结构的稳定计算
结构稳定计算习题
《结构的稳定计算》习题一、判断题1、能量法求有限自由度体系的临界荷载所得结果为精确解。
（）2、叠加原理适用于结构的稳定计算。
（）3、结构失稳包括分支点失稳和极值点失稳两种形式，临界荷载就是从稳定平衡状态到不稳定平衡状态的最小荷载。
（）4、能量法求无限自由度体系的临界荷载所得结果为近似解，其结果大于或等于精确解。
（）5、稳定平衡状态的能量特征是结构的势能极小，不稳定平衡状态的能量特征是结构的势能极大。
（）6、在结构的稳定分析中，具有n个稳定自由度的结构具有n个临界荷载和n个失稳形式。
（）二、填空题1、结构的稳定自由度是指。
2、分支点失稳与极限点失稳的主要区别是在临界状态存在着平衡形式的性。
34、图(a)所示体系简化为图(b)所示的弹性支撑压杆，已知各杆EI=常数，则弹性支座的刚度系数为k= 。
5、图示压杆发生的失稳形式如图，试写出其位移边界条件：(1)、；(2)、；(3) 。
6、图(a)所示体系简化为图(b)所示的弹性支撑压杆，则弹性支座的刚度系数为k1= ；k2= ；。
三、分析计算题1、试用静力法与能量法两种方法计算图示刚性链杆体系（各杆的EI 0=∞）的临界荷载P cr ，已知弹性支承的刚度系数k =3EI/l 3。
23、试用两种方法：静力法与能量法求图示结构的临界荷载P cr ，设压杆失稳时弹性部分的曲线y (x )=ax (1－x 2/l 2)。
24、试将图示压杆体系简化为具有弹性支承的单根压杆，并写出弹性支承的的刚度系数。
5、试用能量法求图示等截面直杆在自重作用下的临界荷载(ql)cr。
22)，其中a为常数。
6、已知k=12EI/l，试用静力法求图示压杆的临界荷载P cr。
混凝土结构的稳定性计算原理
混凝土结构的稳定性计算原理一、前言混凝土结构的稳定性计算是建筑学中的重要组成部分。
混凝土结构的稳定性是指在荷载作用下，结构不发生破坏或者失稳的能力。
计算混凝土结构的稳定性是为了保证结构的安全性，避免人员和财产的损失。
本文将对混凝土结构的稳定性计算原理进行详细的阐述。
二、混凝土结构的稳定性计算的基本原理混凝土结构的稳定性计算基本上是按照以下步骤进行的：1. 确定结构的荷载2. 确定结构的内力3. 确定结构的稳定性4. 确定结构的尺寸和构造三、确定结构的荷载在建筑设计中，荷载是指对于结构体系所施加的所有重力和外力的合力。
荷载的种类包括自重、活载、风载、地震载、温度载等。
在计算荷载时，需要根据国家有关规定和标准，对各种荷载进行分类和确定。
四、确定结构的内力在确定结构的内力时，需要根据荷载作用下结构的受力特点，进行弹性力学分析计算。
弹性力学分析计算包括静力学、动力学、弹性理论、塑性理论等。
其中，静力学是最常用的分析方法。
在静力学分析中，通常采用平衡方程和受力平衡方程进行计算。
五、确定结构的稳定性在确定结构的稳定性时，需要分析结构的承载能力和稳定性能力。
承载能力是指结构在荷载作用下的破坏承载能力，稳定性能力是指结构在荷载作用下的稳定能力。
结构的稳定性分析包括弯曲稳定性、剪切稳定性、压缩稳定性、扭转稳定性、屈曲稳定性等。
在计算稳定性时，要考虑结构的材料和断面性质、受力形式和结构的几何形状等因素。
六、确定结构的尺寸和构造在确定结构的尺寸和构造时，需要根据结构的荷载和内力计算结果，确定结构的尺寸和构造。
结构的尺寸和构造要满足强度、刚度、稳定性和经济性的要求。
在设计时，还需要考虑施工的可行性和建筑的使用要求等因素。
七、混凝土结构的稳定性计算的具体方法混凝土结构的稳定性计算的具体方法包括以下几个方面：1. 计算结构的荷载：根据建筑设计规范和标准，确定结构所受的各种荷载。
2. 计算结构的内力：根据荷载作用下结构的受力特点，运用弹性力学分析方法，计算结构的内力。
《结构的稳定计算》课件
基本原理和计算方法
平衡方程
根据平衡条件，通过计算 外力和内力的关系得到系 统的稳定性状况。
能量方法
稳定计算可以用势能公式 表示。计算稳定性参数之 间的关系，以判断系统的 稳定性。
叠加法
有些结构失稳问题很难直 接求解，可以用叠加法把 问题拆分பைடு நூலகம்多个方面，逐 步求解。
应用案例分析
1
框架结构的稳定分析
结论
稳定性计算是建筑结 构计算不可或缺的环 节
只有确保结构的稳定性， 才能确保建筑物的安全和 稳定。
稳定性计算的应用会 越来越广泛
随着市场需求的不断增加 和技术的不断发展，稳定 性计算会被广泛应用于各 种建筑物的设计和修建中。
稳定性计算需要不断 创新完善
新材料、新工艺的引入和 新建筑物的设计、建造， 都需要我们不断完善和创 新本领域的计算方法。
常见问题和解决方案
如何准确预测结构失稳 状况？
可以通过大量的实验数据和 成熟的计算方法对新的结构 问题进行预测，尽可能发现 并纠正失稳问题。
如何提高稳定计算的准 确度？
在计算过程中应尽可能准确 地输入计算参数，包括荷载、 材质参数、节点位移等，同 时精确地模拟结构失稳形式。
如何解决结构失稳问题？
可以通过增加材料、加强固 定等方式，对结构弱化部位 进行加固，从而提高稳定性。
参考文献和附件
1. 《结构工程师手册》 2. 《结构体系稳定性计算手册》 3. 《建筑结构》 4. 专业计算软件：AutoCAD, Revit, Midas NFX等 附件：稳定性失效模式图、相应的数学公式
我们通过一个实际的框架结构来介绍稳定性计算方法。结合研究对象的特点，阐 明失稳形式、计算方法和解决方案。
稳定性计算公式范文
稳定性计算公式范文稳定性计算是指对于一些系统、结构或者物体，在特定条件下的抗倾覆、抗位移的能力。
稳定性计算的结果可以指导设计和改善结构的性能，确保其在使用过程中能够保持稳定和安全。
本文将介绍稳定性计算的公式范文，帮助读者理解和应用于工程实践中。
一、极限弯矩计算极限弯矩是指结构或构件在受到外力作用时，发生塑性变形或发生破坏的临界点。
计算极限弯矩是判断结构稳定性的重要步骤之一对于一维结构（如梁）、柱、杆件等，其极限弯矩计算公式如下：$M_{cr} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{{L_e}^2}$其中，$M_{cr}$代表极限弯矩，$E$代表弹性模量，$I$代表截面惯性矩，$L_e$代表有效长度。
这个公式适用于考虑了弯曲应变响应的情况，能够较准确地预测结构的极限弯矩。
二、稳定系数计算稳定系数是用来评估结构相比于极限弯矩所承受的外力大小的一种参数。
稳定系数越大，说明结构的稳定性越好。
对于柱、杆件等挠曲构件，其稳定系数计算公式如下：$C_r = \frac{N_{cr}}{{P_{cr}} \cdot A}$其中，$C_r$代表稳定系数，$N_{cr}$代表临界压力，$P_{cr}$代表临界轴向力，$A$代表截面面积。
这个公式适用于计算长挠曲构件在临界载荷作用下的稳定系数。
对于板、薄壁结构等弯曲构件，其稳定系数计算公式如下：$C_r = \frac{F_{cr}}{{P_{cr}} \cdot L \cdot b}$其中，$C_r$代表稳定系数，$F_{cr}$代表临界弯矩，$P_{cr}$代表临界轴向力，$L$代表构件长度，$b$代表构件宽度。
这个公式适用于计算板、薄壁结构在临界载荷作用下的稳定系数。
三、应力计算应力是物体在受到外力作用时产生的内部应变引起的力的大小。
应力计算是结构稳定性计算的基础，能够帮助确定结构在承受外力时的强度和稳定性。
对于受弯构件，其应力计算公式如下：$\sigma = \frac{M \cdot c}{{I \cdot y}}$其中，$\sigma$代表应力，$M$代表弯矩，$c$代表截面到受力点的距离，$I$代表截面惯性矩，$y$代表截面到受力点的垂直距离。
结构的稳定计算
图所示为一等截面压杆,下端固定,上端有水平支杆, 现采用静力法求其临界荷载。
柱顶有未知水平反力FR,弹性曲线的微分方程为 将上式展开,得到如下的超越方程式:
或改写为 由于
=4.493,故得
上式的解为
常数A、B和未知力FR可由边界条件确定。
本节作业
1试用能量法求图示变截面 杆的临界荷载FPcr。
2试用能量法求图示排架的 临界荷载FPcr。
I
I0
1 sin
x l
y
1
cos
x 2H
其中
当x=0时,y =0,由此求得A=0。 当x=l时,y=0和y=0,由此得
例题 试求图所示排架的临界荷载和柱AB的计算长度。
弹性支座的刚度系数 在柱顶处有未知的水平力FR,弹性曲线的微分方程为
得到如下的超越方程
为了求解这个超越方程,需要事先给定k值(即给出I1/I2的比值)。下面讨论三种情形的解:
根据小挠度理论,其平衡方程为
由于弹性支座的反力矩MA=
,即得
为了得到非零解，齐次方程的系数应为零,即
上式称为特征方程,或者稳定方程 分支点相应的荷载即为作重量, 体系的势能EP为弹簧应变能 与荷载势能VP之和。弹簧应变能为
由此可见,能量法与静力法都导出同样的方程。换句话说, 势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。
得
设压杆有任意可能位移,变形曲线为
令 弯曲应变能
体系的势能为
其中
荷载势能
例题 如图所示两端简支的中心受压柱,试用能量法求其临界荷载。
解 简支压杆的位移边界条件为 当x=0和x=l时, y=0 在满足上述边界条件的情况下,我们选取三种不同的 变形形式进行计算。 (1)假设挠曲线为抛物线
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课资讲解
21
例二 完善体系如图所示，试按线性理论求临
界荷载FPcr。已知：k1=k, k2=3k。
设体系发生如下的变形
课资讲解
22
取B’C’为隔离体，由MB’=0, 得
FP ( y2 y1 ) k1 y1l 0
或 (k1l FP ) y1 FP y2 0 (1)
再由整体平衡MA=0, 得
称分支点
稳定。
理想中心受压杆，课无资讲初解 曲率或弯曲变形 7
分 支 点 失 稳
失稳前后平衡状态课的资讲变解 形性质发生变化 8
课资讲解
9
2. 非完善体系
非完善体系，一般受力、 变形性质不发生改变。但 随着荷载增大存在一极值 荷载（此后变形增大荷载 反而减少），这类稳定现 象称极值点稳定。
结构
FP稳h 定 方6Ea程I 0
6EI FPcr ah
非零解为
课资讲解
20
小结
按静力法，线性与非线性理论所得分支点临 界荷载完全相同，但线性理论分析过程简单。
非线性理论结果表明，达临界荷载后，要使
AB杆继续偏转（ 角增大），必须施加更大的
荷载（ F增P 加）。而线性理论结果表明，不管 转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随 遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚 假的现象。
在稳定分析中，有基于小变形的线性理论和 基于大变形的非线性理论：
线性理论中变形是一阶微量，计算中将略去 高阶微量使计算得以简化，其结果与大变形时 的实验结果有较大偏差。
非线性理论中考虑有限变形对平衡的影响， 其结果与实验结果吻合的很好，但分析过程复 杂。
课资讲解
15
2.简单结构稳定分析
由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸 相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时 都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正 比，叠加原理适用。
结构力学-稳定计算
θ
FRB=kΔ
B
弹簧的反力 FRB k kl sin(θ ) sin
sin 所以：Fp kl cos 1 sin( ) 求极值
dFP cos ( ) kl sin( ) sin 1 0 2 d sin ( )
Δ Fp C
临界荷载
0
Fpcr 3EI 2 l
A
MAC= SAB
A y SABθ
MAB=SAB
l
θ
结构力学（2）
A y1 B k y2 C k
浙大宁波理工学院土建学院
pcr
Fp
y
kl
kl O
达到临界荷载时，位移不断增大而承载力反 而减小，所以位移增大的路径是不稳定的。 结论：红兰两条路径均不稳定
结构力学（2） 2. 按小挠度理论
浙大宁波理工学院土建学院
x
单自由度完善体系的分支点失稳
Δ
Fp
kΔ
M
A
0
,
Fp (l sin ) FRB (l cos ) 0
1.2
Fpcr
ε=0.01 ε=0
1.2 1 0.8 0.6 0.4
1
kl
0.8
0.6
ε=0.1 ε=0.2
0.4
0.2
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
1.6 1.8
0.2 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0.35
sin Fp kl cos 1 sin( )
钢结构强度稳定性计算书
钢结构强度稳定性计算书计算依据：1、《钢结构设计标准》GB50017-20172、《钢结构通用规范》GB 55006-2021一、构件受力类别：轴心受弯构件。
二、强度验算：1、受弯的实腹构件，其抗弯强度可按下式计算：M x/γx W nx + M y/γy W ny≤ f式中M x，M y──绕x轴和y轴的弯矩，分别取20×106 N·mm,1×106 N·mm；γx, γy──对x轴和y轴的截面塑性发展系数，分别取1.05,1.2；W nx,W ny──对x轴和y轴的净截面抵抗矩,分别取237000 mm3, 31500 mm3；计算得：M x/(γx W nx)+M y/(γy W ny)=20×106/(1.05×237000)+1×106/(1.2×31500)=106.825 N/mm2≤抗弯强度设计值f=215 N/mm2，故满足要求！2、受弯的实腹构件，其抗剪强度可按下式计算：τmax = VS/It w≤ f v式中V──计算截面沿腹板平面作用的剪力,取V=5×103 N；S──计算剪力处以上毛截面对中和轴的面积矩,取S= 138000mm3；I──毛截面惯性矩,取I=23700000 mm4；t w──腹板厚度,取t w=7 mm；计算得：τmax = VS/It w = 5×103×138000/(23700000×7)=4.159 N/mm2≤抗剪强度设计值f v = 175 N/mm2，故满足要求！3、在最大刚度主平面内受弯的构件，其整体稳定性按下式计算：M x/φb W x≤ f式中M x──绕x轴的弯矩，取20×106 N·mm；φb──受弯构件的整体稳定性系数,取φb= 0.9；W x──对x轴的毛截面抵抗矩W x,取947000 mm3；计算得：M x/φb w x = 20×106/(0.9×947000)=23.466 N/mm2≤抗弯强度设计值f= 215 N/mm2，故满足要求！4、在两个主平面受弯的工字形截面构件，其整体稳定性按下式计算：M x/φb W x + M y/γy W ny≤ f式中M x，M y──绕x轴和y轴的弯矩，分别取20×106 N·mm,1×106 N·mm；φb──受弯构件的整体稳定性系数,取φb= 0.9；γy──对y轴的截面塑性发展系数，取1.2；W x,W y──对x轴和y轴的毛截面抵抗矩,分别取947000 mm3, 85900 mm3；W ny──对y轴的净截面抵抗矩,取31500 mm3计算得：M x/φb w x +M y/ γy W ny = 20×106/(0.9×947000)+1×106/(1.2×31500)=49.921 N/mm2≤抗弯强度设计值f=215 N/mm2，故满足要求！。
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20
分析结论
• 第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算 较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观 的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。 • 第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值， 对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳 的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修 改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。
12
§16.2 有限自由度体系的临界荷载
确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目 称为体系失稳的自由度。 FP FP
EI= k
FP
EI=
EI= EI=
k
DOF = 1
DOF = 2
DOF =
13
主要计算方法： 静力法——根据临界状态的静力特征（即平衡形式 的二重性），寻找平衡路径交叉的分支 点，可精确得到理论上的临界荷载值。 能量法——依据能量特征来确定体系失稳时临界荷 载。体系取得平衡的充要条件是任意可 能位移和变形均使势能取得驻值。
4
结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不 稳定的平衡状态，称为失稳。保证结构在正常使用的 情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。 第一类失稳（分支点失稳） 结构的失稳类型 第二类失稳（极值点失稳）
5
定义 完善体系——受压杆件均为理想受压杆的结构体系； 非完善体系——如结构中受压杆有初曲率，或荷载有
2k
EI=
2FP
B l
m
0
2ky2
B
2k
FP y1 2FP y2 2kly1 2kly2 0
FP FP kl y1 0 F 2kl 2 F 2kl y P P 2 0
A
23
A
FP FP kl det 0 FP 2kl 2 FP 2kl
初偏心，则这类结构体系称非完善体系。
P P P e
6
第一类失稳的基本特征 结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支 点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载， 称分支点失稳。 FP FP FP < FPcr时，杆件仅产生压 缩变形。轻微侧扰，杆件微 II 不稳定 弯；干扰撤消，状态复原 FPcr 0 （平衡路径唯一）。
第一类失稳仍有其重要地位
21
例题：用静力法求图示结构的临界荷载FPcr 解：从临界平衡状态的两重性出发
D
FP EI1=
D h
FP
D
FP
B EI A l
EI
C
B A
C
3EI A l
3EI l
l
A
m
0
6 EI ( FP h ) 0 l
6 EI FP h 0 l
FPcr
δE P 0 & δ2 EP 0
稳定平衡
δE P 0 & δ2 EP 0
随遇平衡
δE P 0 & δ2 EP 0
不稳定平衡
29
变形体系势能：
EP U U P
= 荷载势能 + 变形势能
EP EP (a1 , a2 ,, an )
关于广义坐标的总势能驻值条件：
E P E P E P δE P δa1 δa 2 δa n 0 a1 a 2 a n
2、单自由度非完善体系的极值点失稳
FP F R
B k k
FP B
x
MO 0
FP lsin( θ ) FR l cos( θ ) 0
l
A
l
FR kl sin θ ε sin ε
y
O A
sinε FP klcos θ ε 1 sin θ ε
FP klcosθ lsinθ 0
第一解： θ 0
l
A
O A y
第二解： FP klcos
15
FP II 不稳定
FPcr
大、小挠度理论 临界荷载相同
FP kl FP klcos
(2) 小挠度理论 (1) 大挠度理论 临界荷载：
I 稳定
θ0
FPcr kl
16
17
(1) 大挠度理论
FP sinε cosθ ε 1 kl sinθ ε
求极值点处的临界荷载
d FP 0 d
FP/kl
1.00 0.695 0.536
sin( θ ) sin
1 3
2 3 FPcr 3 (1 sin ) 2 kl
1.36
0.367
位形图
24
例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr. 解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡
状态的两重性出发列平衡方程。
A
EI=
l
B k
EI=
l
C k
EI=
l
D
FP
y1 FxA=FP
k
y2
k
FP FyD=FPy2/l
25
FyA=FPy1/l
FRB=ky1
l
I 稳定
0
完善体系
O
FP ≥FPcr时，杆件既可保持 原始的直线平衡状态，又可 进入弯曲平衡状态（平衡路 径不唯一）。
7
发生第一类失稳的还有：
q
FP
FP
他们的共同特点是从加载到失稳过 程中结构变形的性质发生突变，产 生了两种性质截然不同平衡路径。
8
第二类失稳的基本特征 是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。 失稳前后变形性质没有变化，力-位移关系曲线存在极值点， 该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。 FP
ε＝0
FP/kl
0.695 0.536 0.415
ε＝0
θ
0.38 0.42 1.37 1.47 1.57 0.1 0.2 0.3
ε
18
O
(2) 小挠度理论
ε FP kl 1 kl θ ε θ ε
FP/kl
1.0 0.8
k
FP B
ε＝0
l
0 0
FP
(kl 2FP ) y1 FP y2 0 FP y1 (kl 2FP ) y2 0
kl 2 FP FP
1 1
M
kl 2 FP F P
B
y1 0 y kl 2 FP 2 0
28
二、能量法
依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。 势能驻值原理：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的 位移和变形均使得总势能 EP 取得驻值，即总势能的一阶变 分等于零（δEP =0）。 该驻值条件等价于平衡条件 保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要 考察体系总势能的二阶变分状态：
ε＝0
FPcr kl
θ
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
19
A
0.0
分析结论
• 结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。
• 当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷 载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。
• 非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。 实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说 失稳都属于第二类失稳。
由广义坐标变分的任意性
E P 0 a i
( i 1, 2, n)
关于广义坐标 ai 的齐次方程
广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是 临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。
30
例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr 解：从临界平衡状态的能量特征出发
D FP EI1= B
FP FP
q FP FP
他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的 性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。
10
扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征 当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构 翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值 点失稳（跳跃屈曲）。 FP
Δ f
FP
FPcr
O
l l
FP
FPcr
O
非完善体系
初始缺陷使得开始加载杆件 便处于微弯状态，挠度引起 附加弯矩。随荷载增加侧移 和荷载呈非线性变化，且增 长速度越来越快。荷载达到 一定数值后，增量荷载作用 下的变形引起的截面弯矩的 增量将无法再与外力矩增量 相平衡，承载力下降，杆件 便丧失原承载能力。
9
l
发生第二类失稳的情况：
2
强度验算 结构设计 刚度验算
必不可少。
薄壁结构
稳定验算 ——某些时候是必须的
高强材料结构 （如钢结构）
主要受压的结构等
强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的 结构的计算简图来分析的； 而稳定验算是在结构产生大变形后的几何形状和位置上进行计算 的，其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。
16 结构的稳定计算
1
§16.1 两类稳定问题概述
结构中的某些受压杆件， 当荷载逐渐增大时，除 了可能发生强度破坏外， 还可能在材料抗力未得 到充分发挥之前就因变 形的迅速发展而丧失承 载能力，这种现象称失 稳破坏，其相应的荷载 称为结构的临界荷载。 压杆的实际承载能力应 为上述两种平衡荷载中 的最小者。