圆锥曲线与方程试题及答案

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高中数学平面解析几何——圆锥曲线与方程

高中数学平面解析几何——圆锥曲线与方程一、单选题1．若双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线方程y =√3x ，则该双曲线的离心率为（）A ．√3B ．2C ．12D ．2√332．已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线C 1与曲线C 2：x 2+y 2−b 2=0在第二象限的交点为M ，且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13，则双曲线C 1的离心率为( ) A ．√32B ．3C ．√3D ．323．抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点为 F ，点 A(6,y 0) 是 C 上一点， |AF|=2p ,则 p =（） A ．4B ．3C ．2D ．14．经过点 M(2√3,2√2) 且与双曲线 y 24−x 23=1 有共同渐近线的双曲线方程为（）A ．x 26−y 28=1B ．y 26−x 28=1C ．x 28−y 26=1D ．y 28−x 26=15．过双曲线 E ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线 E 交于A ，B 两点，与双曲线 E 的渐近线交于C ，D 两点，若 |AB|=√32|CD| ，则双曲线 E 的渐近线方程为（） A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y =±2xD ．y =±2√3x6．若双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 的一条渐近线经过点 (3,4) ,则此双曲线的离心率为( )A ．√73B ．54C ．43D ．537．双曲线x 2a 2−y 2b2=1的离心率为√3，则它的渐近线方程是（）A ．y =±√2xB ．y =±√22xC ．y =±2xD ．y =±12x8．已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A(0，2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√55MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则p 的值等于（）A ．18B ．2C ．14D ．49．椭圆x 29+y 24−k =1的离心率为45，则k 的值为（）A．－21B．21C．−925或21D．925或2110．曲线x 210−m+y26−m=1(m<6)与曲线x25−m+y29−m=1(5<m<9)的（）A．焦距相等B．离心率相等C．焦点相同D．准线相同11．已知双曲线Γ过点M(3,4)且其渐近线方程为y=±2√33x，ΔABC的顶点A,B恰为Γ的两焦点，顶点C在Γ上且|AC|>|BC|，则sin∠BAC−sin∠ABCsin∠ACB=（）A．−2√77B．2√77C．−2D．212．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形区域A1A2A3A4的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线13．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（）A．4.25米B．4.5米C．3.9米D．4.05米14．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，以OF2为直径的圆M与双曲线C相交于A，B两点，其中O为坐标原点，若AF1与圆M相切，则双曲线C的离心率为 A ．√2+3√62B ．√2+√62C ．3√2+√62D ．3√2+2√6215．已知椭圆 y 2a 2 + x 2b2 =1(a>b>0)与直线 y a −x b =1 交于A ，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（） A ．√5−12B ．√3−12C ．√3+14D ．√5+1416．设双曲线 C ： x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，点 P 在 C 上，且满足 |PF 1|=3a .若满足条件的点 P 只在 C 的左支上，则 C 的离心率的取值范围是（） A ．(1,2]B ．(2,+∞)C ．(2,4]D ．(4,+∞)17．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若|MN|=|F 1F 2|，2√2|MF 2|=|NF 2|，则C 的离心率为（） A ．√24B ．12C ．6√2−37D ．3√2−37二、填空题18．双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)上一点P （点P 在第一象限），过双曲线C 中心O 且与坐标轴不平行的直线l 交双曲线C 左右两支于A ，B 两点（点A ，B 异于点P ），设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1k 2=14，则双曲线C 的离心率为 .19．过点(2√3，√3)且渐近线与双曲线C ：y 2−x 22=1的渐近线相同的双曲线方程为 .20．已知 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点， P 为 C 上的一点，若 |PF|=3 ，则点 P 的坐标为 21．已知点 (1,2) 在抛物线 y 2=2px 上，则该抛物线的焦点坐标为． 22．已知抛物线 y 2=2ax 的准线方程为 x =−2 ，则 a = ． 23．抛物线x 2=−2y 的焦点到准线的距离为．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2=8x 上一点P 到点A （4，0）的距离等于它到准线的距离，则PA= ．25．椭圆 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 上的任意一点 P (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点 B 1,B 2的连线交 x 轴于点 M 和 N ，则 |OM|+|ON| 的最小值是．26．已知抛物线y 2=2px 的焦点F 与双曲线x 27﹣Y 29=1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的焦点为K ，点A 在抛物线上，且|AK|=√2|AF|，则△AFK 的面积为27．如图从双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 （其中 b >a >0 ）的左焦点F 引圆 x 2+y 2=a 2 的切线，切点为T ，延长 FT ，交双曲线右支于P ，若M 为线段 FP 的中点，O 为原点，则 |MO|−|MT| 的值为（用 a 、b 表示）．28．设F 为抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点，过F 作倾斜角为 60° 的直线交C 于A ，B 两点，若 |AF|−|BF|=4 ，则 |AB|= .29．已知椭圆E ： x 2a 2+y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的焦距为2c （c ＞0），左焦点为F ，点M 的坐标为（﹣2c ，0）．若椭圆E 上存在点P ，使得PM= √2 PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是．30．已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：(x −3)2+y 2=4相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为．31．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C ： y 2=4x 的焦点为 F ．过点 M(−1，0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，若 FA ⊥FB ，则直线 l 的斜率为．32．过双曲线x 2- y 215=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x-4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2-|PN|2的最小值为．33．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0) ， B(1,√3) ，动点 P 满足 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 |x|+|y|=1 ，则动点 P 形成的轨迹长度为 .34．已知F 是抛物线 C ：y 2=2px(p >0) 的焦点，抛物线C 上的点 A ，B 满足 AF⃗⃗⃗⃗⃗ =4FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 A ，B 在准线上的射影分别为 M ，N ，且 △MFN 的面积为5，则 |AB|=三、解答题35．某海域有 A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是 A 、B 两岛．曾有渔船在距A 岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在 A 、B 两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同）， A 、B两岛收到鱼群反射信号的时间比为 5：3 ．你能否确定鱼群此时分别与 A 、B 两岛的距离？ 36．已知直线l 的参数方程为 {x =2+ty =√3t (t 为参数)， P(2,0) ，曲线C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ=1 .（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长 |AB| 以及 |PQ| .37．已知 F 1 ， F 2 分别是椭圆 E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左，右焦点， |F 1F 2|=6 ，当 P在 E 上且 PF 1 垂直 x 轴时， |PF 2|=7|PF 1| .（1）求 E 的标准方程；（2）A 为 E 的左顶点， B 为 E 的上顶点， M 是 E 上第四象限内一点， AM 与 y 轴交于点 C ， BM 与 x 轴交于点 D . 求证：四边形 ABDC 的面积是定值.38．已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b2=1(a >0，b >0)的离心率为√174，抛物线D ：y 2=2px （p >0）的焦点为F ，准线为l ，l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，ΔMNF 的面积为8. （1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）求抛物线D 的方程.39．已知B ，C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．40．已知函数 y =2x 2 ，函数图象上有两动点 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2) .（1）用 x 1 表示在点 A 处的切线方程；（2）若动直线 AB 在 y 轴上的截距恒等于 1 ，函数在 A 、 B 两点处的切线交于点 P ，求证：点 P 的纵坐标为定值.41．已知双曲线 x 2−y 23=1 ，抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点与双曲线的一个焦点相同，点 P(x 0,y 0) 为抛物线上一点. （1）求双曲线的焦点坐标；（2）若点 P 到抛物线的焦点的距离是5，求 x 0 的值.42．已知圆C 的方程为：x 2+(y +1)2=r 2(r >0)（1）已知过点M(12，−52)的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若r =1，|AB|=√3，求直线l 的方程；（2）如图，过点N(−1，1)作两条直线分别交抛物线y =x 2于点P ，Q ，并且都与动圆C 相切，求证：直线PQ 经过定点，并求出定点坐标.43．已知椭圆 C ： x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左､右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，且 |F 1F 2|=2 ，点M(√3，√32) 在椭圆 C 上.（1）求椭圆 C 的标准方程.（2）P 为椭圆 C 上一点，射线 PF 1 ， PF 2 分别交椭圆 C 于点 A ， B ，试问 |PF 1||AF 1|+|PF 2||BF 2| 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 44．已知双曲线C ： x 2a 2−y 2b2 ＝1(a ，b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，其中c>0，M(c ，3)在C 上，且C 的离心率为2. （1）求C 的标准方程；（2）若O 为坐标原点，△F1MF2的角平分线l 与曲线D ： x 2c 2+y 2b2 ＝1的交点为P ，Q ，试判断OP 与OQ 是否垂直，并说明理由.45．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）分别是椭圆C ： x 2a2+y 23 =1（a ＞0）的左、右焦点．（△）求椭圆C 的方程；（△）若A ，B 分别在直线x=﹣2和x=2上，且AF 1△BF 1．（△）当△ABF 1为等腰三角形时，求△ABF 1的面积；（△）求点F 1，F 2到直线AB 距离之和的最小值．46．已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的离心率为 √33 ，且经过点 (32,√22) .（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若△OAB的面积为4√617，求直线l的方程.47．已知抛物线E:y2=2px的焦点F恰好是椭圆C:x2+2y2=2的右焦点.（1）求实数p的值及抛物线E的准线方程；（2）过点F任作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A、B和M、N点，求两条弦的弦长之和|AB|+|MN|的最小值．48．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，点P为椭圆上异于A、B的点，且直线PA和PB的斜率之积为−3 4 .（1）求C的方程；（2）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作OM//AP交椭圆于点M，试探究|AP|⋅|AQ||OM|2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.49．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个顶点分别为点A(−2,0)，B(2,0)，离心率为√32.（1）求椭圆C的方程；（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.证明：△BDE与△BDN的面积之比为定值.50．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为2√55，且|BF|=√5．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP//BF，求直线l的方程．答案解析部分1．【答案】B【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线方程y =√3x ，所以b a=√3，所以该双曲线的离心率为e =c a =√1+(b a )2=2。

圆锥曲线与方程测试题及参考答案

高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题及参考答案（时间120分钟总分150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个选项符合题目意思）1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 ( C ) A.12 B. 23 C.34 D.452.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 ( D )A.2833x y =B. 21633x y = C. 28x y = D. 216x y = 3.已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= ( C )A.14B.35C.34D.454.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为 ( D )A.22182x y += B.221126x y += C.221164x y += D.221205x y += 5.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(A)A.5B.42C.3D.56.方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( B ) A.28条 B.32条 C.36条 D.48条7.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =; 则AOB ∆的面积为 ( C )A.22B.2C.322D.228.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。

上海市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（）A ．BC ．13-D ．132．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．(][),10,1-∞-B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．[]()1,01,-+∞3．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且124d d +=，则双曲线的方程为（）A ．223144x y -=B ．224134x y -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=4．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC D 5．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由点P 位置决定6．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（）A ．4B ．15C ．14D ．47．已知双曲线2222:1(0,0),,x y C a b A B a b-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是（）A B C ．2D8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB 的面积为3，则p =（） A ．1B ．32C ．2D ．39．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（）A ．34B ．1C ．43D ．91610．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（）A ．2B ．4C ．5D ．611．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3 C 2D 312．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x 3M 在C 上，且12MF MF ⊥，M 3C 的方程为（）A ．22148x y -=B ．22148y x -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12fk f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ．14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与圆222x y b +=在第二、四象限分别相交于两点A 、C ，点F 是该双曲线的右焦点，且2AF CF =，则该双曲线的离心率为______.16．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，当a 取最大值时，双曲线C 的方程为________.17．双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交曲线C 右支于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，若3PQ ＝14PF ，则C 的离心率等于________．18．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．19．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.20．设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于两点P ，Q ，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为______.三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，右焦点为F ，原点O 到直线BF 的距离为1||2OF . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点，若||MN 的最大值为2，求椭圆C 的方程.22．已知椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的离心率为2e =，点1)-在椭圆D 上.（1）求椭圆D 的标准方程；（2）设点(2,0)M -，(2,0)N ，过点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点(A 点在x 轴上方)，设直线MA ，NB (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，求证：12k k 为定值. 23．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且32MF. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由. 24．已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1，离心率255e =，过椭圆的右焦点F 的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A ，B 两点（1）求椭圆的标准方程（2）当直线l 的斜率为12时，求弦长AB 的值. 25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，M 为C 上任意一点，12MF F S的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）不过点F 2的直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点. ①若k 2=12,且S △AOB 2m 的值； ②若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.26．已知：椭圆221164x y +=，求：（1）以()2,1P -为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．C 解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-,123m =⇒=-，故选C.2．C解析：C 【分析】利用绝对值的几何意义，由3y x =+，可得0y ≥时，3yx ，0y <时，3y x =--，则可得曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，再无其它交点，把3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，分类讨论，可得结论【详解】解：由3y x =+，可得0y ≥时，3yx，0y <时，3y x =--，所以曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，为了使曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则将3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，当1a =-时，3y =满足题意，因为曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，所以>0∆，且3是方程的根，所以9(1)01a a-<+，即11a -<<时，方程两根异号，满足题意，综上，a 的取值范围为[)1,1-，故选：C 【点睛】此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题3．A【分析】先将A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，得到b 值，再根据离心率，即求出a ，得到双曲线方程. 【详解】设右焦点0F c （，），依题意F 是AB 的中点，渐近线为0bx ay ±=，F bcb c== ，因为A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，F 是AB 的中点，所以122d d b +=，所以24b =，故2b =，得224c a -= ，又因为离心率2c e a ==，得243a =，故双曲线的方程为223144x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的方程，属于中档题.4．D解析：D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4, ∴a=2b.设b=k,则∴e=c a =2k . 5．B解析：B 【分析】根据定义可得12PF PF a +=，进而得出OM PM a +=，根据MN ON OM =-求出MN PM MF ==，得出90PNF ∠=，即可判断. 【详解】设F 是右焦点，左焦点为1F ，12PF PF a ∴+=，在1PFF 中，,O M 分别是1,FF PF 中点，12,2PF OM PF PM ∴==，1222PF PF OM PM a ∴+=+=，即OM PM a +=，()MN ON OM a a PM PM ∴=-=--=，MN PM MF ∴==，∴N 在以线段PF 为直径的圆上，90PNF ∴∠=,故PFN 的形状是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出MN PM MF ==，从而判断90PNF ∠=.6．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得15b a =. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以15b a =所以22411515c b e a a ==+=，故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.7．B解析：B 【分析】设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2可求得22b a，从而可得离心率c e a =．【详解】根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则222222221,1m n k ta b a b-=-=，,PA PB t n t nk k k m k m-+==-+，所以2222PA PB t n t n t nk k k m k m k m-+-⋅=⋅==-+-22222222222(1)(1)t n b t n aa ab b-==+-+，所以双曲线的离心率2213c b e a a==+= 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．8．C解析：C 【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB p 的值．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程是b y x a=±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-，故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±，又由双曲线的离心率为2，所以2c a =2=，则b a =A ，B 两点的纵坐标分别是=y又AOB=，得2p =，故选：C ．【点睛】本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A ，B 两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式．9．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=，即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=，所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034122x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.10．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.11．D解析：D 【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =，因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ，所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，abMH c=，即M 点纵坐标为ab c，将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b aa c ，222422ca a a c ，223c a =，3==ce a，故选：D . 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.12．C解析：C【解析】12,MF MF ⊥∴由直角三角形的性质可得1MO FO c ==，又3,c a =21,312a b ∴==-=，C ∴的方程为2212y x -=，故选C. 二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--，又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a ==⋅-，由()ln 2x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，得()()1212ln ,ln 22k k f k f k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2122k k=显然不成立；则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】抛物线焦点为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小，将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFB OFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.15．【分析】画出图形结合双曲线的性质判断四边形的形状结合双曲线的定义求出三角形的边长通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可【详解】解：双曲线的右焦点为左焦点为根据对称性可知是平行四边形所以又点在双曲线上【分析】画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．【详解】解：双曲线的右焦点为F ，左焦点为E ，根据对称性可知AFCE 是平行四边形，所以 ||2||2||AF CF AE ==，又点A 在双曲线上，所以||||2AF AE a -=，因为||2||AF CF =，所以||||2||||2AF AE CF CF a -=-=，所以||2CF a =，在三角形OFC 中，||2FC a =，||OC b =，||OF c =，||4AF a =，可得222162cos a b c bc AOF =+-∠， 22242cos a b c bc COF =+-∠，可得22222202242a b c c a =+=-，即：22112a c =，所以双曲线的离心率为：222e =．故答案为：222．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．16．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，则(0312x ⨯=-，解得023x =，则200143x y ==，所以，点M 的坐标为3133⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<，当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==，因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设则再利用双曲线的定义可得分别在中利用勾股定理即可获解【详解】如图设由＝可得由双曲线定义有所以又所以因为所以即①②由②解得代入①得即所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法解题关键【分析】设||4(0)PQ t t =>，则13PF t =，再利用双曲线的定义可得232PF t a =-，1||4QF t a =+，分别在12PF F △，1PFQ 中利用勾股定理即可获解. 【详解】如图，设||4(0)PQ t t =>，由3PQ ＝14PF 可得13PF t =，由双曲线定义，有12||||2PF PF a -=，所以232PF t a =-，21||||2QF PQ PF t a =-=+，又12||||2QF QF a -=，所以1||4QF t a =+，因为1PQ PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=，22211||||||PF PQ QF +=，即222(3)(32)4t t a c +-=①，222(3)(4)(4)t t t a +=+②，由②解得t a =，代入①，得222(3)(32)4a a a c +-=，即22104a c =，所以101042c e a ===. 故答案为：102【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题关键是建立关于,,a b c 的方程，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.18．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4 【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===，故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.19．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，所以121,9QQ R QQ R =+=-，所以1212106QQ QQ QQ +=>=，所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆，所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=，故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】由几何关系得出为正三角形结合椭圆的定义得出轴利用椭圆方程得出结合直角三角形的边角关系得出再解方程即可得出答案【详解】为正三角形则由椭圆的定义可知则即轴设点由解得即在中即解得故答案为：【点睛】【分析】由几何关系得出1PFQ 为正三角形，结合椭圆的定义，得出PQ x ⊥轴，利用椭圆方程得出22b PF a=，结合直角三角形的边角关系得出22332a c ac -=，再解方程23230e e +-=，即可得出答案.【详解】1160,||F PQ PF PQ ︒∠==1PFQ 为正三角形，则11||PFPQ FQ == 由椭圆的定义可知，2112||2,2PF PF a QF QF a +=+= 则1212PF PF PF QF +=+，即22PF QF =PQ x ∴⊥轴设点()00,,0P c y y >，由220222221y c a ba b c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得20b y a =，即22b PF a = 在12F PF ∆中，222211tan 23F F F PF c PF ab∠==⋅= 即232b ac =，22332a c ac -=23230e e ∴+-=，解得33e =故答案为：33【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率，考查数形结合思想及运算能力，属于中档题.三、解答题21．(1) 32; (2) 2214x y +=【分析】（1）根据条件在OBF 中，由等面积法可得点O 到直线BF 的距离，从而建立方程求出,a b 关系，得出离心率.(2) 设:l x my n =+，与椭圆方程联立写出韦达定理，由弦长公式得到弦长，求出其最值，根据条件得到答案. 【详解】（1）由条件可得()0,B b ，(),0F c ，设点O 到直线BF 的距离为d 在OBF中，有BF a ==，则d BF ON OF ⨯=⨯,即bc d a= 所以12bc d c a ==，所以12b a =所以2e ====(2)由直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点,所以直线l 的斜率不为0. 设:l x my n =+，所以b =，所以()2221n b m =+由（1）可得224a b =，则椭圆方程化为：22244x y b +=设()()1122,,,M x y N x y ，由22244x my nx y b =+⎧⎨+=⎩，得()22224240m y mny n b +++-=所以2212122224,44mn n b y y y y m m --+==++ 所以AB ===1t =≥，则221m t =-所以2AB b t t=≤+，当且仅当t=m =时取得等号. 由||MN 的最大值为2，则22b =，所以1b =所以当||MN 的最大值为2时，椭圆方程为：2214xy +=【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率和根据弦长的最值求椭圆方程，解答本题的关键是先由弦长公式得出弦长AB =1t =≥，利用换元利用均值不等式求出其最值，属于中档题.22．（1）22142x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得到关于,a b 的方程组，解方程组即得解；（2）设直线l的方程为x my =理化简12k k 即得解. 【详解】（1）椭圆D的离心率e ==a ∴=，又点1)-在椭圆D 上，22211a b∴+=，得2a =，b = ∴椭圆D 的标准方程22142x y +=.（2）由题意得，直线l的方程为x my =由22142x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()22220m y ++-=，设())()1122,,,A x y B x y ，则1222y y m+=-+，12222y y m =-+， ()()1212121212222()4(2(4x x x x x x my my my my ++=+++=++++221212(2()2)m y y m y y =+++2222(222)m m m ⎛⎛⎫=-++= ⎪ +⎝⎭⎝⎭()()()2112122121222212121212222223222422x k y x y y x y y y y k x y x y x x x x ----∴=⋅=⋅=⋅==-+++-++定值). 【点睛】方法点睛：定值问题在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明；（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.23．（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程.(2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案. 【详解】（1）根据抛物线的定义，31122p MF p =+=⇒=，抛物线的方程为22y x =，（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx mk x km x m y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12222km x x k -+=，2122m x x k =,则122y y k +=，122m y y k =，又0AF BF k k +=，即121201122y y x x --+=--， ()122112102x y x y y y +-+=，()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=，整理得：2k m =，所以直线的方程为()21y m x =+，即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.24．（1）2215x y +=（2）9【分析】（1）根据顶点坐标得到1b =，根据离心率5c e a ==，结合222a b c =+得到25a =，则可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆，利用弦长公式可求得结果.【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为22221x y a b+=(0)a b >>，则1b =，c a =，所以22221a b c ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭，解得25a =，所以椭圆的标准方程为2215x y +=.（2）由（1）知(2,0)F ，则直线:l 1(2)2y x =-，联立221(2)215y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得22009x x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12209x x +=，120x x =，所以||AB ==209==. 【点睛】结论点睛：斜率为k 的直线l 与圆锥曲线交于11(,)A x y 、22(,)B x y两点，则弦长||AB =25．（1）2212x y +=；（2）①1m =±；②直线l 恒过定点(2,0).【分析】（1）根据题意，可求得1c =，1b =，进而求得a ，由此得到椭圆方程；（2）①联立方程，得到k 与m 的不等关系，及两根的关系，表示出弦长AB 及点O 到直线AB 的距离，由此建立等式解出即可；②依题意，120k k +=，由此可得到k 与m 的等量关系，进而求得定点．【详解】（1）由抛物线的方程24y x =得其焦点为(1,0)，则1c =，当点M为椭圆的短轴端点时，12MF F 面积最大，此时1212S c b =⨯⨯=，则1b =，∴a =2212x y +=；（2）联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x kmx m +++-=，∆222222164(21)(22)8(21)0k m k m k m =-+-=-+>，得2212(*)k m +>，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++， ①0m ≠且212k =，代入(*)得，202m <<，12|||AB x x -，设点O 到直线AB 的距离为d，则d ==∴12||||)23AOBm SAB d ==， 21(0,2)m ∴=∈，则1m =±；②1122121122,1111y kx m y kx mk k x x x x ++====----，由题意，120k k +=， ∴1212011kx m kx m x x +++=--，即12122()()20kx x m k x x m +-+-=， ∴2222242()()201212m km k m k m k k -+---=++，解得2m k =-，∴直线l 的方程为(2)y k x =-，故直线l 恒过定点，该定点坐标为(2,0)．【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0{(,)0(,)0f x y f xy f x y ===，从而求得该定点.26．（1）240x y --=；（2）18y x x ⎛=-<< ⎝⎭. 【分析】（1）设弦的端点()11,A x y ，()22,B x y ，可得：22111164x y +=，22221164x y +=，相减化简再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（2）设直线方程为：2y x m =+，弦的端点坐标及中点(),M x y ，与椭圆方程联立化为：2217164160x mx m ++-=，由0>，化为：268m <，再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出.【详解】（1）设弦的端点()11,A x y ，()22,B x y ，可得：22111164x y +=， 22221164x y +=，相减可得：12121212()()()()0164x x x x y y y y +-+-+=，把1222x x +=，1212y y +=-， 1212y y k x x -=-代入可得： 12k =．∴以()2,1P -为中点的弦所在直线的方程为：()1122y x +=-，化为： 240x y --=．（2）设直线方程为：2y x m =+，弦的端点()11,A x y ， ()22,B x y ，中点(),M x y ．联立2221164y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为 2217164160x mx m ++-=，()22256684160m m =-->，化为： 268m <，∴1216227m x x x +=-=，化为： 882171717m m m x y m ⎛⎫=-=⨯-+= ⎪⎝⎭，．得x <<，∴18y x x ⎛=-<< ⎝⎭【点睛】关键点点睛：（1）涉及直线与圆锥曲线相交中点弦问题时，利用点差法；（2）由直线与椭圆的位置关系得出m 的范围.。

(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析

高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.若动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线【答案】D【解析】因为定点F（1，1）在直线上，所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线，垂直的直线．故选D．【考点】1．抛物线的定义；2．轨迹方程．2. F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆【答案】C【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程。

解：因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|，所以点M的轨迹是线段，故选C。

3.椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系。

利用“点差法”求弦的斜率，由点斜式写出方程。

故选B。

4.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A．（1, 0）B．（2, 0）C．（3, 0）D．（－1, 0）【答案】A【解析】由已知，所以=4，抛物线的焦点坐标为（1, 0），故选A。

【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质。

点评：熟记抛物线的标准方程及几何性质。

5.圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+ y 2-x-2 y -=0B．x2+ y 2+x-2 y +1="0"C．x2+ y 2-x-2 y +1=0D．x2+ y 2-x-2 y +=0【答案】D【解析】由抛物线定义知，此圆心到焦点距离等于到准线距离，因此圆心横坐标为焦点横坐标，代入抛物线方程的圆心纵坐标,1，且半径为1，故选D。

【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质，同时考查了圆的切线问题。

点评：抛物线问题与圆的切线问题有机结合，利用抛物线定义，简化了解答过程。

第二章圆锥曲线与方程1

第二章综合能力检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵方程mx 2＋ny 2＝1，即x 21m ＋y 21n＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴需有：⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，1m <1n.∴m >n >0，故互为充要条件．2．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，则k 应满足的条件是( )A ．k >3B ．2<k <3C ．k ＝2D ．0<k <2[答案] C[解析] k >0，c ＝9－k 2＝k ＋3，∴k ＝2.3．(2012·东营市期末)已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，则d1＋d2的最小值是()A. 3 B．2 3C．6 2 D．3[答案] C[解析]抛物线y2＝－8x的焦点F(－2,0)，根据抛物线的定义知，d1＋d2＝|PF|＋d2，显然当由点F向直线x＋y－10＝0作垂线与抛物线的交点为P时，d1＋d2取到最小值，即|－2＋0－10|2＝6 2.4．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝16外切，则动圆的圆心P的轨迹是()A．线段B．双曲线C．圆D．椭圆[答案] B[解析]设动圆P和定圆B外切于M，则动圆的圆心P到两点A(－3,0)和B(3,0)的距离之差恰好等于定圆半径，即|PB|－|P A|＝4，∴点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，故选B.5．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是()A．(1,0) B．(116，0)C．(－1,0) D．(0，－116)[答案] C[解析]x2＝4y关于x＋y＝0，对称的曲线为y2＝－4x，其焦点为(－1,0)．6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33 B.22 C.14 D.12[答案] D[解析]由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝m 2＋n 2，c 2＝am ，2n 2＝2m 2＋c 2.解得c 2a 2＝14，∴e ＝c a ＝12.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1[答案] A[解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y24＝1.8．已知椭圆2x 2＋y 2＝2的两个焦点为F 1，F 2，且B 为短轴的一个端点，则△F 1BF 2的外接圆方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋(y －1)2＝4[答案] A[解析] 椭圆的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，短轴的一个端点为B (1,0)，可知BF 1⊥BF 2，于是△F 1BF 2的外接圆是以原点为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋y 2＝1.9．双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．8[答案] A[解析] ∵c a ＝62，2b ＝4，∴a 2＝8，a ＝22， |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝42， |BF 2|－|BF 1|＝2a ＝42，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝82，又∵|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，|AF1|＋|BF1|＝|AB|，∴|AB|＝8 2.10．设a>1，则双曲线x2a2－y2(a＋1)2＝1的离心率e的取值范围是()A．(2，2) B．(2，5)C．(2,5) D．(2，5)[答案] B[解析]由已知得e＝a2＋(a＋1)2a＝2a2＋2a＋1a2＝1a2＋2a＋2＝(1a＋1)2＋1，∵a>1，∴0<1a<1，∴1<1a＋1<2，∴2<(1a＋1)2＋1<5，∴2<(1a＋1)2＋1<5，故选B.11．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是()[答案] D[解析]解法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准方程x2 1a2＋y21b2＝1，y2＝－ab x.因为a>b>0，因此1b>1a>0.所以有椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左．解法二：将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，即说明ax＋by2＝0的图象关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y 轴，排除A.12．B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地运转货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是()A．(7＋1)a万元B．(27－2)a万元C．27a万元D．(7－1)a万元[答案] B[解析]设总费用为y万元，则y＝a·(MB＋MC)∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，∴曲线PQ是双曲线的一支，B为焦点，且a＝1，c＝2.由双曲线定义，得MA－MB＝2a，即MB＝MA－2，∴y＝a·(MA＋MC－2)≥a·(AC－2)．以直线AB为x轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A(－2,0)，C(3，3)．∴AC＝(3＋2)2＋(3)2＝27，故y≥(27－2)a(万元)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝____.[答案] 2[解析] 本题考查抛物线的定义．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x ，焦点为(1,0)，准线为x ＝－1. |AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1. 则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.14．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线l ：x ＋y ＝1交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线斜率为22，则mn ＝________.[答案] 22[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴mx 21＋ny 21＝1① mx 22＋ny 22＝1②又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴①－②得：m －n ·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0， ∵y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝22，∴m ＝22n ，∴m n ＝22. 15．直线y ＝kx ＋1(k ∈R )与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围为________．[答案] m ≥1且m ≠5[解析] 将y ＝kx ＋1代入椭圆方程，消去y 并整理，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5－5m ＝0.由m >0,5k 2≥0，知m ＋5k 2>0，故△＝100k 2－4(m ＋5k 2)(5－5m )≥0对k ∈R 恒成立．即5k 2≥1－m 对k ∈R 恒成立，故 1－m ≤0，∴m ≥1.又∵m ≠5，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.16．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的双曲线的离心率为________．[答案] 2[解析] ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2.∵AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴AC ＝5， ∴2a ＝CA －CB ＝2，∴a ＝1，∴e ＝ca ＝2.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P (32，6)，求抛物线方程和双曲线方程．[解析] 依题意，设抛物线方程为y 2＝2px ，(p >0)， ∵点(32，6)在抛物线上，∴6＝2p ×32， ∴p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x . ∵双曲线左焦点在抛物线的准线x ＝－1上，∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点(32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1，由⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1.解得a 2＝14，b 2＝34.∴所求双曲线方程为4x 2－43y 2＝1.18．(本小题满分12分)设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点．已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．[解析] 解法一：由已知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则 |PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即 |PF 1|2＝(6－|PF 1|2)＋20，解得 |PF 1|＝143，|PF 2|＝43，故|PF 1||PF 2|＝72；若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，得 |PF 1|＝4，|PF 2|＝2，故|PF 1||PF 2|＝2.解法二：由椭圆的对称性不妨设P (x ，y )(x >0，y >0)，则由已知可得F 1(－5，0)，F 2(5，0)．根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则P (5，43)，故|PF 1||PF 2|＝72；若∠F 1PF 2为直角，则⎩⎨⎧x 29＋y 24＝1，yx ＋5·y x －5＝－1.解得x ＝355，y ＝455，即P (355，455)，于是|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，故|PF 1||PF 2|＝2.19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x ，椭圆x 29＋y2m ＝1，它们有共同的焦点F 2，并且相交于P 、Q 两点，F 1是椭圆的另一个焦点，试求：(1)m 的值； (2)P 、Q 两点的坐标； (3)△PF 1F 2的面积．[解析] (1)∵抛物线方程为y 2＝4x ，∴2p ＝4， ∴p2＝1，∴抛物线焦点F 2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c ＝1，a 2＝9＝b 2＋c 2，∴9＝m ＋1，∴m ＝8.(2)解方程组⎩⎨⎧ y 2＝4x ，x 29＋y 28＝1.得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝6，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－ 6.∴点P 、Q 的坐标为(32，6)、(32，－6)． (3)点P 的纵坐标6就是△PF 1F 2的边F 1F 2上的高， ∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y p |＝12×2×6＝ 6.20．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，求双曲线C 的离心率的取值范围．[解析] 由C 与l 相交于两个不同点，故知方程组⎩⎨⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实根，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2，且a ≠1. 双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，因为0<a <2且a ≠1. 所以e >62，且e ≠ 2.即离心率e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．21．(本小题满分12分)如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18m ，拱顶离水面的距离为8m ，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若矩形的长|CD |＝9m ，那么矩形的高|DE |不能超过多少m 才能使船通过拱桥？[解析] 如图，以O 点为原点，过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．则B (9，－8)，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．∵点B 在抛物线上，∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2＝－818y ，∴当x ＝92时，y ＝－2，∴|DE |＝6，∴当矩形的高|DE |不超过6m 时，才能使船通过拱桥． 22．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程整理得⎝⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.∵直线l 与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22.即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k .又A (2，0)，B (0,1)，∴AB →＝(－2，1)． ∵OP →＋OQ →与AB →共线， ∴x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，∴－42k 1＋2k 2＝－2×221＋2k 2，解得k ＝22. 由(1)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k .。

(典型题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -+=与椭圆C 相交于不同的两点A B 、，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（） A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22152x y +=D ．22163x y +=2．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，记椭圆E 的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若C ，D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则（） A ．221k e -=B ．221k e +=C ．2211e k-= D ．2211e k+=3．已知()5,0F 是双曲线()2222:=10,0x y C a b a b->>的右焦点，点(A .若对双曲线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（）A B ．5C ．52D ．64．已知点()P m n ,是抛物线214y x =-上一动点，则A ．4B ．5C D ．65．过椭圆:T 2212x y +=上的焦点F 作两条相互垂直的直线12l l 、，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，则AB CD +的取值范围是（）A ．3⎡⎢⎣B ．3⎡⎢⎣C ．3⎡⎢⎣D ．3⎡⎢⎣ 6．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若1MF =，则E 的离心率为（）A ．3B ．2C ．5D ．27．如图，F 是抛物线28x y =的焦点，过F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则AOB 的面积为（）A ．10B ．8C ．16D ．128．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线右支上存在一点P ，使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（） A ．231e <<B ．23e >C ．3e >D ．13e <<9．设抛物线2:4(0)C x y p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,M N 两点，交l 于点P ，且PF FM =，则||MN =（）A ．2B ．83C ．5D ．16310．己知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，若点A 的纵坐标为4，则线段AB 的长为（） A ．253B ．496C ．436D ．25411．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．)+∞C ．(D ．(12．已知过点(,0)A a 的直线与抛物线22(0)y px p =>交于M.N 两点，若有且仅有一个实数a ，使得16OM ON ⋅=-成立，则a 的值为（） A ．4-B ．2C ．4D ．8二、填空题13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点(c,0)F 关于直线2y x =的对称点Q 在双曲线上，则双曲线的离心率是______．14．过双曲线221x y -=上的任意一点(除顶点外)作圆221x y +=的切线，切点为,A B ，若直线AB 在x 轴､y 轴上的截距分别为,m n ，则2211m n-=___________. 15．已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，C 的准线为l 且与x 轴相交于点B ，A 为C 上的一点，直线AO 与直线l 相交于E 点，若BOE BEF ∠=∠，6AF =，则C 的标准方程为_____________.16．设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆2229a x y +=与线段PF 交于A ,B 两点，若A ,B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为____________.17．在双曲线22221x y a b-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.18．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点11(,)P x y ，22(,)Q x y .①抛物线24y x =焦点到准线的距离为2； ②若126x x +=，则8PQ =；③2124y y p =-；④过点P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A ，则直线AQ 平行于抛物线的对称轴；⑤绕点(2,1)-旋转且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条. 以上结论中正确的序号为__________.20．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足||3||PF FQ =，若||OP b =，则E 的离心率为_________.三、解答题21．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x ya b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点21,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，且124AF AF +=. （1）求C 的方程；（2）过点2F 且斜率为1的直线与C 交于点M 、N ，求OMN 的面积.23．在平面直角坐标系中，动点(),P x y （0y >）到定点()0,1M 的距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点M 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若8AB =，求直线l 的方程.24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点421,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率为53.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与圆22:1O x y +=相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，Q 为椭圆C 上一个动点(点O ，Q 分别位于直线l 两侧)，求四边形OMQN 面积的最大值. 25．已知是抛物线2:2C y px=(0)p >的焦点，(1,)M t 是抛物线上一点，且||2MF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点O （坐标原点）分别作,OA OB 交抛物线C 于,A B 两点(,A B 不与O 重合)，且.2OA OB k k =.求证：直线AB 过定点.26．如图，已知抛物线()2:20C y px p =>，焦点为F ，过点()2,0G p 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y .（1）若124x x ⋅=，求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点M ，直线BF 交抛物线C 于另一点N .求证：直线l 与直线MN 斜率之比为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设出,A B 两点的坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用斜率公式和中点坐标可求得结果. 【详解】设(,0)F c -，因为直线30x y -+=过(,0)F c -，所以030c --+=，得3c =所以2223a b c -==，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222121222x x y y a b --=-，得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，因为P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，所以1212(,)22x x y y P ++，1212121212202OP y y y y k x x x x +-+===-++-，所以221222122(2)ABy y b b k x x a a-==-⋅-=-，又,A B在直线0x y -+=上，所以1AB k =，所以2221b a =，即222a b =，将其代入223a b -=，得23b =，26a =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=.故选：D 【点睛】方法点睛：本题使用点差法求解，一般涉及到弦的中点和斜率问题的题目可以使用点差法，步骤如下：①设出弦的两个端点的坐标；②将弦的两个端点的坐标代入曲线方程； ③作差变形并利用斜率公式和中点坐标公式求解.2．B解析：B 【分析】首先利用点,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，则211222x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得1112y k x =⋅，再利用点差法化简得2212214y b x a=，两式化简得到选项.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，()1,0C x ∴-，10,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则112,2y B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，得211222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，1121121131232y y y y k x x x x -===⋅-，利用点差法22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，整理得到2212214y b x a =，即222222244b a c k k a a-=⇒=，即221k e +=故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键利用三等分点得到211222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，再将斜率和离心率表示成坐标的关系，联立判断选项.3．C解析：C 【分析】设E是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把MF 转化为ME 后易得MA ME +的最小值，从而得a 的最小值，由此得离心率的最大值．【详解】设E 是双曲线的左焦点，M 在左支上，则2MF ME a -=，2MF ME a =+，22MA MF MA ME a EA a +=++≥+，当且仅当E A M ,,三点共线时等号成立．则222(5)(11)210EA a a +=-++≥，2a ≥，所以552c e a a ==≤．故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．4．D解析：D 【分析】先把抛物线214y x =-化为标准方程，求出焦点F (0,-1),运用抛物线的定义，找到2222(1)(4)(5)m n m n +++-++的几何意义，数形结合求最值.【详解】由214y x =-，得24x y =-．则214y x =-的焦点为()0,1F -．准线为:1l y =． 2222(1)(4)(5)m n m n +++-++几何意义是点()P m n ,到()0,1F-与点()4,5A -的距离之和，如图示：根据抛物线的定义点()P m n ,到()0,1F -的距离等于点()P m n ,到l 的距离，2222(1)(4)(5)m n m n ++-++|PF |+|PA |=|PP 1|+|PA |,所以当P 运动到Q 时，能够取得最小值. 最小值为：|AQ 1|=()156--=．故选：D. 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．5．C解析：C【分析】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，可直接求得AB CD +=12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，则可得直线1l 的方程，与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，可求得AB 的表达式，同理可求得CD 的表达式，令21k t +=，则可得2112t tAB CD +=+-，令2112y t t =+-，根据二次函数的性质，结合t 的范围，即可求得AB CD +的范围，综合即可得答案. 【详解】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则直线2l 斜率为0，此时AB =，22b CD a ===所以AB CD +=当直线12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，不妨设直线12l l 、都过椭圆的右焦点(1,0)F ，所以直线1:(1)l y k x =-，直线21:(1)l y x k=--，联立1l 与椭圆T 22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222)202142(-=+-+x k x k k ， 22222(4)4(12)(22)880k k k k ∆=--+-=+>，22121222422,1212k k x x x x k k-+=⋅=++，所以12AB x =-=22)12k k +==+，同理22221))2112k k CD k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以2222))122k k B k C k A D +++=+++，令21k t +=，因为0k ≠，所以1t >，所以22222))122211(21)(1)k k AB t D k k t t t C +++=+=++--++=+=22211212t t t t =+-+-，令2211119224y t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭，因为1t >，所以1(0,1)t∈，所以92,4y ⎛⎤∈ ⎥⎦⎝，所以141,92y ⎡⎫∈⎪⎢⎭⎣，所以1AB CD y +=∈⎢⎣，综上AB CD +的取值范围是3⎡⎢⎣. 故选：C 【点睛】解题的关键是设出直线的方程，结合韦达定理及弦长公式，求得AB CD +的表达式，再根据二次函数性质求解，易错点为需求直线12l l 、中有一个不存在时，AB CD +的值，考查计算求值的能力，属中档题.6．A解析：A 【分析】由点到直线的距离公式可得2||MF b =，由勾股定理可得||OM a =，则1MF =，1cos aFOM c∠=-，由此利用余弦定理可得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得答案．【详解】由题得2(,0)F c ，不妨设:0l bx ay -=，则2||MF b ==，OM a ==，1MF =，12cos cos aFOM F OM c ∠=-∠=-，由余弦定理可知222222111||||622OM OF MF a c a a OM OF ac c+-+-==-⋅，化为223c a =，即有==ce a故选：A ．【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．7．A解析：A 【分析】设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合已知条件可得出214x x =-，结合韦达定理求出2k 的值，进而可得出AOB 的面积为1212OAB S OF x x =⋅-△，即可得解. 【详解】易知抛物线28x y =的焦点为()0,2F .若直线AB 与x 轴垂直，此时直线AB 与抛物线28x y =有且只有一个公共点，不合乎题意.设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ，联立228y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得28160x kx --=，由韦达定理可得128x x k +=，1216x x =-，由于AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则4BF FA =，则()()2211,24,2x y x y --=-，所以，214x x =-，则12138x x x k +=-=，可得183k x =-， 2221218256441639k k x x x ⎛⎫=-=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭，可得2916k =，所以，OAB 的面积为1211222OAB S OF x x =⋅-=⨯△29646464641016k =+=⨯+=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.8．B解析：B 【分析】设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，设2F 关于直线1PF 的对称点为点M ，推导出12MF F △为等边三角形，可得出tan 30ba >，再由公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得该双曲线离心率的取值范围. 【详解】如下图所示：设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，由于2F 关于直线1PF 的对称点在y 轴上，不妨设该点为M ，则点M 在y 轴正半轴上，由对称性可得21122MF MF F F c ===，22113MO MF OF c =-=，所以，1260MF F ∠=，则1230PF F ∠=，所以，双曲线的渐近线by xa=的倾斜角α满足30α>，则123tan3bPF Fa>∠=，因此，该双曲线的离心率为2222222313c c a b bea a a a+⎛⎫====+>⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.9．D解析：D【分析】由题意作出MD垂直于准线l，然后得2PM MD=，得30∠=︒DPM，写出直线方程，联立方程组，得关于y的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算.【详解】如图，过点M做MD垂直于准线l，由抛物线定义得MF MD=，因为PF FM=，所以2PM MD=，所以30∠=︒DPM，则直线MN方程为3(1)x y=-，联立23(1)4x yx y⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去x得，231030y y-+=，设()()1122,,,M x y N x y，所以121210,13y y y y+==，得121016||2233MN y y=++=+=.故选：D.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||=++AB x x p 或12||=++AB y y p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．10．D解析：D 【分析】首先利用,,A F B 三点共线，求点B 的坐标，再利用焦点弦长公式求AB . 【详解】4y =时，1644x x =⇒=，即()4,4A ，()1,0F ，设2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用,,A F B 三点共线可知24314y y =-，化简得2340y y --=，解得：1y =-或4y =（舍）当1y =-时，14x =，即()4,4A ，1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以121254244AB x x p =++=++=. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，焦点弦问题，重点是求点B 的坐标.11．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围．【详解】设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>．又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ．【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．12．C解析：C 【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出1212,y y y y +及12x x ，把16OM ON ⋅=-用坐标表示代入上述值结合已知条件可得答案.【详解】设直线MN 的直线方程为x ty a =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由题意得22x ty a y px=+⎧⎨=⎩，整理得2220y pty pa --=，所以12122,2y y pt y y pa +==-，()()()2212121212x x ty a ty a t y y at y y a =++=+++ ()()2222t ap at pt a =-++，因为16OM ON ⋅=-，所以121216x x y y +=-，所以()()2222216tpa at pt a pa -++-=-，22160a pa -+=，因为方程有且仅有一个实数a ，所以()22640p ∆=-=，解得4p =，或4p =-（舍去），故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理求出1212,y y y y +及12x x ，然后16OM ON ⋅=-坐标表示列出等式，考查了学生分析问题、解决问题的能力.二、填空题13．【分析】由题意可得Q 点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出【分析】由题意可得Q 点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率. 【详解】设(,)Q m n ，则FQ 中点(,)22+m c n，=-FQ n k m c由题意可得325224215c nm c m n c n m c +⎧⎧=-=⨯⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⨯=-=⎪⎪-⎩⎩，由(,)Q m n 在双曲线上，可得222242242222234()()91655119502502525()--=⇒-=⇒-+=-c c c c c a c a a b a c a 两边同除4a ，可得42950250e e -+=，解得==e e （舍）【点睛】关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.14．1【分析】设出三点坐标表示出直线利用方程思想得到直线的方程算出可计算得到解【详解】设双曲线上任意一点为过作圆的切线切点为不是双曲线的顶点故切线存在斜率且则故直线化简得：即同理有又均过点有故直线故答案解析：1 【分析】设出,,P A B 三点坐标，表示出直线,PA PB ，利用方程思想，得到直线MN 的方程，算出,m n ，可计算2211m n-得到解.【详解】设双曲线上任意一点为()11,P x y ，()22,A x y ，()33,B x y 过()11,P x y 作圆221x y +=的切线，切点为,A B()11,P x y 不是双曲线的顶点，故切线存在斜率且OA PA ⊥，则221PA OA x k k y =-=-故直线()2222:xPA y y x xy-=--化简得：222222y y y x x x-=-+即2222221x x y y x y+=+=同理有33:1PB x x y y+=又,PA PB均过点()11,P x y，有313131311,1x x y y x x y y+=+=故直线11:1MN x x y y+=1111,m nx y==221222111x xm n-=-=故答案为：115．【分析】推导出求出可得出直线的方程联立直线与抛物线的方程求出点的坐标利用抛物线的定义求出的值即可得出抛物线的标准方程【详解】因为即所以则直线的方程为联立直线与抛物线方程解得所以解得因此抛物线标准方程解析：28y x=【分析】推导出OBE EBF△△，求出tan BOE∠，可得出直线AO的方程，联立直线AO与抛物线C的方程，求出点A的坐标，利用抛物线的定义求出p的值，即可得出抛物线C的标准方程.【详解】因为BOE BEF∠=∠，90OBE EBF∠=∠=，OBE EBF∴△△，OB BEBE BF∴=，即2222p pBE OB BF p=⋅=⨯=，2BE p∴=，所以tan 2BEBOE OB∠==，则直线AO 的方程为2y x =，联立直线OA 与抛物线方程222y xy px⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解得(),2A p p ，所以3622p pAF p =+==，解得4p =，因此，抛物线标准方程为28y x =. 故答案为：28y x =. 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法与待定系数法：（1）若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p ），那么只需求出p 即可；（2）若题目未给出抛物线的方程：①对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20y ax a =≠的正负由题设来定；②对于焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20x ay a =≠，这样就减少了不必要的讨论.16．【分析】取AB 中点H 后证明H 为PF 中点从而在直角三角形OFH 中利用勾股定理找到求出离心率【详解】如图示取AB 中点H 连结OH 则OH ⊥AB 设椭圆右焦点E 连结PE ∵AB 三等分线段PF ∴H 为PF 中点∵O 为E 解析：175【分析】取AB 中点H 后，证明H 为PF 中点，从而在直角三角形OFH 中，利用勾股定理，找到221725a c =，求出离心率.【详解】如图示，取AB 中点H ，连结OH ，则OH ⊥AB ，设椭圆右焦点E ，连结PE ∵AB 三等分线段PF ，∴ H 为PF 中点. ∵O 为EF 中点，∴OH ∥PE设OH=d,则PE=2d ，∴PF=2a-2d ，BH=3a d- 在直角三角形OBH 中，222OB OH BH =+,即22293a a d d -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：5a d =. 在直角三角形OFH 中，222OF OH FH =+,即()222c d a d =+-，解得：221725a c =，∴离心率5c e a ==.【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．17．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所解析：5 【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --，又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.18．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化解析：82-【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tan bb BAO CFO ac ∠=∠=，根据离心率可求出22b a =，22b c=，代入正切公式即可求出结果. 【详解】由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b b BAO CFO a c BDC BAO CFO b bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅ 因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么22b m =，极有22b a =，22b c =，代入上式得22228235221223+=--⨯．故答案为：825-【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO ∠=∠+∠；（2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c 的比值问题．（3）根据离心率求出,,a b c 的比值，代入可求.19．①②④【分析】焦点到准线的距离为即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理可判断③；求出两点坐标计算斜率即可判断④；时与抛物线只有一个交点设过点的直线为与抛解析：①②④ 【分析】焦点到准线的距离为p 即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线PQ 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断③；求出,A Q 两点坐标，计算AQ 斜率即可判断④；1y =时与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，与抛物线方程联立，利用0∆=求出k 的值，即可得出有一个公共点的直线条数，可判断⑤，进而可得正确答案. 【详解】抛物线2:4C y x =可得2p =，()1,0F对于①：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线l 为1x =-，所以焦点到准线的距离为2，故①正确；对于②：根据抛物线的对义可得：121286222p px x x P p Q x +++=++=+==，对于③：设直线PQ 方程为：1x ky =+与2:4C y x =联立可得2440yky --=，可得124y y =-，因为2p =，所以2124y y p ≠-，故③不正确；对于④：11(,)P x y ，所以OP ：11y y x x = ，由111y y x x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得11y y x =-，所以111,y A x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为22(,)Q x y ，124y y =- 解得：214y y -=，所以214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为11(,)P x y 在抛物线2:4C y x =上，所以2114y x =，所以21114x y =，1114y x y -=-所以141,A y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0AQ k =，所以//AQ x 轴，即直线AQ 平行于抛物线的对称轴，故④正确；对于⑤：1y =时，显然与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，由224x ky k y x=--⎧⎨=⎩可得：24480y ky k -++=，令()2164480k k ∆=-+= 可得2k =或1k =-，故过点(2,1)-且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条.，故⑤不正确，故答案为：①②④ 【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线22y px =()0p >的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）若点A 在第一象限，点B 在第四象限，则1cos p AF α=-，1cos pBF α=+，弦长1222sin pAB x x p α=++=，（α为直线AB 的倾斜角）；（3）112||||FA FB p+=；（4）以AB 为直径的圆与准线相切；（5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.20．【分析】由题意设即有由双曲线定义及已知可得且结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程即可求得离心率【详解】令则且①由题意知：E 的左准线为结合双曲线第二定义知：又∴解得②∵知：∴联立①②得：整理得∴故解析：3【分析】由题意设00(,)P x y ，即有00(,)Q x y --，由双曲线定义及已知可得22003()a a x x c c +=-且22200x y b +=，结合点在曲线上联立方程得到关于,a c 的齐次方程，即可求得离心率.【详解】令00(,)P x y ，00,0x y >则00(,)Q x y --且2200221x y a b-=①，由题意知：E 的左准线为2a x c =-，结合双曲线第二定义知：20||()a PF e x c=+，20||()a FQ e x c =-，又||3||PF FQ =，∴22003()a a x x c c +=-，解得202a x c=②， ∵||OP b =知：22200x y b +=，∴联立①，②得：42222244(1)a a b b c c+-=，整理得223a c =，∴e =【点睛】关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比为常数e ，可得点P 的横坐标为22ac；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于,a c 的齐次方程求离心率即可.三、解答题21．（1）2212x y +=；（2.【分析】（1）根据椭圆离心率为2，以及椭圆经过点2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，结合椭圆的性质列方程求解即可；（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可得结论. 【详解】（1）由题意知222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫-⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值. 【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22．（1）22143xy +=；（2. 【分析】（1）利用椭圆的定义可求出a 的值，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出2b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，写出直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆C 的方程，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得OMN 的面积. 【详解】（1）由椭圆的定义可得1224AF AF a +==，可得2a =，椭圆C 的方程为22214x y b+=，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程可得291414b +=，解得23b =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）易知椭圆C 的右焦点为()21,0F ，由于直线MN 的斜率为1，所以，直线MN 的方程为1y x =-，即1x y =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立221143x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得27690y y +-=，364793680∆=+⨯⨯=⨯>，由韦达定理可得1267y y +=-，1297y y =-，212112277OMNSOF y y =⋅-===⨯=.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.23．（1）24x y =；（2）1y x =+或1y x =-+. 【分析】（1）由1PM y =+，结合两点间的距离公式得出轨迹方程；（2）由题直线l 斜率存在，设出直线l 的方程，联立轨迹C 的方程，由韦达定理以及抛物线的定义求出直线l 的方程. 【详解】（1）动点(),P x y （0y >）到x 轴的距离为y ，到点M 的距离为PM =由动点(),P x y 到定点()0,1M 的距离比到x 轴的距离大1，1y =+，两边平方得：24x y =，所以轨迹C 的方程：24x y =；（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：1y kx =+，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消去x 整理得()222410y k y -++=， ∴21224y y k +=+，∴2122428AB y y p k =++=++=，解得21k =，即1k =±，∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-+. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法，（2）定义法，（3）相关点法.24．（1）22194x y +=；（2）最大值为.（1）将1,3P ⎛ ⎝⎭的坐标代入椭圆方程中，再结合3c a =和222a b c =+可求出,a b 的值，进而可求得椭圆的方程；（2）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，然后利用点到直线的距离公式求出O 到直线y kx m =+的距离d ，利用弦长公式求出MN 的值，从而有12OMN QMN OMQN S S S MN d =+=⨯四边形△△，化简可求得其范围，当MN 斜率不存在时，直接可得OMQN S =四边形【详解】（1）因为椭圆C过点1,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以2213219a b +=，c a = 又222a b c =+，所以得22194x y +=；（2）（i ）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，设O 到直线y kx m =+的距离记为d，则d =，联立22,1,94y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()2229418940k x knx n +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，1221894kn x x k +=-+，()21229494n x x k -=+，所以12294MN x k =-=+，因为y kx n =+与圆O1=，因为y kx m =+与椭圆相切，所以2294k m +=，1122OMN QMNOMQN S S S MN d =+=⨯=四边形△△=== 可得OMQN S 四边形随k的增大而增大，即OMQN S <四边形（ii ）当MN斜率不存在时，不妨取1,3M ⎛ ⎝⎭，1,3N ⎛- ⎝⎭，此时()3,0Q ，OMQN S =四边形综上所得四边形OMQN的面积的最大值为【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，解题的关键是当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，从而可得2112294OMN QMNOMQN S S S MN d k =+=⨯=⨯+四边形△△，化简可得结果，属于中档题25．（1）24y x =；（2）直线AB 过定点(2,0)-，证明见解析. 【分析】（1）由抛物线的定义求得p ，得抛物线方程；（2）设直线AB 方程为x my b =+， 11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线方程代入抛物线方程，由判别式大于0得参数满足的条件，应用韦达定理得1212,y y y y +，计算由2OA OB k k =可得128y y =，从而求得参数b ，并可得出m 的范围．此时由直线方程可得定点坐标．【详解】（1）由抛物线定义可知：122p+=，则2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =（2）设直线AB 方程为x my b =+， 11(,)A x y ，22(,)B x y联立24y x x my b⎧=⎨=+⎩得2440y my b --=，则216160m b ∆=+>即20()m b +>*。

第三章圆锥曲线的方程【压轴题专项训练】(解析版)

第三章圆锥曲线的方程【压轴题专项训练】一、单选题1．已知点P （－1，0），设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于不同的两点A 、B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点A ．（12，0）B ．（1，0）C ．（2，0）D ．（-2，0）【答案】B 【分析】根据抛物线的对称性，分析得出直线过的顶点应该在x 轴上，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，设出两交点的坐标，根据角分线的特征，得到所以AP 、BP 的斜率互为相反数，利用斜率坐标公式，结合韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果.【详解】根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x 轴上，设直线的方程为x ty m =+，与抛物线方程联立，消元得2220y ty m --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP 、BP 的斜率互为相反数，所以1212011y yx x +=++，结合根与系数之间的关系，整理得出12122(1)()0ty y m y y +++=，即2(2)220t m tm t -++=，2(1)0t m -=，解得1m =，所以过定点(1,0)，故选B.【点睛】该题考查的是有关直线过定点问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，韦达定理，角平分线的性质，两点斜率坐标公式，思路清晰是正确解题的关键.2．已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第二象限内的点，延长1PF 交椭圆于点Q ，若2PF PQ ⊥，且2PF PQ =，则椭圆的离心率为A-B 1C D ．2【答案】A 【分析】由题意可得2PQF 为等腰直角三角形，设|PF 2|＝t ，运用椭圆的定义可得|PF 1|＝2a ﹣t ，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率．【详解】解：PF 2⊥PQ 且|PF 2|＝|PQ |，可得△PQF 2为等腰直角三角形，设|PF2|＝t ，则|QF 2|，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a ﹣t，24t a=则t ＝2（2a ，在直角三角形PF 1F 2中，可得t 2+（2a ﹣t ）2＝4c 2，4（6﹣）a 2+（12﹣a 2＝4c 2，化为c 2＝（9﹣a 2，可得e ＝ca-．故选A.【点睛】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质和勾股定理，以及运算求解能力．3．已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 2|>|PF 1|，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（）A ．4B ．6C．D ．8【答案】D 【分析】由题意可得112||||2PF F F c ==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133e e +的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.【详解】由题意得：112||||2PF F F c ==，设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>，又∵121212||||2,||||2PF PF a PF PF a +=-=.∴2122||+22,||22PF c a PF c a =-=，∴122a a c -=，则22112122393333e a a a c c e a c ca ++=+=2222229(2)3633c a a c a c ca c a ++==++2236683a cc a =++≥+=，当且仅当2233a c c a =，即23e =时等号成立.则2133e e +的最小值为8.故选：D 【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将2133e e +化为22911(18)(218)833a c c a ++≥=为解题关键，注意取等号.4．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为（）AB ．3C ．6D【答案】C 【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示21e 2e 2+，再利用均值不等式得到答案．【详解】设椭圆长轴12a ，双曲线实轴22a ，由题意可知：1222F F F P c ==，又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c ce c a ca ++=+=，()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++．，22222a cc a +≥=，当且仅当2222a c c a =时取等号，21e 2e 2∴+的最小值为6，故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示21e 2e 2+是解题的关键，意在考查学生的计算能力．5．已知点A 是抛物线()2:20C x py p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，过A 作抛物线的一条切线，切点为P，且满足PA =C 的方程为（）A ．28x y =B ．24x y =C ．22x y=D ．2x y=【答案】C 【分析】本题首先可根据题意得出点0,2p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后设切线方程为2p y kx =-、切点为(),P P P x y ，通过联立抛物线与切线方程解得1k =±，最后对1k =、1k =-两种情况分别进行讨论，通过PA =.【详解】由题意可知，抛物线准线方程为2py =-，点0,2p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，切线斜率k 一定存在，设过点A 与抛物线相切的直线方程为2py kx =-，切点(),P P P x y ，联立抛物线与切线方程222p y kx x py⎧=-⎪⎨⎪=⎩，转化得2220x pkx p -+=，222440p k p ∆=-=，解得1k =±，当1k =时，直线方程为2py x =-，2220x px p -+=，解得P x p =，则22P P p p y x =-=，因为PA =2222PP p x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得1p =；当1k =-时，同理得1p =，综上所述，抛物线方程为22x y =，故选：C.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相切的相关问题的求解，考查判别式的灵活应用，考查两点间距离公式，考查转化与化归思想，考查计算能力，是中档题.6．已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（）ABCD【答案】C 【分析】利用抛物线的几何性质，求得,E F 的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给等式转化为1cos PEFμ=∠的形式.根据余弦函数的单调性可以求得μ的最大值.【详解】由题意得，准线:2p l x =-，,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，过P 作PH l ⊥，垂足为H ，则由抛物线定义可知PH PF =，于是sin sin EFP PEFEP PFμ∠==∠11cos cos PE PH EPH PEF ===∠∠，cos y x =在()0,π上为减函数，∴当PEF ∠取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而45PEF ∠=︒，max μ∴,故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，还考查了正弦定理.属于中档题.7．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是A ．23B ．1C ．32D ．16【答案】B【详解】设|AF|=a ，|BF|=b ，连接AF 、BF ，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b ．由余弦定理得，|AB|2=a 2+b 2﹣2abcos60°=a 2+b 2﹣ab ，配方得，|AB|2=（a+b ）2﹣3ab ，又∵ab≤2(2a b +∴（a+b ）2﹣3ab≥（a+b ）2﹣34（a+b ）2=14（a+b ）2得到|AB|≥12（a+b ）．∴||MN AB≤1，即||MN AB的最大值为1．故选B ．点睛：本题难点在寻找解题的思路，作为一个最值的问题，这里首先要联想到函数的思想，先求出|MN|，|AB|,再利用基本不等式解答.8．设抛物线22y x =的焦点为F，过点0)M 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，||2BF =，则BCF △与ACF 的面积之比BCF ACFS S等于A ．45B ．23C ．47D ．12【答案】A【详解】如图过B 作准线12l x =-：的垂线，垂足分别为11A B ，，BCF ACFBC S SAC=，又11,B BC A AC ∽11BC BB ACAA =，，由拋物线定义112BB BF AA AFAF ==．由12BF BB ==知32B B x y ，==02AB y x ∴-=-：把22y x =代入上式，求得22A A y x ==，，15 2AF AA ∴==．故24552BCF ACFBF SSAF===．故选A ．9．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b ab+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率.详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠∠=由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,π54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为AB ．105C．3D．5【答案】D【详解】分析：由题意可知：可设A （-c ，2b a），C （x ，y ），由S △ABC ＝3S △BCF2，可得222=AF F C ,根据向量的坐标运算求得x=2c ，y=22b a-，代入椭圆方程，根据离心率公式即可求得椭圆的离心率．详解：设椭圆的左、右焦点分别为F 1（-c ，0），F 2（c ，0），由x=-c ，代入椭圆方程可得by x a=±可设A （﹣c ，），C （x ，y ），由，可得222=AF F C ，即有2(2,)2(,)b c x c y a -=-），即2c=2x-2c ，可得：x=2c ，22b y a=-代入椭圆得：，根据离心率公式可知：16e 2+1-e 2=4，解得0＜e＜1，则D 点睛：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．二、多选题11．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m =()11m -<<与椭圆相交于点A 、B ，则（）A ．椭圆C 的离心率为2B ．存在m ，使FAB 为直角三角形C ．存在m ，使FAB 的周长最大D ．当0m =时，四边形FBEA 面积最大【答案】BD 【分析】直接求出椭圆的离心率判断A ；利用椭圆的对称性及角AFB 的范围判断B ；利用椭圆定义及数学转化分析FAB ∆的周长判断C ；由四边形面积公式分析D 正确．【详解】解：如图所示：对于A ，由椭圆方程可得，2a =，b =1c =，椭圆C 的离心率为12e =，故A 错误；对于B ，当0m =时，可以得出3AFE π∠=，若取1m =时，得3tan 1tan44AFE π∠=<=，根据椭圆的对称性，存在m 使FAB 为直角三角形，故B 正确；对于C ，由椭圆的定义得，FAB 的周长||||||AB AF BF =++||(2||)(2||)4||||||AB a AE a BE a AB AE BE =+-+-=+--，||||||AE BE AB + ，||||||0AB AE BE ∴-- ，当AB 过点E 时取等号，||||||4||||||4AB AF BF a AB AE BE a ∴++=+-- ，即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB 的周长最大，此时直线AB 的方程为1x m c ===，但是11m -<<，∴不存在m ，使FAB 的周长最大，故C 错误；对于D ，||FE 一定，根据椭圆的对称性可知，当0m =时，||AB 最大，四边形FBEA 面积最大，故D 正确．故选：BD ．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想，考查分析问题与求解问题的能力．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为1F ，点A 坐标为()0,1，点P 双曲线左支上的动点，且1APF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为（）AB ．2C D ．3【答案】ABC 【分析】1APF △的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得1||||PA PF +的最小值不小于9，2||||2PA PF a ++的最小值不小于9，分析出当A ，P ，2F 三点共线时，2||||2PA PF a ++取最小值52a +，可得a 的范围，从而可得答案.【详解】由右焦点为1F ，点A 的坐标为(0,1)，1||5AF ==，1APF △的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得1||||PA PF +的最小值不小于9又2F 为双曲线的左焦点，可得12||||2PF PF a =+，1||||PA PF +=2||||2PA PF a ++，当A ，P ，2F 三点共线时，2||||2PA PF a ++取最小值52a +所以529a +≥，即2a ≥，因为c =可得c e a=．故选：ABC ．【点睛】求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围13．已知O 为坐标原点，()1,2M ，P 是抛物线C ：22y px =上的一点，F 为其焦点，若F 与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则下列说法正确的有（）A ．若6PF =，则点P 的横坐标为4BC ．若POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为9πD ．PMF △周长的最小值为3【答案】ACD 【分析】先求出4p =，选项A 求出点P 的横坐标为042PF x p-==，判断选项A 正确；选项B 求出抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为22b a ==B 错误；选项C 先判断POF 外接圆的圆心的横坐标为1，再判断POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F 的距离等于半径，最后求出半径和外接圆面积，判断选项C 正确；选项D 直接求出PMF △的周长为3C ≥+D 正确.【详解】解：因为双曲线的方程为2213x y -=，所以23a =，21b =，则2c ==，因为抛物线C 的焦点F 与双曲线2213x y -=的右焦点重合，所以=22p ，即4p =，选项A ：若6PF =，则点P 的横坐标为042PF x p-==，所以选项A 正确；选项B ：因为抛物线C 的焦点F 与双曲线2213x y -=的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为223b a =，所以选项B 错误；选项C ：因为(0,0)O 、(2,0)F ，所以POF 外接圆的圆心的横坐标为1，又因为POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F 的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以3r =，所以该外接圆面积为29S r ππ==，所以选项C 正确；选项D ：因为PMF △的周长为()2232P P M pC PF PM MF x PM x PM x =++=++=+++=选项D 正确.故选：ACD 【点睛】本题考查抛物线的定义的几何意义，双曲线的通径长，14．已知抛物线212x y =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58【答案】BCD 【分析】由抛物线标准方程写出焦点坐标判断A ，根据焦点弦性质判断B ，由向量共线与焦点弦性质判断C ，利用抛物线定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合中点坐标公式判断D ．【详解】解：易知点F 的坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，选项A 错误；根据抛物线的性质知，MN 过焦点F 时，212116x x p =-=-，选项B 正确；若MF NF λ=，则MN 过点F ，则MN 的最小值即抛物线通经的长，为2p ，即12，选项C 正确，抛物线212x y =的焦点为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为18y =-，过点M ，N ，P 分别做准线的垂直线MM '，NN '，PP '，垂足分别为M '，N '，P '，所以MM MF '=，NN NF '=.所以32MM NN MF NF ''+=+=，所以线段34MM NN PP ''+'==所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为13158488PP '-=-=，选项D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查抛物线的定义与标准方程，考查抛物线的焦点弦性质，对抛物线22y px =，AB 是抛物线的过焦点的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，则212y y p =-，2124p x x =，12AB x x p =++，AB最小时，AB 是抛物线的通径．三、填空题15．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的动直线交C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为N ，点P （12，4）．当|NA |+|NP |的值最小时，点N 的横坐标为____．【答案】9【分析】根据椭圆定义问题可转化为|MN |+|NP |的最小值问题，数形结合可得M ，N ，P 三点共线时有最小值.【详解】分别过点A ，B ，N 作准线的垂线，垂足为A 1，B 1，M ，如图所示，由抛物线的定义知，|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，∴|AB |＝|AF |+|BF |＝|AA 1|+|BB 1|＝2|MN |，∴|NA |+|NP |＝12|AB |+|NP |＝|MN |+|NP |，故原问题可转化为|MN |+|NP |的最小值问题，当M ，N ，P 三点共线时，|MN |+|NP |取得最小值，此时y N ＝y P ＝4，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得，1212y y x x --＝124y y +＝42N y ＝41242=⨯，即直线AB 的斜率为12，又直线AB 经过点F （1，0），∴直线AB 的方程为y ＝12（x ﹣1），把4N y =代入，得14(1)2N x =-解得N x ＝9，∴当|NA |+|NP |的值最小时，点N 的横坐标为9．故答案为：916．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点Fl 交C 于A ，B两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ，若点F 到C 的准线的距离为3，则sin QMN ∠的值为______．【答案】58【分析】由题意得3p =，可得抛物线的方程和直线AB 的方程，联立直线AB 方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得AB 的中点Q 的坐标和弦长AB ，可得圆Q 的半径，在QMN 中，由锐角三角函数的定义可得所求值【详解】解：抛物线C ：()220y px p =>的焦点为(,0)2p F ，准线方程为2p x =-，由题意得3p =，则抛物线方程为236,(,0)2y x F =，则直线AB的方程为3)2y x =-，由23)26y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22731504x x -+=，设,A B 的横坐标分别为12,x x ，则125x x +=，所以AB 的中点Q 的坐标为5(2，12538AB x x p =++=+=，则圆Q 的半径为4，在QMN 中，552sin 48QMN ∠==，故答案为：58【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，解题的关键是联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式进行转化，考查方程思想和计算能力，属于中档题17．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F 1，过点F 1的直线与两条渐近线的交点分别为M ，N 两点（点F 1位于点M 与点N 之间），且13MN F N =，又过点F 1作F 1P ⊥OM 于P （点O 为坐标原点），且|ON |＝|OP |，则双曲线E 的离心率e 为__．【分析】由对称性得ON ⊥MN ，由点到直线距离公式得1F N ，然后由勾股定理求得,,a b c 的关系得出离心率．【详解】解：双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，∵|ON |＝OP |，且F 1P ⊥OM ，可得△PF 1O ≌△NF 1O ，ON ⊥MN ，双曲线的一条渐近线方程为bx ﹣ay ＝0，则|F 1N |＝|F 1P |b ．∵13MN F N =，∴|MN |＝3b ，|MF 1|＝2b ，由勾股定理可得，|ON |＝|OP |a =，|PM |，又|MN |2+|ON |2＝|OM |2，∴(3b )2+a 2＝(a )2，整理可得a ，即3c 2＝4a 2，∴3c e a ==．18．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的焦距为4，直线l ：y ＝2x 与椭圆C 相交于点A 、B ，点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的动点，直线PA 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1•k 2＝59-，则椭圆C 的标准方程是__．【答案】2295x y +＝1【分析】设P （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （﹣x 1，﹣y 1），代入作差法表示出k 1•k 2＝59-，与224a b -＝联立，即可求出椭圆的标准方程.【详解】设P （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （﹣x 1，﹣y 1），则2200221x y a b+=，2211221x y a b +=，两式作差得22220101220x x y y a b --+=．因为直线PA ，PB 的斜率都存在，所以2201x x -≠0．所以22b a＝﹣22012201y y x x --＝﹣01010101y y y y x x x x --⨯+-＝﹣k 1•k 2＝59，则22590a b -＝，又因为焦距为4，则224a b -＝，联立两式可得229,5a b =＝所以该椭圆的方程为：2295x y +＝1故答案为：2295x y +＝1四、解答题19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+->>的左、右焦点分别是F 1、F 2，上、右顶点分别是A 、B ，满足∠F 1AF 2＝120°，||AB =．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)与圆x 2+y 2＝1相切的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，求|PQ |的最大值及此时直线l 的斜率．【答案】(1)22:14x C y +=；(2)|PQ |max ＝2；直线l的斜率为2k =±．【分析】(1)由焦点12AF F △得出,,a b c 的关系，解得,,a b c 得椭圆标准方程；(2)设直线方程为x ＝ty +m ，由直线与圆相切得,t m 关系，直线方程代入椭圆方程，计算出0∆>，设设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由韦达定理得1212,y y y y +，求得12y y -，得弦长PQ ，=n换元后用基本不等式得最值及直线斜率．【详解】解：(1)因为2tan ∠=cOAF b，||AB =，得tan 60cb︒==，又a 2＝b 2+c 2，所以=c ，a 2＝4b 2，5b 2＝5，解得b ＝1，a ＝2，椭圆的标准方程为22:14x C y +=；(2)由题意知直线l 不能平行于x 轴，所以设为x ＝ty +m ，由已知得(0，0)到x ﹣ty ﹣m ＝0的距离为11=，所以m 2＝t 2+1，联立直线和椭圆得(ty +m )2+4y 2＝4，即(t 2+4)y 2+2tmy +m 2﹣4＝0，得△＝(2tm )2﹣4(t 2+4)(m 2﹣4)＝﹣4(4m 2﹣4t 2﹣16)＝16(t 2﹣m 2+4)＝16×3，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则|y 2﹣y 1|==，||PQ =y 2﹣y 1|=n ，则n ≥1，2||233PQ n n n==≤++，当3=n n，即n =|PQ |max ＝2，此时t =l 的斜率为1=t 20．已知双曲线E ：2222x y a b -＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，离心率e ＝2，直线l ：x ＝2a c与E 的一条渐近线交于Q ，与x 轴交于P ，且|FQ |（1）求E 的方程；（2）过F 的直线交E 的右支于A ，B 两点，求证：PF 平分∠APB ．【答案】（1）2213y x -=；（2）证明见解析.【分析】（1）先将直线l 的方程与渐近线方程联立求出点Q 的坐标，求出PF 的长，从而可求出|FQ |，再由|FQ |b 的值，再结合离心率可求出a 的值，从而可求出E 的方程；（2）设过点F 得直线方程为：x ＝my +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线方程与双曲线方程联立方程组，消去x ，再利用根与系数的关系，然后表示出k P A ，k PB ，相加化简，若等于零，可得PF 平分∠APB 【详解】解：（1）不妨设直线l ：x ＝2a c与E 的一条渐近线b y x a =交于Q ，则由2a x cb y xa ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得y Q ＝ab c ，又PF ＝c ﹣2a c ＝2b c，∴|FQ |2＝（ab c ）2+（2b c）2＝b 2＝3，∴b ，又离心率e ＝2，∴2224a b a +=，∴a ＝1．∴E 的方程为：2213y x -=．（2）设过点F 得直线方程为：x ＝my +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立22233x my x y =+⎧⎨-=⎩，可得（3m 2﹣1）y 2+12my +9＝0，则1221231my y m -+=-，122931y y m =-，∵过F 的直线交E 的右支于A ，B 两点，∴y 1y 2＜0，可得﹣3＜m＜3，又P （12，0），∴k P A +k PB ＝12121122y y x x +--＝12211233()()2211()()22y my y my x x +++--，∴122133(()22y my y my +++＝2my 1y 2+123()2y y +＝2293122031231mm m m -⋅+⨯=--∴k P A +k PB ＝0，∴PF 平分∠APB ．21．已知0a b >>，曲线Γ由曲线()22122:10x y C y a b +=≥和曲线22222:1(0)x y C y a b-=<组成，其中曲线1C 的右焦点为()12,0F ，曲线2C 的左焦点()26,0F -.（1）求,a b 的值；（2）若直线l 过点2F 交曲线1C 于点,A B ，求1ABF 面积的最大值.【答案】（1）4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩（2【分析】（1）根据椭圆和双曲线的焦点即可列出式子求解；（2）设出直线l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理可表示出三角形的面积，即可求出最值.【详解】解：（1）由题意：12(2,0),(6,0)F F -，2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩，解得222016a b ⎧=⎨=⎩即4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩（2）由（1）知，曲线221:1(0)2016x y C y +=≥，点2(6,0)F -，设直线l 的方程为：6(0)x my m =->，联立22612016x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()225448640m y my +-+=，22(48)464(54)0m m ∴∆=-⨯⨯+>，又0m >，1m ∴>，设()()1122,,,A x y B x y ，1224854m y y m ∴+=+，1226454y y m =+，12y y ∴=-，1ABF ∴面积21222111165118225454S F F y y m m =-=⨯⨯=++，令0t =>，221m t ∴=+，94S t t∴=+，当且仅当32t =，即2m =时等号成立，所以1ABF【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.22．已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，点(),2P t -在C 上，且2PF OF =（O 为坐标原点）．（1）求C 的方程；（2）若,A B 是C 上的两个动点，且,A B 两点的横坐标之和为8．（ⅰ）设线段AB 的中垂线为l ，证明：l 恒过定点．（ⅱ）设（ⅰ）中定点为D ，当AB 取最大值时，且P ，D 位于直线AB 两侧时，求四边形PADB 的面积．【答案】（1）24y x =；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.【分析】（1）根据题意得0t >，22242pp t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，进而解方程即可得答案；（2）（ⅰ）设AB 中点为(),E m n ，则1242x x m +==，122y y n +=，进而分12x x =和12x x ≠两种情况求解直线l 方程，以证明直线过定点；（ⅱ）直线AB 与抛物线24y x =联立方程消去x ，根据韦达定理与弦长公式求得||10AB ≤当且仅当26n =时等号成立，进而得直线:220AB x ±-=，再讨论P ，D 位于直线AB 两侧时得:220AB x -=，进而根据点到直线的距离求解点,P D 到直线AB 的距离以求解四边形的面积.【详解】解：（1）由抛物线的性质得0t >，所以根据抛物线的定义得：22242pp t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得21p t =⎧⎨=⎩，所以C 的标准方程为24y x =．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，且128x x +=．（ⅰ）证明：设AB 中点为(),E m n ，则1242x x m +==，122y y n +=，当12x x =时，0l y =：；当12x x ≠时，2121222121214()42AB y y y y k x x y y y y n--====--+，则2l nk =-，:(4)2n l y n x -=--，令0y =，得6x =，故直线过定点()6,0综上，l 恒过定点()6,0．（ⅱ）由（ⅰ）知直线2:(4)AB y n x n-=-，即()42n x y n =-+，所以直线AB 与抛物线24y x =联立方程消去x ，整理得2222160y ny n -+-=，由0∆>，得21216,2n y y n +<=，212216y y n =-，2212416|||102n n AB y y ++-=-≤=，当且仅当26n =时等号成立，所以AB 的最大值为10，此时直线AB 的方程为:220AB x -=．对于直线220x -=，(2602)21(2)20⎡⎤⨯⨯-⨯⨯-->⎣⎦，所以点,P D 在同侧，不合题意，对于直线220x +-=，满足P ，D 位于直线AB 两侧，所以直线:220AB x +-=，点P 到直线AB 的距离1d =点D 到直线AB 的距离2d =所以()1212PADB S AB d d =⋅+=。

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专题圆锥曲线与方程考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题1.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=︒,则椭圆的离心率为( ) A.22 B. 33 C. 12 D. 132.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12,A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为( ) A.63 B. 33 C. 23 D. 133.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线222:4C x y -=有相同的右焦点2F ,点P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点,若22PF =,则椭圆1C 的离心率为( ) A.33B. 32-C. 21-D.224.如图, 1A ,2A 为椭圆22195x y +=长轴的左、右端点, O 为坐标原点, S , Q ,T 为椭圆上不同于1A ,2A 的三点,直线1OA ,2OA ,OS ,OT 围成一个平行四边形OPQR ,则22OS OT += ( )A. 14B. 12C. 9D. 75已知椭圆的左焦点为,有一小球从处以速度开始沿直线运动,经椭圆壁反射(无论经过几次反射速度大小始终保持不变,小球半径忽略不计),若小球第一次回到时,它所用的最长时间是最短时间的倍,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.6.若椭圆22221x y a b+=过抛物线28y x =的焦点,且与双曲线221x y -=有相同的焦点,则该椭圆的方程是( )A. 2213y x += B. 22124x y += C. 2213x y += D. 22142x y += 7.双曲线22221(,0)x y a b a b-=>离心率为3,左右焦点分别为12,,F F P 为双曲线右支上一点, 12F PF ∠的平分线为l ,点1F 关于l 的对称点为 Q ,22F Q =,则双曲线方程为( )A. 2212x y -=B. 2213y x -=C. 2212y x -=D. 2213x y -= 8.如图,双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 作一条与渐近线的平行线分别交y 轴和双曲线左支于点,P M ,过2F 作21F N PF ⊥于点N ,若,M N 分别为线段1PF 的两个三等分点,则双曲线的离心率为( )A.2 B.3 C.5D. 59.A 、F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点和右焦点, A 、F 在双曲线的一条渐近线上的射影分别为B 、Q , O 为坐标原点, ABO ∆与FQO ∆的面积之比为12,则该双曲线的离心率为( )A. 2B.12C. 22D.210.已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点,点A 为双曲线虚轴的一个顶点,过,F A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ,若()21FA AB =-,则此双曲线的离心率是( )A. 2B.3 C.5 D. 2211已知抛物线:的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于、两点,直线与交于、两点,则的最小值为( ) A.B.C. D.12.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF 的面积为123则准线l 的方程为( )A. 2x =-B. 22x =-C. 2x =-D. 1x =- 二、填空题13.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A 在椭圆221259x y +=上,点P 满足(1)()AP OA R λλ=-∈,且48OA OP ⋅=,则线段OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为__________14.1F ,2F 分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点, A 为椭圆上一点,且()112OB OA OF =+,()212OC OA OF =+,则OB OC +=__________.15.设1F 、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点,点(),M a b ,若1230MF F ∠=,则双曲线的离心率为__________.16已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点,若为的中点,则.三、解答题17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为()2,0A 离心率为22.直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N 1.求椭圆C 的方程 2.当AMN ∆的面积为103时,求k 的值18.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点21,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,离心率为22,1A ,2A 是椭圆 C 的长轴的两个端点(2A 位于1A 右侧), B 是椭圆在y 轴正半轴上的顶点. 1.求椭圆 C 的标准方程;2.是否存在经过点()0,2且斜率为k的直线l 与椭圆 C 交于不同两点P 和 Q ,使得向量OP OQ +与2A B 共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由.19.已知椭圆2222:1x y C a b+= (0a b >>)的短轴长为2,焦距为1.求椭圆C 的方程2.过(4,0)T 作斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D .①求直线BD 与x 轴的交点M 的坐标; ②求ABM ∆面积的最大值.20.已知过()0,2A 的动圆恒与x 轴相切,设切点为B ,AC 是该圆的直径. 1.求点C 轨迹E 的方程;2.当AC 不在y 轴上时,设直线AC 与曲线E 交于另一点P ,该曲线在P 处的切线与直线BC 交于Q 点.求证: PQC ∆恒为直角三角形.21.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:4O x y +=,椭圆22:1,4x C y A +=为椭圆右顶点.过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点,直线AB 与圆O 的另一交点为P ,直线PD 与圆O 的另一交点为Q ,其中6(,0)5D -.设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k .1.求12,k k 的值;2.记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ,是否存在常数λ,使得PQ BC k k λ=?若存在,求λ值;若不存在,说明理由.参考答案一、选择题 1.答案：B解析：由题意得,知2,b P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭,又1260F PF ∠=︒,有232b a a =,从而可得33c e a ==,故选B.2.答案：A 解析：3.答案：B 解析：4.答案：A解析：设(),Q x y ,()11,T x y ,()22,S x y , 1QA ,2QA 斜率分别为1k ,2k ,则OT ,OS 的斜率为1k ,2k ,且212253399y y y k k x x x =⋅==-+--,所以()21222222111112145159k OT x y x k x k+=+=+=+,同理()2222245159k OS k+=+,因此()()22221222124514515959k k OS OT k k +++=+++()221121212545145181255959k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+++()22211122211145181251267014595959k k k k k k +++=+==+++.故选A. 答案： D解析：因为左焦点到左顶点的距离最近,到右顶点的距离最大,所以由题设可得,即,应选答案D 。

6.答案：D 解析：7.答案：C 解析：8.答案：B 解析：9.答案：D解析：ABO ∆FQO ∆,所以222212ABO FQO S OA a S OF c ∆∆===,所以椭圆的离心率2ce a ==,故选D. 10.答案：A解析：过,F A 的直线方程为()b y x c c =+①,一条渐近线方程为by x a=②,联立①②,解得交点,acbc B c a c a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭,由()21FA AB =-,得()21,2,2acc c a e c a=-==-. 答案： A 12.答案：A解析：由题意,知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,直线l 的方程为2p x =-.设()11,A x y ,()22,B x y ,则11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由3AF BF =,得12322p p x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即()21123x p x =- ①.设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,代入抛物线方程消去y ,得()22222204k p k x k p p x -++=,所以2124p x x = ②.联立①②,得132x p =或12px =(舍去),所以13y =.因为11121232AA CFp y x p S ⎛⎫++⎪⎝⎭==,将1x ,1y 的值代入解得2p =所以直线l 的方程为2x =-故选A. 二、填空题13.答案：10 解析： 14.答案：6解析：由椭圆方程2213627x y +=,得 6a =,由椭圆定义可得12212AF AF a +==,因为()112OB OA OF =+,所以B 为1AF 的中点, ()212OC OA OF =+,所以C 为2AF 中点,因为 O 为12F F 中点,所以212OB AF =,112OC AF =,所以()12162OB OC AF AF +=+=. 15.答案：2解析：答案： 6解析：如图所示,不妨设点位于第一象限,设抛物线的准线与轴交于点,做与点,与点,由抛物线的解析式可得准线方程为,则,,在直角梯形中,中位线,由抛物线的定义有:,结合题意,有,线段的长度:。

三、解答题17.答案：1.椭圆C 的方程为22142x y += 2. 1k =±解析：1.由题意得22222{2a c a a b c ===+,解得2b =,所以椭圆C 的方程为22142x y += 2.由()221{142y k x x y =-+=,得()2222124240k xk x k +-+-=设点,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则()()11221,1y k x y k x =-=-,2122412k x x k +=+,21222412k x x k -=+所以MN ===又因为点()2,0A 到直线()1y k x =-的距离d =所以AMN ∆的面积为12S MN d ==得, 1k =±18.答案：1.设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>,依题意得22222,{211 1.2a b c c a a b =+=+=解得22a =,21b =. 所以椭圆 C 的方程为2212x y+=.2.假设存在过点(且斜率为k的直线l 适合题意,则因为直线l 的方程为: 2y kx =+,于是联立方程,222221{2210212y kx k x kx x y =+⎛⎫⇒+++= ⎪⎝⎭+=. 由直线l 与椭圆 C 交于不同两点P 和 Q 知,2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭,∴212k >.令()11,P x y ,()22,Q x y ,∴()1212,OP OQ x x y y +=++, ∵1224212k x x k +=-+, ()12122222212y y k x x k+=++=+ , ∴224222,1212k OP OQ k k ⎛⎫+=- ⎪ ⎪++⎝⎭()2222,112k k =-+, 由题知()22,0A , ()0,1B ﹣, ()22,1A B =-.从而,根据向量OP OQ +与2A B 共线,可得22k =,22k =,这与212k >矛盾. 故不存在符合题意的直线l .解析：19.答案：1.由题可知1,3,b c ==2224a b c =+=22:141x y C ∴+= 2.①设直线方程为4x my =+,点11(,)A x y ,22(,)B x y ,则点11(,)D x y -,224404x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()2248120my my +++=,216(12)0m ∆=->,212m >12284my y m -∴+=+,122124y y m ∴=+直线BD 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--,令0y =,得1221121212241y x y x my y x y y y y +==+=++(1,0)M ∴②22122136122244ABMm S MT y y m m ∆∆-=-==++令2114,016t m t =+∴<<2261611616ABM t S t t t∆-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭当1132t =时, ()max 34ABM S ∆=解析：20.答案：1.设C 点坐标为(),x y ,则B 点坐标为,02x ⎛⎫⎪⎝⎭.因为AC 是直径,所以BA BC ⊥,或C 、B 均在坐标原点.因此0BA BC ⋅= ,而,22x BA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, ,2x BC y ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故有2204x y -+=,即28x y =,另一方面,设200,8x C x ⎛⎫⎪⎝⎭是曲线28x y =上一点,则有222200016288x x AC x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭,AC 中点纵坐标为2020*******x x ++=, 故以AC 为直径的圆与x 轴相切. 综上可知C 点轨迹E 的方程为28x y =. 2.设直线AC 的方程为2y kx =+,由22{8y kx x y=+=得: 28160x kx --=. 设()11,C x y ,()22,P x y ,则有1216x x =-.由28x y =对 x 求导知'4x y =,从而曲线E 在P 处的切线斜率224x k =, 直线BC 的斜率211111842x x k x x ==-,于是12121611616x x k k -===-.因此QC PQ ⊥.所以PQC ∆恒为直角三角形. 解析：21.答案：1.设()00,B x y ,则()220000,,14x C x y y --+=所以22000012220000111422444x y y y k k x x x x -=⋅===--+--2.联立122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=, 解得211122112(1)4,(2)11P P P k k x y k x k k --==-=++, 联立122(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222111(14)164(41)0k x k x k +-+-=, 解得211122112(41)4,(2)1414B B B k k x y k x k k --==-=++ 所以12111222111214215,62(1)64141515B P BC PQ B P k y ky k k k k k x k k x k --+-=====---+++, 所以52PQ BC k k =,故存在常数52λ=,使得52PQ BC k k =.解析：。