2012届高三数学二轮专题训练解答题(71)_6

2012届高三数学二轮专题训练：解答题（71）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．（本小题满分14分） ∆ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，，，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高．2．（本小题满分14分）设p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a ≠,:q 实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩（Ⅰ）若1,a =q p 且为真，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围．3．（本小题满分15分） 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b ．（1） 求数列{}n b 的通项公式；（2） 数列{}n b 的前n 项和为nS，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列． 4．（本小题满分15分）一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题： （1）求棒长L 关于α的函数关系式：()αL ； （2）求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值．5．（本小题满分16分） 已知函数()bx ax x f +=4⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,31x ，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21f 处的切线方程为01=-+y x 。

（1）求()x f 的解析式；（2）设()c x c x x g 2323++=[]()1,0∈x ，若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,311x ，总存在[]1,02∈x ，使得()()21x g x f =成立，求实数c 的取值范围。

6．（本小题满分16分） 对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数． （Ⅰ）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+；第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；（Ⅱ）设12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x ．若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围； （Ⅲ）设121(),()(110)f x x f x x x==≤≤，取1,0a b =>，生成函数()h x 使()h x b ≥ 恒成立，求b 的取值范围．1．解：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝180A - ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=， [ ] 即12cos 0A -=，1cos 2A =， 又0°<A<180°，所以A ＝60°．……………………7分在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin sin b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC 7530)=+45cos30cos 45sin 30)=+=……………………7分2.解：（Ⅰ）由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<，当1a =时，解得1<3x <,即p 为真时实数x 的取值范围是1<3x <． ………2分由2260280x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩,得23x <≤,即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤．……4分 若q p 且为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<． …………………………7分 （Ⅱ） p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ,且p ⇒/q ， …………………………9分设A ={}()x p x , B ={}()x q x , 则A ⊃≠B ,又(2,3]B =,当0a >时，A =(,3)a a ；0a <时，()3,A a a =．所以当0a >时，有2,33,a a ≤⎧⎨<⎩解得12;a <≤ ………………12分当0a <时，显然A B =∅ ，不合题意． 所以实数a 的取值范围是12a <≤． ………14分（2）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+3.因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列．-----------------15分 4．解：（1）如图，ααsin 2,cos 2==BC ABA()αααsin 2cos 2+=+==BC AB AC L ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα……………………7分 （2）()()αααααcos sin sin cos 2+=L令⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2sin cos παααt ，因为40πα<<，所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。

， 则错误！不能通过编辑域代码创建对象。

tt t t L 1221222-=-=，当错误！不能通过编辑域代码创建对象。

时，t t 1-随着t 的增大而增大，所以⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-22,01t t所以[)+∞∈,4L所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4 ………………15分 5．解：（1）将21带入切线方程可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛21,21。

所以2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，即21221=+b a①…………………………………（2分）()()24b x abx f +='由导数的几何意义得()12212-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛'b abf ②…………………（4分）联立①②，解之得：⎩⎨⎧-==11b a ，所以()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=1,3114x x x x f 。

……………………（7分） （2）由()03322≥+='c x x g ，知()x g 在[]1,0上是增函数。

则()()()()1231,202max min ++====c c g x g c g x g ．故函数()x g 在值域为[]123,22++c c c 。

……………………（9分）因为()14414114-+=-=x x x x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31上是减函数，所以，()()()131,311max min =⎪⎭⎫⎝⎛===f x f f x f 。

……………………（12分）故函数()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31。

由题设得⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31⊆[]123,22++c c c 。

则⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤1123,3122c c c 解得c 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-61,032, 。

……………………（16分）6．解：（Ⅰ）① 设sin cos sin()3a x b x x π+=+，即1sin cos sin 22a x b x x x +=+，取1,2a b ==，所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数．……………………2分② 设222()(1)1a x x b x x x x ++++=-+，即22()()1a b x a b x b x x ++++=-+，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+111b b a b a ，该方程组无解．所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数．………4分 （Ⅱ）122122()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=…………………………5分若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，23()2()0h x h x t ++<，即22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--……7分设2log s x =，则[1,2]s ∈，22223log 2log 32y x x s s =--=--，……9分max 5y =-，故，5t <-．………………………………………………10分（Ⅲ）由题意，得()(110)bh x x x x=+≤≤ 1︒[1,10]，则)(x h 在],1[b 上递减，在]10,[b 上递增，则min h h ==110b⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，得14b ≤≤ ………12分2︒1≤，则)(x h 在]10,1[上递增，则min (1)1h h b ==+，所以11b b ⎧⎪⎨+≥⎪⎩，得01b <≤．…………………………………14分3︒10≥，则)(x h 在]10,1[上递减，则min(10)1010b h h ==+，故101010b b⎧≥⎪⎨+≥⎪⎩，无解 综上可知，0 4.b <≤……………………………………16分。