25五年级奥数题--教师版编辑版

五年级奥数综合卷教师版1. 两个自然数，差是98，各自的各位数字之和都能被19整除，那么满足要求的最小的一对数之和是多少?答案 60096．分析 要求出满足要求的最小的一对数之和，我们必须求出这两个数．设较小的那个数为a ，则另一个数为a+98．由于a 的各位数字之和是19的倍数，故a 的各位数字之和至少是19，由此知a 至少是一个三位数．若a 的末位数字小于2，则a+8的各位数字之和比a 的各位数字之和增加8，于是a+98的各位数字之和要么比a 的各位数字之和增加9+8=17，要么比n 的各位数字之和减少9n －8．若为前者，由于a 的各位数字之和为19的倍数，再加上17则一定不是19的倍数，不合题意．若为后者，则9n －8必须是19的倍数，n 至少为3，此时9n －8=27－8=19，即a+98的各位数字之和比a 的各位数字之和小19．因此a 的各位数字之和至少为38．又因为我们假定了a 的末位数字小于2，而(38－1)÷9 >4，因此a 至少是一个六位数．为了使a 尽可能小，将a 的十位数字与个位数字取得尽可能大一些，于是a 最小为199991．至此我们讨论完了a 的末位数字小于2的情况． ‘若a 的末位数字大于2，则a+98=a+100－2．我们先将a 减去2．则各位数字之和也减少2，然后再将a －2加上100，则各位数字之和或者再增加1，或者再减少9n －1．若为前者，则a+98的各位数字之和比a 的各位数字之和减少1，不合题意．若为后者，则a+98的各位数字之和比a 的各位数字之和减少9n －1+2=9n+1．由于题目要求a 和a+98的各位数字之和是19的倍数，故9n+l 必须是19的倍数，从而n 至少是2．此时9n+1=19，即a+98的各位数字之和比a 的各位数字之和小19，从而a 的各位数字之和至少是38．又因为38÷9 >4，因此a 至少是五位数，设为ABCDE ．由以上的分析，我们知道E≥2、B=C=9，于是A+D+E=38－9－9=20．为了使a 最小，我们要使D 、E 尽可能地大一些，取D=E=9，得A=2，于是a=29999． 综上所述，满足要求的最小的一对数为a=29999，a+98=30097，它们的和为60096．2. 如图1６—4，设正方形ABCD 的面积为1，E 和F 分别为边AB 、AD 的中点，FC=3GC ．求阴影部分的面积是多少．答案 524． 分析 所求的阴影部分是个三角形，并且作为底的EB 长度是已知的，但EB 边上的高GH 却需要求(见图1６—5)．但GH 与给出的CF 和CG 的长度比如何联系起来呢?如果将HG 延长交CD 于M 点，那么就可以利用三角形CGM 和三角形CFD 的相似关系来确定GM ，进而求出GH ．详解1 如图16—5，过G 作GH 垂直于EB ，垂足为H ，延长HG 交CD 于M ．因为ABCD 是边长为1的正方形，E 和F 分别是AB 和AD 的中点，所以BE=12，DF=12，而且HM=1．由于FD 和GM 均与CD 垂直．所以它们相互平行，得比例关系将已知CF=3CG 和DF=12代入，得GM ：12=13，求出从而所以三角形EBG 的面积为就是说阴影部分的面积为524．详解2连接AG 、FB ，取BC 的中点H ，连接HG ．详解3 如图16—6，过G 作GH 垂直于BC ，延长HG 交AD于 M ．由ABCD 是正方形易得HM 平行于CD ，从而得比例关系根据CF=3CG 可得FG ：CF=2：3，代入上式得因为AEG 和BEG 是等底等高的三角形，故阴影面积恰是三角形AGB 的一半，为512÷2=524. 评注 正方形中的平行关系和我们添加的辅助线为本题提供了多种解法，由平行线得到的比例线段是我们解题的重要工具． ．3. 如图16—7，ABCG 是4×7的长方形，DEFG 是2×10的长方形．那么，三角形BCM 的面积与三角形DEM 的面积之差是多少?答案 3．分析 画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC 和DE 均为已知的，所以关键问题在于求CM 和DM ．这两条线段之和CD 的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线BC 与DE 截成的比例线段求得．连接BD ．详解 因为BC 和DE 均与CD 垂直，所以它们相互平行．截相交线段CD 和BE ，得比例式CM ：DM=BC ：DE将已知数代入，得CM=2DM ．另一方面，CM+DM=CD=10－7=3，因此CM=2，DM=1．所以，三角形BCM 面积为BC×CM÷2=4×2÷2=4，三角形DEM 的面积为DE×DM÷2=2×1÷2=1，二者之差为4－1=3即为所求． 评注 与图16—3类似，图16—8是另一个平行线截相交线段得比例的典型图，AB 平行于DE ，有比例式AB ：DE=AC ：CE=BC ：CD ，三角形ABC 与三角形DEC 也是相似三角形．图16—3和图16—8的形状要牢记并且要熟练掌握比例式．4. 在图16—9中，AE ：EC=1:2，CD:DB=1:4，BF ：FA=1:3，三角形ABC 的面积等于1．那么四边形AFHG的面积是多少?答案 131468． 分析 本题所求的四边形AFHG 是不规则四边形，因而只能通过割补的方法求其面积．与之相关且面积易求的是三角形ABE ，所以求出三角形AEG 和BFH 的面积成为解题的关键．参见图16—10，三角形AEG 和BFH 已用阴影部分表示．题目给出的条件大多是线段间的比例关系，想要利用这些条件求三角形面积，最好构造平行关系，利用平行线截成的比例线段关系及相关的结论求解． 详解 如图16—10，分别过E 、D 作CF 和BE 的平行线，交AB 、AC 于N 、M 两点．利用已知的比例关系和三角形ABC 的面积为1的条件，得三角形BEC中DM与BE平行且CD：CB=1：5，故平行关系又知CM：EM=CD：DB=1:4，又AE：EC=1：2，故从而则由EG与DM平行得三角形ACF中EN与CF平行且AE：AC=1：3，故由平行关系又知AN：NF=AE：EC=1：2。

从而进而BF：BN=1：3，由FH与EN平行得那么四边形AEHG的面积为评注本例的求解过程很繁杂，但思路是很简单清晰的，在求解过程中我们多次用到如下重要的结论：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们的面积之比等于对应边长之比的平方．如图16—11，BC与DE平行，截得的三角形ABC与ADE相似，有AB：AD=AC：AE=BC：DE，如果这个比值为k。

则这个结论也可以说成“相似三角形面积之比等于相似比的平方”．当然，如果不用这个结论，本题也是可以求解的．同学们可以试着考虑用三角形底和高的比与面积比的关系求三角形AEG和BFH的面积．事实上，我们刚才给出的结论也可以用三角形底和高的比与面积比的关系得到证明．同学们如果有兴趣，可以试着给出证明．5.如图16一12。

ABCD是一个长方形，AC是对角线．试比较两块阴影区域的面积S１与S２的大小．答案 s１与S２相等．分析 S２与S２所处的两块长方形区域是互相分离的，而且它们的长和宽并没有明显的比例关系．注意到长方形ABCD被一些线分成了很多小的长方形和三角形区域，因此想到可以通过比较除S１和S２以外的其他一些区域的面积来间接地对S１和S２进行比较．当然，我们需要利用长方形的对称性和平行线带来的比例关系．详解为叙述方便起见，我们作如图16—13的标记．由于AC是长方形ABCD的对角线，因此它把长方形分成面积相等的三角形ABC和ADC，并且三角形ANE和AME面积相等，S５与S６面积也相等．下面我们来考察S３和S４：S３=EI×EF，S４＝EH×EG．由平行线截成的比例线段关系；可知EF：CF=AD：DC，即EF：EG=AD：DC，又知PI：EH＝AD：DC，即EH：EI＝AD：DC．从而得到EH：EI=EF：EG，那么就有可得S１=S２．另解将各顶点标上记号，如图16—13所示，评注本题的一个非常显著的特点是：图16—12中所有的三角形和长方形都是围绕对角形AC构造的，这种内在联系决定了图形中的线段的比例关系，也就决定了图形中某些部分的面积关系．6.从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有多少个?答案 1246．分析这样的数一个一个地找起来实在太麻烦，要想办法把它们配起对来．详解对于每一个三位数×××来说，在1×××、2×××、3×××和4 ×××这4个数中恰好有1个数的数字和能被4整除．所以从1000到4999这4000个数中，恰有1000个数的数字和能被4整除．同样道理，我们可以知道600到999这400个数中恰有100个数的数字和能被4整除，从200到599这400个数中恰有100个数的数字和能被4整除．现在只剩下10到199这190个数了．我们还用一样的办法．160到199这40个数中，120到159这40个数中，60到88这40个数中，以及20到59这40个数中分别有10个数的数字和能被4整除．而10到19，以及100到1"19中则只有13、17、103、107、112和116这6个数的数字和能被4整除．所以从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有1000+100 ×2+10 ×4+6=1246个．7.用剪刀沿图17—2中小方格的边界把4×4正方形格纸剪成形状、大小都相同的两部分，共有多少种不同的剪法?(凡经过旋转和翻转能重合的剪法视为相同的剪法)答案 6．分析因为要把正方形剪成形状、大小都相同的两部分，也就是剪成中心对称的两部分，所以剪刀所通过的路径必须通过正方形的中心．我们不妨假设剪刀所剪的路径是水平通过正方形中心的(如果是垂直的话只要把正方形旋转90。

就可以了)，如图17—3．很明显，一共有6种剪法，如图17—4所示：8.纸上画有一个4 ×4的方格表，在它的四条边的旁边分别写有东、南、西、北这四个字．现在要用8个1×2的长方形将它盖住，共有多少种不同的覆盖方法?答案 36．分析标上东、南、西、北意味着不必把旋转后相同的覆盖方法视作一样．详解很明显，这8个长方形中，横着放的必然是偶数，竖着放的也必须是偶数个．下面按照有多少个长方形横着放进行分类．①有8个横着放，0个竖着放，这时只有一种放法．②有0个横着放，8个竖着放，这时也只有一种放法．③有6个横着放，2个竖着放，这时竖着放的这两个长方形必须在同两行里，在这两行里只有3种放法：而这两行有3种选择，而且剩下的两行只有1种方法用横的长方形覆盖，所以这时有3×3=9种放法．④有2个横着放，6个竖着放，与③类似，有9种放法．⑤有4个横着放，4个竖着放，这时又有三种情况．一种是这4个竖着的长方形占据了两行：一种是这4个竖着的长方形占据了三行：一种是这4个竖着的长方形有两个占据着前两行，另两个占据着后两行．第一种情况有3种放法，第二种情况有2×2=4种放法，第三种情况有3×3=9种放法，所以一共有16种放法．综合所有这五种情况，一共有： 1+1+9+9+16=36 种不同的覆盖方法．9.10个人围成一圈，从中选出3个人，其中恰有2人相邻，共有多少种不同的选法?答案 60．详解单独坐的人有10种选法．选定这个人后，另外相邻的2个人可以选与此人不相邻的那7个人中任意2个相邻的，因此有6种选法．所以共有10×6=60种不同的选法．10. 如图7—12，在长260厘米、宽150厘米的台球桌上。