一道模考题的多角度思考

Ａ Ｍ， 当平行等值线 ＭＮ ： α＋ β＝λ在 Ａ Ｆ
新题 ４ 如图 １ ３， Ｏ 为 △Ａ Ｂ Ｃ 的边 Ａ Ｂ 的中 点， 且Ｄ Ｄ 为Ｂ Ｃ 边 的 三 等 分 点， Ｃ ＝２ Ｄ Ｂ， Ｐ为 → → 包括边界 ）任一点 ． 若Ｏ Ｄ Ｃ 内（ Ｐ Ｏ Ｂ ＋ｙ △Ａ ＝ ｘ → 求 ｘ －２ Ｏ Ｄ， ｙ 的取值范围 ．
图５
图７
１ 时， 的 取 值 范 围 是 ｙ ２
． 题３ （ 如图８， 给定两个 ２ ０ ０ ９年安徽高考题 ） → 长度 为 １ 的 平 面 向 量Ｏ Ａ 和 Ｂ →， 它们的夹角为 １ 点Ｃ Ｏ ２ ０ ° ． 在以 Ｏ 为 圆 心 的 圆 弧 Ａ Ｂ上 Ｂ → → →， 变动 ． 若Ｏ Ｃ Ｏ Ａ ＋ｙＯ ＝ ｘ 其中 ｘ， 则 ｘ ＋ｙ 的最 ｙ ∈ Ｒ， 大值是 ． 现在我 们 来 探 讨 这 三 道 试 题 的 统 一 解 法 ． 先 “ 建立数学 解 题 模 式 ， 对 大 家 熟 悉 的 结 论： 已知向 → → → → → 量Ｏ 且Ｏ Ａ， Ｏ Ｂ 不 共 线， Ｐ ＝ αＯ Ａ ＋βＯ Ｂ（ α， β∈ ， ” 则 Ａ， Ｒ） Ｂ， Ｐ 三点共线的充要条件是α＋ ＝ β １． 进行发展 ， 如图 ９．
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括边界 ）运动 ， 所以 ３， ｙ≤ 槡 烄 ３ ｘ ＋ｙ ≤ ２ Ａ Ｂ → 程可以看到 ， 将“ Ａ Ａ Ａ ＝α ＋ β Ｆ → 再相加 ， Ｄ → 即可 ， 和Ａ 实际上只要直接点乘Ａ 大家 不妨一试 ． 试题的来源及统一的解法 ２．
题， 题目新颖别致 ， 表述简 洁 ， 有 一 定 难 度， 学生普 希 遍感到棘手 ．下面给出笔者对此题的思考过程 ， 望对同学们能有所帮助 ． 解法探讨 １． 思考一 根据题型特点 ， 对于填空题 ， 考察极 端位置猜出答案 ． 解 １ 不妨设正六边形 的 边长为１， 考虑点Ｐ 与点Ｃ 重合的情形 ， 如图 ２ 所示 ， 延 长Ａ 易知四 Ｂ， Ｄ Ｃ 交于点Ｇ ， 边形 Ａ Ｇ Ｃ Ｆ 是 平行四 边 形， → → Ａ → Ｂ → 图２ 则Ａ Ｃ ＝Ａ Ｇ ＋ Ｆ ＝２Ａ ＋ Ｆ →， 因此α ＝２， 从而α＋ 类似地考虑 Ａ β＝１， β＝３； 点 Ｐ 与点Ｄ 重合的情形可得α＋ 至此 ， 我们 β＝４． ］ 可大胆猜测答案为 ［ ３， ４ ． 思考 二 特 殊 化 是 解数学客观题的一种十分 但作为平时 有效的 方 法 ， 思考 ， 我们还要注意 “ 小题 ， 大做 ” 这样有利于养成我 们缜密 的 习 惯 ， 进而提升 逻辑思维能力 ． 先说明点 Ｐ 在线段Ｅ Ｃ 上任一处都满足α ＋β ＝ ３．如 图 ３，以 Ｐ 为 一 个 顶 点 作 平 行 四 边 形 Ｐ → Ａ → Ｍ →， 则Ａ 结合平面几何知识易 ＡＭＰ Ｇ， ＝ Ｇ ＋Ａ 不妨设正六边形 知Ｆ Ｇ ＝Ｃ Ｈ ＝Ｃ Ｎ， Ｂ Ｍ ＝Ｂ Ｎ， 的边长为 １， 于是α＋ Ｇ ＋Ａ Ｍ ＝Ａ Ｆ ＋Ｆ Ｇ＋ β＝ Ａ
图１ １
正方形 Ａ ２， Ｂ Ｃ Ｄ 内接于 ⊙Ｏ， 新题３ 如图１ 包括边界） Ｐ 是弦Ｃ Ｄ 和劣弧 Ｃ Ｄ 形成的弓形内（ → → → ， 的动点 ， 设Ａ 求α＋β Ｐ ＝αＡ Ｂ ＋βＡＤ （ α、 β ∈ Ｒ） 的取值范围 ．
图１ ０
图１ ２
可以求出λ 的范围 ， 进而求出α＋β 的范围 ． 对于题 １， 如图 １ 过点 Ｐ 作 Ｂ ０， Ｆ 的平行等值 分别与直线 Ａ 线 ＭＮ ： Ｆ， Ａ Ｂ 相交于点 α＋β ＝λ， 有λ＝ Ｍ， Ｎ，
如图 ６， 记正六边形 Ａ 则 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 的中心为Ｏ ， → → → → → → → → Ａ Ｂ Ｃ， Ａ Ｆ ＝Ｏ Ｅ， ∵Ａ Ｐ ＝α Ａ Ｂ＋ Ａ Ｆ， ∴Ｏ Ｐ ＝Ｏ β Ｏ → → Ｅ →， Ｏ → Ａ → Ｆ →， Ｐ → 而Ａ 因此Ｏ Ｏ Ｃ ＋β Ｏ ＋Ａ ＝α ＝ Ｂ ＋Ａ → Ｅ →． ） ） Ｏ Ｃ＋（ Ｏ ＝（ α－１ β－１ 至此我 们 看 到 了 问 题 的 来 源 ， 是受如下两道 ）的 启 发 ， 高考试题 （ 题 １、 题２ 经过巧妙的加工改 嫁接组合而成的 ． 造、 题 ２ （ ２ ０ ０ ６ 年 湖 南 高 考 题 ）如 图 ７， Ｏ Ｍ ∥ ， 、 点 在 由 射 线 线 Ａ Ｂ Ｐ Ｏ Ｍ 段Ｏ Ｂ 及Ａ Ｂ 的延 长 线 围 成 的阴 影 区 域 内 （ 不 含 边 界） Ｂ → → →， 运 动， 且Ｏ Ｐ ＝ｘ Ｏ Ａ Ｏ ＋ ｙ 则 ｘ 的 取 值 范 围 是 ；当 ｘ ＝－
Ａ ′ 包括边界 ） 上扫描时 ， 有３＝ Ａ 区域 △Ｃ Ｄ Ｅ 内（ Ａ Ｆ Ａ Ｍ Ａ Ａ ″ 即 ３ ≤λ ≤ ４， 所以 ３ ≤α＋β ＝ ４， ≤ Ａ Ｆ Ａ Ｆ 请大家用这种方法自行解决题 ２、 题 ３． ≤ ４．
≤ 命制新的试题 ３． 新题 １ 如图 １， 正六边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 中， Ｐ是 → → 包 括 边 界 ）的 动 点 ， 设Ａ Ｄ Ｅ 内（ Ｐ ＝ αＡ Ｂ ＋ △Ｃ → ， 则α＋ Ｆ（ α、 βＡ β ∈ Ｒ） β 的取值范围是 ． 新 题２ 如图１ 给定两个长度为１的平面向 １， → → 量Ｏ 它们的夹角为 １ 点 Ｐ 在以Ｏ 为圆 Ａ和 Ｏ Ｂ， ２ ０ ° ． 心的圆弧 Ａ 包括边界） Ｂ 和弦 Ａ Ｂ 形成的弓形内（ → → → ， ， 运动 ． 若Ｏ 求ｘ＋ Ｐ Ｏ Ａ ＋ｙ Ｏ Ｂ 其中ｘ ｙ ∈ Ｒ， ＝ｘ ｙ 的取值范围 ． （ 上接第 １ １ 页） “ 数学 大 师 华 罗 庚 说 得 好 ： 数 缺 形 时 少 直 观， 形少数时难入微 ； 数形结 合 百 般 好 ， 隔裂分家万事 ”数形结合是数 学 解 题 中 常 用 的 思 想 方 法 ， 非． 上 述求解都借助 了 函 数 的 图 象 ， 凭借图形的直观性 较好地使问题的求解一目 了 然 ， 宜 解 易 懂． 可见使 用数形 结 合 思 想 方 法 ，通 过 “ 以 形 助 数 ，以 数 解 （ ） 收稿日期 ： ２ ０ １ １－０ ２－０ ６
ｘ＋ 槡 ３ ｙ ≥ ３， 烆 平 移直线ｘ＋槡 当点 Ｐ 在边界Ｃ ３ Ｅ 上运 ｙ ＝０，
动 时， 当过点 Ｄ 时 ， α＋ α＋ β取最小值３， β取最大值 ］ 故α＋β 的取值范围是 ［ １ ３·槡 ３ ＝ ４， ３， ４ ． ＋槡 思考四 对解法 ２ 进行反思 ， 以 Ａ 为坐标原 点建立直角坐标系 ， 是我 们 的 第 一 反 应 ， 但如若充 分利用图形的对称性 ， 建 立 合 适 的 坐 标 系， 将大大 减少运算量 ， 优化解题过程 ． 以直线 Ｅ 直线 Ｃ 为ｘ 轴 ，
图３
图４
Ｐ → Ｂ → Ｆ → ， ， ） ， 设 Ｐ（ 则Ａ ｘ， ｘ， Ａ １， ０ Ａ ＝（ ＝（ ｙ） ｙ） １ 槡 ３ ， ＝（ － ， ） ２ ２ １ ， 槡 ３， Ｐ → Ｂ → Ａ → 由Ａ Ａ ＝α ＋ β Ｆ 得ｘ ＝α－ ２ β ｙ＝ ２ β 从 而有α＋ 由于点 Ｐ 在 △Ｃ 包 ３ Ｄ Ｅ 内（ ｙ， β＝ｘ＋槡
图８
图９
１ ４
— —２ 数学通讯 — 上半月 ） ０ １ １ 年第 ７、 ８期（ · 辅教导学 ·
（ ）当点 Ｐ 与点 Ｏ 不 重 合 时 ， 过点 Ｐ 作直线 １ Ａ Ｂ 的平行线 Ａ ′ Ｂ ′ 与直 线 Ｏ Ａ， Ｏ Ｂ 分别相交于点 → 依 据 平 行 线 截 线 段 成 比 例 可 设Ｏ Ａ ′， Ｂ ′， Ａ ′ ＝λ Ａ →， → Ｂ →（ Ｐ → ａＯ → ， 又 设Ｏ Ｏ Ｏ Ｂ ′ ＝ λＯ ′ ＋ｂ ＝ Ａ λ ∈ Ｒ） → Ｐ → Ａ → ｂＯ Ｂ →． 则Ｏ 由结论知ａ＋ Ｏ Ｂ ′， ａ Ｏ ｂ＝１， ＝λ ＋ λ 依据平面向量的基本定理知α ＝λ 所以α ａ， ｂ， β＝λ ＋β ＝λ； ）当点 Ｐ 与点Ｏ 重合时 ， （ 显 ２ α ＝β ＝λ ＝ ０， 然α＋β ＝λ 也成立 ． 所以总有α＋β ＝λ． 事 实 上， 直线 Ａ ′ Ｂ ′上 任 何一点Ｐ 都有α＋ β ＝λ， 因此 ， 直线 Ａ ′ Ｂ ′ 是平行于 直线Ａ Ｂ 且满足 α＋ β＝λ的 等值线 ， 当Ａ ′ Ｂ ′： α ＋β ＝ λ 在某区域上扫描运 动 时 ， 便
图１
Ａ Ｂ ＋Ｂ Ｍ ＝Ａ Ｆ ＋Ａ Ｂ ＋Ｃ Ｎ ＋Ｂ Ｎ ＝Ａ Ｆ ＋Ａ Ｂ＋ Ｂ Ｃ ＝ ３． 延长 Ａ 使Ｐ 不包括 Ｐ至 Ｐ ′， ′ 落 在 △Ｃ Ｄ Ｅ 内（ ， 边界 ） 则显然对应 的 α＋β ＞ ３； 延长 Ａ Ｐ 使之与
不妨设与边 Ｃ Ｄ Ｅ 与的边Ｃ Ｄ 或Ｄ Ｅ 相交 ， Ｄ相 △Ｃ ， 交于点 Ｑ 以 Ｑ 为一个顶点作平行四边形 Ａ Ｒ Ｑ Ｔ， Ｑ → Ａ → Ｔ →， 则Ａ 结合平面几何知识易知 Ｆ Ｔ＝ ＝ Ｒ ＋Ａ → ， ， 于是 对应的 Ｃ Ｑ ＜１ Ａ Ｒ ＝２ Ａ Ｑ Ｔ ＋Ａ Ｒ α＋ β＝ Ａ ４． ］ 由以上分析可知 ， 问题的答案为 ［ ３， ４ ． 思考三 “ 包 括 边 界 ）的 动 Ｐ 是 △Ｃ Ｄ Ｅ 内（ 点 ”这一条件暗示该问题与线性规划有关 ， 因此我 们可建立直角 坐 标 系 ， 将问题转化为线性规划问 题． 解 ２ 以 Ａ 为坐标原点 ， 直线 Ａ Ｂ 为ｘ 轴建立 不妨设正六边形的 如图４所示的平面直角坐标系 ， ３ ３ ， （， ） ， ） ， 边 长 为 １，则 Ａ（ ０， ０ Ｂ（ １， ０ Ｃ（ ，槡 ） Ｄ１ ２ ２ １ 槡 ３ ， ， ， ３） Ｅ（ ０， ３） Ｆ（ － ， ） 槡 槡 ２ ２
图６
Ａ Ｄ 为ｙ 轴建立如图５所示的 平面 直 角 坐 标 系 ， 不妨设正
， 六边形 的 边 长 为 ２， Ｐ（ ｘ， ｙ） Ｂ → （３， ） ， ） ， 则 Ａ（ ０， Ａ －３ ＝ 槡１ Ｆ → Ｐ → ） ， Ａ ３， １ Ａ ｘ， ＝（ －槡 ＝（ ｙ → → → ） ， 由Ａ Ｐ ＝α Ａ Ｂ＋ Ａ Ｆ得 ＋３ β ， ｘ＝ 槡 ３（ α－ ｙ＋３＝α＋ β） β， 又 ０ ≤ ｙ ≤ １， ∴３ ≤α＋β ≤ ４． 思考五 要求α＋ 利用向量的 β 的取值范围 ， Ｐ → Ｂ → Ｆ →” 数量积将向量条件 “ 转化为数 Ａ Ａ Ａ ＝α ＋ β 量关系 ． 解 ３ 不妨设正六边形的边长为 １， Ｐ → Ｂ → Ｆ →， Ｐ →·Ａ Ｂ → Ｂ →· ∵Ａ Ａ Ａ ∴Ａ Ａ ＝α ＋β ＝α １ Ｂ → Ｆ → ·Ａ Ｂ → Ａ ＋βＡ ＝α－ β， ２ Ｆ Ｆ Ｆ → → → → → ·Ａ → Ａ Ｐ ·Ａ Ｆ ＝αＡ Ｂ ·Ａ ＋βＡ １ ＝－ α＋β， ２ Ｐ →·Ａ Ｂ → Ａ → Ｆ → 两式相加得 １ （ α＋β） ＝Ａ ＋ Ｐ·Ａ ２ １ → · → ， Ｐ → ·Ａ Ｄ →， Ａ Ｐ Ａ Ｄ 即α＋β ＝ Ａ ２ Ｐ →， Ｄ →〉 Ｐ → ·Ａ Ｄ → 记〈 则 α ＋β ＝ Ａ Ａ Ａ ＝ θ， ＝ → → → Ａ Ｐ · Ａ Ｄ ｃ ｏ ｓ Ｐ ｃ ｏ ｓ θ＝２ Ａ θ， → Ｐ → 在向量ＡＤ → Ａ Ｐ ｃ ｏ ｓ θ 的几何含义是向量Ａ 方向上的投影 ， 注意到 Ａ 点 Ａ 与 △Ｃ Ｄ ⊥Ｅ Ｃ， Ｄ Ｅ ＝ 内（ 包括边界 ）的点的最短长度为点 Ａ 到 Ｅ Ｃ 的距 离３， 最长 长 度 为 点 Ａ 与 点 Ｄ 的 距 离 ２， 即３ ≤ ２ ２ → 故 ３ ≤α＋β ≤ ４． Ａ Ｐ ｃ ｏ ｓ θ ≤ ２， 思考六 对解法 ４ 进行反思 ， 从上述解题过