高三理科数学知识点课时复习提升检测7

课时提升练(三十六)
空间几何体的结构及其三视图和直观图
一、选择题
1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()
A．球B．三棱锥
C．正方体 D.圆柱
【解析】圆柱的三视图不同，故选D.
【答案】 D
2．给出下列三个命题：
①相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱；②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体；③底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正棱锥．其中正确的命题有()
A．1个B．2个C．3个D．0个
【解析】①是假命题，相邻侧面互相垂直不能保证侧棱垂直于底面；②是假命题，各侧面都是正方形，不能保证底面都是正方形，当底面为不是正方形的菱形时就不是正方体；③是假命题，如图所示，AB＝AC＝BC＝PB＝PC≠P A，侧面都是等腰三角形，但不是正棱锥．综上所述，故选D.
【答案】 D
3．(2018·贵州模拟)如图7-1-12是某空间几何体的直观图，则该
几何体的侧视图是()
图7-1-12
【解析】侧视图即光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，故选A.
【答案】 A
4．如图7-1-13，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是() A．正方形 B.矩形
C．菱形 D.一般的平行四边形
图7-1-13
【解析】在Rt△O′C′D′中，
O′D′＝2O′C′＝2 2.
故在平面图形中OD＝2×22＝4 2.
在Rt△ODC中，OC＝OD2＋DC2＝32＋4＝6.
所以OC＝OA，所以原图形OABC是菱形．
【答案】 C
5．(2018·延边模拟)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图
如图7-1-14所示，则相应的侧视图可以为()
图7-1-14
【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥组成的组合体，故其侧视图应为D选项．
【答案】 D
6．(2018·济南模拟)如图7-1-15是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中真命题的个数是()
图7-1-15
A．3 B.2 C．1 D.0
【解析】①②③的正视图和俯视图都与题图相同，故选A.
【答案】 A
7．(2018·北京高考)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (1,1，2)，若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D -ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )
A ．S 1＝S 2＝S 3 B.S 2＝S 1且S 2≠S 3
C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2 D.S 3＝S 2且S 3≠S 1
【解析】 如图所示，△ABC 为三棱锥在坐标平面xOy 上
的正投影，所以S 1＝12×2×2＝2.三棱锥在坐标平面yOz 上的正
投影与△DEF (E ，F 分别为OA ，BC 的中点)全等，所以S 2＝12
×2×2＝ 2.三棱锥在坐标平面xOz 上的正投影与△DGH (G ，
H 分别为AB ，OC 的中点)全等，所以S 3＝12×2×2＝ 2.所以
S 2＝S 3且S 1≠S 3.故选D.
【答案】 D
8．(2018·石家庄模拟)三棱锥S -ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图7-1-16所示，则棱SB 的长为( )
图7-1-16
A ．211 B.4 2 C.38 D.16 3
【解析】 取AC 的中点为D ，连接SD ，BD ，在Rt △SDC 中，
SD 2＝SC 2＋CD 2＝42＋22＝20，在Rt △BDC 中，SB 2＝BD 2＋SD 2＝(23)2＋20＝32，∴SB ＝42，故选B.
【答案】 B
9．(2018·贵州六校联考)已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图7-1-17所示，则其侧视图的面积为( )
图7-1-17
A ．1
B.34
C.32
D.34
【解析】 由题知，该三棱锥为正三棱锥，则其侧视图为如图所
示的三角形，其底面边长为32，高为3，则其面积为S ＝12×32×3＝34，选B.
【答案】 B
10．(2018·江门模拟)如图7-1-18，E 、F 分别是正方体
ABCD -A 1B 1C 1D 1中AD 1、B 1C 上的动点(不含端点)，则四边形B 1FDE 的俯视图可能是( )
图7-1-18
【解析】 由画几何体的三视图要求可知，点E 在底面的正投影应落在线段A 1D 1上(不含端点)，点F 在底面的正投影应落在线段B 1C 1上(不含端点)，而B 1与D 在底面的正投影分别为B 1和D 1，故四边形B 1FDE 在底面ABCD 的正投影为四边形，结合选项知选B.
【答案】 B
11．(2018·东北三省联考)已知四棱锥P -ABCD 的三视图如图7-1-19所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是( )
图7-1-19
A ．3 B.13 C ．32 D.3217
【解析】 由题可知四棱锥P -ABCD 的直观图如图所示，其中底面ABCD 为矩形，
AB ＝3，AD ＝2，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝2，则四个侧面均为直角三角形，所以AP ＝AD 2＋PD 2＝22，CP ＝CD 2＋PD 2＝
13，所以S △P AD ＝12PD ·AD ＝2，S △P AB ＝12P A ·AB ＝32，S △PBC ＝12PC ·BC ＝13，S △PDC ＝12PD ·DC ＝3，而32＞13＞3＞2，故选C.
【答案】 C
12．(2018·安阳模拟)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为( )
A ．2 2 B.2 3 C ．4 D.2 5
【解析】 如图，设长方体的长、宽、高分别为m 、n 、k ，由题意得m 2＋n 2＋k 2＝7，m 2＋k 2＝6⇒n ＝1；1＋k 2＝a, 1＋m 2＝b ，所以(a 2－1)＋(b 2－1)＝6⇒a 2＋b 2＝8，∴(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝8＋2ab ≤8＋a 2＋b 2＝16⇒a ＋b ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．故选C.
【答案】 C
二、填空题
13．等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．
【解析】如图，∵OE＝(2)2－1＝1，∴O′E′＝1
2，E′F
＝
2
4，
∴直观图A′B′C′D′的面积为S′＝
1
2×(1＋3)×
2
4＝
2
2.
【答案】
2
2
14．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下
列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
【解析】①三棱锥的正视图是三角形．
②当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形．
③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形，如图．
④对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．
⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形．
⑥圆柱不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．
【答案】①②③⑤
15．如图7-1-20是水平放置的△ABC(AD为BC边上的中线)的直观图，试按此图判定原△ABC中的四条线段AB，BC，AC，AD，其中最长的线段是________，最短的线段是________．
图7-1-20
【解析】依据规则可以判定，原△ABC为直角三角形，其中AC为斜边，故AC最长．由图可以看到A′B′＞B′D′，∴AB＞BC，∴最短的线段为BC.
【答案】AC BC
16．已知一几何体的三视图如图7-1-21所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)______．
图7-1-21
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
【解析】由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为a，高为b的长方体，这四个顶点的几何形体若是平行四边形，则一定是矩形，故②不正确．
【答案】①③④⑤。