高中数学人教b版高一必修二同步教案：空间中的垂直关系(1)

1 人教B 版 数学 必修2：空间中的垂直关系（1）
教学目标：1、直线与平面垂直的概念
2、直线与平面垂直的判定与性质
教学重点：直线与平面垂直的判定与性质
教学过程：
（一） 两条直线成的角为直角——两条直线垂直
（二） 一直线与一平面内的所有与它相交的直线都垂直——直线与平面垂直
（三） 一组概念：平面的垂线、垂足、垂线段、点到直线的距离、点到平面的距离、直线的垂面
（四） 直线与平面垂直的判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线、那么这条直线与这个
平面垂直
（五） 推论：如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
（六） 直线与平面垂直的性质：
（1）直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线
（2）垂直于同一平面的两条直线平行
（七） （1）过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个
（2）过一点与已知平面垂直的直线有且只有一个
（八） 例子与练习
例1 已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,求证：AB ⊥CD 证明：如图9-15，设CD 中点为E ，连接AE 、BE ，
因为ΔACD 为等腰三角形,
所以AE ⊥CD ;
同理BE ⊥CD . 所以CD ⊥平面ABE ,
所以CD ⊥AB . 例2 已知VC 是ΔABC 所在平面的斜线，V 在平面ABC 上的射影为N ，N
在ΔABC 的高CD 上，M 是VC 上的一点，∠MDC =∠CVN ,求证：VC ⊥平面AMB
证明:如图9-16，因为∠MDC =∠CVN ,且∠VNC =︒90, 所以∠DMC =︒90,
即VC ⊥MD . 又VN ⊥AB ,CD ⊥AB
所以AB ⊥平面VCN 所以VC ⊥AB ， 所以VC ⊥平面AMB . 例3 如图9-18,已知AP 是∠ABC 所在平面的斜线,PO 是∠ABC 所在平面的垂线,垂足为O .
(1)若P 到∠BAC 两边的垂线段PE 、PF 的长相等，求证：AO 是∠BAC 的平分线.
(2)若∠PAB =∠PAC ,求证：AO 是∠BAC 的平分线.
证明：（1）连OE 、OF ， 因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，
由三垂线定理的逆定理知：
OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，
由已知：PE ＝PF ，故ΔPEO ≌ΔPFO ，所以EO ＝FO
所以AO 是∠BAC 的平分线.
（2）过P 作PE ⊥AB ，PF ⊥AC , 垂足为E 、F ， 因为∠PAB =∠PAC ，所以易知ΔPEA ≌ΔPFA ，
则PE ＝PF.
（以下同（1））
课堂练习：教材第55页练习A 、B
小结：本节课学习了直线与平面垂直的判定与性质
课后作业：教材第60页 习题1-2A ：13、14、15
A B C E A B C D V N M
A B C E F O P。