平面一般力系平衡问题求解
第06次课平面一般力系的平衡方程
FAy 5.5
10
平面一般力系的平衡方程
总结列平衡方程技巧：
1、选未知力与投影轴垂直；
2、矩心选在部分未知力作用线交点上。
2019年4月21日
11
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例3 水平梁AB受力系作用及尺寸如图示。
已知：a、q、M、F、α 求：A、B处约束力。
q
C
M
F
M C ( Fi ) 0
条件：
2019年4月21日
A,B,C三点不共线
5
平面一般力系的平衡方程
4、平面平行力系平衡方程
Fy 0
M O ( Fi ) 0
y
o
y
F2
F1
Fi
Fn
x
x
o
2019年4月21日
6
平面一般力系的平衡方程
5、例题
解题步骤：
（1）选取研究对象； （2）分力分析，画受力图；
α B D
A
a
2a
a
2019年4月21日
12
平面一般力系的平衡方程
例4 某零件由两段相互垂直的等截面均质细杆 构成。其中BC=2AB。现用细绳将A端悬挂如图。 求BC段与水平线之间的夹角α。
解： 研究对象：杆ABC
受力分析：如图所示
设材料的密度为ρ、截面积为S AB段长度为L，则：
FT
A
P
B
P SL
F
2019年4月21日
y
0
FAy FB F 0 FAy F FB 4kN
8
例2 简易起重机，尺寸如图。
Q 5(kN ), P 9(kN ),
平面一般力系的平衡方程及其应用
MB 0
W1
l 2
W
l
x
FAyl
0
得
FAy 7k N
Y 0
F T
sin
FAy
W1
W
0
得
FT 34k N
X 0 FAx FT cos 0
得
FAx FT cos 29.44k N
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
4) 讨论。 本题若列出对A、B两点的力矩方程 和在x轴上的投影方程，即
F，平衡锤重WQ，已知W、F、a、b、e、l，欲使起重机满载和空载
时均不致翻倒，求WQ的范围。
目录
力系的平衡\平面力系的平衡方程及其应用 【解】 1）考虑满载时的情况 受力如图所示。 列平衡方程并求解 MB=0 WQmin（a+b）WeFl=0
得 We F l
WQmin a b
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
理论力学
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡方程及其应用
1.1 平面一般力系的平衡方程
1. 基本形式 如果平面力系的主矢和对平面内任一点的主矩均为零，则力系
平衡。反之，若平面力系平衡，则其主矢、主矩必同时为零（假如 主矢、主矩有一个不等于零，则平面力系就可以简化为合力或合力 偶，力系就不平衡）。因此，平面力系平衡的充要条件是力系的主 矢和对任一点的主矩都等于零，即
应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的步骤如下： 1) 取研究对象。根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研 究对象。 2) 画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。 3) 列平衡方程。适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程。 4) 解方程。 在列平衡方程时，为使计算简单，通常尽可能选取与力系中多 数未知力的作用线平行或垂直的投影轴，矩心选在两个未知力的交 点上；尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数。
建筑力学平面一般力系的平衡方程及其应用
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能 转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
例4-4 梁AB一端是固定端支座，另一端无
约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
在使用三力矩式计算出结果后，可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m，集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m
建筑力学 平面一般力系的平衡
Fcy F 2 sin 60 F ND 20 0.866 8.66 8.66kN
（2） 取梁AC为研究对象,受力图如图(c)
M
A
(F
)
0,
F1
2
F
' Cy
6
F
NB
4
0
F
NB
F1 2
F
' Cy
4
6
10 2
8.66 6 4
17.99kN()
F
x
0,
F
Ax
F
' Cx
0
F
Ax
F
' Cx
10kN()
（1） 取梁CD 为研究对象,受力图如图（b）
M C (F ) 0, F 2 sin 60 2 F ND 4 0
F
ND
sin
60
2
8.66 k N()
F x 0, Fcx F 2 cos60 0
Fcx F 2 cos60 20 0.5 10kN
F y 0, F cy F ND F 2 sin 60 0
F
y
0,
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
0
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
17.99
10
8.66
0.67k
N()
求解物体系统平衡问题的要领如下： （1） “拆”：将物体系统从相互联系的地方拆开，在拆开的地方用 相应的约束力代替约束对物体的作用。这样，就把物体系统分解为若 干个单个物体，单个物体受力简单，便于分析。 （2）“ 比”：比较系统的独立平衡方程个数和未知量个数，若彼此 相等，则可根据平衡方程求解出全部未知量。一般来说，由n 个物体 组成的系统，可以建立3n 个独立的平衡方程。 （3） “取”：根据已知条件和所求的未知量，选取研究对象。通常 可先由整体系统的平衡，求出某些待求的未知量，然后再根据需要适 当选取系统中的某些部分为研究对象，求出其余的未知量。 （4） 在各单个物体的受力图上，物体间相互作用的力一定要符合作 用与反作用关系。物体拆开处的作用与反作用关系，是顺次继续求解 未知力的“桥”。在一个物体上，可能某拆开处的相互作用力是未知 的，但求解之后，对与它在该处联系的另一物体就成为已知的了。可 见，作用与反作用关系在这里起“桥”的作用。 （5） 注意选择平衡方程的适当形式和选取适当的坐标轴及矩心，尽 可能做到在一个平衡方程中只含有一个未知量，并尽可能使计算简化。
平面一般力系的平衡方程的三种形式
平面一般力系的平衡方程的三种形式
平面一般力系的平衡方程有以下三种形式：
1. 矢量和式形式：若平面一般力系中作用力F1、F2、F3、...、Fn与参考点O的连线分别为r1、r2、r3、...、rn，且F1、F2、
F3、...、Fn的和为零，则平衡条件可以表示为F1 + F2 + F3 + ...
+ Fn = 0。
2. 分力和式形式：根据平面一般力系的平衡条件，可以将作用
在此力系上的力分解为水平分力和垂直分力。
平衡条件可以表示为水
平分力的和等于零，即∑Fx = 0；垂直分力的和等于零，即∑Fy = 0。
3. 正负向分式形式：根据平面一般力系的平衡条件，可以选择
合适的坐标系，将力的方向分为正向和负向。
若力Fi与坐标系确定的
正向相背离，则可表示为Fi > 0；若力Fi与坐标系确定的正向相同，则可表示为Fi < 0。
平衡条件可以表示为所有正向力的代数和等于所
有负向力的代数和，即ΣFi > 0 - ΣFi < 0 = 0。
以上是平面一般力系的平衡方程的三种形式。
简述平面力系平衡问题的求解步骤
简述平面力系平衡问题的求解步骤平面力系平衡问题的求解步骤1. 引言平面力系平衡问题是力学中一个经典的研究对象，它涉及到物体在平面上的力的作用和平衡状态。
在解决这类问题时，可以采用一系列求解步骤来得到准确的结果。
本文将从简述的角度，介绍平面力系平衡问题的求解步骤，帮助读者全面理解这一问题。
2. 定义问题在解决平面力系平衡问题之前，首先要明确问题的定义和条件。
包括给定的物体或系统、力的作用点和方向、角度等信息。
这些定义将有助于后续计算和分析过程。
3. 绘制力的示意图为了更好地理解问题，我们可以根据定义，绘制出力的示意图。
在示意图中，标识出给定的物体或系统，以及力的作用点和方向。
这将有助于我们对问题的形式和结构有一个初步的了解。
4. 列出平衡条件平面力系平衡问题的核心在于物体或系统的平衡状态。
在解决问题之前，我们需要列出平衡条件。
平衡条件包括：合力为零、力矩为零等。
根据此，我们可以建立起平衡方程，以便后续的分析和计算。
5. 分析力的成分在解决平面力系平衡问题时，通常涉及到力的水平和垂直方向的成分。
根据给定的信息和力的性质，我们可以将力分解为水平和垂直的分力。
这将使得问题更加简化，并便于我们的计算和推理。
6. 求解未知力和角度通过分析力的成分和平衡条件，我们可得到一系列的方程和未知数。
我们可以利用这些方程来求解未知力和角度。
在求解过程中，可以通过代入法、消元法或其他数学方法来得到准确的结果。
7. 验证和回顾在求解平面力系平衡问题之后，我们需要对结果进行验证和回顾。
验证可以通过将求解得到的未知力和角度代入平衡方程中，检查是否满足平衡条件。
如果满足，那么结果是正确的。
回顾则是对整个求解过程进行总结和思考，以便我们能全面、深刻地理解主题。
8. 个人观点和理解在解决平面力系平衡问题时，我认为能够熟练掌握分析力的成分和建立平衡方程是至关重要的。
通过绘制力的示意图和列出平衡条件，可以帮助我们更好地理解问题的形式和结构。
简述平面力系平衡问题的求解步骤
平面力系平衡问题是工程力学中的一个重要内容，它主要研究平面内各点的受力情况，以及力的平衡条件。
在工程实践中，平面力系平衡问题的求解能够帮助工程师更好地设计和分析结构，保证其稳定性和安全性。
本文将围绕平面力系平衡问题的求解步骤展开，以便读者能够全面理解这一主题。
一、确定力的作用点和作用线在解决平面力系平衡问题时，首先需要确定力的作用点和作用线。
力的作用点是指力作用的具体位置，而作用线则是指力的作用线路。
这些确定下来之后，我们才能准确地分析和计算受力物体的平衡情况。
二、绘制受力图绘制受力图是解决平面力系平衡问题的重要步骤之一。
通过绘制受力图，可以清晰地展示各个受力物体的受力情况，包括作用力的大小、方向和作用线的位置。
这为后续的计算和分析提供了重要的基础。
三、应用平衡条件在确定了力的作用点和作用线、绘制了受力图之后，接下来需要应用力的平衡条件进行求解。
根据力的平衡条件，当一个物体处于静止或匀速直线运动时，它受到的合力和合力矩均为零。
可以通过平衡条件，求解出未知力的大小和方向，以及受力物体的平衡状态。
四、检验平衡条件在使用平衡条件求解出未知力后，需要进行检验以确保计算的准确性。
通过检验，可以验证所得结果是否符合平衡条件，以及受力物体的真实情况。
如果计算结果不符合平衡条件，需要重新检查和修正。
以上就是简要的平面力系平衡问题的求解步骤，读者可以通过以上步骤全面了解平面力系平衡问题的求解过程。
在工程实践中，我们经常会遇到各种复杂的受力情况，因此掌握平面力系平衡问题的求解方法对于工程师而言至关重要。
通过不断的练习和学习，我们可以更加灵活和准确地应用这些方法，为工程实践提供有力的支持。
平面力系平衡问题是工程力学中的一个重要内容，它主要研究平面内各点的受力情况，以及力的平衡条件。
在工程实践中，平面力系平衡问题的求解能够帮助工程师更好地设计和分析结构，保证其稳定性和安全性。
本文将围绕平面力系平衡问题的求解步骤展开，以便读者能够全面理解这一主题。
平面一般力系—平面一般力系的平衡方程及其应用(建筑力学)
平面一般力系
(3) 列平衡方程求解未知量。
为简化计算，避免解联立方程:在应用投影方程时，选取 的投影轴应尽量与多个未知力相垂直；应用力矩方程时，矩 心应选在多个未知力的交点上，这样可使方程中的未知量减 少，使计算简化。
平面一般力系
例4-1 梁AB一端是固定端支座，另一端无约束，这样的 梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如图所示。已知FP=2ql， α=60°，梁的自重不计。求支座A的反力。
特别注意，固定端的约束反力偶千万不能漏画。
平面一般力系
例4-2 钢筋混凝土刚架，受荷载及支承情况如图所示。 已知FP1=40， FP2= 10kN， M = 6kN·m,刚架自重不计。求支 座A、B的反力。
解 取刚架为研究对象，画其受力图如图示。
平面一般力系
Fx 0 FAx F2 0
FAx F2 10kN ()
平面一般力系
例4-3 管道支架的结构简图如图所示。 Fp=8kN，求支座 A的反力和杆CD所受的力。
容易判断：杆CD为二力杆，且为受压。
由
平面一般力系
解 取梁AB为研究对象，其受力图如图示。
M A(F ) 0 FNCD sin 30 60 F 30 F 60 0
FNCD
8 30 8 0.5 60
其中前两式称为投影方程，第三式称为力矩方程.
这三个方程是相互独立的，应用这三个独立的平衡方程可 求解三个未知量。
平面一般力系
2.二力矩式
Fx M
0
A F
0
M B F 0
式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
3.三力矩式
M M
A B
F F
0 0
MC F 0
式中A、B、C三点不共线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面一般力系平衡问题求解
杨建宏
德宏州中等职业学校（）关键词：平面一般平衡力系单个刚体物体系平衡求解
摘要：平面一般力系平衡问题求解是工程运用中非常常见的力学问题，它即是后续学习材料力学的基础，同时也是学生在学习工程力学过程中遇到的一个难点问题，从解题过程来看，平面一般力系平衡问题求解可分为单体受力和物系受力两大类。
平面一般力系平衡问题求解是工程运用中非常常见的力学问题，它既是后续学习材料力学的基础，同时也是学生在学习工程力学过程中遇到的一个难点问题，很多学生在看到此类问题时常有老鼠拉乌龟——无从下手的感觉。
笔者从事工程力学教学多年，现将教学过程中的一些体会提出，以求各同行指正。
从平面一般力系平衡问题解题过程来看，平面一般力系平衡问题求解可分为单体受力和物系受力两大类，从解题方法来说，这两类问题求解过程并无本质上的区别，单个刚体平衡问题是物系平衡问题的基础。
一、单个刚体的平衡问题
求解单个刚体平衡问题的过程及关键主要是以下几点：
1.受力分析，正确画出受力图
画受力图的关键是正确判断约束性质，如其方向（转向）或指向仅凭约束性质尚不能确定，还可根据：
（1）约束反力构成力偶与主动力偶平衡；
（2）三力平衡汇交定理；
来进一步确定。
2.平衡方程的选用
根据作用于物体上力系的情况，选择不同形式的平衡方程。
一般常用基本式和二力矩式。
对投影平衡方程，要选择合适的坐标轴，使各力的投影便于计算或使某些力的投影为零；对力矩式的平衡方程，要选择合适的点为矩心从而使某些未知力的矩为零。
这样能使平衡方程中包含的未知量最少，简化计算过程。
当然最好能做到一个方程只有一个未知量以避免解联立方程。
3.对物体不致翻倒的问题，要注意从物体翻倒的受力特点进行受力分析，离地点的约束反力为零，不翻倒的条件是该点约束反力大于、等于零。
例：悬臂式简易起重机如图，AB是吊车梁，BC是钢索，设电动葫芦和重物共重P=10KN，梁自重Q=5KN，α=300。
求钢索BC和铰链A的约束反力，以及钢索受力的最大值。
分析：此起重机由钢索、主梁、吊葫芦组成，各部份受力均由主梁承受，是典型的平面一般力系单个刚体平衡问题求解。
按各位置约束性质（钢索——柔索约束，A点——固定铰链）做出受力图，建立以A点为坐标原点，主梁轴线为X轴的坐标系，以简化计算。
解：
1.选吊车主梁AB为研究对象，画出受力图如图（2）。
约束反力共三个未知量（T B、R Ax、R Ay），主梁受力为平面一般力系，可应用平面一般力系平衡方程求解。
2.列平衡方程
因A 点是R Ax 、R Ay 汇交点，故先以A 为矩心列平衡方程，可求出一个未
知量T B
Σm A (F)=0
-Px+Q ·l/2+ T B ·lsin α=0
ΣF x =0
R Ax - T B ·cos α=0
ΣF y =0
- R Ay -Q-P+ T B sin α=0
3.显然，当x=l 时，T B 为最大值，故
T Bmax =α
sin 22l Ql Pl +=25KN 二、物体系统的平衡问题
求解物体系统的平衡问题与求解单个刚体的平衡问题并无本质上的差别。
物体系统无论怎样复杂，只要问题是平衡的，采取把系统拆开来逐个进行分析，其平衡问题总是可以求解的，但在实际求解系统平衡问题时总是习惯于从整体到局部，先把系统做为一个独立的刚体解出部分未知量，再拆开系统选取局部做为研究对象解出剩余的未知量，这样能使解题过程大大简化，这也是物体系统和单个刚体平衡问题求解的最大区别。
在实际求解过程中如何选择解题方式主要注意以下几点：
1.首先考虑是否可以选择整体为研究对象。
通常整体外约束反力未知量不超过三个或虽超过三个，但通过选用适当的平衡方程可先求出部分未知量时，应首先选择整体为研究对象。
2.如整体外约束力未知量超过三个或还要求解系统内部约束力时，应考虑把物体系统拆开，此时可先单个刚体，也可选择多个刚体组成的局部。
这时应先选受力简单、未知量少但包含已知力和未知量的做为研究对象。
3.确定好解题方案后要正确画出受力图，要单独画出研究对象，不要几个受力图都画在一起，以免混淆。
在画受力图时特别要强调受力图之间的统一协调，如在受力图上已经假定了力的方向或给出符号的，在单个或局部受力图上，这些力的方向和符号都要前后一致。
对作用力和反作用力，这两个力的方向应相反并用符号加以区别，如“N”和“N‘”。
例：构架尺寸如图<3>，已知L=2R，BD=2L，重物重为P,各杆及滑轮自重不计，铰链均不光滑，求构架A、B两点支座受力。
分析：本题欲求构架的支座受力，似乎只要取整体为研究对象即可，但通过整体受力分析（图<4>）可知，支座约束反力超过三个，不可能获得全部求解，故还应将整体拆开。
通过对图<4>进行分析可发现A、B两点分别是三个未知量的交汇点，对这两点列矩式平衡方程，可求出两个未知量（A、B两点的X向分力），且第三个平衡方程亦反应了另两个未知量的关系。
所以尽管整体受力图上未知量数目超过了三个，仍应先选整体为研究对象。
第二研究对象的选取可有多种方案通过对各杆、局部的受力分析可知BD杆未知量多达5个，不宜做为研究对象，而BCD杆加滑轮的局部因绳的反力T 实际上是已知的，其未知量为三个（C点两个，B点Y向分力），故可做为第二研究对象。
同样，ACE杆未知量也是三个（C点两个，A点Y向分力），如对C点取矩则可直接求出A点Y向分力，故ACE杆也可做为第二研究对象。
具体求解如下：
解：
1.先取整体为研究对象，画受力图如<4>，列平衡方程
-R BX·L-P(2L+R)=0
5(实际方向与图示方向相反)
解得R BX=-P
2
R AX·L-P(2L+R)=0
5
解得R AX=-P
2
R AY+ R BY-P=0 (1)
2.取BCD杆加滑轮的局部为研究对象画受力图如图<7>
可知T=P
列平衡方程
R BY·L+T·R-T(L+R)=0
解得R BY=-P（实际方向与图示方向相反）
将结果代入（1）式
解得R AY=2P
综上所述，笔者认为平面一般力系平衡问题求解重点还在于分清类型（单体、整体），正确的受力分析及画图，选好研究对象，正确选用平衡方程，通过多思、多练方能很好的解决好平面一般力系平衡问题。
作者简介：杨建宏，男，汉族，1972年1月出生，本科学历，现任教于德宏州中等职业学校，讲师，主要从事机械类相关专业课程教学工作。
通讯地址：云南省德宏州中等职业学校，邮编：678400；联系电话：。