必修1 第五章 三角函数 5.4节 (1)

三角函数两角和与差的正余弦和正切公式重点1. 两角和与差的正余弦和正切公式；2. 用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等；3. 两角和与差的正余弦和正切公式的常用变形及灵活应用。

难点公式记忆及常用变形的灵活运用考试要求考试➢题型选择题、填空题➢难度简单中等核心知识点一：两角和与差的余弦公式cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin βcos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β（1）适用条件：公式中的角α，β都是任意角。

（2）公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反。

记忆口决：“余余正正，符号相反”。

核心知识点二：两角和与差的正弦公式sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β 记忆口诀：“正余余正，符号相同”。

核心知识点三：两角和与差的正切公式tan （α＋β）＝βαβαtan tan 1tan tan -+tan （α－β）＝βαβαtan tan 1tan tan +-使用条件：α，β，α＋β均不等于k π＋2π（k ∈Z ）。

核心知识点四：辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝22b a +sin （x ＋θ）。

（其中tan θ＝ab ）典例一：给值求值已知2<β<α<4，cos （α－β）＝13，sin （α＋β）＝－53，求cos 2α与cos 2β的值。

解：∵2π<β<α<43π，∴0<α－β<4π，π<α＋β<23π。

∴sin （α－β）＝)(cos 12βα-- ＝2)1312(1-＝135， cos （α＋β）＝－)(sin 12βα-- ＝－2)53(1--＝－54。

∴cos 2α＝cos[（α－β）＋（α＋β）]＝cos （α＋β）cos （α－β）－sin （α＋β）sin （α－β） ＝－54×1312－)53(-×135＝－6533，cos 2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]＝cos （α＋β）cos （α－β）＋sin （α＋β）sin （α－β）＝－54×1312＋)53(-×135＝－6563。

总结提升：三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换。

其中角的变换是最基本的变换。

常见的有：α＝（α＋β）－β，α＝β－（β－α），α＝（2α－β）－（α－β）， α＝21[（α＋β）＋（α－β）]，α＝21[（β＋α）－（β－α）]等。

（1）sin 12－3cos 12＝_______。

（2）︒+︒-75tan 375tan 31＝_________。

答案：（1）－2（2）－1 解析：（1）原式＝2)12cos 2312sin 21(ππ-。

方法一 原式＝2（12cos3sin12sin3cos ππππ-）＝2)3sin 12cos3cos12(sin ππππ-＝2sin )312(ππ-＝2sin )4(π-＝－2。

方法二 原式＝2（12cos 6cos 12sin6sin ππππ-）＝－2)12sin6sin12cos6(cos ππππ-＝－2cos )126(ππ+＝－2cos4π＝－2。

（2）原式＝︒+︒-75tan 33175tan 33＝︒︒+︒-︒75tan 30tan 175tan 30tan ＝tan （30°－75°）＝－tan 45°＝－1。

总结提升：注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现21，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示。

典例三：利用公式化简将下列各式写成A sin （ωx ＋φ）的形式： （1）3sin x －cos x ； （2）42sin （4π－x ）＋46cos （4π－x ）。

解：（1）3sin x －cos x ＝2（23sin x －21cos x ）＝2（cos 6πsin x －sin 6πcos x ） ＝2sin （x －6π）。

（2）原式＝22[21sin （4π－x ）＋23cos （4π－x ）]＝22[sin 6πsin （4π－x ）＋cos 6πcos （4π－x ）]＝22cos （4π－x －6π）＝22cos （12π－x ）＝22sin （x ＋125π）。

总结提升：一般地对于a sin α＋b cos α形式的代数式，可以提取22b a +，化为A sin （ωx ＋φ）的形式，公式a sin α＋b cos α＝22b a +sin （α＋φ）（或a sin α＋b cos α＝22b a +cos （α－φ））称为辅助角公式。

利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值。

1. 公式的推导和记忆（1）理顺公式间的逻辑关系）（代换以）（诱导公式）（代换以βαβββαβαβββα--++--−−−→−−−−→−−−−→−S S C C )( （2）注意公式的结构特征和符号规律对于公式C （α－β），C （α＋β）可记为“同名相乘，符号反”； 对于公式S （α－β），S （α＋β）可记为“异名相乘，符号同”。

公式T （α±β）的结构特征和符号规律公式T （α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和。

符号变化规律可简记为“分子同，分母反”。

（3）符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C （α－β），C （α＋β），S （α－β），且公式sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意。

2. 应用公式需注意的三点（1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式。

（2）注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式。

（3）注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，21＝cos 60°，23＝sin 60°等，再如：0，21，22，23等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数。

（4）应用公式T （α±β）时要注意的问题 ①公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β（或α－β）的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋2π（k ∈Z ）。

②公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan 4π＝1，tan 6π＝33，tan3π＝3等。

特别要注意tan （4π＋α）＝ααtan 1tan 1-+，tan （4π－α）＝ααtan 1tan 1+-。

③公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T （α±β）的意识，就不难想到解题思路。

特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型。

（答题时间：20分钟） 1. 已知α∈),2(ππ，sin )4(πα+＝53，则sin α等于（ ）A. 102B. 1027C. 102-或1027 D.－10272. sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°等于（ ）A. －23 B. －21 C.21 D. 233. 在△ABC 中，A ＝4π，cos B ＝1010，则sin C 等于（ ）A. 552 B.－552 C. 55D. －554. 已知0<α<2π<β<π，又sin α＝53，cos （α＋β）＝－54，则sin β等于（ ） A. 0 B. 0或2524C.2524 D. 0或－25245. 在△A BC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形6. 已知cos )6(πα-＋sin α＝534，则sin )67(πα+的值为（ ） A. －532 B. 532C. －54D. 547. 若tan α＝3，tan β＝34，则tan （α－β）等于（ ） A.31B. －31C. 3D. －38. 已知cos α＝－54，且α∈),2(ππ，则tan )4(απ-等于（ ）A. －71B. －7C. 71 D. 79. 已知A ＋B ＝45°，则（1＋tan A ）（1＋tan B ）的值为（ ）A. 1B. 2C. －2D. 不确定10. sin 15°＋sin 75°的值是__________。

11. 已知cos （α＋3π）＝sin （α－3π），则tan α＝__________。

12. ︒︒-︒︒︒+︒18sin 45sin 27cos 18sin 45cos 27sin ＝__________。

13. 已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝31，sin B ＝55，则A ＋B ＝__________。

14. 已知ααααcos sin cos sin -+＝3，tan （α－β）＝2，则tan （β－2α）＝__________。

15. 已知sin α＝55，sin （α－β）＝－1010，α，β均为锐角，求β的值。

16. 已知sin （α－β）cos α－cos （β－α）sin α＝54，β是第三象限角，求sin )4(πβ+的值。

1. 答案：B 解析：由α∈),2(ππ，得43π<α＋4π<45π，所以cos )4(πα+＝－)4(sin 12πα+-＝－2)53(1-＝－54。

所以sin α＝sin ]4)4[(ππα-+＝sin )4(πα+cos4π－cos )4(πα+sin 4π ＝22×)5453(+＝1027，故选B 。

2. 答案：C解析：sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20° ＝sin 10°cos 20°＋cos 10°sin 20° ＝sin （10°＋20°）＝sin 30°＝21，故选C 。

3. 答案：A解析：sin C ＝sin[π－（A ＋B ）]＝sin （A ＋B ）＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22（cos B ＋B 2cos 1-） ＝22×)101031010(+＝552。