2017-2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版选修1_1
【配套K12】2017_2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质二学案北师大版选修
1.2 椭圆的简单性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一 点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1,2)与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系？知识点三 直线与椭圆的相交弦思考 若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？梳理 弦长公式：(1)|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]；(2)|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2y 1＋y 22－4y 1y 2].注：直线与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k 为直线的斜率．其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．类型一 直线与椭圆的位置关系 命题角度1 直线与椭圆位置关系的判断例1 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程： (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点． (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点． (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．命题角度2 距离的最值问题例2 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．反思与感悟 此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离．跟踪训练2 已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．类型二 弦长及中点弦问题例3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练3 已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 引申探究在例4中，设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程．反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪训练4 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为 3. (1)求椭圆的方程；(2)已知直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且直线l 的方程为y ＝kx ＋3(k >0)，若O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最大值．1．经过椭圆x 216＋y 23＝1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为( )A ．6B ．8C ．10D ．162．经过椭圆x 29＋y 26＝1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠34．过点P (－1,1)的直线交椭圆x 24＋y 22＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，则AB所在的直线方程为________________．5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝423，求直线l 的方程．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．答案精析问题导学 知识点一思考1 当x ＝1时，得y 2＝34，故y ＝±32，而2>32，故点在椭圆外．思考2 当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b2<1.知识点二思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．思考2 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a ＋y2b＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程.知识点三思考 有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得． 题型探究例1 A [直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．]跟踪训练1 解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1. 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22. 即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.例2 解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4， 故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋－2＝813＝81313，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.跟踪训练2 解 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0， Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0，最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P 点坐标为(－83，13)．例3 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝ x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310.所以线段AB 的长度为310. (2)当直线l 的斜率不存在时，不合题意． 所以直线l 的斜率存在． 设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x －，x 236＋y29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.跟踪训练3 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差， 得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.① ∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1.由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入①式可得b ＝2a .∵直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1. 又|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0， 可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， ∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b .② 将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y23＝1.例4 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45m 2－＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .引申探究 解 可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2， 又|AB |＝2510－8m 2， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12·2510－8m 2·|m |2＝25 54－m 2m 2≤25·54－m 2＋m 22＝14， 当且仅当54－m 2＝m 2时，等号成立， 此时m ＝±104∈[－52，52]． ∴所求直线的方程为x －y ±104＝0. 跟踪训练4 解 (1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ， 即b ＝3t ，其中t >0， 又△F 1PF 2面积取最大值3时，即点P 为短轴端点，因此12·2t ·3t ＝3， 解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋3，x 24＋y 23＝1， 整理得(4k 2＋3)x 2＋83kx ＝0.解得x 1＝0或x 2＝－83k 4k ＋3. ∵k >0，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|－83k 4k ＋3|＝1＋k 2·83k 4k ＋3， 原点O 到直线l 的距离为d ＝31＋k 2. ∴S △OAB ＝121＋k 2·83k 4k 2＋3·31＋k 2＝12k 4k 2＋3＝124k ＋3k≤1243＝3， 当且仅当4k ＝3k ，即k ＝32时，△OAB 面积的最大值为 3.当堂训练1．B 2.D 3.B 4.x －2y ＋3＝05．解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简， 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， 所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， 所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.。
2017_2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程1_1椭圆及其标准方程学案北师大版选修1_1
1．1 椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？思考2 在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？梳理把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________________的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程思考1 椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？思考2 椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|?梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标a ，b ，c 的关系类型一 求椭圆的标准方程命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，a ∶b ＝2∶1，c ＝6； (2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同的焦点．反思与感悟 用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在x 轴上，且经过两个点(2,0)和(0,1)．命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程例2 求经过(2，－2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142两点的椭圆的标准方程．反思与感悟 如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x 轴上和焦点在y 轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，再解答．跟踪训练2 求经过A (0,2)和B (12，3)两点的椭圆的标准方程．类型二 椭圆方程中参数的取值范围 例3 “方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是( )A ．1<m <32B ．1<m <2C ．2<m <3D ．1<m <3反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．(2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练3 已知x 2sin α＋y 2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在x 轴上的椭圆．求α的取值范围．类型三 椭圆定义的应用例4 如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．引申探究在例4中，若图中的直线PF 1与椭圆相交于另一点B ，连接BF 2，其他条件不变，求△BPF 2的周长． 跟踪训练4已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积．1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是( ) A．椭圆B．直线C．圆D．线段2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )A．1 B．2 C．3 D．43．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．5．已知椭圆x249＋y224＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．答案精析问题导学 知识点一思考1 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键． 思考2 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长． 梳理 常数(大于|F 1F 2|) 知识点二思考1 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半．a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2. 思考2 只有当2a >|F 1F 2|时，动点M 的轨迹才是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，点的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，满足条件的点不存在． 梳理 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2－b 2 题型探究例1 解 (1)∵c ＝6，∴a 2－b 2＝c 2＝6.① 又由a ∶b ＝2∶1，得a ＝2b ， 代入①，得4b 2－b 2＝6，解得b 2＝2， ∴a 2＝8.又∵焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为x 28＋y 22＝1.(2)方法一 椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，由椭圆的定义可得 2a ＝3＋42＋15－02＋3－42＋15－02，∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二 由题意可设椭圆的标准方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1， 将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得 3225＋λ＋1529＋λ＝1， 解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知， 2a ＝ －322＋52＋22＋－322＋52－22＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(2,0)和(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.例2 解 设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 将点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.跟踪训练2 解 当焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎨⎧ 4b 2＝1，122a 2＋32b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去．当焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎨⎧4a 2＝1，32a 2＋122b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1，综上可知，椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.例3 A [要使方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，3－m >m －1，解得1<m <2， ∵A 选项中{m |1<m <32}{m |1<m <2}，故选A.]跟踪训练3 解 x 2sin α＋y 2cos α＝1， 可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1sin α>1cos α，1sin α>0，1cos α>0，0≤α≤π，解得0<α<π4.∴α的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.例4 解 在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5， b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，① 由余弦定理知，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4，② ①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2| ＝20，③③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－43－12.引申探究 解 由椭圆的定义，可得△BPF 2的周长为|PB |＋|PF 2|＋|BF 2| ＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝2a ＋2a ＝4a ＝4 5.跟踪训练4 解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4. 又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2| ＝2×2＝4，所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4. 解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.当堂训练1．D 2.B 3.C 4.y 216＋x 2＝1 5.48。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 圆锥曲线
2.2抛物线的简单性质[学习目标] 1.通过图形理解抛物线的对称性、范围、顶点等简单性质.2.掌握抛物线的四种位置及相应的焦点坐标和准线方程.3.能够运用一元二次方程的根的性质解决直线与抛物线的位置关系等问题．知识点一抛物线的简单性质知识点二焦点弦直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p.知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．题型一抛物线的简单性质例1过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．答案322解析 由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程． 解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12.∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y .故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y .准线方程为x ＝－1或y ＝18.题型二 抛物线的焦点弦问题例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0. 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ， 解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2 或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2. 反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . 所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.题型三 直线与抛物线的位置关系例3 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点； (2)两个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点．反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．跟踪训练3 在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px ，得|y |＝p ，∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4.2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)答案 B解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F (14，0)，所以点P 的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)，故选B.3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( ) A ．(1,2) B ．(0,0) C ．(12，1) D ．(1,4)答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ⇒4x 2－4x －m ＝0.① 设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入①式，x ＝12，y ＝1，故所求点的坐标为(12，1)．4．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D ．2x ＋3y －1＝0答案 A解析 设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0，抛物线y 2＝2x 的焦点F (12，0)，所以3×12－2×0＋c ＝0，所以c ＝－32，故直线l 的方程是6x －4y －3＝0.选A.5．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 －14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0， ∵直线与抛物线相切，∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0. ∴a ＝－14.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用． 3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图像，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．。
2017_2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质一学案北师大版选修1_1
1.2 椭圆的简单性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的简单性质已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x225＋y216＝1，C2：y225＋x216＝1.思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2 椭圆具有对称性吗？思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？梳理知识点二椭圆的离心率思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的________，用e表示．(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近1，椭圆越______，当e越接近______，椭圆就越接近圆．类型一椭圆的简单性质引申探究已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．类型二 求椭圆的离心率命题角度1 与焦点三角形有关的离心率问题例2 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝ 1－b 2a2求解．跟踪训练2 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．(2)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．跟踪训练 3 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．类型三 利用椭圆的简单性质求方程 例4 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，且与y 轴的一个交点为(0，－10)，该点与最近的焦点的距离为10－5；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b ，这就是我们常用的待定系数法．跟踪训练4 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程．1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)D ．(0，±69)2.如图，已知直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B ，则椭圆的离心率为( ) A.15 B.25 C.55D.2553．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆标准方程是( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________．5. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为13，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．答案精析问题导学 知识点一思考1 对于方程C 1：令x ＝0，得y ＝±4，即椭圆与y 轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y ＝0，得x ＝±5，即椭圆与x 轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C 2与y 轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x 轴的交点为(4,0)与(－4,0)．思考2 有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形．思考3 C 1：－5≤x ≤5，－4≤y ≤4；C 2：－4≤x ≤4，－5≤y ≤5.梳理 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) |x |≤a ，|y |≤b |x |≤b ，|y |≤a x 轴、y 轴和原点 (±a,0)，(0，±b ) (0，±a )，(±b,0) 2a 2b 知识点二思考 如图所示，在Rt△BF 2O 中，cos∠BF 2O ＝c a ，记e ＝c a，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越圆．梳理 (1)离心率 (2)(0,1) 扁 0 题型探究例1 解 已知方程化成标准方程为 x 216＋y 29＝1， 于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74.又知焦点在x 轴上， ∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，四个顶点坐标分别是A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)和B 2(0,3)．引申探究 解 把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1，可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3， 短半轴长b ＝2.又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)．四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝c a ＝53. 跟踪训练1 解 椭圆方程化为标准形式为x 24＋y 2m ＝1，且e ＝12.(1)当0<m <4时，长轴长和短轴长分别是4,23， 焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m >4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1(0，－233)，F 2(0，233)，顶点坐标为A 1(0，－433)，A 2(0，433)，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．例2 解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |， |AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0，且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得 |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|² |BF 2|²cos∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )²(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ， 所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22. 跟踪训练2 3－1例3 (1)33解析 直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a，∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a)．∴kBF 1＝－b 2a －0c － －c ＝－b 2a 2c ＝－b 22ac ，∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )，令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ²3b 22ac＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝－2±4－4³3³ －3 23＝－2±423，∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.(2)[22，1) 解析 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，－b ≤y ≤b .由题意知，以F 1F 2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点， 则c ≥b ，即c 2≥b 2， 所以c 2≥a 2－c 2， 所以e 2≥1－e 2，即e 2≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是[22，1)． 跟踪训练3 35解析 由题意知2a ＋2c ＝2(2b )， 即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得 5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．例4 解 (1)由题意知a ＝10，a －c ＝10－5，则c ＝ 5.所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以所求椭圆的方程为y 210＋x 25＝1.(2)由e ＝c a ＝23，得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2， 所以a 2＝144，b 2＝80，所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.跟踪训练4 解 ∵椭圆过点(3,0)， ∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．11 ①当椭圆的焦点在x 轴上时，(3,0)为右顶点，则a ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ＝63³3＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝32－(6)2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，(3,0)为右顶点，则b ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－23a 2＝13a 2，∴a 2＝3b 2＝27，∴椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.当堂训练1．D 2.D 3.B 4.[4－23，4＋23]5．解 (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，∵e ＝ca ＝4a ＝13，∴a ＝12，从而b 2＝a 2－c 2＝128，∴椭圆的标准方程为y 2144＋x 2128＝1.(2)由已知得⎩⎨⎧ a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧ a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 圆锥曲线
1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程；能够利用“坐标法”研究椭圆的基本性质；能够利用数形结合思想、分类讨论思想、参数法解决椭圆中的有关问题.2.能够根据所给的几何条件熟练地求出双曲线方程，并能灵活运用双曲线定义、参数间的关系，解决相关问题；准确理解参数a、b、c、e的关系、渐近线及其几何意义，并灵活运用.3.会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质，以及会由几何性质确定抛物线的方程.了解抛物线的一些实际应用.题型一数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单.例1双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为() A.(1,3) B.(1,3]C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)答案 B解析 如图所示，由|PF 1|＝2|PF 2|知P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 在△F 1PF 2中， 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16a 2＋4a 2－4c 22·4a ·2a ＝54－c 24a 2＝54－e 24，∵0<∠F 1PF 2≤π，且当点P 是双曲线的顶点时，∠F 1PF 2＝π， ∴－1≤cos ∠F 1PF 2<1， ∴－1≤54－e 24<1，由e >1，解得1<e ≤3.故选B.跟踪训练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( ) A.x 1，x 2，x 3成等差数列 B.y 1，y 2，y 3成等差数列 C.x 1，x 3，x 2成等差数列 D.y 1，y 3，y 2成等差数列 答案 A解析 如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3，∴选A.题型二 分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论.例2 如果双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±34x ，求此双曲线的离心率.解 当双曲线的焦点在x 轴上时，由已知可得b a ＝34，∵c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2516， ∴双曲线的离心率e ＝54；同理，当焦点在y 轴上时，可求得离心率e ＝53.故双曲线的离心率为54或53.跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P (2，－6)； (2)椭圆过点P (3,0)，且e ＝63.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).由已知得a ＝2b .①∵椭圆过点P (2，－6)，∴4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b 2＝1.②由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.(2)当焦点在x 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴a ＝3. 又c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝3. 此时椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴b ＝3. 又c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. 此时椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.题型三 函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口.用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决.例3 设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率. 解 (1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )， 有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因为直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |， 即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912（k 2＋1）＝1，解得k ＝－64或k ＝64. 所以直线l 的斜率为－64或64. 跟踪训练3 若双曲线x 2a 2－y 216＝1(a >0)的离心率为53，则a ＝________.答案 3解析 由离心率公式，有a 2＋16a 2＝⎝⎛⎭⎫532(a >0)，得a ＝3.故填3.题型四 转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性.例4 已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |＋|MF |取最小值时，点M 的坐标为( ) A.(0,0) B.(1，－22) C.(2，－4) D.(12，－2)答案 D解析 过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义知|MF |＝|ME |. 当点M 在抛物线上移动时，|MF |＋|MA |的值在变化， 显然M 移到M ′，AM ′∥Ox 时，A ，M ，E 共线， 此时|ME |＋|MA |最小，把y ＝－2代入y 2＝8x ， 得x ＝12，∴M (12，－2).跟踪训练4 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k 为定值.②求直线AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为c . 由题意知2a ＝4，2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0). 由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0. 此时k ′k ＝－3.所以k ′k 为定值－3.②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 直线P A 的方程为y ＝kx ＋m .直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m .同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m .所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎫6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”.∵P (x 0，2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，∴x 0＝4－8m 2，故此时2m －m 4－8m 2－0＝66， 即m ＝147，符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为62.1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点.2.圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查.3.虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线.考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是选择题、填空题，也可以是解答题.4.考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，考试对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义、待定系数法、直接法和代入法等方法求圆锥曲线的方程.5.对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用.。
2017_2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程3_1双曲线及其标准方程学案北师大版选修1_1
答案精析
问题导学
知识点一
试探1 曲线上的点知足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；若是改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可取得另一条曲线．
试探2 (1)∵| － |表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，
故可设双曲线的方程为 － ＝1.
由题意，知
解得
故双曲线的方程为 － ＝1.
例4 解 (1)当曲线为椭圆时，
依题意得
解得m<0，即m的取值范围为(－∞，0)．
现在，椭圆的核心在x轴上，核心坐标为(±4,0)．
(2)当曲线为双曲线时，
依题意得(16－m)m>0，
解得0<m<16，即m的取值范围为(0,16)．
(1)与椭圆 ＋ ＝1有公共核心，且过点(－2， )；
(2)焦距为26，且通过点M(0,12)；
(3)过点P(3， )，Q(－ ，5)，且核心在座标轴上．
反思与感悟 待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确信双曲线的核心所在的坐标轴是x轴仍是y轴．
(2)设方程：依照核心位置设出相应的标准方程的形式．
①假设不明白核心的位置，那么进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
由题意知 － ＝1，∴ － ＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍)．
∴b2＝1.
∴双曲线的标准方程为 －y2＝1.
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵点P(4，－2)和点Q(2 ，2 )在双曲线上，
2017_2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程3_2双曲线的简单性质学案北师大版选修1_1
且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为 － ＝1或 － ＝1.
(2)设以y＝± x为渐近线的双曲线方程为 － ＝λ(λ≠0)．
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2 ＝6⇒λ＝ ；
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2 ＝6⇒λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为 － ＝1或 － ＝1.
当e的值慢慢增大时， 的值增大，双曲线的“张口”慢慢增大．
梳理 离心率 (1，＋∞) 越大
题型探讨
例1 解 将9y2－4x2＝－36变形为
－ ＝1，即 － ＝1，
因此a＝3，b＝2，c＝ ，
因此极点坐标为(－3,0)，(3,0)；
核心坐标为(－ ，0)，( ，0)；
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；
即ab＝ c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0，
∴3 2－10× ＋3＝0，
解得 ＝ 或 ＝3.
又∵0<a<b，∴ ＝3.
∴e＝ ＝2.
例4 解 由C与l相交于两个不同点，
知方程组
有两组不同的实根，
消去y并整理得
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①
因此
解得0<a< 且a≠1.
(1)依照条件成立a，b，c的不等式．
(2)通过解不等式得 或 的取值范围，求得离心率的取值范围．
跟踪训练4 已知F1，F2是双曲线 － ＝1(a，b>0)的左，右核心，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，假设△ABF2为钝角三角形，那么该双曲线的离心率e的取值范围为( )
A．(1，＋∞)B．( ＋1，＋∞)
高中数学第二章圆锥曲线章末复习课北师大版选择性必修第一册
跟踪训练3
顺次连接椭圆C：
x2 a2
+
y2 b2
＝1(a>b>0)的四个顶
点恰好构
成了一个边长为 7且面积为4 3的菱形．
原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对任意的直线l，OP⊥EQ
恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
(3) 过 O 点 作 直 线 l 的 平 行 线 与 椭 圆 C 相 交 ， M 为 其 中 一 个 交 点 ， 求
OM 的最大值．
AD + AE
方法归纳
第二章 章末复习课
题型一 定点问题 例1 设椭圆C：xa22 + by22＝1(a>b>0)，F1，F2为左右焦点，B为短轴端 点，长轴长为4，焦距为2c，且b>c，△BF1F2的面积为 3. (1)求椭圆C的方程； (2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线 x＝4相交于点N.试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为 直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在．请说明理由．
方法归纳
求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程 中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这 个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等 于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的 点就是直线或曲线所过的定点．
跟踪训练1 已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E 上一点，且|AF|＝2.
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第二章 圆锥曲线与方程学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．知识点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质知识点二 椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，则△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S ＝b 2tan α2.(2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c . 知识点三 双曲线及渐近线的设法技巧1．由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0(a >0，b >0)，即y ＝______________；双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y 2a 2－x 2b 2＝0(a >0，b >0)，即y ＝__________.2．如果双曲线的渐近线为x a ±yb＝0时，它的双曲线方程可设为__________________． 知识点四 求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 知识点五 三法求解离心率1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上，都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．2．方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．知识点六 直线与圆锥曲线位置关系1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．类型一 圆锥曲线定义的应用例1 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 引申探究将本例的条件|PF 1|·|PF 2|＝32改为|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，求△F 1PF 2的面积．反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．跟踪训练1 已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．随m ，n 变化而变化类型二 圆锥曲线的性质及其应用例2 (1)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0(2)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．反思与感悟 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利解决．跟踪训练2 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.62类型三 直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点P 到左，右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M (0，37)满足|MA |＝|MB |，求直线l 的斜率k 的值．反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．跟踪训练3 如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB →与n ＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．1．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >22．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 225＝1 D.x 281＋y 236＝1 3．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( ) A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 4．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )A.12B.23C.34D.435．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________．在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题．答案精析问题导学 知识点三 1．±b a x ±a bx2.x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0) 题型探究例1 解 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5. 由双曲线的定义，得 ||PF 1|－|PF 2||＝6， 将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2| ＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝100－1002|PF 1||PF 2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×32×1＝16. 引申探究 解 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|＝3|PF 1|，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝9，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝9＋81－1002×3×9＝－527.所以sin ∠F 1PF 2＝81127，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×3×9×81127＝411. 即△F 1PF 2的面积为411.跟踪训练1 B [设P 为双曲线右支上的一点．对椭圆x 2m＋y 2＝1(m >1)，c 2＝m －1，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，对双曲线x 2n－y 2＝1，c 2＝n ＋1，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，∴|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ， |F 1F 2|2＝(2c )2＝2(m ＋n )，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝(2c )2＝|F 1F 2|2， ∴△F 1PF 2是直角三角形，故选B.] 例2 (1)A (2) 6 解析 (1)a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 2的离心率为a 2＋b 2a.∵C 1与C 2的离心率之积为32，∴a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝12，ba ＝22， ∴C 2的渐近线方程为y ＝±22x ， 即x ±2y ＝0.(2)抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，又△FAB 为直角三角形， 则只有∠AFB ＝90°，如图，则A (－1,2)应在双曲线上， 代入双曲线方程可得a 2＝15，于是c ＝a 2＋1＝65. 故e ＝c a＝ 6.跟踪训练2 D [由椭圆可知 |AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. ∵四边形AF 1BF 2为矩形， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，∴2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4， ∴(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|＝12－4＝8， ∴|AF 2|－|AF 1|＝2 2.因此对于双曲线C 2有a ＝2，c ＝3， ∴C 2的离心率e ＝c a ＝62.] 例3 解 (1)由题意知， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22， 所以a ＝ 2. 又因为e ＝c a ＝22， 所以c ＝22×2＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝2－1＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)已知F 2(1,0)，直线斜率显然存在， 设直线的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 22＋y 2＝1，化简得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k. 所以AB 的中点坐标为 (2k 21＋2k 2，－k 1＋2k2)． ①当k ≠0时，AB 的中垂线方程为 y －－k 1＋2k 2＝－1k (x －2k 21＋2k 2)， 因为|MA |＝|MB |，所以点M 在AB 的中垂线上， 将点M 的坐标代入直线方程得， 37＋k 1＋2k 2＝2k 1＋2k 2， 即23k 2－7k ＋3＝0， 解得k ＝3或k ＝36； ②当k ＝0时，AB 的中垂线方程为x ＝0，满足题意． 所以斜率k 的取值为0，3或36. 跟踪训练3 解 (1)因为2c ＝2， 所以c ＝1.又AB →＝(－a ，b )，且AB →∥n ， 所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1， 所以b 2＝1，a 2＝2.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.11 (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1， 消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1. Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1.(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部， 所以OP →·OQ →<0，即x 1x 2＋y 1y 2<0.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1. 由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k22k 2＋1<0，得m 2<23k 2＋23.依题意且满足(*)得，m 2<23，故实数m 的取值范围是(－63，63)．当堂训练1．C 2.A 3.B 4.D 5.2x －y －15＝0。