分式方程应用专题培优
初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)
（2）若商店按售价为每个书包 元，销售完这两批书包，总共获利多少元？
15．某服装加工厂计划加工4000套运动服，在加工完1600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高 ，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
16．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
13．科幻小说《流浪地球》的销量急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次购进该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？每套进价多少元？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
11．小明家用 元网购的 型口罩与小磊家用 元在药店购买的 型口罩的数量相同， 型与 型口罩的单价之和为 元，求 两种口罩的单价各是多少元？
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为 的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前 天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）
7．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价多少元？
分式方程的应用同步培优题典(解析版)
专题5.8分式方程的应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km ”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km ”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ） A ．1.2小时B ．1.6小时C ．1.8小时D ．2小时【分析】设乙驾车时长为x 小时，则甲驾车时长为（3﹣x ）小时，根据两人对话可知：甲的速度为180xkm /h ，乙的速度为803−xkm /h ，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．【解析】设乙驾车时长为x 小时，则甲驾车时长为（3﹣x ）小时， 根据两人对话可知：甲的速度为180xkm /h ，乙的速度为803−xkm /h ，根据题意得：180(3−x)x=80x 3−x，解得：x 1＝1.8或x 2＝9，经检验：x 1＝1.8或x 2＝9是原方程的解， x 2＝9不合题意，舍去， 故选：C ．2．（2020•昆明）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（ ） A ．1600元B ．1800元C ．2000元D ．2400元【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x 元，则实际每间建设费用为1.2x 元，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可． 【解析】设原计划每间直播教室的建设费用是x 元，则实际每间建设费用为1.2x 元，根据题意得：8000+40001.2x−8000x=1，解得：x ＝2000，经检验：x ＝2000是原方程的解，答：原计划每间直播教室的建设费用是2000元， 故选：C ．3．（2020•河北模拟）某学校食堂需采购部分餐桌，现有A 、B 两个商家，A 商家每张餐桌的售价比B 商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B 商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A 商家购买餐桌的张数，则A 商家每张餐桌的售价为（ ） A ．197元B ．198元C ．199元D ．200元【分析】设A 商家每张餐桌的售价为x 元，则B 商家每张餐桌的售价为（x +20），根据“花费4400元采购款在B 商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A 商家购买餐桌的张数”列方程即可． 【解析】设A 商家每张餐桌的售价为x 元，则B 商家每张餐桌的售价为（x +20），根据题意列方程得：4000x=4400x+20，解得：x ＝200经检验：x ＝200是原方程的解， 故选：D ．4．（2020•龙岗区校级模拟）某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】设采用新工艺前每小时加工的零件数为x 个，根据题意列出方程即可求出答案． 【解析】设采用新工艺前每小时加工的零件数为x 个， 根据题意可知：12x−1=121.5x， 解得：x ＝4，经检验，x ＝4是原方程的解， 故选：B ．5．（2020•路北区一模）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，列方程为60(1−20%)x−60x=30，根据方程可知省略的部分是（ ）A ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务【分析】根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合所列分式方程，即可找出省略的条件，此题得解． 【解析】设原计划每天绿化的面积为x 万平方米， ∵所列分式方程为60(1−20%)x−60x =30，∴60(1−20%)x为实际工作时间，60x为原计划工作时间，∴省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务． 故选：C ．6．（2020•锦州二模）小亮的妈妈到超市购买大米，第一次按原价购买，用了100元，几天后，遇上这种大米按原价降低了20%出售，她用120元又购买了一些，两次一共购买了50kg ．设这种大米的原价是每千克x 元，则根据题意所列的方程是（ ） A ．100x+12020%x =50 B ．100x+120(1−20%)x=50C ．10020%x+120x=50D ．100(1−20%)x+120x=50【分析】设这种大米的原价是每千克x 元，根据两次一共购买了50kg 列出方程，求解即可． 【解析】设这种大米的原价是每千克x 元， 根据题意，得100x+120(1−20%)x=50，故选：B ．7．（2020•梁溪区校级二模）“绿水青山就是金山银山”．为改造太湖水质，某工程队对2400平方公里的水域进行水质净化，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前了40天完成任务．设实际每天净化的水域面积为x 平方公里，则下列方程中正确的是（ ） A ．2400x −2400(1+20%)x=40B ．2400x−2400×(1+20%)x=40 C ．2400×(1+20%)x −2400x=40D ．2400(1+20%)x−2400x=40【分析】直接利用提高工作效率后，提前了40天完成任务得出等式求出答案． 【解析】设实际每天净化的水域面积为x 平方公里，根据题意可得：2400×(1+20%)x−2400x=40．故选：C ．8．（2020秋•三水区校级月考）南京市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元，且用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同，求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元？若设乙种兰花的成本是x 元．则下列方程正确的是（ ） A ．1200x−100=900x B ．1200x+100=900xC ．900x+100=1200xD ．900x−100=1200x【分析】直接利用用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同得出等式求出答案． 【解析】设乙种兰花的成本是x 元，则甲种兰花的成本为（x +100）元，根据题意可得：1200x+100=900x．故选：B ．9．（2020秋•温州月考）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．李老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x 个，则下列选项中所列方程正确的是（ ） A ．900x =4001.5x +20 B ．400x =9001.5x +20 C ．9001.5x=400x+20D ．4001.5x=900x+20【分析】设购买的足球数量是x 个，则购买篮球数量是1.5x 个，根据“篮球的单价比足球的单价多20元”列出方程即可．【解析】设购买的足球数量是x 个，则购买篮球数量是1.5x 个， 根据题意，得9001.5x=400x+20．故选：C ．10．（2020春•翠屏区期中）小兰乘301公共汽车从叙州区到相距40千米的南溪区办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了35小时，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ） A ．40x+20=35×40x B ．40x =35×40x+20C ．40x+20+35=40xD ．40x=40x+20−35【分析】根据公共汽车的平均速度为x 千米/时，得出出租车的平均速度为（x +20）千米/时，再利用回来时路上所花时间比去时节省了35小时，得出分式方程即可．【解析】设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则出租车的平均速度为（x +20）千米/时， 根据题意得出：40x+20+35=40x．故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•西湖区校级月考）商场销售某种商品，1月份销售了若干件，共获利润30000元，2月份把这种商品的单价降低了0.4元，但销售量比1月份增加了5000件，从而获得的利润比1月份多2000元，求调价前每件商品的利润是多少元？解：设调价前每件商品的利润是x 元，可列出方程 ．【分析】根据题目中的数据和题意，可以列出相应的方程，等量关系是降价前的销售量+5000＝降价后的销售量．【解析】由题意可得， 所列方程为：30000x +5000=30000+2000x−0.4，故答案为：30000x+5000=30000+2000x−0.4．12．（2020•黄岛区二模）甲、乙两组学生去距学校4千米的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发20分钟后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知骑自行车速度是步行速度的3倍，设步行速度为x 千米/时，则根据题意可以列出方程 ．【分析】设步行速度为x 千米/时，则骑自行车速度为3x 千米/时，根据时间＝路程÷速度结合骑自行车的同学比步行的同学少用20分钟，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【解析】设步行速度为x 千米/时，则骑自行车速度为3x 千米/时， 依题意，得：4x −43x=2060．故答案为：4x−43x=2060．13．（2020•宿迁二模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A 的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B 的全程比路线A 的全程多7千米，但平均车速比走路线A 时能提高60%，若走路线B 的全程能比走路线A 少用15分钟，若设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，可列分式方程．【分析】设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，则走路线B 时的平均速度为（1+60%）x 千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合走路线B 的全程能比走路线A 少用15分钟（即14小时），即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，则走路线B 时的平均速度为（1+60%）x 千米/小时， 依题意，得：25x−25+7(1+60%)x =14．故答案为：25x−25+7(1+60%)x=14．14．（2020春•襄汾县期末）某工程队修建一条长1200m 的道路；采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务，设这个工程队原计划每天修建道路xm ，则列出的方程为 ． 【分析】设原计划每天修建道路x 米，则实际每天修建道路（1+50%）x 米，根据工作时间相差4天，列方程解答即可．【解析】设原计划每天修建道路x 米，则实际每天修建道路（1+50%）x 米， 根据题意，列方程为：1200x−1200(1+50%)x=4．故答案是：1200x−1200(1+50%)x=4．15．（2020春•西工区校级月考）某工程队由甲乙两队组成，承包我市河东东街改造工程，规定若干天完成，已知甲队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，乙队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两队先合作20天，剩下的甲队单独做，则延误两天完成，那么规定时间是 28 天． 【分析】设规定的时间是x 天，则甲队单独完成需要（x +32）天，乙队单独完成需要（x +12天），根据甲乙合作完成的工作量+乙独做完成的工作量＝工作总量建立方程求出其解就可以了．【解析】设规定的时间是x 天，则甲队单独完成需要（x +32）天，乙队单独完成需要（x +12天），由题意，得20×1x+12+x+2x+32=1， 解得：x ＝28．经检验，x ＝28是元方程的解． 答：规定的时间是28天． 故答案是：28．16．（2020春•越秀区期末）甲和乙同时从A 地出发，匀速行走到B 地．甲走完一半路程时，乙才走了4千米，乙走完一半路程时，甲已走了9千米．当甲走完全程时，乙未走完的路程还有 4 千米． 【分析】设A ，B 两地之间的路程为x 千米，根据两人的速度之比为定值，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论，再结合“甲走完一半路程时，乙才走了4千米”，即可求出结论． 【解析】设A ，B 两地之间的路程为x 千米，依题意，得：12x 4=912x ， 化简，得：x 2＝144， 解得：x 1＝12，x 2＝﹣12，经检验，x 1＝12，x 2＝﹣12均为原方程的解，x 1＝12符合题意，x 2＝﹣12不符合题意，舍去， ∴x ﹣4×2＝4． 故答案为：4．17．（2020•北碚区模拟）武汉某超市在疫情前用3000元购进某种干果销售，发生疫情后，为了保障附近居民的生活需求，又调拨9000元购进该种干果．受疫情影响，交通等成本上涨，第二次的进价比第一次进价提高了20%，但是第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．售卖结束后，超市决定将盈利的资金捐助给武汉市用于抗击新冠肺炎疫情．那么该超市可以捐助 5280 元．【分析】设第一次购进干果的单价为x 元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x 元/千克，根据数量＝总价÷单价结合第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，即可得出关于x 的分式方程，解之即可得出x 的值，进而即可求出第一、二次购进干果的数量，再利用利润＝销售收入﹣成本即可得出结论．【解析】设第一次购进干果的单价为x 元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x 元/千克， 根据题意得：2×3000x +300=90001.2x， 解得：x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的解， 则3000x=30005=600，90001.2x=90001.2×5=1500，1500×9+600×9×0.7﹣3000﹣9000＝5280（元）． 答：该超市可以捐助5280元． 故答案为：5280．18．（2020•沈河区一模）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是 40 元．【分析】设第一批进货的单价为x 元/件，根据第二批这种衬衫所购数量是第一批购进数量的2倍，列出方程即可解决问题．【解析】设第一批进货的单价为x 元/件， 由题意2×4000x=9000x+5， 解得x ＝40，经检验，x ＝40是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一次进货单价为40元/件， 故答案为：40．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•邗江区校级三模）某社区计划对1200m 2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为300m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？ 【分析】设乙施工队每天能完成绿化的面积是xm 2，则甲施工队每天能完成绿化的面积是2xm 2，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲、乙两队在分别独立完成面积为300m 2区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设乙施工队每天能完成绿化的面积是xm 2，则甲施工队每天能完成绿化的面积是2xm 2， 依题意，得：300x−3002x=3，解得：x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意， ∴2x ＝100．答：甲施工队每天能完成绿化的面积是100m 2，乙施工队每天能完成绿化的面积是50m 2．20．（2020春•高新区期末）2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，苏州某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．求甲、乙两厂房每天各生产多少箱口罩．【分析】设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两厂房各加工6000箱口罩时甲厂房比乙厂房少用5天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩， 依题意，得：6000x−60002x=5，解得：x ＝600，经检验，x ＝600是原分式方程的解，且符合题意， ∴2x ＝1200．答：甲厂房每天生产1200箱口罩，乙厂房每天生产600箱口罩． 21．（2020•曲靖二模）请你认真阅读如图对话，解决实际问题．请根据如图对话内容，求A 、B 两种客车各有多少个座位？试试看！【分析】设A 种客车有x 个座位，则B 种客车有（x +10）个座位，根据租A 种客车的数量﹣租B 种客车的数量＝1列出方程并解答．【解析】设A 种客车有x 个座位，则B 种客车有（x +10）个座位，根据题意得200x−280+20x+10=1．解得x 1＝40，x 2＝﹣70．经检验x 1＝40，x 2＝﹣70都是所列方程的解． 当x ＝70时，不符合题意，舍去． 当x ＝40时，x +10＝50（个）．答：A 种客车有40个座位，则B 种客车有50个座位．22．（2020•高州市模拟）新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A 、B 两种消毒液，其中A 消毒液的单价比B 消毒液的单价多40元，用3200元购买B 消毒液的数量是用2400元购买A 消毒液数量的2倍． （1）求两种消毒液的单价；（2）学校准备用不多于6800元的资金购买A 、B 两种消毒液共70桶，问最多购买A 消毒液多少桶？ 【分析】（1）设B 消毒液的单价为x 元，则A 消毒液的单价为（x +40）元，根据数量＝总价÷单价结合用3200元购买B 消毒液的数量是用2400元购买A 消毒液数量的2倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买A 消毒液y 桶，则购买B 消毒液（70﹣y ）桶，根据总价＝单价×数量结合总价不多于6800元，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解析】（1）设B 消毒液的单价为x 元，则A 消毒液的单价为（x +40）元， 依题意，得：3200x=2×2400x+40， 解得：x ＝80，经检验，x ＝80是所列分式方程的解，且符合题意， ∴x +40＝120．答：A 消毒液的单价为120元，B 消毒液的单价80元． （2）设购买A 消毒液y 桶，则购买B 消毒液（70﹣y ）桶， 依题意，得：120y +80（70﹣y ）≤6800， 解得：y ≤30．答：最多购买A 消毒液30桶．23．（2020•南岗区校级一模）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的个数是购买洗手液个数的一半．（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需要多少元；（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液个数是测温枪个数的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过670元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？【分析】（1）设购买一瓶洗手液需要x 元，则购买一个测温枪需要（x +20）元，根据用400元购买测温枪的数量是用160元购买洗手液的一半，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设该学校购买m 个测温枪，则购买（2m +8）瓶洗手液，根据总价＝单价×数量结合总价不超过670元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解析】（1）设购买一瓶洗手液需要x 元，则购买一个测温枪需要（x +20）元，依题意，得：400x+20=12×160x ，解得：x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的解，且符合题意，∴x +20＝25．答：购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．（2）设该学校购买m 个测温枪，则购买（2m +8）瓶洗手液，依题意，得：25m +5（2m +8﹣m ）≤670，解得：m ≤21．答：该学校最多可购买21个测温枪．24．（2020•松北区三模）出于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份售价比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．（1）一月份甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元的资金购进这两种手机共20台，至少购进甲型号手机多少台？【分析】（1）设一月份甲型号手机每台售价为x 元，则二月份甲型号手机每台售价为（x ﹣500）元，根据数量＝总价÷单价结合“如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元”，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进甲型号手机m 台，则购进乙型号手机（20﹣m ）台，根据总价＝单价×数量结合总价不多于7.6万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．【解析】（1）设一月份甲型号手机每台售价为x 元，则二月份甲型号手机每台售价为（x ﹣500）元， 依题意，得：90000x =80000x−500，解得：x ＝4500，经检验，x ＝4500是原方程的解，且符合题意．答：一月份甲型号手机每台售价为4500元．（2）设购进甲型号手机m台，则购进乙型号手机（20﹣m）台，依题意，得：3500m+4000（20﹣m）≤76000，解得：m≥8．答：至少购进甲型号手机8台．。
培优专题11-分式方程培优提高定稿
培优专题：分式方程一、【基础知识精讲】1.分式方程的定义：分母中含有 的方程叫分式方程。
2.解分式方程的基本思想方法: 整式方程分式方程去分母−−→−3.解分式方程的一般方法和步骤:(1)去分母,即在方程两边都乘以 ,把原方程化成 。
(2)解这个整式方程;(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母, 使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去.4．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根即增根；增根是由分式方程化成的整式方程的根，也是使最简公分母为0的根⑵ 验根：解分式方程必须验根．验根的简单方法是代入最简公分母，看最简公分母是否为0.5.列分式方程解应用题的一般步骤:(1)审:审清题意. (2)设:设未知数.(3)找:找出相等关系. (4)列:列出分式方程. (5)解: 解这个分式方程.(6)验:检验,既要验证根是否是原分式方程的根,又要检验根是否符合题意. (7)答:写出答案.二、【例题精讲】例1：分式通分六大技巧 1、逐步通分2411241111x x x x ----+++ 2、整体通分)225(423---÷--a a a a3、分组通分：2m 11-m 21m 22-m 1+--++ 4、分解简化通分：4x 2x 1x x 1x x x x 22223-+-+-+--5、裂项相消()()()()()()10099132121111--+⋅⋅⋅+--+--+-a a a a a a a6、活用乘法公式:1)x 1)(xx1)(xx1)(xx1)(xx1)(xx1(x 21616884422≠-+++++（）例2：去分母法解分式方程 1、()()113116=---+x x x 2、22416222-+=--+-x x xx x3、22412212362xx xx x xx -+++=++--- 4、64534275--+--=--+--x x x x x x x x例3：整体换元与倒数型换元：1、用换元法解分式方程：（1）6151=+++x x xx （2）12221--=+--x x xx变式练习： （11上海）用换元法解分式方程13101x x xx --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=例4：分式方程的（增）根的意义1、 若分式方程：024122=+-+-xx a 有增根，求a 的值。
分式方程的应用大题专练(重难点培优30题,七下浙教)七年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题5.9分式方程的应用大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022秋•黄石港区期末）一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地，设前一小时行驶的速度为xkm/h．（1）直接用x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为h．（2）求汽车实际走完全程所花的时间；（3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以mkm/h的速度行驶，另一半路程以nkm/h的速度行驶（m ≠n），朋友提醒他一半时间以mkm/h的速度行驶，另一半时间以nkm/h的速度行驶更快，你觉得谁的方案更快？请说明理由．2．（2022•长兴县开学）干挑面是长兴美食一张名片，某面馆推出两款经典美食干挑面，一款是色香味俱全的“海鲜干挑面”，另一款是清香四溢的“排骨干挑面”．已知2份“海鲜干挑面”和1份“排骨干挑面”需68元；1份“海鲜干挑面”和2份“排骨干挑面”需61元．（1）求“海鲜干挑面”和“排骨干挑面”的单价；（2）猪油是两款美食必不可少的配料，该面馆老板发现本月的每千克猪油价格比上个月涨了25%，同样花240元买到的猪油数量比上个月少了2千克，求本月猪油的价格．3．（2022春•嵊州市期末）嵊州榨面是嵊州美食的一张名片，某面馆推出两款经典美食榨面，一款是色香味俱全的“炒榨面”，另一款是清香四溢的“汤水榨面”．已知2份“炒榨面”和1份“汤水榨面”需46元；1份“炒榨面”和2份“汤水榨面”需38元．（1）求“炒榨面”、“汤水榨面”的单价．（2）鸭蛋是两款美食必不可少的配料，该面馆老板发现本月的每千克鸭蛋价格比上个月涨了25%，同样花160元买到的鸭蛋数量比上个月少了2千克，求本月鸭蛋的价格．4．（2022春•嘉兴期末）某商店3月份购进一批PVC手套，进价合计1000元．因为3月份全部售完，商店又在4月份购进一批同品牌的PVC手套，进价合计2400元，数量是3月份的2倍，但每双进价涨了1元．（1）3月份每双PVC手套的进价为多少元？（2）商店将3月份和4月份购进的PVC手套全部售完后，共获利润（销售收入减去进价总计）1400元．若3月份和4月份该商店这种手套的售价均高于进价，且售价为整数，求商店这种手套3月份和4月份的售价分别是多少元？5．（2022春•慈溪市期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种．已知购买1个小套装比购买1个大套装少用70元，用300元购买小套装和用720元购买大套装的个数相同．（1）求这两种套装的单价分别为多少元？（2）某校计划用1700元的资金购买这种陶制品小套装和大套装共20个作为奖品，则该校可以购买大小套装各几个？6．（2022春•拱墅区期末）为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，明信片的进价为6元/套．一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花150元购买的吉祥物钥匙扣数量与花50元购买的明信片数量相同．（1）求吉祥物钥匙扣和明信片的售价．（2）为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利80元，请问有几种购买方案．7．（2022春•宁波期末）为开展“光盘行动”，某学校食堂规定：每天午餐“光盘”的学生，餐后可获得奖品香蕉和橘子．两天时间里，学校食堂采购奖品香蕉和橘子分别花费了400元和600元，已知这两天食堂所采购的香蕉比橘子少10千克，香蕉单价是橘子单价的80%．（1）橘子和香蕉的单价分别是每千克多少元？（2）若每千克香蕉有8根，每千克橘子有10只，且第一天每人可获得1根香蕉和3只橘子，第二天每人可获得2根香蕉和2只橘子，则这两天分别有多少学生获得奖品？8．（2022春•萧山区月考）现有甲、乙、丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克数和单价如表．甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数10 20 20 单价（元/千克） m n 15（1）已知3kg 甲种糖、2kg 乙种糖与1kg 丙种糖，需要130元；2kg 甲种糖、3kg 乙种糖，需要110元，求表中m ，n 的值．（2）若商店以糖的平均价格作为什锦糖的单价，求这50kg 什锦糖的单价．（3）要使什锦糖的单价每千克提高1元，问需要加入甲种糖多少千克？9．（2022春•拱墅区期末）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．已知乙种品牌奖品的单价比甲种品牌奖品的单价的3倍少50元，用600元购买甲种品牌奖品的数量与用800元购买乙种品牌奖品的数量相同．（1）求甲、乙两种品牌奖品的单价各是多少元？（2）若该学校一次性购买甲、乙两种品牌的奖品共60个，且总费用为2000元，求购买了多少个乙种品牌奖品？10．（2022•定海区校级开学）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．（1）求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；（2）在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？11．（2021秋•台州期末）某公司生产一种工件，通过自动化技术改造，既增加了每周的产量，又提高了产品的优等率．（1）技术改造的前后两周，该公司生产的这种产品的优等率分别为80%和98%，这两周生产的产品的平均优等率会是80%+98%2=89%吗？设出必要的字母表示相关的量，通过计算说明理由．（2）如果技术改造前一周的产量为500件，产品优等率为80%；技术改造后一周的产品的优等率提高到了98%．这样，这两周生产的产品的平均优等率达到90%．问：技术改造后一周的产量比技术改造前一周增加了多少件？12．（2022•北仑区二模）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．（1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？（2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）13．（2021秋•温岭市期末）杭绍台高铁开通后，相比原有的“杭甬﹣﹣甬台”铁路，全程平均速度提高了50%，温岭站到杭州东站的里程缩短了50km．行车时间减少了50分钟．测得杭绍台高铁从温岭站到杭州东站全程共skm．（1）求杭绍台铁路的平均速度（用含s的式子表示）；（2）因设计原因，列车在杭甬线的平均速度与在杭绍台的平均速度相同，杭甬线与甬台线的线路里程之比为4：5，求列车在甬台线的平均速度．14．（2021春•镇海区校级期末）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元．甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高50%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？15．（2021春•长兴县期末）为开展“光盘行动”，某学校食堂规定，每天午餐“光盘”的学生，餐后可获得免费香蕉一只或免费橘子两只作为奖励．在两天时间里，学校食堂花费1800元采购了单价相同的香蕉若干千克，花费1500元采购了单价相同的橘子若干千克用于奖励，并刚好全部奖励完．已知这两天采购的香蕉比橘子多75千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低20%．（1）求橘子的采购单价；（2）若平均每千克香蕉有8只，每千克橘子有12只，第二天获得奖励的学生人数比第一天的3倍少100人，问这两天分别有多少学生获得奖励？16．（2021春•海曙区期末）某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元，因畅销，商店又于4月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计18.75万元，数量是3月份的1.5倍，但每件进价涨了5元．这两批T 恤衫开始都以每件180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打八折出售，很快售完，问：3，4月份一共购进多少件T恤衫？商店售完后可获利润（销售收入减去进价总计）多少元？17．（2021春•开化县期末）我校组织七年级同学上午8：00乘车前往离学校120千米的开化“根博园”开展研学活动，共租了若干辆大巴车，若每辆车坐45人，则余下30人没有车坐；若每辆车坐50人，则最后一辆车还剩10个座位．（1）七年级共有多少学生？共租了几辆大巴车？（2）张老师因有事情，8：30从学校自驾汽车以大巴车1.6倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比车队提前15分钟到达“根博园”，求张老师追上大巴车的地点到“根博园”的路程．18．（2021春•镇海区校级期中）某工厂计划在规定时间内生产27000个零件．若每天比原计划多生产60个零件，则在规定时间内可以多生产600个零件．（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比10个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前一天完成27000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．19．（2021春•滨江区校级期末）在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要时间比规定时间早25天，乙单独完成这项工程需要时间比规定时间多20天．若由甲乙两队先合作10天，剩下的工程由乙队单独做，正好在规定时间内完成（既没提前，也没延后）．（1）求规定时间是多少天？（2）乙队单独施工2天后，甲队开始加入合作，合作时，甲队的人数增加了10%，每个人的效率提高了3a%，同时乙队的人数增加了a%，每个人的效率提高了40%，结果合作20天完成了任务，求a的值（假设每队每人的效率相等）．20．（2021春•上虞区期末）随着5G 网络技术的快速发展，市场对5G 产品的需求越来越大．某5G 产品生产厂家承接了27000个电子元件的生产任务，计划安排甲、乙两个车间共50名工人，合作生产20天完成．已知甲车间每人每天生产25个，乙车间每人每天生产30个．（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人将参与生产？（2）为提前完成生产任务，该厂家设计了两种生产方案：方案1：甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变；方案2：乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．若设计的这两种生产方案，厂家完成生产任务的时间相同，求乙车间需要临时招聘的工人数．21．（2021春•东阳市期末）某社区拟建A 、B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A 类比B 类多2平方米．建A 类、B 类摊位每平方米的费用分别为40元、30元．若用60平方米建A 类或B 类摊位，则A 类摊位的个数恰好是B 类摊位个数的35． （1）求每个A 、B 类摊位的占地面积．（2）已知该社区规划用地70平方米建摊位，且刚好全部用完．①请写出建A 、B 两类摊位个数的所有方案，并说明理由．②请预算出该社区建成A 、B 两类摊位需要投入的最大费用．22．（2021春•宁波期末）某生态柑橘园现有柑橘31吨，租用9辆A 和B 两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A 型货车的总费用500元，B 型货车的总费用480元，每辆B 型货车的运费是每辆A 型货车的运费的1.2倍．（1）每辆A 型货车和B 型货车的运费各多少元？（2）若每辆车满载时，租用1辆A 型车和7辆B 型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A 型货车和B 型货车各运多少吨？23．（2021春•慈溪市期末）端午节前夕，肉粽的单价比蜜枣粽的单价多4元，用200元购买肉粽与用100元购买蜜枣粽的只数相同．（1）肉粽和蜜枣粽的单价分别是多少元？（2）某商铺端午节前夕用800元购买了肉粽和蜜枣粽；端午节后由于肉粽单价打了6折，蜜枣粽的单价打了5折，该商铺又买了与节前同样数量的肉粽和蜜枣粽，只花了420元．求该商铺每次购买肉粽和蜜枣粽的只数．24．（2022秋•东湖区期末）某单位在疫情期间用8000元购进A 、B 两种口罩共3400个，已知A 种口罩的单价是B 种口罩单价的1.25倍，且购买A 种口罩的总金额是购买B 种口罩总金额的3倍；（1）求A ，B 两种口罩的单价各是多少元？（2）若计划用不超过15000元的资金再次购进A 、B 两种口罩共7000个，已知A 、B 两种口罩的单价不变，求A 种口罩最多能购进多少个？25．（2022秋•利川市期末）利川工夫红茶采制工艺精细，大致分为采摘、初制和精制三个主要过程．现有甲、乙两采摘队在同一块茶田采摘茶叶，甲队比乙队每小时多采摘30kg ，甲队采摘300kg 所用的时间与乙队采摘240kg 所用的时间相同．（1）甲、乙两队每小时各采摘多少kg 茶叶？（2）如果甲队单独采摘3个小时完成了整块田的14，这时乙队加入进来，两队还要用多少小时完成这块田的采摘任务？26．（2022秋•招远市期末）小李从A 地出发去相距4.5千米的B 地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度；（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前3分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？27．（2022秋•河西区期末）八年级甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ （Ⅰ）若设甲班每小时种x 棵树，利用题目中的条件填写表格；植树总数 所用时间（时） 甲班60 乙班（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．28．（2022秋•荣昌区期末）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，县委县政府积极响应，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．（1）求原计划每天铺设路面多少米？（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？29．（2022秋•天河区校级期末）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成这项工程需要120天，若先由乙队单独做20天，余下的工程由甲、乙两队合做，36天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.6万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，该工程是由甲队或乙队单独完成省钱，还是由甲、乙两队全程共同完成省钱？说明理由．30．（2022秋•丛台区校级期末）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：（1）规定日期是多少天？（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．。
八年级分式与分式方程培优专题
八年级分式与分式方程培优专题
1.无论x取何值，分式都有意义的是C。
2.当x=-a时，分式的值为零。
3.当x=2时，分式的值为零。
4.（1）xy+yz+zx/15x+3xy-5y=3，求的值。
2）若x/y=y/z=z/x，求x^3/y^3的值。
5.甲种什锦糖的单价较高，因为10千克A种糖和10千克B种糖混合而成的甲种什锦糖的单价为(10a+10b)/(10+10)=a+b 元/千克，而乙种什锦糖的单价为(100a+100b)/(100+100)=a+b 元/千克，两者单价相同，但甲种什锦糖的混合比例更合理，因此其单价较高。
6.当a-6a+9与|b-1|互为相反数时，(a^2+b^2)/(a^2-b^2)的值为-4.
7.（1）(1/2)x^2-4x+8
2）1/[(x(x+1)(x+2))(x+2)(x+3)(x+9)(x+10)]
8.解方程：x=2或x=-3/2.
9.解方程：x=1或x=-3.
10.如果关于x的方程(-3/2)x-3/(2m)=1有增根，则m的值等于-2.
11.当m=1/2时，关于x的方程2mx^3+2=0会产生增根。
12.设轮船在静水中的速度为v，水流速度为u，则由题意可列出以下方程组：
80/(v+u)+42/(v-u)=7
40/(v+u)+70/(v-u)=7
解得v=28千米/小时，u=6千米/小时。
13.XXX单独完成工程所需的天数为x，乙队单独完成所需天数为y，则由题意可列出以下方程组：
y/x=2
1/x+2/(x+y)=1
解得x=3天，y=6天。
分式方程同步培优题典(解析版)
专题5.6分式方程姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•郏县期末）下列关于x 的方程是分式方程的为（ ） A ．3+x2−x =2+x5B ．12+x =1−2x C ．xπ+1=2−x3D ．2x−17=x2【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【解析】A 、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； B 、方程分母中含未知数x ，故是分式方程； C 、方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数； D 、方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选：B ．2．（2019秋•嘉定区期末）下列关于x 的方程：1x+x ＝1，x3+3x 4=25，1x−1=4x，x 2−1x+1=2中，分式方程的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由分式方程的定义可知：x3+3x 4=25不是分式方程．【解析】x3+3x 4=25不是分式方程，是整式方程，故选：C ．3．（2020•滨城区二模）下列数值是方程3x−1=1−11−x根的是（ ）A ．1B ．3C ．0D ．﹣1【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解； 【解析】方程整理得：3x−1−1x−1=1，去分母得：2＝x ﹣1，解得：x＝3，经检验x＝3是原分式方程的根，所以，3是方程3x−1=1−11−x的根，故选：B．4．（2020春•上蔡县期末）方程1x−1−32x+3=0的解的情况为（）A．x＝2B．x＝3C．x＝6D．x＝8【分析】根据解分式方程的方法，求出分式方程1x−1−32x+3=0的解即可，注意验根．【解析】去分母，可得：2x+3﹣3（x﹣1）＝0，去括号，得：2x+3﹣3x+3＝0，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解．故选：C．5．（2020春•龙华区校级月考）解分式方程2x−1=1x，两边要同时乘以（）A．x﹣1B．x C．x（x﹣1）D．x（x+1）【分析】找出分式方程各分母的最简公分母即可．【解析】解分式方程2x−1=1x，两边要同时乘以x（x﹣1）．故选：C．6．（2020春•永春县期末）方程3x+1=2x−1的解是（）A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：3（x﹣1）＝2（x+1），去括号得：3x﹣3＝2x+2，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：B．7．（2020春•卧龙区期中）分式方程xx−1−2=k1−x去分母后，正确的是（）A ．x ﹣2＝kB ．x ﹣2＝﹣kC ．x ﹣2（x ﹣1）＝kD ．x ﹣2（x ﹣1）＝﹣k【分析】分式方程变形后，去分母得到结果，即可作出判断． 【解析】分式方程变形得：x x−1−2=−kx−1，去分母得：x ﹣2（x ﹣1）＝﹣k ． 故选：D ．8．（2020•广元）按照如图所示的流程，若输出的M ＝﹣6，则输入的m 为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．﹣1【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m 的值，从而可以解答本题． 【解析】当m 2﹣2m ≥0时，6m−1=−6，解得m ＝0，经检验，m ＝0是原方程的解，并且满足m 2﹣2m ≥0， 当m 2﹣2m ＜0时，m ﹣3＝﹣6，解得m ＝﹣3，不满足m 2﹣2m ＜0，舍去． 故输入的m 为0． 故选：C ．9．（2020•遵化市三模）解分式方程：x−1x−3=2+2x−3的步骤为：①方程两边同时乘最简公分母（x ﹣3）；②得整式方程：x ﹣1＝2（x ﹣3）+2；③解得x ＝3；④故原方程的解为3．其中有误的一步为（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】检查解分式方程步骤，发现第四步错误，原因是没有检验． 【解析】解分式方程：x−1x−3=2+2x−3的步骤为：①方程两边同时乘最简公分母（x ﹣3）； ②得整式方程：x ﹣1＝2（x ﹣3）+2； ③解得x ＝3； ④故原方程的解为3．其中有误的一步为④． 故选：D ．10．（2020春•安吉县期末）对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Max {a ，b }表示a ，b 中的较大的值，如Max {2，4}＝4，按照这个规定，方程Max {1x，2x }＝1−3x 的解是（ ）A ．x ＝4B ．x ＝5C ．x ＝4或x ＝5D ．无实数解【分析】根据1x与2x的大小关系，取1x与2x中的最大值化简所求方程，求出解即可． 【解析】当1x＞2x，即x ＜0时，方程为1x=1−3x ，去分母得：1＝x ﹣3， 解得：x ＝4（舍去），当1x＜2x，即x ＞0时，方程为2x=1−3x，去分母得：2＝x ﹣3， 解得：x ＝5，经检验，x ＝5是分式方程的解． 故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2020•海东市三模）分式方程x+2x−1+1=0的解为 x =−12．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：x +2+x ﹣1＝0， 解得：x =−12，经检验x =−12是分式方程的解． 故答案为：x =−12． 12．（2020春•泉州月考）方程21−x=1的解是 x ＝﹣1 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：2＝1﹣x ，解得：x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是分式方程的解． 故答案为：x ＝﹣1． 13．（2020•济南）代数式3x−1与代数式2x−3的值相等，则x ＝ 7 ．【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可． 【解析】根据题意得：3x−1=2x−3，去分母得：3x ﹣9＝2x ﹣2， 解得：x ＝7，经检验x ＝7是分式方程的解． 故答案为：7．14．（2020春•青岛期末）小颖在解分式方程x−2x−3=△x−3+2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是 1 ．【分析】由分式方程无解，得到x ﹣3＝0，即x ＝3，分式方程去分母转化为整式方程，把x ＝3代入计算即可求出所求．【解析】去分母得：x ﹣2＝△+2（x ﹣3）， 由分式方程无解，得到x ﹣3＝0，即x ＝3， 把x ＝3代入整式方程得：△＝1． 故答案为：1．15．（2020•樊城区模拟）定义：a *b =ab，则方程2*（x +3）＝1*（x +3）的解为 无解 ． 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【解析】根据题中的新定义得：2x+3=1x+3，去分母得：2＝1， 则此方程无解． 故答案为：无解．16．（2020春•梁平区期末）若关于x 的分式方程m x−2=1−x 2−x−3无解，则实数m 的值是 1 ．【分析】先按照解分式方程的步骤，用含m 的式子表示出x 的值，再根据原方程无解，得出关于m 的方程，解得m 的值即可．【解析】关于x 的分式方程m x−2=1−x 2−x−3两边同时乘以（x ﹣2）得：m ＝x ﹣1﹣3（x ﹣2）， ∴m ＝x ﹣1﹣3x +6， ∴2x ＝5﹣m ， ∴x =5−m2， ∵原方程无解， ∴5−m 2=2，∴m ＝1． 故答案为：1．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）若关于x 的分式方程x x−2−m =2m2−x无解，则m 的值为 1或﹣1 ． 【分析】将分式方程化成整式方程，按照一元一次方程无解的条件及分式方程无解的条件求得m 的值即可． 【解析】方程x x−2−m =2m2−x 两边同时乘以（x ﹣2）得：x ﹣m （x ﹣2）＝﹣2m ， 整理得：（1﹣m ）x ＝﹣4m ， ∵无解，∴1﹣m ＝0，即m ＝1时，方程无解；当x ﹣2＝0时，方程也无解，此时x ＝2，则有x =−4m1−m =2， ∴﹣4m ＝2﹣2m ， ∴m ＝﹣1．故答案为：1或﹣1．18．（2018秋•沛县期末）观察分析下列方程：①x +2x=3；②x +6x=5；③x +12x=7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n 个方程是 x +n(n+1)x =n +（n +1） ． 【分析】方程中的分式的分子变化规律为：n （n +1），方程的右边的变化规律为n +（n +1）． 【解析】∵第1个方程为x +1×2x =1+2， 第2个方程为x +2×3x =2+3，第3个方程为x+3×4x=3+4，…∴第n个方程为x+n(n+1)x=n+（n+1）．故答案是：x+n(n+1)x=n+（n+1）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•皇姑区校级月考）解分式方程：−5x−3=2+x3−x−1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：﹣5＝﹣2﹣x﹣x+3，解得：x＝3，经检验x＝3是增根，分式方程无解．20．（2020春•历下区期末）解方程：（1）1x−1=1x2−1；（2）1x−3=x−2x−3+1．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】（1）去分母得：x+1＝1，解得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解；（2）去分母得：1＝x﹣2+x﹣3，解得：x＝3，经检验x＝3是增根，分式方程无解．21．（2020春•梁平区期末）解下列分式方程：（1）1a+1+32−a=0；（2）xx+1=2x3x+3+1．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】（1）去分母得：2﹣a +3（a +1）＝0， 解得：a =−52，经检验a =−52是分式方程的解； （2）去分母得：3x ＝2x +3x +3， 解得：x =−32，经检验x =−32是分式方程的解．22．（2020•富阳区一模）若关于x 的分式方程m−3x−1=1的解为x ＝2，求m 的值，【分析】方程两边都乘以x ﹣1得到整式方程，解之求得x ＝m ﹣2，结合x ＝2求解可得． 【解析】方程两边都乘以x ﹣1，得：m ﹣3＝x ﹣1， 解得x ＝m ﹣2， ∵x ＝2， ∴m ﹣2＝2， 解得m ＝4．23．（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3+mx x 2−9=3x+3．（1）若该分式方程有增根，则增根为 x 1＝3，x 2＝﹣3 ． （2）在（1）的条件下，求出m 的值，【分析】（1）分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x 2﹣9＝0，故方程产生的增根有两种可能：x 1＝3，x 2＝﹣3；（2）由增根的定义可知，x 1＝3，x 2＝﹣3是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m 的值． 【解析】（1）2x−3+mx x 2−9=3x+3，方程两边都乘（x +3）（x ﹣3）得2（x +3）+mx ＝3（x ﹣3） ∵原方程有增根， ∴x 2﹣9＝0，解得x 1＝3，x 2＝﹣3．故答案为：x 1＝3，x 2＝﹣3； （2）当x ＝3时，m ＝﹣4， 当x ＝﹣3时，m ＝6． 故m 的值为﹣4或6．24．（2020•潍坊三模）关于x 的方程：ax+1x−1−21−x=1．（1）当a ＝3时，求这个方程的解； （2）若这个方程有增根，求a 的值．【分析】（1）把a 的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x 的值，代入整式方程即可求出a 的值． 【解析】（1）当a ＝3时，原方程为3x+1x−1−21−x=1，方程两边同时乘以（x ﹣1）得：3x +1+2＝x ﹣1， 解这个整式方程得：x ＝﹣2，检验：将x ＝﹣2代入x ﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0， ∴x ＝﹣2是原方程的解；（2）方程两边同时乘以（x ﹣1）得ax +1+2＝x ﹣1，即（a ﹣1）x ＝﹣4， 当a ≠1时，若原方程有增根，则x ﹣1＝0， 解得：x ＝1，将x ＝1代入整式方程得：a +1+2＝0， 解得：a ＝﹣3， 综上，a 的值为﹣3．。
分式方程应用专题培优
分式方程应用专题培优【温故而知新】1、解方程（1）.－2= + . （2）. + = .2、关于x 的分式方程1131=-+-x x m 的解为正数，求m 的取值范围。
3．关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根，求m 的值。
4.当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解？5、关于x 的方程42212-=-+x m x x 的解也是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-8)3(2221x x x x 的一个解，求m 的取值范围。
[应用题专项练习]1、老城街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的32；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.；求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？2.某工厂为了完成供货合同,决定在一定天数内生产原种零件400个,由于对原有设备进行了技术改进,-提高了生产效率,每天比原计划增产25%,结果提前10天完成了任务.原计划每天生产多少个零件?3、某项工程如果甲单独做，刚好在规定的日期内宛成，如果乙单独做，则要超出规定日期3天，现在先由甲、乙两人合做两天后，剩下的任务由乙完成，也刚好能按做时完式，问规定的日期是几天？4、 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需会甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元。
（1） 求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2） 若工期要求不超过15天完成全部工程，问：可由哪个单独承包此项工程花钱最少？请说明理由。
5.一个水池有甲乙两个进水管，甲管注满水池比乙管快4小时，如果单独放甲管5小时，再单独开放乙管6小时，就可以注满水池的一半，求单独开放一个水管，注满水池各需多长时间？6、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所需要的时间相同，已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
专题5.8 分式与分式方程章末八大题型总结(培优篇)
专题5.8分式与分式方程章末八大题型总结（培优篇）【北师大版】【变式1-3］（2023上•上海浦东新•八年级上海市民办新竹园中学校考阶段练习）已知y=V-,无论X取Jx2+2x-c 任何实数，这个式子都有意义，则C的取值范围.【题型2利用分式的基本性质解决问题】【例2】（2023下•河南南阳•八年级统考期中）下列代数式变形正确的是（）A2α+l2a r.x-y-x+y C 0.2X 2x aa2A.--=—B. ---------- = --------C. -------------------- =--------D.—=—b+lb x+yx+y 0.1x+2yx+2y bb2【变式2-1］（2023下•重庆万州•八年级重庆市万州第一中学校联考期中）把分式守的彳、y均缩小为原来X y的10倍后，则分式的值（）A.为原分式值的VB.为原分式值的工C.为原分式值的IO倍D.不变【变式2-3］（2023下•江苏南京•八年级校联考期末）若分式空的值为6,当小），都扩大2倍后，所得分式x-y 的值是.【题型3分式的化简求值】【例3】（2023下•江苏盐城•八年级景山中学校考期中）先化简，再求值：（9+£）+麦£，其中X满足/+2x-2026=0【变式3-1］（2023上•湖南岳阳•八年级统考期中）先化简，再求值：（岩+5τ）÷衰驾T其中一1≤%V2且X为整数.请你选一个合适的X值代入求值.【变式3-2］（2013・重庆・中考真题）先化简，再求值：（F-E）+/",其中X是不等式3x+7>l的负整数解.【变式3・3】（2023上•广西柳州•八年级校考期中）已知第2-IOx+25与∣y-3|互为相反数，求供）•立A÷—的值.y s x+y【题型4比较分式的大小】【例4】（2023•河北石家庄•统考二模）要比较A=含与B=等中的大小（X是正数），知道A-8的正负就可以判断，则下列说法正确的是（）A.A≥BB.A>BC.A≤BD.A<B【变式4-1］（2023下•江苏扬州•八年级南海中学阶段练习）己知：4=安,8=Wα+2a+4（1）若A=I—”;，求m的值；Q+2（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；（3）若a>0,比较A与B的大小关系.【变式4-2］（2023上•河北唐山•八年级统考期末）由（点一3值的正负可以比较A=瞪与《的大小，下列正确的是（）A.当c=-3时，力=1B.当C=O时，4≠C.当CV-3时，λ>|D.当CVO时，½<|【变式4-3］（2023下,江苏泰州•八年级校考阶段练习）已知等式秒-2y-2=0（1）①用含工的代数式表示y；②若小y均为正整数，求％、y的值；（2）设P=,八：，°、，Q=中，％，力分别是分式之中的工取与、A（x z>%ι>2）时所对应的值，试比较（Xl-2）+g-2） 2 X-2p、q的大小，说明理由.【题型5解分式方程的一般方法】【例5】（2023上•湖北恩施•八年级统考期末）解下列方程：α⅛⅛=至Q脸T=（AI短2）•【变式5-1］（2023下•浙江绍兴•八年级统考期末）如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样.则图中被污染掉的工的值是—.【变式5-2］（2023上•湖南怀化•八年级校考期中）解下列分式方程（1篇=20：（2七+±=1.【变式5-3］（2023上•河南省直辖县级单位•八年级校联考期末）同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的.其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石.相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益.小王在复习时发现一道这样的错题：解方程：I-黑=三解：ι-⅛⅛=三®1—(x+3)=-4%②1-X-3=-4x@-X+4x=-1+3@3%=2⑤X=j©(1)请你帮他找出这道题从第步开始出错；(2)请完整地解答此分式方程；(3)通过解分式方程，你获得了哪些活动经验？(至少要写出两条)【题型6裂项相消法解分式方程】[例6](2023上•广东珠海•八年级统考期末)李华在计算时,探究出了一个“裂项”的方法,⅛11≈A÷A+A=1×Z 2×33×4I-；+Σ-1+|-I=I-Z=P利用上面这个运算规律解决以下问题：22334 44(D求+τ^z+的值；5×66×77×8(2)证明：~+---+…+~~—I--1—<1：1×2 2×3 3×4(n-l)nn(n+l)(3)解方程：；(X+98)(X+1OO)-X+100,【变式6・3】(2023上•上海浦东新•八年级校考阶段练习)化简下式：(I)X(X+1)+(x+l)(x+2)+ +(x÷2004)(x+2005)(2) —+√-÷-τ1—+-ξ-j—X2-4X+3X2-I X2+4X+3 X2+8X+15(3)分式方程』+,一]=1的解是_________________________ (请直接写出答案)x(x+2) (x+2)(x÷4)2X【题型7利用通分或约分代入求分式的值】ab a-2ab-b【题型8利用倒数法求分式的值】【例8】（2023上•湖北咸宁•八年级统考期末）【阅读理解】阅读下面的解题过程：己知：品二，求总的值. 解：由岛=1知％*0，,子=3，即％+：=3①.・.=1=/+∙⅛=（%+邛-2=32-2=7②，故圣的值为"X2X2∖X）X4+l 7（1）第①步由子=3得到"+：=3逆用了法则：；第②步/+妥=1+丁-2运用了公式:；（法则，公式都用式子表示）【类比探究】（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知TJ=-1,求4I的值;X2-3X+1 X4-7X2+1【拓展延伸】（3）已知工+：=（，"U1+1=⅛求的值・ab6bc9ac15ab+bc+ac【变式8-1］（2023•山东滨州•八年级期末）（1）已知实数。
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分式方程应用专题培优
1、老城街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3
2；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.；求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
2.某工厂为了完成供货合同,决定在一定天数内生产原种零件400个,由于对原有设备进行了技术改进,-提高了生产效率,每天比原计划增产25%,结果提前10天完成了任务.原计划每天生产多少个零件?
3、某项工程如果甲单独做，刚好在规定的日期内完成，如果乙单独做，则要超出规定日期3天，现在先由甲、乙两人合做两天后，剩下的任务由乙完成，也刚好能按做时完式，问规定的日期是几天？
4某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的3
2，厂家需付甲、丙两队共5500元。
（1） 求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2） 若工期要求不超过15天完成全部工程，问：可由哪个单独承包此项工程花钱最少？请说明理由。
5.一个水池有甲乙两个进水管，甲管注满水池比乙管快4小时，如果单独放甲管5小时，再单独开放乙管6小时，就可以注满水池的一半，求单独开放一个水管，注满水池各需多长时间？
6、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所需要的时间相同，已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
7.一列客车长200米一列货车长280米,在平行轨道上相向而行,从车头相遇到车尾相离一共经过8秒钟.已知客车与货车的速度之比为5∶3.求两车的速度.
8、如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程
为3km，王老师家到学校的路程为0.5km，由于小明的父母战斗在抗“非典”
第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老
师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20min，问
王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少?
9、一小船由A港到B顺流航行需6小时，由B港到A港逆流航行需8小时，小船从早晨6时由A港到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小时后找到救生圈。
问：（1）若小船顺水由A港漂流到B港需要多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？
10.将总价为200元的甲种糖果与总价值为480元的乙种糖果混合后,其单价比甲种糖果的单价低0.30
元,而比乙种糖果的单价高0.10元.问混合后的单价是多少元?
11．某商店经销一种商品，由于进货价降低了6.4%，使利润率提高了八个百分点，求原来经销这种商品的利润率是多少？
12．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨。
问：（1）乙车每次所运货物是甲车每次所运货物量的几倍？
（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运1吨付运费20元计算）。
13、某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？。