数学---安徽省蚌埠市第二中学2016-2017学年高二上学期期中考试(文)(解析版)

蚌埠二中2016-2017学年第一学期期中测试高二数学(文)试题一.选择题1．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥的组合体D ．不能确定 2．如图，在正方形ABCD 中，FE ,分别是CD BC ,的中点，沿EF AF AE ,,把正方形折成一个四面体，使D C B ,,三点重合，重合后的点记为P ，点P 在AEF ∆内的射影为O .则下列说法正确的是（ ）A.O 是AEF ∆的垂心B.O 是AEF ∆的内心C.O 是AEF ∆的外心D.O 是AEF ∆的重心3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）A．B ．32C ．D ． 4．过两点，的直线的倾斜角为，则的值为（ ）A ．－1或－2B ．－1C ．－2D ．183ππ8π5．是两个平面，是两条直线，有下列四个命题： ①如果，那么. ②如果，那么. ③如果，那么.④如果，那么与所成的角和与所成的角相等. 其中正确的命题为（ ） A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②④6．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，若PA AD AB kBC ===(01)k <<，则（ ）A ．当12k =时，平面BPC ⊥平面PCD B ．当12k =时，平面APD ⊥平面PCD C ．当(0,1)k ∀∈，直线PA 与底面ABCD 都不垂直 D ．(0,1)k ∃∈，使直线PD 与直线AC 垂直7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =,16AA =.若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）,αβ,m n ,,//m n m n αβ⊥⊥αβ⊥,//m n αα⊥m n ⊥//,m αβα⊂//m β//,//m n αβm αnβA ．6B ．6C ．10D ．108．圆9)2()(:221=++-y m x C 与圆4)()1(:222=-++m y x C 外切，则m 的值为（ ） A. 2B. -5C. 2或-5D. 不确定9．已知直线2x +my ﹣1=0与直线3x ﹣2y +n =0垂直，垂足为（2，p ），则p ﹣m ﹣n 的值为（ ） A ．﹣6 B ．6 C ．4 D ．1010．设点()()2,3,3,2A B -,若直线20ax y ++=与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．54,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．45,32⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值( )A ．4B 1C ．6-D 12.}021)2()3({=---++=m y m x m l l A 的方程是直线直线集合,集合}2{22的切线是直线直线=+=y x l l B ,则=⋂B A ( )A.∅B.{(1,1)}C.}02),{(=-+y x y xD.}0123),{(=--y x y x二 填空题13．长方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球O 的球面上，E 为AB 的中点，3=CE ，异面直线11C A 与CE 所成角的余弦值为935，且四边形11A ABB 为正方形，则球O 的直径为 .14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，6AC =，1BC CC =，P是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值是___________.15．已知圆C 的圆心与点M （1，1-）关于直线10x y -+=对称，并且圆C 与10x y -+=相切，则圆C 的方程为_______________.16．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =正三棱锥S ABC -的体积为，其外接球的表面积为 . 三.解答题17．(11分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，13AC BC AA ===，AC BC ⊥，点M 在线段AB 上.（1）若M 是AB 中点，证明：1//AC 平面1B CM ；（2）当BM 长是多少时，三棱锥1B BCM -的体积是三棱柱111ABC A B C -的体积的19.18．（11分）已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线:270m x y ++=相切，过点()2,0B -的动直线与圆A 相交于M N 、两点. （1）求圆A 的方程；（2）当MN =时，求直线l 的方程.19.（12分）发已知直线l 经过两点A （2，1），B （6，3） （1）求直线l 的方程（2）圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于点（2，0），求圆C 的方程（3）若过B 点向（2）中圆C 引切线BS 、BT ，S 、T 分别是切点，求ST 直线的方程．20．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，已知CD BC CD AB CD BC AB ⊥===,//,4,2,1，AB PA ABCD PAB ⊥⊥，平面平面．（1）求证：PAC BD 平面⊥；（2）已知点F 在棱PD 上，且，，若平面5//=PA FAC PB 求三棱锥-D F ΑC 的体积-D F ΑC V ．21．（12分）已知曲线C 的方程为：222240ax ay a x y +--=，其中：0a ≠且a 为常数． （1）判断曲线C 的形状，并说明理由；（2）设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点,A B （,A B 不同于坐标原点O ），试判断AOB ∆的面积S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l ：24y x =-+与曲线交于不同的两点,M N ，且OM O N =（为坐标原点），求曲线的方程．22．（12分）如图，已知圆()221:11C x y ++=，圆()()222:341C x y -+-=．（1）若过点1C 的直线l 被圆2C 截得的弦长为65，求直线l 的方程； （2）设动圆C 同时平分圆1C 、圆2C 的周长． ①求证：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．C OC参考答案一.选择题 1．A【解析】试题分析：在倾斜过程中左右两侧面的形状完全相同且两面平行，其余四个面都是平行四边形，符合棱柱的特征 2．A【解析】试题分析：易知PA 、PE 、PF 两两垂直，⊥PA 平面PEF ，从而⊥PA EF ，而⊥0P 平面AEF ，则⊥0P EF ，所以⊥EF 平面PAO ，所以⊥EF AO ，同理可知EO AF FO AE ⊥⊥,，所以O 为AEF ∆的垂心，故应选A .3．C为2的侧棱与底面垂直的三棱锥，高为2的正四棱柱的外接球，设球半径为R，则222428,4π8π=+==R R ，故选C. 4．C【解析】试题分析：由直线的倾斜角为，斜率为．可得，解得．故本题答案选C ．5．A【解析】试题分析：①如果,,⊥⊥m n m n αβ ,那么αβ ,故错误；②如果n α ,则存在直线l α⊂,使n l ,由m α⊥,可得m l ⊥,那么m n ⊥,故正确；③如果,⊂m αβα ,那AF么m 与β无公共点,则m β ,故正确；④如果,m n αβ ,那么,m n 与α所成的角和,m n 与β所成的角均相等,故正确；故选A. 6．A【解析】试题分析：分别取PC PB ,的中点分别为N M ,,连结MN ，由平面⊥PAB 平面ABCD ,AB BC ⊥,可知⊥BC 平面PAB ,AM BC ⊥∴；又点M 为PB 的中点，PB AM ⊥∴.可得⊥AM 平面PBC ,而BC AD //且BC AD 21=，同时BC MN //且BC MN 21=，MN AD //∴且MN AD =,则四边形ADNM 为平行四边形，可得DN AM //,则⊥DN 平面BPC ，又⊂DN 平面PCD ,∴平面⊥BPC 平面PCD .其余选项都错误，故选A ． 7．D【解析】试题分析：以BC 的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A，1A ，(0,2,3)E ，(0,2,4)F -，1(3)A E =--，(2,4)AF =-- ，设1A E ，AF 所成的角为θ，则11||cos ||||A E AF A E AF θ⋅===⋅． 8．C【解析】试题分析：圆9)2()(:221=++-y m x C 的圆心()1,2C m -，半径为13r =；圆4)()1(:222=-++m y x C 的圆心()21C m -，，半径为22r =；则两圆心之间的距离为12235C C ==+=，解得25m =-或.故选C.9．C【解析】试题分析：∵直线012=-+my x 与直线023=+-n y x 垂直，∴()0232=-+⨯m ，解得3=m ，由垂直在两直线上可得⎩⎨⎧=+-=-+0260134n p p ，解得1-=p 且8-=n ，∴4=--n m p ，故选：C ． 10．B【解析】试题分析：直线20ax y ++=过定点()0,2P -，54,23PA PB k k =-=，若直线直线20ax y ++=与线段AB 有交点，根据图象可知52k ≤-或43k ≥，若直线20ax y ++=与线段AB 没有交点，则5423k -<<，即5423a -<-<，解得：4532a -<<，选B ．11．A【解析】试题分析：作2C 关于x 轴的对称点)4,3(-A ，连接1AC 得1AC 所在直线方程0177=-+y x ，与x 轴的交点为)0,717(P ，此时21PC PC +最小，连接1PC 、2PC 分别交圆于N M 、，则PN PM +最小，PN PM +==--+3121PC PC 425- 12．A【解析】试题分析：本题考查直线过定点问题.注意直线过定点的表示方法中有一条不存在的直线,本题的切线恰好在集合A 中不存在,所以选择A 二.填空题 13．4或51【解析】试题分析：由于11//AC AC ，因此ACE ∠就是异面直线11AC 与CE所成的角，即cos 9CE ∠=2AB a =，则BC =AC余弦定理得22(93)923a a =++-⨯21a =或26a =． 2222221193(2)97AC AC CC a a a =+=++=+， 所以14AC =此即为球O 的直径． 14．25【解析】试题分析：由题意P A 1在几何体内部，但在面B C A 11内把B C A 11沿1BC 展开与B CC 1∆在一个平面上，连接C A 1即可.1111C B C A ⊥且C C BB C B A 11111面面⊥交线为11C B ，所以,1111C C BB C A 面⊥，,111C C BB BC 面⊂所以,111BC C A ⊥ ,135,45,90,01101011=∠=∠=∠=C C A B CC BCC CC BC 在C C A 11∆中.2cos 111212121111CC C A C A C C C A C C A ⋅⋅-+=∠25,1=⇒C A15．29)2()2(22=-++y x . 【解析】试题分析：设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-.因为圆C 的圆心与点M （1，1-）关于直线10x y -+=对称，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--+-=-+012121111b a a b ，即⎩⎨⎧-=-=+40b a b a ，得圆心坐标为)2,2(-；又因为圆C 与10x y -+=相切，所以232122=+--=r ；则圆的标准方程为29)2()2(22=-++y x . 16．43，12π． 【解析】试题分析：取AC 中点D ，则S D A C ⊥，BD AC ⊥，又∵SD BD D ⊥=，∴AC ⊥平面SBD ，∵SB ⊂平面SBD ，∴AC S B ⊥，又∵AM SB ⊥，AM AC A = ，∴SB ⊥平面SAC ，∴SA SB ⊥，SC SB ⊥，根据对称性可知SA SC ⊥，从而可知SA ，SB ，SC 两两垂直，如下图所示，将其补为立方体，其棱长为2，∴114222323S ABC C ASB V V --==⨯⨯⨯⨯=，其外接球即为立方体的外接球，半径22r ==4π312π=⨯=S ．三.解答题17．（Ⅰ）证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，连结ME ．因为 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，M 是AB 中点，所以侧面BB 1C 1C 为矩形，ME 为△ABC 1的中位线，所以ME //AC 1．因为ME ⊂平面B 1CM ，AC 1⊄平面B 1CM ，所以AC 1∥平面B 1CM（II ）1113B BCM BCM V S BB -∆=⋅，1111ABC A B C ABC V S BB -∆=⋅设BM BA λ=，01λ<<111139ABC ABC S BB S BB λ∆∆⋅=⋅ 故13λ=，即BM =故当BM =三棱锥1B BCM -的体积是三棱柱111ABC A B C -的体积的19.18．解：（1）由题意知()1,2A -到直线270x y ++=的距离为圆A 半径RR ∴==∴圆A 的方程为()()221220x y ++-=（2）设线段MN 的中点为Q ，连结QA ，则由垂径定理可知90MQA ∠=︒，且MQ =在Rt AMQ ∆中由勾股定理易知1AQ ==当动直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-时，显然满足题意；当动直线l 的斜率存在时，设动直线l 的方程为：()2y k x =+由()1,2A -到动直线l 的距离为11=⇒34k =3460x y ∴-+=或2x =-为所求方程.19．解：（1）由题可知：直线l 经过点（2,1）,（6,3），由两点式可得直线l 的方程为：123162y x --=--，整理得：20x y -=（2）依题意：设圆C 的圆心),2(b b C 的方程为：圆C 与x 轴相切于点)0,2(，则⇒=22b 1=b ，且半径1=r ，∴圆C 的方程为1)1()2(22=-+-y x（3）由于BT CT BS CS ⊥⊥、，则四点T C S B 、、、四点共圆，这个圆以BC 为直径其方程为20)2()4(22=-+-y x ，ST 为两圆的公共弦，把两圆方程化为一般方程042422=+--+y x y x 和22y x +048=--y x ，两式相减得公共弦方程：022=++y x20．解：（1）AB ABCD PAB ABCD PAB =⋂⊥平面，平面平面平面ABCD PA PAB PA AB PA 平面，平面⊥∴⊂⊥,O BD AC BD PA ABCD BD =⋂⊥⊂连结，平面, ,4,2,1,,//===⊥CD BC AB CD BC CD ABACB BDC ∠=∠,090=∠+∠=∠+∠∴CBD BDC CBD ACB则A PA AC BD AC =⋂⊥ ,,PAC BD 平面⊥∴（2）作FO MO M AD FM ,，连接于⊥由（1）知：ABCD PAD 平面平面⊥，AD ABCD PAD =⋂平面平面,PA FM ADC FM //，平面⊥∴FO FAC PBD PBD PB FAC PB =⋂⊂平面，平面平面，平面//PAB FMO PB FO 平面平面//,//∴∴54,//===∴DB DO DA DM PA FM AB MO ,又4,5=∴=FM PA 4212-=⋅-⋅+==∆∆DC AB BC DC AB S S S ABC ABCD ADC 梯形316==∴--DAC F FAC D V V 21．解：（1）将曲线C 的方程化为04222=--+y a ax y x , 即22224)2()(aa a y a x +=-+- 可知曲线C 是以点2(,)a a为半径的圆． （2）AOB ∆的面积S 为定值． 证明如下：在曲线C 的方程中令0=y ，得0)2(=-a x ax ，得点)0,2(a A ， 在曲线C 方程中令0=x ，得0)4(=-ay y ，得点4(0,)B a， ∴S 1||||2OA OB =∙12=4|2|||4a a ∙∙=|（定值）． （3） 圆C 过坐标原点，且OM ON =，∴MN OC ⊥，∴22a 12=，∴2±=a ， 当2-=a 时，圆心坐标为)1,2(--圆心到直线l ：42+-=x y的距离d==>直线l 与圆C 相离，不合题意舍去，2=a 时符合题意．这时曲线C 的方程为02422=--+y x y x .22．解：（1）由题意可知()()121,0,3,4,1C C r -=，由图知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为()1y k x =+，即0kx y k -+= 因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65， 所以圆心2C 到直线l的距离为45d === 解得34k =或43，所以直线l 的方程为3430x y -+=或4340x y -+=． （2）①证明：设动圆圆心(),C x y ，由题可知12CC CC ==化简得30x y +-=，所以动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动． ②动圆C 过定点设(),3C m m -，则动圆C=动圆C 的方程为()()()()22223113x m y m m m -+-+=+++- 整理得()2262210x y y m x y +----+= 2262010x y y x y ⎧+--=⎨-+=⎩，解得122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以动圆C过定点1,222⎛++⎝⎭和1222⎛-- ⎝⎭．。