简化解析几何运算的技巧
解析几何中简化运算的方法
Ｐ２ ＦＰ 一 ３
Ｂ（ ， ６ Ｏ 一 ）和 Ｑ（ ， ） ｒ 的 三 个 顶 点 ． ａ０ 为
—
ｌ ． ２
（ ）求 椭 圆 的 方 程 ； １
（ ）在 椭 圆 上 任 取 三 个 不 ２
＜ ／ 、 、 、
＼
已知椭 圆 Ｐ ， Ｐ ， 。
使
Ａ
１ ｎ ＞ ｂ ＞ Ｏ ， （ ， ） （ ）Ａ ０ ６ ，
Ｐ １ 一 ２ ＦＰ
（ １ Ａ） （ Ｂ）
） ．
（ ｃ） （ ２ Ｄ）
轴 上 ， Ａ， 又 Ｂ两点 分别在 抛物 线及椭 圆上 ． Ａ 且 Ｂ ／ 轴， △Ｎ ／ 求 ＡＢ 的周 长 ｚ的取 值范 围．
分析 圆锥 曲线 上 的点 与焦 点 的 连 线 ， 可 以 联 想 运 用 圆 锥 曲
Ｍ 横标 一 ． 的坐 ｚ 号
而 Ｉ Ｎ ＝ Ｉ Ｄ Ｉ １ Ｄ Ｉ Ｂ Ｉ — Ｉ Ｂ Ｂ
，
所 以
是 一 Ｂ Ｅ
＝
一
Ｉ Ｎ — Ａ ｌ
ｆ Ｃ ｆ所 以 ＡＮＡＢ 的周 长 ， Ａ
√ １ （ 一 ）
题 的捷径 ．
３ 运 用 三 角 知 识
ｆ ｌ Ｚ ２
一
分析 平 面几 何 知 识 的运 用 常 涉及 长 度 与
角等 知识 ， 本题 直线过 焦点 ， 可运 用圆锥 曲线 的统 定 义表示 线段 长 度 之 间关 系 ， 设 法 通过 图形 再 解 设直 线 ｚ 为椭
／－ ～ 一 一 ｅ
、 Ｄ ＼ ＼
～
一
中线 段长度 来表 示直线 的斜 率．
Ｊ ｌ
０
● －～
一
线 的统一 定 义 ， 繁 琐 使
147分学霸分享丨解析几何的解题方法
147分学霸分享丨解析几何的解题方法数学学习有困难的同学，对解析几何有抵触情绪的同学，想要在拉分最明显的题型中拿到高分的同学。
具体经验解析几何是高中数学的重要部分，一般来说，解析几何会在选择填空中出现一到两题，并且会在必做大题中作为压轴题出现。
分值很大，重要性不言而喻，而且难度比较大，想要学好这方面的知识，不是很容易，因此，掌握一定的技巧与方法很重要。
针对高三学生，在学习解析几何的相关内容上，我有一些心得与体会，希望能与大家分享。
大家都知道高考数学卷中解析几何和导数是最不容易的两道大题，最近几年的数学卷趋向基础，只要细心多数同学可以拿到百分之七八十的分数，而想要在数学上力争顶尖的同学就要把握好这两道大题带来的机会。
然而相对于导数需要较强的技巧和想法来讲，解析几何更重要考察的是心里素质。
为什么这样说：第一因为解析几何的题型是有规律可循的，只要接触过类似的题型，拿到其他题的时候一定不会完全没有思路，但要想了解各个题型是需要不怕难题的勇气的。
第二是因为解析几何要求大量的计算，我高三学习解析几何的时候常常一道题写好几张草稿纸，要想完美的完成一道题需要静下心来，需要耐心。
第三是因为这个题型作为压轴题位于试卷的末尾，我在做高考卷的时候也习惯于先做选做题，再回来做导数和解析几何，在考试的最后，时间往往剩下的不多，这往往考察每个同学的定力，能不能不紧张，细心认真的做完自己所有会的步骤。
毋庸置疑，解析几何很花费时间，因此在复习的过程中不能“吝啬”，要肯花精力与时间，数学是对分析能力要求比较高的学科，复习时着重锻炼自己的分析能力，尽量选择整块的时间解决数学问题，否则思路被打断，效率会比较低。
解析几何作为高考的重点，考查项目不仅要求分析，还要求计算能力，大多数人都会觉得解析几何大题中的式子很长，就可能出现心烦意乱，懒得算下去的现象，但其实平时就是一个积累经验与树立信心的过程，越是在平日里认真地、一步步地算，才越有可能在考场上快速地，准确地算出结果。
“设而不求”巧解解析几何题
题的几种途径例说如下院
一尧设而不求袁巧用野曲线和方程冶的关系 例 员 求经过两圆渊曾 垣 圆冤2 垣 渊赠 垣 员冤圆 = 4 和 x2 + y2 = 1 的 交点的直线的方程. 解 用渊曾 垣 圆冤2 垣 渊赠 垣 员冤2 = 4 方程减去 x2 + y2 = 1 方程 即为所求的直线方程院2x + y + 1 = 0 注 本题若采用常用常规方法解方程组袁求出交点坐标袁
评注 本题涉及曲线上的点与焦点的距离袁 设出有关点
的坐标但不求出坐标袁借助圆锥曲线的第一尧第二定义及焦
半径公式化繁为简袁缩短解题过程. 三尧设而不求袁巧用野点差法冶 野点差法冶 是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆
锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候袁利用直线和圆锥曲
线的两个交点袁并把交点代入圆锥曲线的方程袁并作差. 求出
解题技巧与方法
132
JIETI JIQIAO YU FANGFA
野设而不求冶 巧解解析几何题
因陆 霞 渊江苏省金湖中学 圆员员远园园冤
解析几何是高中数学的重要内容袁其核心内容是直线和
圆以及圆锥曲线袁其本质是用代数的方法研究图形的几何性
质援 在考基础尧考能力尧考素质尧考潜能的考试目标指导下袁每
年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例袁试题往往会
出现计算量较大的情况袁若解题方法不当袁就会使解题过程
繁杂而冗长袁 从而直接影响到解题速度和结果的准确性袁如
何避免不必要的运算袁 化繁为简袁从而缩短解题过程呢钥 可以
采用设而不求这种方法袁野设而不求冶 法指利用题设条件袁巧
妙换元袁通过整体替换再消元或换元袁达到运算中以简驭繁
的目的的一种解题方法. 现就利用野设而不求冶巧解解析几何
解析几何图形的关键技巧
解析几何图形的关键技巧几何学是数学的一个重要分支，它研究空间和形状的属性以及它们之间的关系。
在几何学中，解析几何是一种重要的工具，它将代数和几何相结合，通过数学方法来研究图形的性质和变换。
在解析几何中，有一些关键的技巧可以帮助我们更好地理解和分析图形。
一、坐标系的选择在解析几何中，坐标系是非常重要的工具。
通过在平面上引入坐标系，我们可以将点和图形用数学的方式来表示和描述。
选择合适的坐标系对于解析几何的研究是至关重要的。
一般来说，我们可以选择直角坐标系或极坐标系。
直角坐标系适用于研究平面上的图形，而极坐标系则适用于研究圆形和曲线。
二、方程的建立在解析几何中，我们通常通过建立方程来描述和分析图形。
方程可以帮助我们确定图形的性质和特征。
对于直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线等图形，我们可以通过建立相应的方程来研究它们的性质。
例如，对于直线，我们可以使用一般式方程或斜截式方程来表示，而对于圆，我们可以使用标准方程或一般方程来表示。
三、图形的性质在解析几何中，了解图形的性质是非常重要的。
通过研究图形的性质，我们可以更好地理解它们的特点和规律。
例如，直线的性质包括斜率、截距和与其他直线的关系等。
圆的性质包括半径、直径、圆心和与其他图形的关系等。
了解这些性质可以帮助我们更好地分析和解决与图形相关的问题。
四、图形的变换在解析几何中，图形的变换是一个重要的研究方向。
通过对图形进行平移、旋转、缩放和镜像等变换，我们可以研究它们的对称性、相似性和等价性等。
例如，通过平移变换，我们可以将一个图形移动到另一个位置，而不改变它的形状和大小。
通过旋转变换，我们可以改变图形的朝向和角度。
通过缩放变换，我们可以改变图形的大小。
通过镜像变换，我们可以在平面上生成图形的镜像。
五、向量的运用在解析几何中，向量是非常重要的工具。
通过向量的运用，我们可以更好地描述和分析图形的运动和变换。
向量可以表示图形的位移和方向。
在解析几何中，我们可以使用向量来表示直线的方向和长度，圆的半径和圆心的位置等。
简化解析几何运算培养求简思维能力
４ ［ ０年 期 中国数学 ４ ２ ９ 第６ ０ 教育
．
鲎
“ 量 几 何 法 ” 向
¨ 量 代 数 法 。 和 向 ’
杨云 显 （ 山东省青 岛市城 阳 区教研 室）
高中数学新教材在 （ （ 高 中课程标 准实验教科 书 ・ 普通 数学 ４ （ 必修 ） 中安 排了平面 向量 的 内容 ，通过平 面向量及其应 用举 》
回 归定 义 、概 念 。优化 解 题 过 程 求简思维是 建立在对定 义 、概念深入理 解的基础上 ，掌 握 几 何知识来解决 ，充分利用平 面几何技巧性 强 、运算量少 的特 其本质属性 ，运用 相关 的概念 、定义把对 问题的定性分析 和定 点 ，起 到事半功倍的效果 ．
、
量计算有机地结合 起来 ，可 以使解决 问题 的思路清晰 、运算 过 程简捷明快．
分析 ：若按 常规方 法把 方程进行化 简 ，那 么求解过程 非常 点 间的距 离公 式 ，那 么运 算 量较 大 ， Ａ（ １ ｏ 曰 １ ） 一 ．ｏ） （ ，ｏ 如 果 运 用 平 面 几 何 知 识 把 ｌＰ Ｉ Ａ ＋ 复 杂，若回归定义 ，利 用双曲线的 第二 定义来求解就 显得 非常
由此联想到双曲线的第二定义 ，即动点 Ｐｘ ） （，ｙ到定点（ ，一 ） １ １与到 方和，即ｌＰＩ＋ｌＰＩ＝ Ａ 曰 ２（尸 ＋『Ｂｌ ＝ ＋ Ｉ ，又 ｚ ： Ｉ Ｉ Ｏ ） ２ ２Ｐ ｌ Ｄ Ｏ
尸 Ｄ ｃ 一 ＝ ，所以 ＩＰｌ＋Ｉ ｌ Ａ 定直线 ＋ ＋ ４＝０的距离之比为常数、 亏 ｋ ／ 一 ，故 ｅ ／ ｋ ， 由平面几何知识知 ｌｊ Ｉ ＝Ｉ０Ｉ ２ ３ ＝、 ＞１ 的最小值 为 ２ ． ０
鲤
简化解析几何运算 培养求简思维能力
解析几何化减技巧
解析几何化减技巧解析几何是数学中一个重要的分支，它研究的是几何对象（如点、线、面）在坐标系中的表示和变换。
在解析几何中，我们经常需要化简一些复杂的表达式或方程，以提高计算的效率和准确性。
以下是一些常用的解析几何化简技巧：1. 代数运算：这是最基本的方法，包括加、减、乘、除、乘方等。
例如，对于两个向量的点积，我们可以使用分配律和结合律进行化简。
2. 坐标变换：如果我们有一个表达式涉及到多个坐标点或向量，我们可以考虑使用坐标变换来简化这个表达式。
例如，如果我们有两个参考系，并且知道它们之间的转换关系，我们就可以将一个坐标点从一种参考系转换到另一种参考系。
3. 向量运算：向量运算（如加法、数乘、点积、叉积等）在解析几何中非常常见。
理解这些运算的性质和规则可以帮助我们更有效地进行化简。
4. 矩阵运算：在解析几何中，矩阵经常被用来表示变换（如旋转、平移、缩放等）。
理解矩阵的运算法则（如乘法、转置、逆等）可以帮助我们更有效地进行化简。
5. 参数方程：对于一些复杂的几何形状（如椭圆、抛物线、双曲线等），我们经常使用参数方程来表示它们。
参数方程可以将一个复杂的几何问题转化为一个简单的代数问题，从而更容易进行化简。
6. 极坐标与直角坐标转换：在解析几何中，极坐标和直角坐标是两种常用的坐标系。
理解这两种坐标系之间的转换关系可以帮助我们更有效地进行化简。
7. 对称性：许多几何形状和表达式都具有对称性。
利用这些对称性可以帮助我们更有效地进行化简。
8. 代数恒等式：一些基本的代数恒等式（如平方差公式、完全平方公式等）在解析几何中非常有用。
掌握这些恒等式可以帮助我们更有效地进行化简。
9. 使用软件工具：现代的数学软件工具（如 MATLAB、Geometer's Sketchpad 等）可以帮助我们更方便地进行解析几何的化简和计算。
以上就是一些常用的解析几何化简技巧。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和情况选择合适的方法进行化简。
操千曲而晓声,观百剑而识器——简化解析几何运算的策略
时， Ａ ＝ ｝为 最 小； 将
直线 绕点 Ｐ逆 时针 旋转 至相切 （ ， 重 合 ）有 Ａ ＝ Ｉ ；回转至 Ａ （ ０ ，一 ３ ） ，Ｂ （ ０ ，３ ）有 Ａ － ５为 最大 ，故 有 Ａ ＝
— 、 Ａ（ Ｂ）
０
Ｂ（ ａ）
图 １
＼
例３ ． 椭圆内车＋ 车＝ １ 有一点Ｐ （ １ ， １ ） ， 一直线
为、 ／ 的点 的轨迹 ， 根 据圆锥 曲线 的定 义 ．此轨迹
为双曲线 ．选 Ｃ ． 点评 ：本题 采用 了 “ 回归定义”的策略 ，达到 准
确判 断、灵 活解题 、避免 大量运算的麻 烦． 其 实，很 多解析几何 问题都是 由定 义派生 出来的 ，这时理解 定
免繁琐的推理运算 ，往往事半功倍 、别样精彩．
ｆ － Ｏ ｆｌ － 成等差数列， ￣Ｂ － ｆ 与 同向， 求双曲线的 离
心率．
求 简思维是 建立在对定 义 、概念深入 理解 的基 础
上 ，掌握其本质属性 ，运用相关 的概念 、定义对问题
的定性分析和定量计算有机结合起来 ，可 以使运算过 程 简捷 明快 ，因此我们在解题 中若能 回归定义 ，则很
以事半功倍． 解 析 ：由、 ／ （ ｘ ＋ ３ ） ２ ＋ （ ｙ 一 １ ） 一 Ｉ ｘ — ｙ ＋ ３ １ ＝ ０ ，得
一
平 分 线 盼 眭 质 定 理 得 ＝ 槲 ， 再 由 等 比 性 质 可 得 ］ ＝ ＝ 斟＝
１
，
即ｔ ａ ｎ ０
，由渐近线方 程 由 ＝ ，再
我们备战高考同样如此本文笔者通过认真研究近6年来的广东高考数学选做题发现对几何证明选讲部分内容的考查多集中在与圆相关的性质定理和相似三角形相似三角形的判定和性质定理射影定理圆的切线的判定和性质定理圆周角定理弦切角定理相交弦定理割线定理切割定理圆内接四边形的性质和判定定理等知识上难度不算大一般为中等难度题目
简化解析几何运算技巧专题
专题：简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技法一巧用定义，揭示本质以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ．2B ． 3C ．32D ．62[解析] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝2．所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62． [答案] D [方法点拨]本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点演练]抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22． 答案：22对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2．又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12．又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1．[答案] D [方法点拨]本题设出A ，B 两点的坐标，却不需求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[对点演练]过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2．∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2．又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22．即椭圆C 的离心率e ＝22． 答案：22某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] (2016·全国甲卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0． (1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4．因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2．将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0．解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127．因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449．(2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1，得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0． 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2．由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t ．由2|AM |＝|AN |，得23＋tk 2＝k3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2．t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0． 因此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2． 故k 的取值围是(32，2)． [方法点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点演练](2016·实战考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，所以S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＋S △BF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12|F 1F 2|·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12t 2＋14＋3t 2．而S △AF 2B ＝12|AB |r 0＋12|BF 2|r 0＋12|AF 2|r 0＝12r 0(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327 ＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2．利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一．[典例] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝1[解析] 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ＞0)． 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1．[答案] B [方法点拨]本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．[对点演练]圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为 x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0， 即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0．换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞3．[解] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2．① 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0． 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4． 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞3．法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1．因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2．②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2， 解得k 2＞3，所以|k |＞3．法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ． |AP |＝|OA |⇔AQ ⊥OP ⇔k AQ ×k ＝－1．又A (－a,0)，所以k AQ ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak AQ cos θ＝2ak AQ ．从而可得|2ak AQ |≤b 2＋a 2k 2AQ ＜a 1＋k 2AQ ，解得|k AQ |＜33．故|k |＝1|k AQ |＞3． [方法点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点演练](2016·市质量检测)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点，问RF 2―→·QF 2―→是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，则b ＝3t ，其中t ＞0，当△F 1PF 2面积取最大值时，点P 为短轴端点， 因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 2(1,0)，A 1(－2,0)．设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，可得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，①y 1y 2＝－94＋3m 2，②直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2＋2(x ＋2)，则R⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2，F 2R ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 1x 1＋2，F 2Q ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 2x 2＋2，则F 2R ―→·F 2Q ―→＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝6y 1my 1＋3·6y 2my 2＋3＋9＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＋9将①②两式代入上式，整理得F 2R ―→·F 2Q ―→＝0， 即F 2R ―→·F 2Q ―→为定值0．。
解析几何中简化运算的策略
解析几何中简化运算的策略在解析几何中，方程是刻画曲线性质的代数语言，而曲线又是描绘方程特征的图像语言，数与形的高度统一，使得两者浑然一体，相得益彰.在解决直线与圆锥曲线的问题时，常用方法就是将它们的方程转化为关于x 或y 的二次方程来解决，一般过程较繁.其实，相当一部分解几问题的运算量与选择的解题方法有关，只要把握问题本质，精心构思，就可以获得简捷明快的解题方法，不仅简化或避免复杂的运算、提高效率，而且能训练思维、开发智力、增强信心。
下面谈谈解几种简化运算的常用策略，供参考。
一．回归定义，彰显本质我们解决问题，总是希望寻找到最简单又不失本质的原理与方法，而这方面非“定义”莫属。
只要对问题进行深刻挖掘，彰显本质，然后利用定义解题，达到巧思妙解。
例1， 设)0,6(P ，Q 为圆922=+y x 上的动点，且M 在线段PQ 上，满足21=MQ PM ，求点M 的轨迹方程。
解：由21=MQ PM 想得到在OP 上取点R 使21=RO PR ，即取点)0,4(R ，则OQ MR //且MR 31=OQ 1=， 根据圆的定义知：M 点的轨迹是以R 为圆心、半径为1的圆。
所以M 点的轨迹方程为：()1422=+-y x例2．设F 是抛物线()02>=a ax y 的焦点，直线AB 过F 交抛物线于B A 、两点，点()b a M ,满足条件222b a =；（1） 证明：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切（2） 若P 是抛物线上一点，且PF +PM 的最小值为5，求b a 、的值。
解：（1）设AB 中点为C ，分别过C B A 、、点， 作准线l 的垂线，垂足分别为'''C B A 、、，由抛物线定义可知：AB =+=BF AF '2''CC BB AA =+ ，∴ 以AB 为直径的圆与准线相切（2）过M 作l MH ⊥于H ，交抛物线于点P ，则P 为所求。
双根法是优化解析几何运算的又一利器
y 双根法是优化解析几何运算的又一利器蓝云波（广东省兴宁市第一中学，514500）解析几何历来都是高考中的重点和难点，由于其方法巧妙，运算复杂，故常令人望而生畏.特别 是涉及繁冗运算的圆锥曲线综合解答题，即使学生在思路顺畅的情况下，都难于得出结果.因此，如 何提高解析几何的运算能力变得至关重要.要解决解析几何中的复杂运算，算理就显得非常重要.如常见优化解析几何运算的方法有：利用圆锥曲线的定义、巧设直线方程、利用参数方程、运用点差法、合理利用平面几何知识等等，本文提供另外一种优化解析几何运算的方法——双根法，它在解决一类圆锥曲线问题中常能达到化繁为简、举重若轻的效果.我们知道，二次函数有三种形式，分别是一般式、顶点式、双根式.其中双根式可以把一般式y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)表示为 y = a (x - x )(x - x )(a ≠ 0)，x , x 为方程 ax 2 + bx + c = 0 的两根.1212例 1（2012 年高考重庆卷第 20 题）如图所示，设椭圆的中心为原点O ，长轴在 x 轴上，上顶点 为 A ，左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ，线段OF 1 , OF 2 的中点分别为 B 1 , B 2 ，且△ AB 1B 2 角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过 B 1 作直线l 交椭圆于 P , Q 两点，使 PB 2 ⊥ QB 2 ，求直线l 的方程.是面积为4 的直分析：本题是一道典型的直线与圆锥曲线的综合解答题，通常的做法是联立直线与圆锥曲线的 方程，利用韦达定理消元解决.结合本题，问题的关键是解决 PB 2 ⊥ QB 2 这个条件转换为向量的数量积为零之后的复杂运算，思路虽然清晰，但运算比较复杂.传统解法：（1）该椭圆的离心率e= x 2 2，标准方程为 + 5 20 4= 1； （2）由（1）知 B 1 (- 2,0), B 2 (2,0).当直线l 垂直于 x 轴时，显然不成立. 当直线l 不垂直于 x 轴时，可设其方程为 y = k (x + 2). P (x 1 , y 1 ), Q (x 2 , y 2 ).2 51 2⎧ y = k (x + 2), ⎪ 由 ⎨ x 2 + y= 1, 得 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = 0 .即(1+ 5k 2 )x 2 + 20k 2 x + 20k 2 - 20 = 0，⎪⎩ 20 4- 20k 220k 2 - 20 ∴ x 1 + x 2 =1+ 5k2, x 1 x 2 =.1+ 5k 2PB 2 ⊥ QB 2 ，∴ PB 2 • 2 = (2 - x 1 )(2 - x 2 )+ y 1 y 2 = 0 .因为点 P , Q 在直线 y = k (x + 2) 上，所以 y 1 = k (x 1 + 2), y 2 = k (x 2 + 2) .所以(2 - x )(2 - x ) + k 2(x + 2)(x + 2) = 01212所以 4 - 2(x + x ) + x x + k 2 x x + 2k 2 (x + x ) + 4k 2= 0121 21 212化简得(1+ k 2 )x x + (2k 2 - 2)(x + x ) + 4k 2+ 4 = 0.所以(1+ k 2) ⨯ 20k 2 - 20 1+ 5k 2+ (2k 2 - 2) ⨯ - 20k 2 1+ 5k 2 + 4k 2+ 4 = 0 ，所以(1+ k 2) ⨯ 5k 2 - 5 1+ 5k 2+ (2k 2- 2) ⨯ - 5k 2 1+ 5k 2 + k 2+1 = 0 ，故(1+ k 2 )(5k 2 - 5) + (2k 2 - 2)(-5k 2 ) + (k 2 +1)(1+ 5k 2) = 0， 所以5k 4+ 5k 4-10k 4+10k 2+ k 2+ 5k 2- 5 +1 = 0 ，故16k 2- 4 = 0 ， k = ± 1.2 1故直线l 的方程为 y = ± (x + 2) ，即 x + 2 y + 2 = 0或 x - 2 y + 2 = 0 .2点评：此法虽然思路清晰，但运算极为繁琐.特别是在紧张的考试中，学生能算出最后结果的微 乎其微.本题中，如何化简(2 - x )(2 - x ) + k 2(x + 2)(x + 2) = 0 是运算的难点.上述的解法虽然可行，1212但效率却不够高，且极容易出错.事实上，我们只要能把(2 - x 1 )(2 - x 2 ) 和(x 1 + 2)(x 2 + 2) 用 k 来表示，问题便能得到解决.如若注意到 x 1 , x 2 是方程的两根，可把 x 2+ 5k 2(x + 2)2- 20 = 0 左端的式子用双根法表示，然后进行合理赋值，就能轻而易举得到结果.1 2 23 优化解法：同传统解法可得 x 2+ 5k 2(x + 2)2- 20 = 0 与(2 - x )(2 - x ) + k 2 (x + 2)(x + 2) = 0 ，因为 x , x 是方程x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = 0 的两根，所以 121212x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = (1+ 5k 2 )(x - x )(x - x ) ①，12①式中令 x = 2 得， 22 + 5k 2 (2 + 2)2 - 20 = (1+ 5k 2)(2 - x )(2 - x ) ，12所以(2 - x 1 )(2 - x 2 ) =80k 2 -16 ，1+ 5k2①式中令 x = -2得， (-2)2+ 5k 2(2 - 2)2- 20 = (1+ 5k 2)(-2 - x )(-2 - x ) ，12-16所以(x 1 + 2)(x 2 + 2) =1+ 5k2 ，∴(2 - x 1 )(2 - x 2 ) + k (x 1 + 2)(x 2 + 2) = 80k 2 -16 1+ 5k 2+ k 2 ⨯ -16 = 1+ 5k 2 64k 2 -16 1+ 5k 2= 0. 所以64k 2-16 = 0，即 k = ± 1 .下同传统解法.2点评：此法通过巧设双根式并进行合理赋值，运算极为简洁，真正达到了化繁为简的效果，可 以说几乎没有什么运算了，令人叹为观止！【变式 1】：（2013 年上海春季高考理科第 28 题） 已知椭圆C 的两个焦点分别为 F 1 (-1,0)、F 2 (1,0)，短轴的两个端点分别为 B 1 , B 2 .（1）若△ F 1B 1B 2 为等边三角形，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为 2 ，过点 F 2 的直线l 与椭圆C 相交于 P , Q 两点，且 F 1⊥ F 1，求直线l 的方程.（答案：（1） 3x 24+ 3y 2 = 1；（2）直线l 的方程为 x + 7 y -1 = 0 或 x - 7 y -1 = 0 ） 我们现在再来看更为复杂的例 2，若用传统解法解决，几乎不能算出来，而双根法则显示出巨大的威力.例 2（2014 年高考辽宁理科数学第 20 题）圆 x 2+ y 2= 4 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围x 2 y 2成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P （如图）.双曲线C 1 ： a 2 - b2 = 1过点 P 且离心率为 .（1）求C 1 的方程；22 2111 2 （2）椭圆C 2 过点 P 且与C 1 有相同的焦点，直线l 过C 2 的右焦点且与C 2 交于 A , B 两点.若以线段 AB 为直径的圆过点 P ，求l 的方程.解析：（1）可求得点 P 的坐标为 ( 2, )， C 1 的方程为 x 2-y 2 = 21；（略）(-) ( )x 2+ y 2 =（2）由（1）知C 2 的焦点坐标为3,0 , 3,0 ，由此设C 2 的方程为 3 + b 2 2 1，其中 1> ( )2+2= 2 = x 2 + y 2 =b 10.由点 P 2, 在C 2 上，得3 + b 221，解得b 1 1 3.因此C 2 的方程为 6 31.显然l 的斜率不为0 ，故可设l 的方程为 x = my + 3 .点 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 )，⎧x = my + 3,⎪ 由 ⎨ x 2 + y = 1, 得(m 2 + 2)y 2 + 2 3my - 3 = 0 ，因为 y 1 , y 2 是方程的两根， ⎪ ⎩ 故有(m 2+ 2)y 2+ 23my - 3 = (m 2+ 2)(y - y )(y - y )①因为 AP = (- x 1 , - y 1 )， BP = (- x 2 , - y 2 )，所以 AP • BP = ( 2 - x 1)( 2 - x 2)+ ( - y 1)( 2 - y 2)= ( 2 - my 1- 3)( 2 - my 2- 3)+ ( - y 1)( 2 - y 2)= m - y ⎪ - y ⎪ + ( - y )( 2 - y)= 0②2⎛ 2 - 3⎝ m⎫⎛ 2 - 3 ⎫1⎭⎝ m2⎭1 2①式中令 y = 得 2(m 2+ 2)+ 2 6m - 3 = (m 2+ 2)( 2 - y 1)( 2 - y 2)，所以( - y 1)( - y 2)=，③m 2 + 2①式中再令 y =m2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2m 2 + 2 6m +1 2 -3 b b 6 2 32 -3 2 -3 ⎪ 14 2 ⎛ 2 -3 ⎫2⎛ 2 - 3⎫⎛ 2 - 3⎫得(m 2+ 2)⎪ + 2 3m ⨯ - 3 = (m 2+ 2)- y ⎪ - y ⎪，⎝m⎭m2⎛ ⎫⎛ ⎫ ⎝ m⎭⎝m2⎭所以 m ⎝ m - y 1 ⎪ ⎭⎝ m - y 2 ⎪ = ⎭. ④m 2+ 2③、④代入②易得 2m 2- 2 6m + 4 -11 = 0 ，故可解得 m =±1，⎛ 因此直线l 的方程为 x -⎝ ⎫ -1⎪ y - 2 ⎭ ⎛ = 0 或 x - ⎝ ⎫+1⎪ y - 2⎭ = 0. 点评：本题方法使用了巧设直线方程的技巧，有效地降低了运算，在此基础上运用双根法，更是达到了优化运算的效果，可以说是双剑合璧！x 2+ y 2= ( > > )(0, 【变式 2】：（2015 年高考福建理科数学第 18 题）已知椭圆 E :a22 )，且离心率为2 ．2（1）求椭圆 E 的方程；1 a b b20 过点（2）设直线 x = my -1(m ∈ R )交椭圆 E 于 A ， B 两点，判断点G ⎛ - 9 ,0⎫与以线段 AB 为直⎪ ⎝ ⎭径的圆的位置关系，并说明理由．（答案：（1） x + y 4 2 = 1；（2）点G ⎛ - ⎝ 9 ,0⎫在以线段 AB 为直径的圆的圆外）4 ⎭我们通过上面几道高考题的分析，我们发现，双根法在解决解析几何中涉及 MA • MB = λ（其中λ为常数， M 为定点， A , B 为直线与圆锥曲线的交点）的问题时具有巨大的威力，能使问题得到有效的解决.使得繁琐的运算变成简单可行的任务，能极大地提高解题效率！2 -3 - 4m 2+10 - 4 6 6 3 623 3 3 3 6 6 2。
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简化解析几何运算的技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的水平上． [典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62答案：D [方法演示]解析：由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62.[解题师说]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[应用体验]1．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.轨迹方程的问题时，常常可以用“代点法”求解．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案：D [方法演示]解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12. 又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[解题师说]本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[应用体验]2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案：22解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2. ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22. 即椭圆C 的离心率e ＝22.也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[方法演示]解：(1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0. 解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1， 化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k21＋4k 2. 同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k 4－4k 2，同理可计算得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0.[解题师说]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[应用体验]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2，r 0＝327， 所以S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＋S △BF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12|F 1F 2|·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12t 2＋14＋3t 2.而S △AF 2B ＝12|AB |r 0＋12|BF 2|r 0＋12|AF 2|r 0＝12r 0(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|)＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|)＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227，所以12t 2＋14＋3t2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一．[典例] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1 答案：B [方法演示]解析：由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ＞0)．因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上， 所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.[解题师说]本题利用了共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．[应用体验]4．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0， 即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[方法演示]证明：法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1，消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b 2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1. 因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.② 由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)，则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔AQ ⊥OP ⇔k AQ ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k AQ ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak AQ cos θ＝2ak AQ . 从而可得|2ak AQ |≤b 2＋a 2k 2AQ ＜a 1＋k 2AQ ，解得|k AQ |＜33，故|k |＝1|k AQ |＞ 3.[解题师说]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [应用体验]5．(2018·长春质检)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点，问RF 2―→·QF 2―→是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，则b ＝3t ，其中t ＞0，当△F 1PF 2面积取最大值时，点P 为短轴端点，因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 2(1,0)，A 1(－2,0)．设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，可得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，① y 1y 2＝－94＋3m 2，② 直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2＋2(x ＋2)，则R ⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2，F 2R ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 1x 1＋2，F 2Q ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 2x 2＋2，则F 2R ―→·F 2Q ―→＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝6y 1my 1＋3·6y 2my 2＋3＋9＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＋9，将①②两式代入上式，整理得F 2R ―→·F 2Q ―→＝0，即F 2R ―→·F 2Q ―→为定值0.1．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D ．1 解析：选C 如图所示，设P (x0，y 0)(y 0＞0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p. 设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)． 2．设双曲线x 2a ＋y 2b ＝1的一条渐近线为y ＝－2x ，且一个焦点与抛物线y ＝14x 2的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A.54x 2－5y 2＝1 B ．5y 2－54x 2＝1 C ．5x 2－54y 2＝1 D.54y 2－5x 2＝1 解析：选D 因为x 2＝4y 的焦点为(0,1)，所以双曲线的焦点在y 轴上． 因为双曲线的一条渐近线为y ＝－2x ，所以设双曲线的方程为y 2－4x 2＝λ(λ＞0)， 即y 2λ－x 2λ4＝1，则λ＋λ4＝1，λ＝45，所以双曲线的方程为54y 2－5x 2＝1. 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(1，2] B ．[2，2] C ．(0，2] D ．[2，＋∞) 解析：选B 设P (x 0，y 0)，则PF 1―→·PF 2―→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20－c 2＋y 20＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋y 20b 2－c 2＋y 20， 上式当y 0＝0时取得最小值a 2－c 2，根据已知－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，所以14c 2≤a 2≤12c 2，即2≤c 2a 2≤4，即2≤ca ≤2，所以所求离心率的取值范围是[2，2]．4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5B ．4 C.43 D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2. 设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0. 故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94. 又λ＞1，解得λ＝4.5．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：选D 设A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，M y 21＋y 228，y 1＋y 22，C (5,0)为圆心，当y 1≠－y 2时，k AB ＝4y 1＋y 2，k CM ＝4(y 1＋y 2)y 21＋y 22－40，由k AB ·k CM ＝－1⇒y 21＋y 22＝24，所以M 3，y 1＋y 22，又r 2＝|CM |2＝4＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222＝10＋12y 1y 2，所以(2r 2－20)2＝y 21y 22，所以y 21，y 22是方程t 2－24t ＋(2r 2－20)2＝0的两个不同的正根，由Δ＞0得2＜r ＜4.所以r 的取值范围是(2,4)．6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( )A.2x 275＋2y 225＝1B.x 275＋y 225＝1C.x 225＋y 275＝1D.2x 225＋2y 275＝1 解析：选C 由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1.7．已知双曲线C ：x 22－y 2＝1，点M 的坐标为(0,1)．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP ―→·MQ ―→，则λ的取值范围是________．答案：(－∞，－1]解析：设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，λ＝MP ―→·MQ ―→＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2. 因为|x 0|≥2，所以λ≤－1，所以λ的取值范围是(－∞，－1]．8．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．答案：1解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)，则B (－cos θ，－sin θ)， ∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)，PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)， ∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2) ＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1.9．设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝⎛⎭⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________． 答案： 6解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (p ＞0)消去t 可得抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，∴F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，|AB |＝|AF |＝12|CF |＝32p ，可得A (p ，2p )．易知△AEB ∽△FEC ，∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12，故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32， ∴p 2＝6.∵p ＞0，∴p ＝ 6.10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3，∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点， 所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 若以CD 为直径的圆过E 点，则EC ―→·ED ―→＝0， 即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0，解得k ＝76，满足k 2＞1.11. 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .求证：点M 在定直线上．解：(1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2. 因为抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)证明：设P ⎝⎛⎭⎫m ，m22(m ＞0)．由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m . 因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22， 得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0. 由Δ＞0，得0＜m 2＜2＋ 5.(*)由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1. 将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22(4m 2＋1).因为y 0x 0＝－14m ，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．12．已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可知2a ＝4，c a ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4，① 设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4＜0， 知S ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2. 令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103，∴0＜1t ＋1t＋2≤316，∴0＜S ≤32， 故△OAB 面积的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.。