【最新】2018-2019学年度人教B版高中数学-选修4-5教学案-第一章 绝对值的三角不等式 (可直接打印)
高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1.3绝对值不等式的解法学案新人教B版选修4-5
－ 2x ＋ 6， x≤2， f ( x) ＋| x－ 4| ＝ 2， 2<x<4 ，
2x－ 6， x≥4.
当 x≤２时，由 f ( x) ≥4－ | x－ 4| ，得－ 2x＋6≥4， 解得 x≤1； 当 2<x<4 时， f ( x) ≥4－ | x－ 4| 无解； 当 x≥４时，由 f ( x) ≥4－ | x－ 4| ，得 2x－6≥4， 解得 x≥5. 所以 f ( x) ≥4－ | x－ 4| 的解集为 { x| x≤１或 x≥5} ． (2) 记 h( x) ＝ f (2 x＋ a) －2f ( x) ，
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由此可得 x≥２或 x≤1. 故不等式 f ( x) ≥５x＋ 1 的解集为 { x| x≤１或 x≥2} ．
(2) 由 f ( x) ≤０ 得 |2 x － a| ＋ 5x≤0，此不等式可化为不等式组
a
x≥ 2，
或
2x－ a＋5x≤０
a x<2， － 2x－ a ＋5x≤0，
a x≥2， 即
－ 2x＋ a＋ 1，
x≤a，
若 a＜1， f ( x) ＝ 1－ a， a ＜ x＜ 1，
2x－ a＋ 1 ， x≥1，
f ( x) 的最小值为 1－ a.
a 进行分类讨论，求出
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－ 2x＋ a＋ 1， x≤1， 若 a＞1， f ( x) ＝ a－ 1， 1 ＜ x＜ a，
2x－ a＋ 1 ， x≥a，
提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．
[ 对应学生用书 P10]
含一个绝对值不等式的解法
[ 例 1] 解下列不等式：
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(1)1 ＜| x－2| ≤3；
高中数学人教B版选修4-5教学案第一章 1.5 1.5.3 反证法和放缩法
．反证法和放缩法[读教材·填要点]．反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此假设说明的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法．．放缩法(或缩小放大在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当简)使它由化繁，达到证明目的，这种方法称为放缩法．[小问题·大思维]．用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：()必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．()反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．()推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．．运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．[例]设，，，都是小于的正数，求证：(－)，(－)，(－)，(－)这四个数不可能都大于.[思路点拨]本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．[精解详析]假设(－)＞(－)＞(－)＞，(－)＞，则有(－)＞，(－)＞，(－)＞，(－)＞.∴＞，＞，＞，＞.又∵≤，≤，≤，≤，∴＞，＞，＞，＞.将上面各式相加得＞，矛盾．∴(－)，(－)，(－)，(－)这四个数不可能都大于.()当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．()用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．．已知数列{}的前项和为，且满足＋＝.()求数列{}的通项公式；()求证数列{}中不存在三项按原来顺序成等差数列．解：()当＝时，＋＝＝，则＝.又＋＝，所以＋＋＋＝，两式相减得＋＝，所以{}是首项为，公比为的等比数列，所以＝.()反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为＋，＋，＋(<<，且，，∈＋)，则·＝＋，所以·－＝－＋.①又因为<<，所以－，－∈＋.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证.[例]若，，均为实数，且＝－＋，＝－＋，＝－＋，求证：，，中至少有一个大于.[思路点拨]由于问题是“至少型”命题，故可用反证法证明．[精解详析]假设，，都不大于，即≤，≤，≤，则＋＋≤，。
高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式课件新人教B版选修4_5
求下列函数的值域. (1)y＝x22＋x1；(2)y＝x22＋x1.
【精彩点拨】
把函数转化为y＝ax＋
b x
或y＝
1 ax＋bx
的形式，再利用基本不
等式求解.
【自主解答】
(1)y＝x22 ＋ x 1＝1 2 x＋1 x ，当x＞0时，
x＋
1 x
≥2，∴y≥1；当x＜0时，－x＞0，－x＋
1 －x
元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为
年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不
包括促销费用).
(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利
润是多少万元？
【精彩点拨】 (1)可先通过m＝0时，x＝1求出常数k，再根据条件列出y关 于m的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值.
阶1.2 基本不等式
阶1.2 基本不等式
段
段
一
三
阶1.2 基本不等式
段 二
学业分1.2 基本不等式
层 测
评
1.理解两个正数的基本不等式. 2.了解三个正数和一般形式的基本不等式. 3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题.
2.定理 2
如果 a，b 为 数，则a＋ 2 b
ab，当且仅当 a b 时，等号成立.这个不等式
≥2
x－1·x－ 9 1＋2＝8，
当且仅当x－1＝x－ 9 1，
即x＝4时，等号成立. 所以当x＝4时，ymin＝8.
[构建·体系]
【解析】
原式变形为y＝x－ 1 3＋x－3＋3.
最新人教B版高中数学选修4-5《绝对值不等式的解法》教学设计
《绝对值不等式的解法》（第一课时）教学设计一、教学内容解析《绝对值不等式的解法》是选修4-5第一章第三节内容，我们这里讲解第一课时。
该内容是在初中学习了绝对值的概念，学习了一元一次不等式；高中必修1学习了绝对值函数图像的画法，必修5学习了一元二次不等式的基础上展开的。
通过本节课可渗透数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法，因此它是本章的重点之一，在整个数学学科中占有重要地位。
解含绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，转化为同解的不含绝对值符号的一般不等式去解.而去绝对值的方法主要有定义法（分类讨论法）、平方法、几何法、图像法等，实际上，这四种方法也是解绝对值不等式问题的基本思路，为下一节学习含有两个绝对值的不等式的解法做好铺垫.而本节的重点是运用绝对值的几何意义去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式求解，并从中总结规律，形成解绝对值不等式的规律公式及口诀。
本节课在求解过程中也是对集合知识的应用和巩固，同时，为以后不等式的学习打下了基础，对培养学生分析问题、解决问题的能力、理解能力、思维的灵活性有很大的帮助，同时能使学生养成多角度认识研究事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。
二、教学目标设置【教学目标】1、知识与技能：使学生熟练掌握()()()0>≤≥aaxfaxf与型不等式的解法；2、过程与方法：培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，渗透数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法；培养学生养成多角度认识研究事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。
3、情感态度价值观：向学生渗透“具体-抽象-具体”辩证唯物主义的认识论观点，使学生形成良好的个性品质。
感悟形与数不同的数学形态间的和谐统一美。
【教学重点与难点】重点：()()()0>≤≥aaxfaxf与型不等式的解法；难点：利用绝对值的几何意义解绝对值不等式。
三、学生学情分析学生在初中已经学过绝对值的定义，在高中必修1中，也会画简单的绝对值函数的图像，也接触过两边平方的方法。
2018年秋人教B版数学选修4-5课件：本章整合1
16 , 3
(2)∵x>1,
������2 -2������+2 (������-1) +1 1 1 ∴y= 2������-2 = 2(������-1) = 2 (������-1) + ������-1 1 1 ≥ × 2 (������-1)· = 1 . 2 ������-1 1 当且仅当 x-1 = , 即 x=2 时等号成立 , ������-1 ������2 -2������+2 所以当 x=2 时 ,y= 有最小值1. 2������-2
2
2
=
64 ������2 + 2 ≥16, ������
7 x<− , 此时原不等式无解. 3
综上所述 ,原不等式的解集为 ������ ������ <
|
3 5
.
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 2 若 f1(x) = 3|������- ������1 |,f2(x)=2· 3|������ - ������2 |,x∈R,p1,p2 为常数,且 f(x ) = ������ 1 (������), ������ 1 (������) ≤ ������ 2 (������), ������2 (������),������ 1 (������) > ������ 2 (������).
故原不等式的解集为{x|x>-3}. 解法二:∵|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2, ∴原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4, 解得x>-3. 故原不等式的解集为{x|x>-3}.
人教版选修4-5教案
选修4_5 不等式选讲课题： 第01课时不等式的根本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的根本数学关系。
"列子•汤问"中脍炙人口的“两小儿辩日〞：“远者小而近者大〞、“近者热而远者凉〞，就从侧面说明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢"〞、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？〞、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？〞等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式〔含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等〕和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状构造，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这说明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等那么是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢"转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，假设再加m(m>0)克糖，那么糖水更甜了，为什么" 分析：起初的糖水浓度为a b ，参加m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢"二、不等式的根本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比拟两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的根本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1.5 1.5.1 比 较 法
1．5不等式证明的基本方法1．5.1 比 较 法[对应学生用书P16][读教材·填要点]1．定义要证a >b ，只需要证a －b >0；要证a <b ，只需证a －b <0，这种证明不等式的方法，称为比较法．2．用比较法证明不等式的步骤 (1)求差．(2)变形：可用因式分解、配方、乘法公式等，把差变形为乘积式平方和的形式． (3)作出判断．[小问题·大思维]作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.[对应学生用书P16][例1] 求证：(1)当x ∈R 时，1＋2x 4≥2x 3＋x 2； (2)当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b≥(ab )2a b.[思路点拨] (1)利用作差比较法，注意变形分解； (2)利用作商比较法，注意判断底数大小决定商的大小． [精解详析] (1)法一：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝2x 3(x －1)－(x ＋1)(x －1) ＝(x －1)(2x 3－x －1)＝(x －1)(2x 3－2x ＋x －1) ＝(x －1)[2x (x 2－1)＋(x －1)] ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12≥0， ∴1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 法二：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1 ＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0， ∴1＋2x 4≥2x 3＋x 2. (2)2a b a ba b ab +()＝a2a b -b2b a -＝⎝⎛⎭⎫a b 2a b-，当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b 2a b-＝1；当a >b >0时，a b >1，a －b 2>0，则⎝⎛⎭⎫a b 2a b->1； 当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b 2a b->1.综上可知，当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b≥(ab )2a b +成立．(1)比较法证明不等式的过程中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．已知x >－1，求证：1＋x ≤1＋x2.证明：∵x ＞－1， ∴1＋x >0，1＋x >0.∵1＋x －(1＋x2)＝1＋x －x ＋1＋12＝x ＋1－x ＋12－12＝－12[(x ＋1)－2x ＋1＋1]＝－12(x ＋1－1)2≤0，∴1＋x ≤1＋x2.[例2] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[思路点拨] 本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s ，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t 1、t 2，然后利用作差法比较t 1，t 2的大小即可．[精解详析] 设从出发地点至指定地点的路程为s ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1、t 2，依题意有：t 12m ＋t 12n ＝s ， s 2m ＋s2n＝t 2. ∴t 1＝2sm ＋n，t 2＝s (m ＋n )2mn .∴t 1－t 2＝2sm ＋n －s (m ＋n )2mn ＝s [4mn －(m ＋n )2]2mn (m ＋n )＝－s (m －n )22mn (m ＋n ).其中s ，m ，n 都是正数，且m ≠n ， ∴t 1－t 2＜0，即t 1＜t 2.从而知甲比乙先到达指定地点．应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．解答不等式问题，一般可分为如下步骤：①阅读理解材料；②建立数学模型；③讨论不等式关系；④作出问题结论．2．某人乘出租车从A 地到B 地，有两种方案．第一种方案：乘起步价为10元，超过规定里程后每千米1.2元的出租车；第二种方案：乘起步价为8元，超过规定里程后每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适？解：设A 地到B 地的距离为m 千米．起步价内行驶的路程为a 千米． 显然当m ≤a 时，选起步价为8元的出租车比较合适．当m >a 时，设m ＝a ＋x (x >0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P (x )元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q (x )元，则P (x )＝10＋1.2x ，Q (x )＝8＋1.4x . ∵P (x )－Q (x )＝2－0.2x ＝0.2(10－x )∴当x >10时，P (x )<Q (x )，此时选择起步价为10元的出租车较为合适． 当x <10时，P (x )>Q (x )，此时选择起步价为8元的出租车较为合适． 当x ＝10时，P (x )＝Q (x )，两种出租车任选，费用相同．[对应学生用书P18]一、选择题1．下列关系中对任意a ＜b ＜0的实数都成立的是( ) A ．a 2＜b 2 B ．lg b 2<lg a 2 C ．ba>1D ．⎝⎛⎭⎫12a 2＞⎝⎛⎭⎫12b 2解析：∵a ＜b ＜0，∴－a >－b >0. (－a )2>(－b )2>0. 即a 2>b 2>0. ∴b 2a2＜1.又lg b 2－lg a 2＝lg b 2a2＜lg 1＝0.∴lg b 2＜lg a 2. 答案：B2．已知P ＝1a 2＋a ＋1，Q ＝a 2－a ＋1，那么P 、Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≥QD ．P ≤Q解析：P －Q ＝1－(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)a 2＋a ＋1＝－(a 4＋a 2)a 2＋a ＋1， ∵a 2＋a ＋1＞0恒成立且a 4＋a 2≥0， ∴P －Q ≤0.即Q ≥P . 答案：D3．已知a ＞0，b ＞0，m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小顺序是( )A ．m ≥n >pB ．m >n ≥pC ．n >m >pD ．n ≥m >p解析：由已知，知m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，得a ＝b ＞0时m ＝n ，可否定B 、C.比较A 、D 项，不必论证与p 的关系．取特值a ＝4，b ＝1，则m ＝4＋12＝92，n ＝2＋1＝3，∴m ＞n .可排除D. 答案：A4．若a ，b 为不等的正数，则(ab k ＋a k b )－(a k ＋1＋b k ＋1)(k ∈N ＋)的符号( )A ．恒正B ．恒负C ．与k 的奇偶性有关D ．与a ，b 大小无关解析：(ab k ＋a k b )－a k ＋1－b k ＋1 ＝b k (a －b )＋a k (b －a )＝(a －b )(b k －a k )． ∵a >0，b >0，若a >b ，则a k >b k ，∴(a －b )(b k －a k )<0；若a <b ，则a k <b k ，∴(a －b )(b k －a k )<0. 答案：B 二、填空题5．若x ＜y ＜0，M ＝(x 2＋y 2)(x －y )，N ＝(x 2－y 2)(x ＋y )，则M ，N 的大小关系为________． 解析：M －N ＝(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )． ∵x <y <0，∴xy ＞0，x －y <0.∴－2xy (x －y )>0，∴M －N >0.即M >N . 答案：M >N6．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是________．解析：由a 2＝2x ，b 2＝1＋x 2＋2x >a 2，a >0，b >0， 得b >a .又c －b ＝11－x －(1＋x )＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0，得c >b ，知c 最大． 答案：c7．如果a >0，b >0，则下列两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．(填不等关系符号)解析：∵(1＋a )(b ＋1)＝1＋a ＋b ＋ab ， ∴12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )] ＝lg1＋a ＋b ＋ab .∵(1＋ab )2－(1＋a ＋b ＋ab )2＝2ab －(a ＋b )，又a ＋b ≥2ab ，∴2ab －(a ＋b )≤0. ∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≤8．一个个体户有一种商品，其成本低于3 5009元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．解析：设这种商品的成本费为a 元．月初售出的利润为L 1＝100＋(a ＋100)×2.5%， 月末售出的利润为L 2＝120－2%a ， 则L 1－L 2＝100＋0.025a ＋2.5－120＋0.02a ＝0.045⎝⎛⎭⎫a －3 5009， ∵a <3 5009，∴L 1<L 2，月末出售好．答案：月末 三、解答题9．已知a ≥1，求证a ＋1－a <a －a －1， 证明：∵(a ＋1－a )－(a －a －1)＝1a ＋1＋a－1a ＋a －1＝a －1－a ＋1(a ＋1＋a )(a ＋a －1)＜0，∴a ＋1－a <a －a －1. 10．设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． 证明：由a ，b 是非负实数，作差得 a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a ) ＝(a －b )[(a )5－(b )5]．当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5， 得(a －b )[(a )5－(b )5]≥0； 当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5，得(a －b )[(a )5－(b )5]>0. 所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． 11．设m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mxx －1，比较f (a )与f (b )的大小． 解：f (a )－f (b )＝ma a －1－mbb －1＝m ·(b －a )(a －1)·(b －1).∵a >b >1，∴b －a <0，a －1>0，b －1>0， ∴b －a(a －1)·(b －1)<0.当m >0时，m ·(b －a )(a －1)·(b －1)<0，f (a )<f (b )；当m <0时，m ·(b －a )(a －1)·(b －1)>0，f (a )>f (b )； 当m ＝0时，m ·(b －a )(a －1)·(b －1)＝0，f (a )＝f (b )．。
2018-2019学年同步指导高中数学(人教B版)选修4-5导学案：1.1.1 不等式的基本性质Word版含答案
1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1不等式的基本性质1.了解不等关系与不等式.2.掌握不等式的性质.3.会用不等式的性质解决一些简单问题.自学导引1.对于任何两个实数a，b，a>b⇔a－b>0；a<b⇔a－b<0；a＝b⇔a－b＝0.2.不等式有如下8条性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(3)加(减)：a>b⇒a＋c>b＋c；(4)乘(除)：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(5)乘方：a>b>0⇒a n>b n，n∈N*且n≥2；(6)开方：a>b>0n∈N*且n≥2；(7)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(8)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.基础自测1.如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( )A.a 2>a >－a 2>－aB.－a >a 2>－a 2>aC.－a >a 2>a >－a 2D.a 2>－a >a >－a 2解析 由a 2＋a <0知a ≠0，故有a <－a 2<0，0<a 2<－a .故选B.答案 B2.若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d解析 思路一：根据给出的字母的取值要求，取特殊值验证.思路二：根据不等式的性质直接推导.方法一：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，b d ＝－1，排除选项C ，D ；又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <b c ，所以选项A 错误，选项B 正确.故选B. 方法二：因为c <d <0，所以－c >－d >0，所以1－d >1－c>0. 又a >b >0，所以a －d >b －c，所以a d <b c ，故选B. 答案 B3.设x ∈R ，则x 21＋x 4与12的大小关系是________. 解析 当x ＝0时，x 21＋x 4＝0<12， 当x ≠0时，x 21＋x 4＝11x 2＋x 2，∴1x 2＋x 2≥2，∴x 21＋x 4≤12(当x ＝±1时取等号)， 综上所述x 21＋x 4≤12. 答案 x 21＋x 4≤12知识点1 不等式的性质及应用【例1】判断下列各题的对错(1)c a <c b 且c >0⇒a >b ( )(2)a >b 且c >d ⇒ac >bd ( )(3)a >b >0且c >d >0⇒a d >bc ( ) (4)a c 2>b c 2⇒a >b ( )解析 (1) ⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ， 当a <0，b >0时，此式成立，推不出a >b ，∴(1)错.(2)当a ＝3，b ＝1，c ＝－2，d ＝－3时，命题显然不成立.∴(2)错.(3) ⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒a d >b c >0⇒a d >bc 成立.∴(3)对.(4)显然c 2>0，∴两边同乘以c 2得a >b .∴(4)对.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√●反思感悟：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.1.有以下四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0.其中能使1a <1b 成立的有________个条件.解析 ①b >0>a ，∴1a <0<1b ，结论成立；②0>a >b ，∴1a <1b ，结论成立；③a >0>b ，∴1a >1b ，结论不成立；④a >b >0，∴1a <1b ，结论成立.答案 3知识点2 实数大小的比较【例2】实数x ，y ，z 满足x 2－2x ＋y ＝z －1且x ＋y 2＋1＝0，试比较x ，y ，z 的大小.解 x 2－2x ＋y ＝z －1⇒z －y ＝(x －1)2≥0⇒z ≥y ；x ＋y 2＋1＝0⇒y －x ＝y 2＋y ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋34>0⇒y >x ，故z ≥y >x . ●反思感悟：两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：(1)作差.(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法.(3)定号，即确定差的符号.(4)下结论.2.已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，试比较A ，B ，C ，D 的大小.。
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1．4绝对值的三角不等式
[对应学生用书P13]
[读教材·填要点]
绝对值的三角不等式
(1)定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.
当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立⇔(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间．
①推论1：||a|－|b||≤|a＋b|
②推论2：||a|－|b||≤|a－b|
[小问题·大思维]
1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？
提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？
提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.
3．绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？
提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|AC|＝|AB|＋|BC|；当点B不在点A，C之间时，|AC|<|AB|＋|BC|.
[对应学生用书P13]
[例1](1)以下四个命题：
①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；。