2x =6；（2）由求根公式，得方程①的两根1x =242b b ac --，2x =242b b ac--，24b b ac -+-1x a 24b b ac ---=2x a，故，结论成立．24．解：（1）设点B 将向外移动x 米，即BB 1=x ，则B 1C=x+0．7，A 1C=AC-AA 10．4=2， 而A 1B 1=2．5，在R t △A 1B 1C 中，由B 1C 2+A 1C 2=A 1B 12，得方程：(x+0．7)2＋22=2．52，解得x 1=0．8，x 2=-2．2（舍去）， 所以点B 将向外移动0．8米；（2）存在．设梯子顶端从A 处下滑x 米，点B 向外也移动x 米，则有(x+0．7)2+(2．4-x )2=2．52，解得：x=1．7或x=0（舍去）． ∴当梯子顶端从A 处下滑1．7米时，点B 向外业移动1．7米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离相等．25．解：2b -4ac=()221k --4（2k +k ）×（-3）=42k -4k+1+12（2k +k ）=162k +8k+1=()241k +，由求根公式，得：x=()()()221412k k k k --±++，所以1x =()()()221412k k k k --+++=()214121k k k k -++++=()()2121k k k ++=1k，2x =()()()221412k k k k ---++=()214121k k k k -+--+=()621k k k -+=-31k +，如果1x =1k是整数，则整数k=-1，1； 如果2x =-31k +是整数，则整数k=-4，-2，0，2． 又2k ＋k ≠0，k ≠-1且k ≠0，所以k 的所有整数值为-4，-2，1，2．。
人教版九年级上册数学21.2解一元二次方程测试题含答案解析
解一元二次方程测试题时间：90分钟总分：100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程的解是A. B.C. ，D. ，2.一元二次方程的解是A. B.C. ，D.3.关于x的方程h，k均为常数，的解是，，则方程的解是A. ，B. ，C. ，D. ，4.把方程左边配成一个完全平方式，得到的方程是A. B. C. D.5.用配方法解一元二次方程，此方程可化为A. B. C. D.6.一元二次方程配方后化为A. B. C. D.7.用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8.一元二次方程的两个实数根中较大的根是A. B. C. D.9.已知关于x的一元二次方程有两个正整数根，则m可能取的值为A. B. C. ， D. 4，510.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是A. 5B. 7C. 5或7D. 10二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x的根，则该等腰三角形的周长为________．12.三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为______．13.是方程的一个根，则______，另一个根是______．14.方程的根为______．15.方程的解为______．16.方程的较小的根为______．17.一元二次方程的实数根是______．18.如果，那么______ ．19.一元二次方程中，______ ，______ ，______ ，则方程的根是______ ．20.如果关于x的方程有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.用适当的方法解下列一元二次方程直接开平方法配方法因式分解法公式法22.解方程．．23.解下列方程．24.解方程：四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.已知a是一元二次方程的两个实数根中较小的根，不解方程，求的值；根据的结果，求的值；先化简，再求值．26.已知关于x的一元二次方程有实数根．求m的取值范围；若方程有一个根为，求m的值及另一个根．答案和解析【答案】1. D2. C3. B4. D5. B6. A7. B8. B9. C10. B11. 19或21或2312. 1213. ；514. 或15.16.17.18.19. ；1；；，20.21. 解：方程整理得：，开方得：或，解得：，；方程整理得：，配方得：，即，开方得：或，解得：，；方程整理得：，分解因式得：，解得：，；方程整理得：，这里，，，，，解得：，．22. 解：，，或，所以，；，或，所以，．23. 解：，或，所以，；，或，所以，．24. 解：，，或，所以，．25. 解：是一元二次方程的两个实数根中较小的根，，即，则；．一元二次方程的两个根的和是4，两根的积是1，则，；解方程，得：，则，原式．26. 解：关于x的一元二次方程有实数根，，解得：．将代入原方程，，解得：，原方程为，解得：．的值为5，方程的另一个根为．【解析】1. 【分析】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的知识点，形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次程．利用直接开平方法求解，即可解答．【解答】解：，．故选D．2. 解：，移项得：，两边直接开平方得：，到，，故选：C．首先移项，把移到等号右边，再两边直接开平方即可．此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．3. 解：解方程h，k均为常数，得，而关于x的方程h，k均为常数，的解是，，所以，，方程的解为，所以，．故选：B．利用直接开平方法得方程的解，则，，再解方程得，所以，．本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么．4. 解：，即，，即，故选：D．将常数项移到方程的右边，把二次项系数化为1后两边配上一次项系数一半的平方即可得．本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤和完全平方公式是解题的关键．5. 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【解答】解：，，即．故选B．6. 解：方程整理得：，配方得：，即，故选A方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7. 解：将方程整理得：，这里，，，故选B方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．8. 解：一元二次方程中，，，，，一元二次方程的两个实数根中较大的根是．故选：B．利用求根公式求得方程的两个根，然后找出较大的根即可．本题考查了解一元二次方程公式法，熟记求根公式即可解答该题．9. 解：关于x的一元二次方程有两个正整数根，，即，，解得或，方程的根是，又因为是两个正整数根，则则故A、B、D一定错误．C，把和代入方程的根是，检验都满足条件．可能取的值为，．故选C．方程有两个正整数根，说明根的判别式，即，由此可以求出m 的取值范围，然后根据方程有两个正整数根确定m的值．总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．正确确定m的范围，并进行正确的检验是解决本题的关键．10. 解：解方程，解得，；当底为3，腰为1时，由于，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；等腰三角形的底为1，腰为3；三角形的周长为．故选：B．先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．此题考查用因式分解一元二次方程，三角形三边关系，注意计算结果的分类检验．11. 解：由方程得：，或，解得：或，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，故答案为：19或21或23．求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．12. 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长为5，然后计算三角形的周长．【解答】解：，，所以，，而三角形的两边长分别是3和4，所以三角形第三边的长为5，所以三角形的周长为．故答案为12．13. 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解把代入方程得出关于b的方程，求出b，代入方程，求出方程的解即可．【解答】解：是方程的一个实数根，把代入得：，解得，即方程为，，解得：，，即b的值是，另一个实数根式5．故答案为，5．14. 解：，移项得：，即，，，解方程得：，．故答案为：或．移项后分解因式得到，推出方程，，求出方程的解即可．本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．15. 解：方程，移项，得，开平方，得，故答案为：．移项，再直接开平方求解．本题考查了直接开方法解一元二次方程用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；b同号且；；c同号且法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．16. 解：，，，，解得，．，方程的较小的根为，故答案是：．利于直接开平方法解方程后，找到最小的根即可．本题考查了解一元二次方程直接开平方法形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．17. 解：配方，得，直接开平方，得，方程的解为，故答案为．先把左边直接配方，得，直接开平方即可．本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18. 解：，．故答案为：．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．此题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19. 解：移项得，，，，．此题考查了公式法解一元二次方程，应用公式时，要注意把方程化为一般形式．此题考查了公式法解一元二次方程，应用公式时，要注意把方程化为一般形式．20. 解：根据方程的求根公式可得：则方程的两根为或，或，解得，，，小于1的正数根只能为，即，解得．故填空答案为．先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围．也可用公式法把原方程进行因式分解，求出方程的根，再求a的取值范围．21. 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；方程整理后，利用配方法求出解即可；方程整理后，利用因式分解法求出解即可；方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．22. 先把方程变形得到，然后利用因式分解法解方程；利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．23. 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．利用因式分解法把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可；利用平方差公式把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可．24. 先移项得到，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．25. 是一元二次方程的两个实数根中较小的根，则把代入方程可以得到，则所求的代数式即可化简；首先求得的平方的值，然后确定a的范围，则的值即可确定；首先对分式以及二次根式进行化简，然后进行分式的加减即可求解．26. 本题考查了一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程和一元一次不等式的解法的知识点，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式”是解题的关键．由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；将代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次方程的解，即可得出方程的另一个根．。
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新人教版九年级数学上册同步测试：21.2.1因式分解法解一元二次方程
1.方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )
A ．x 1＝－16，x 2＝8
B ．x 1＝16，x 2＝－8
C ．x 1＝16，x 2＝8
D ．x 1＝－16，x 2＝－8
2.下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )
A ．x ＝21
B ．x ＝2
C ．x ＝1
D ．x ＝－1
3.方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )
A ．x 1＝53，x 2＝3
B ．x ＝53
C ．x 1＝－53，x 2＝－3
D ．x 1＝53
，x 2＝－3
4.方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )
A ．y 1＝5，y 2＝－2
B ．y ＝5
C ．y ＝－2
D ．以上答案都不对
5.方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )
A ．x 1＝1，x 2＝－5
B ．x 1＝－1，x 2＝－5
C ．x 1＝1，x 2＝5
D ．x 1＝－1，x 2＝5
6.一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A
．1 B ．2 C ．－4 D ．4
7.已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A
．5
B ．5或11
C ．6
D ．11
8.方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
9.方程t (t ＋3)＝28的解为_______． 10.方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．
11.方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．
12.关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．
13.方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．
14．用因式分解法解下列方程：
(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； （3）(x －1)2－4(x －1)－21＝0． (4)x 2－4x －21＝0；
(5)(x －1)(x ＋3)＝12；(6)3x 2＋2x －1＝0； (7)10x 2－x －3＝0； (8)x 2＝7x ；
15．用适当方法解下列方程：
(1)x 2－4x ＋3＝0 ；（2）x 2－3x ＋1＝0； (3)x 2－2x －3＝0； (4)(2t ＋3)2＝3(2t ＋3)；
(5)(1＋2)x 2－(1－2)x ＝0； (6)5x 2－(52＋1)x ＋10＝0；
16．解关于x 的方程：
(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ； (2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6； (3)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．
17．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求y
x y x +-的值．
18．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．
19．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．
20．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x
2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．
当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．
当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．
∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．
(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗。