微积分习题之常微分方程
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（X ）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。
② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。
③ x? y 4是齐次方程。
y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。
6. ysiny 是一阶线性微分方程。
（X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。
(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。
(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。
dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。
3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。
42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。
45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。
3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。
（0 ）4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。
（X ）C （C 为任意常数）。
（0 ）④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。
6 .微分方程y y阶微分方程。
1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是（B ） oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是（cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的（A ）,其中C 1,C 2为任意常数。
A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。
9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为（B ）C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
常微分方程典型例题
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dx x 1 2ln y dy y 这是以 x 为未知函数的一阶线性方程.
对应齐次方程dx x 的通解为x C ，
dy y
y
令 x C( y)，代入原方程，得 y
C( y) y 2 y ln y ,积分得C( y) C y2 ln y.
于是通积分为x C y ln y. y
x
x
6. (xye y y2 )dx x2e y dy 0
15
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三.将方程从微商形式改为微分形式,或从微分形式改 为微商形式,有时可以把方程变为可解类型.
例 11
解方程dy dx
x y2 x y2 4
解 把方程改写为微分形式
(x y 2)dx (x y2 4)dy 0
4
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例 3 求方程dy x y 1的通解. dx
解 令 z x y 1,则 dz 1 dy , dx dx
原方程化为 dz 1 z ,通解为z 1 Cex, dx
原方程通解为 y 2 x Cex.
5
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例4 求解方程 dy 2x 3y 4 dx 4x 6 y 5
通解为z C
ln x
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12
设 z C(x)代入线性方程(1),得C(x) 1 ln x
两边积分得C(x) x C 所以，上述线性方程(1)的通解为z 1 (C x)
ln x
代回原变量，得原方程的通解cos y ln x ， Cx
此外u 0，即 y n （为整数）也是原方程的解
ln
x 2
x2
xy y
2
或 dy 2 dx
1 x
y2
常微分方程 练习题
常微分方程练习题常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中一门重要的分支，研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。
在物理、经济学、生物学等领域中，常微分方程广泛应用于描述系统的动态行为。
本文将为您提供一些常微分方程的练习题，帮助您加深对常微分方程的理解。
练习一：一阶常微分方程1. 求解初值问题：dy/dx = x^2 - y^2, y(0) = 1。
解：观察到方程右侧与左侧的差异较大，我们可以尝试寻找一个特殊的函数，使得方程变得简单。
假设y = x + u(x)，则dy/dx = 1 + u'，代入原方程得到：1 + u' = x^2 - (x + u)^2u' = x^2 - x^2 - 2ux - u^2 - 1u' = -2ux - u^2 - 1这是一个关于u和x的常微分方程。
我们可以尝试通过求解这个方程来得到y的解。
2. 求解初值问题：dy/dx = (x^2 - 1)/(y + 1), y(0) = 0。
解：将方程进行变形，得到(y+1)dy = (x^2 - 1)dx，两边同时积分：∫(y+1)dy = ∫(x^2 - 1)dx1/2(y^2 + 2y) = 1/3(x^3 - x) + C其中C为常数。
代入初值条件y(0) = 0，解得C = 0，进一步化简得到：y^2 + 2y = 2/3(x^3 - x)这就是给定初值问题的解。
练习二：二阶常微分方程1. 求解方程：y'' + 2y' + y = e^(-x)，已知初值条件y(0) = 1，y'(0) = 0。
解：我们可以使用特征方程法求解这个二阶常微分方程。
首先求解齐次方程：r^2 + 2r + 1 = 0解齐次方程得到r = -1，因此齐次方程的通解为y_h = C1e^(-x) +C2xe^(-x)。
接下来求非齐次方程的一个特解。
常微分方程习题答案
常微分方程习题答案常微分方程习题是数学学科中的重要内容之一。
通过解答这些习题，可以帮助学生巩固和加深对常微分方程的理解和应用能力。
下面将通过几个实例来展示常微分方程习题的解答过程。
第一个习题是求解一阶线性常微分方程。
考虑方程dy/dx + y = x。
首先将方程改写为dy/dx = x - y。
这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。
设y = uv，其中u和v是关于x的函数。
将y = uv代入方程，得到u(dv/dx) + v(du/dx) + uv = x。
整理后得到du/dx = (x - v)/u。
将等式两边分别关于x求导，得到d^2u/dx^2 = (du/dx - v)/u。
将方程du/dx = (x - v)/u带入，得到d^2u/dx^2 = (x - v)/u。
这是一个二阶常微分方程，可以通过适当的变量代换和求解方法得到解析解。
最后再将u和v代入y = uv，即可得到原方程的解。
第二个习题是求解一阶非线性常微分方程。
考虑方程dy/dx = y^2 + x。
这是一个一阶非线性常微分方程，可以使用分离变量法求解。
将方程改写为dy/(y^2 + x) = dx。
对方程两边同时积分，得到∫dy/(y^2 + x) = ∫dx。
对左边的积分进行变量代换，令u = y^2 + x，得到1/2∫du/u = x + C。
对等式两边积分，得到1/2ln|u| = x + C。
再将u代回，得到1/2ln|y^2 + x| = x + C。
整理后得到ln|y^2 + x| = 2x + 2C。
最后再对等式两边取指数，得到|y^2 + x| = e^(2x + 2C)。
由于指数函数的定义域为正实数，所以可以去掉绝对值符号，得到y^2 + x = e^(2x + 2C)。
这就是原方程的解。
通过以上两个习题的解答过程，我们可以看到常微分方程习题的解答方法多种多样，需要根据具体的方程形式选择合适的方法进行求解。
常微分方程课后习题答案
常微分方程课后习题答案常微分方程课后习题答案在学习常微分方程的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要环节。
通过解答习题，我们可以更好地理解和应用所学的概念和方法。
下面是一些常见的常微分方程习题及其答案，供大家参考。
一、一阶常微分方程1. 求解方程：dy/dx = 2x。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解方程：dy/dx = x^2 - 1。
解：对方程两边同时积分，得到y = (1/3)x^3 - x + C，其中C为常数。
3. 求解方程：dy/dx = 3x^2 + 2。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + 2x + C，其中C为常数。
二、二阶常微分方程1. 求解方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0。
解：首先求解特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0，解得r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1和C2为常数。
2. 求解方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = x^2。
解：首先求解特征方程：r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-x) + (1/6)x^2 - (1/2)x + (1/2)，其中C1和C2为常数。
3. 求解方程：d^2y/dx^2 + 3dy/dx + 2y = e^(-x)。
解：首先求解特征方程：r^2 + 3r + 2 = 0，解得r = -1和r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1e^(-x) + C2e^(-2x)) + (1/3)e^(-x)，其中C1和C2为常数。
三、应用题1. 一个物体在空气中的速度满足以下方程：dv/dt = -9.8 - 0.1v，其中v为速度，t为时间。
求物体的速度随时间的变化情况。
解：这是一个一阶线性常微分方程。
将方程改写为dv/(9.8 + 0.1v) = -dt，再两边同时积分，得到ln|9.8 + 0.1v| = -t + C，其中C为常数。
(完整版)常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。
常微分方程练习题
常微分方程练习题在数学中，微分方程是研究函数及其导数之间关系的方程。
常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是指只含有一个自变量的微分方程。
常微分方程的研究对于很多领域都具有重要意义，比如物理学、经济学、工程学等。
本文将通过一些常见的常微分方程练习题来帮助读者巩固对这一概念的理解。
练习题一：一阶线性常微分方程求解微分方程 $\frac{{dy}}{{dx}} + y = 2x$。
解答：根据微分方程的一阶线性常数系数形式，我们可以将方程写为$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) =2x$。
首先，我们求解齐次线性微分方程 $\frac{{dy_{h}}}{{dx}} + y_{h} = 0$。
解得 $y_{h} = Ce^{-x}$，其中 $C$ 为常数。
接下来，我们求解非齐次线性微分方程的特解。
首先，我们猜测特解形式为 $y_{p} = Ax + B$，代入微分方程得到 $A = 2$，$B = -1$，因此特解为 $y_{p} = 2x - 1$。
最后，将齐次解和特解相加，得到原微分方程的通解为 $y = Ce^{-x} + 2x - 1$。
练习题二：二阶齐次常微分方程求解微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$。
解答：首先，我们设 $y = e^{rx}$，代入微分方程得到 $r^{2} - 4r + 4 = 0$。
解这个二次方程得到重根 $r = 2$。
因此，齐次线性微分方程的通解为 $y = (C_{1} + C_{2}x)e^{2x}$，其中 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为常数。
练习题三：二阶非齐次常微分方程求解微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 4x^{2} + 1$。
解答：首先，我们求解齐次线性微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 0$。
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[填空题]1．微分方程的通解为 。
0cos tan =-+'x x y y x C x y cos )(+=2．过点且满足关系式的曲线方程为)0,21(11arcsin 2=-+'xyx y 。
21arcsin -=x x y 3．微分方程的通解为 。
03='+''y y x 221xC C y +=4．设是线性微分方程的三个特解，且)(),(),(321x y x y x y )()()(x f y x b y x a y =+'+''，则该微分方程的通解为C x y x y x y x y ≠--)()()()(1312。
)())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=5．设是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐xex y x y -++=+=22213,3次方程的一个解为，则该微分方程的通解为。
x y =3xe C x C x y -+++=21236．设出微分方程的一个特解形式x e xex y y y x x2cos 32++=-'-''-。
)2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-7．微分方程的通解为 。
xe y y y =+'-''22)sin cos 1(21x C x C e y x++=8．微分方程的通解为 。
x e y y 24=-''x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-9．函数满足的二阶线性常系数齐次微分方程为。
x C x C y 2sin 2cos 21+=04=+''y y 10．若连续函数满足关系式 ，则。
)(x f 2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f =)(x f 2ln 2x e [选择题]11．设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连⎰--Lxydy x f ydx ex f cos )(sin ])([)(x f 续导数，且，则等于[ ]0)0(=f )(x f (A)。
(B) 。
)(21x x e e --)(21x x e e --(C)。
(D) 。
1)(21-+-x x e e )(211x x e e -+-答B注：根据题意，，解得。
由y e x f y x f xcos ])([cos )(-='-x xCe e x f -+=21)(，得，所以，即选项(B)正确。
0)0(=f 21-=C )(21)(x x e e x f --=12．若函数是微分方程的一个特解，则该方程满足初始条件x y 2cos =0)(=+'y x p y 的特解为[ ]2)0(=y (A) 。
(B) 。
22cos +=x y 12cos +=x y (C) 。
(D) 。
x y cos 2=x y 2cos 2=答D注：根据解的结构，通解为，由得。
故选项(D)正确。
x C y 2cos =2)0(=y 2=C 其他选项经验证不满足方程或定解条件。
13．设函数是微分方程的两个不同特解，则该方程的通解为[ ])(),(21x y x y 0)(=+'y x p y (A)。
(B) 。
2211y C y C y +=21Cy y y +=(C) 。
(D) 。
)(211y y C y y ++=)(12y y C y -=答D注：因为是微分方程的两个不同特解，所以是该)(),(21x y x y 0)(=+'y x p y 12y y -方程的一个非零特解。
根据解的结构，其通解为，即选项(D)正确。
另：)(12y y C y -=根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。
当时，选项(B)不对。
当02≡y 时，选项(C)不对。
12y y -=14．已知函数在任意点处的增量，则等于)(x y y =x π=∆++∆=∆)0(),(12y x o xxy y )1(y [ ](A)。
(B)。
(C)。
(D) 。
π2π4πe 4ππe 答D注：根据微分定义及微分与导数的关系得，解得，由21xy y +='C x y +=arctan ln ，得，所以。
因此选项(D)正确。
π=)0(y πln =C 41arctan )1(πππe e y ==15．设函数是微分方程的一个解。
若，)(x f y =042=+'-''y y y 0)(,0)(00='>x f x f 则函数在点[ ])(x f 0x (A) 取到极大值。
(B) 取到极小值。
(C) 某个邻域内单调增加。
(D) 某个邻域内单调减少。
答A注：因为，，所以选项(A)正确。
0)(0='x f 0)(4)(00<-=''x f x f 16. 设是二阶常系数线性齐次方程的两个特解，是两个任21,y y 0=+'+''qy y p y 21,C C 意常数，则下列命题中正确的是[ ]（A ） 一定是微分方程的通解。
2211y C y C +（B ）不可能是微分方程的通解。
2211y C y C +（C ）是微分方程的解。
2211y C y C +（D ）不是微分方程的解。
2211y C y C +答C注：根据叠加原理，选项（C ）正确，选项（D ）错误。
当线性相关时，选项21,y y （A ）错误, 当线性无关时，选项（B ）错误。
21,y y 17. 微分方程的一个特解应具有形式[ ]1+=-''xe y y (A)。
(B)。
b ae x+b axe x+(C) 。
(D) 。
bx ae x+bx axe x+答B注：相应齐次方程的特征根为，所以的一个特解形式为，1,1-xe y y =-''xaxe的一个特解形式为。
根据叠加原理，原方程的一个特解形式为，即1=-''y y b b axe x +选项(B)正确。
其他选项经检验不满足方程。
18. 具有特解的三阶线性常系数齐次微分方程是[ ]x x xe y xe y ey 3,2,321===--(A)。
(B) 。
0=+'-''-'''y y y y 0=-'-''+'''y y y y (C) 。
(D) 。
06116=-'+''-'''y y y y 022=+'-''-'''y y y y 答B注：根据题意，是特征方程的两个根，且是重根，所以特征方程为1,1-1-。
故所求微分方程为，即选项01)1)(1(232=--+=+-λλλλλ0=-'-''+'''y y y y (B)正确。
19. 设是三阶线性常系数齐次微分方程的两个特x y e y x==21,0=+'+''+'''cy y b y a y 解，则的值为[ ]c b a ,,(A)。
(B)。
0,1,1=-==c b a 0,1,1===c b a (C)。
(D)。
0,0,1==-=c b a 0,0,1===c b a 答C注：根据题意，是特征方程的两个根，且是重根，所以特征方程为0,10。
故原微分方程应为，所以即选0)1(232=-=-λλλλ0=''-'''y y 0,0,1==-=c b a 项(C)正确。
20. 设二阶线性常系数齐次微分方程的每一个解都在区间上0=+'+''y y b y )(x y ),0(+∞有界，则实数的取值范围是[ ]b (A)。
(B)。
(C)。
(D)。
0≥b 0≤b 4≤b 4≥b 答A注：因为当时，，所以，当2±≠b xb b xb b e C eC x y 24224122)(----+-+=时，要想使在区间上有界，只需要042>-b )(x y ),0(+∞，即。
当时，要想使在区间04,0422≥--≥-+b b b b 2>b 042<-b )(x y 上有界，只需要与的实部大于等于零，即。
当),0(+∞42-+b b 42--b b 20<≤b 时，在区间上有界。
当时，2=b x x xe C e C x y --+=21)(),0(+∞2-=b 在区间上无界。
综上所述，当且仅当x x xe C e C x y 21)(+=)0(2221≠+C C ),0(+∞时，方程的每一个解都在区间上有界，即选项(A)正确。
0≥b 0=+'+''y y b y )(x y ),0(+∞[解答题]21．求微分方程的通解。
01122=+'++x y y y x 解：方程两端同乘以，得dxyx1122++，xdx xydyy11022+++=此方程是一个变量分离方程，其通解为。
)2(1122>=+++C C x y 22．求微分方程的通解。
dy dx x y x x+=1sin 解：这是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程dy dx xy +=10，得其通解为，即。
x C y lnln =xCy =令，代入原方程，得xx C y )(=，x xxx C x x C x C x sin )()()(22=+-'解得。
C x x C +-=cos )(所以原方程的通解为。
)cos (1C x xy +-=注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得。
y x x e dx c e xx c x dx xdx =⎰⎰+⎰=-+-(sin )(cos )11123．求解微分方程。
xdyydx y e dy y -=2解：将看成自变量，看成是的函数，则原方程是关于未知函数的一阶线y x y x x y =()性微分方程，y ye yxdy dx -=-此方程通解为，y dy y y dy y ye Cy dy e ye C e x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-⎰=⎰-11其中是任意常数。
`C 24．求微分方程满足初始条件的特解。
22y xy y x =+'1)1(=y 解：将原方程变形，得，x y x y y -⎪⎭⎫⎝⎛='2这是一个齐次型方程。
令，代入上式，得xu y =，u u u x 22-='分离变量，得，x dx u u du =-22积分，得，22Cx uu =-即。