2020年上海市崇明区高考数学一模试卷
2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟
【题干序号】1已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x x =<…，则A B =I _________．【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】{}1,2【解析】取集合,A B 的公共部分即可，所以，{1,2}A B ⋂= 故答案为：{}1,2【题干序号】2不等式|2|1x -<的解集是________【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】()1,3【解析】由|2|1x -<得121,13x x -<-<<<，所以不等式的解集为()1,3. 故答案为：()1,3【题干序号】3半径为1的球的表面积为________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】4π【解析】2=4S R πQ 球表,1R =,2=41=4S ππ∴⨯⨯球表，故答案为:4π【题干序号】4已知等差数列{}n a 的首项为1,公差为2,则该数列的前n 项和n S =________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】2n【解析】∵等差数列{}n a 的首项为1,公差为2, ∴ 该数列的前n 项和n S =()21122n n n n -⨯+⨯=.故答案为：2n【题干序号】5函数()f x =的反函数是________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】()1fx -=()210x x -≥【解析】由y =可得:x =21y -,0y ≥,∴ ()f x =的反函数是:()1f x -=()210x x -≥,故答案为：()1fx -=()210x x -≥【题干序号】6计算:113232n nn n n lim +-→∞-=+________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】3【解析】11223332333321212112323n nn n n n n n n n n n lim lim lim lim +→∞-→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===+⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：3【题干序号】7在62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_____________．【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】160【解析】由题得62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为6621662()2r r r r r rr T C x C x x --+==，令620,3r r -=∴=所以展开式的常数项为3362=820=160C ⨯.故答案为：160【题干序号】8若双曲线的一个顶点坐标为()3,0,焦距为10,则它的标准方程为________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟【答案】221916x y -=【解析】依题意可知a =3,c =5 ∴4b ==根据顶点坐标可知焦点在x 轴,∴ 双曲线的方程为221916x y -=.故答案为：221916x y -=【题干序号】9已知a ,b R +∈,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直,则ab 的最大值等于________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】18【解析】根据题意,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直, 则有()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,则()211212()2228a b ab a b +=⨯≤⨯=,当且仅当a =122b =时,等号成立; 即ab 的最大值为18,故答案为：18【题干序号】10已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数.当01x <≤时,()f x =31x ax -+,则实数a 的值等于________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】2【解析】∵ 函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数. 当01x <≤时,()f x =31x ax -+,∴ ()1f -=()1f -且()1f -=()12f -+=()1f , ∴ ()1f =0,即()1f =11a -+=2a -=0, ∴ a =2. 故答案为:2.【题干序号】11某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有________种.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】78【解析】根据题意,分3种情况讨论:①,从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙,甲有3种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有333A ⨯=18种选派方法;②,从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲,乙有3种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有333A ⨯=18种选派方法;③,从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙,需要在剩下3人中选出2人,有23C 种选法,选出4人的安排方法有323222A A +⨯⨯种,则此时有()23233222C A A +⨯⨯=42种选派方法;故一共有181842++=78种选派方法; 故答案为：78【题干序号】12正方形ABCD 的边长为4,O 是正方形ABCD 的中心,过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ,与边CD 交于点N ,P 为平面上一点,满足()21OP OB OC λλ=+-u u u r u u u r u u u r,则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最小值为________.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】7-【解析】以O 为坐标原点,以过O 且平行于AB 的直线为x 轴, 以过O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立坐标系,则()2,2B -,()2,2C ,∴()()()()212,212,2OP OB OC λλλλ=+-=-+-u u u r u u u r u u u r=()2,24λ-, ∴()1,12OP λ=-u u u r即P 点坐标为()1,12λ-,设(),2M a -,则(),2N a -,22a -≤≤,∴()1,23PM a λ=--u u u u r ,()1,21PN a λ=--+u u u r∴()()()()112321PM PN a a λλ⋅=---+-+u u u u r u u u r=221443a λλ-+--,当a =2±且41242λ-=-=⨯时,PM PN ⋅u u u u r u u u r 有最小值7-. 故答案为：7-【题干序号】13若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】D【解析】∵0a b << ∴设1,1a b =-=代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D【题干序号】14设z C ∈，则0z z +=是z 为纯虚数的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】B【解析】解：设z a bi =+，则z a bi =-，2z z a +=若0z z +=，则0a =，z bi =，当0b =，则0z =，不是纯虚数 若z 为纯虚数，则0a =，0b ≠，此时20z z a +==成立 所以0z z +=是z 为纯虚数的必要不充分条件 故选B.【题干序号】15如图,,AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点.已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于( )A ．12B ．1C ．4D ．2【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】D【解析】如图所示,过点E 作EH AB ⊥,垂足为H .∵ E 是母线PB 的中点,,∴OH =2EH =. ∴OE =1.在平面CED 内建立直角坐标系如图.设抛物线的方程为2y =2px .(0)p >,F 为抛物线的焦点.(C ,∴2=21p ⋅.解得p =1.1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 即12EF =, ∵ PB =2,PE =1,∴ 该抛物线的焦点到圆锥顶点P=故选：D【题干序号】16若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ） A ．23B ．56C ．1D ．2【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】B【解析】解析： 法一：由题意可知：当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，sin 06x ππ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，故当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，0x a b --≥，即有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B ； 法二：由sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭右图像可得：显然有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B【题干序号】17在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）求直线11B C 与平面1A BC 的距离.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟【答案】(1)arctan. 【解析】(1)因为11B C BC ∥，所以1A CB ∠ (或其补角)是异直线11B C 与1A C 所成角.因为BC AB ⊥，1BC BB ⊥，1AB BB B ?，所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥.1Rt A BC V 中，11tan 1A B ACB BC ∠===1ACB ∠=，所以异面直线11B C 与1A C 所成角的大小为.(2)因为11B C ∥平面1A BC ，所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离，设1B 到平面1A BC 的距离为d ，因为111B A BC A BB C V V --=，11133A BC S d ∆∴⨯=111B BC S A B ∆⨯，可得d =，直线11B C 与平面1A BC .【题干序号】18已知函数21()2cos 2f x x x x R =--∈，． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求a b ，的值．【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】（1），;（2）1a =，2b =．【解析】（1）1cos 21()2sin(2)12226x f x x x π+=--=--，则最小正周期是22T ππ==； 由，得()f x 的单调递减区间，（2）()sin(2)106f C C π=--=，则sin(2)106C π--=， 0C π<<，022C π<<，所以112666C πππ-<-<， 所以262C ππ-=，3C π=，因为sin 2sin B A =，所以由正弦定理得2b a =， ①由余弦定理得2222cos3c a b ab π=+-，即2223c a b ab =+-=② 11分，由①②解得：1a =，2b =．【题干序号】19某辆汽车以x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为145001005x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭升. (1)欲使每小时的油耗不超过9升,求x 的取值范围;(2)求该汽车行驶100公里的油耗y 关于汽车行驶速度x 的函数,并求y 的最小值.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟【答案】（1）[]60,100;（2）y =2118090000909x ⎛⎫-+⎪⎝⎭,(其中60120x ≤≤); 最小值为809升.【解析】（1）由题意,令1450010095x x ⎛⎫⨯-+≤ ⎪⎝⎭,化简得214545000x x -+≤,解得45100x ≤≤; 又因为60120x ≤≤,所以欲使每小时的油耗不超过9升,x 的取值范围是[]60,100;（2）设该汽车行驶100公里的油耗为y ;则100145001005y x x x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭=2118090000909x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,(其中60120x ≤≤); 由60120x ≤≤,知111,12060x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以x =90时,汽车行驶100公里的油耗取得最小值为809升.【题干序号】20已知椭圆22:14x y Γ+=,其左右顶点分别为A ,B ,上下顶点分别为C ,D .圆O 是以线段AB 为直径的圆. (1)求圆O 的方程;(2)若点E ,F 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点,直线CE ,DF 分别交x 轴于点M ､N ,求证:OM ON ⋅u u u u r u u u r 为定值;(3)若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点,直线AP 与圆O 的另一个交点为Q .是否存在点P ,使得13AP PQ =u u u r u u u r?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟【答案】（1）22x y +=4;（2）4-；（3）不存在点P ,使得13AP PQ =u u u v u u u v，见解析【解析】（1）由题意得:()2,0A -,()2,0B ,∴ 圆O 的圆心为原点,半径为2,∴ 圆O 的方程是22x y +=4;（2）由题意可知:()0,1C ,()0,1D -,设()00,E x y ,则()00,F x y -,()01x ≠, ∴ 直线CE 的方程是:0011y x y x -=-,∴点00,01x M y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭,同理点00,01x N y ⎛⎫⎪+⎝⎭, 又∵ 点()00,E x y 在椭圆2214x y +=上,∴ 220014x y +=∴ 22002200414x x OM ON x y ⋅===---u u u u r u u u r , （3）显然直线AP 的斜率存在,设其方程为:y =()2k x +,联立方程()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,化简得:()22221416164k x k x k +++-=0, 设()11,P x y ,则()21216214k x k+-=-+, 所以()12AP =--=, 因为圆心O 到直线AP的距离d = 所以AQ== 假设存在点P ,使得13AP PQ =u u u r ,则AQ =4AP ,所以=化简得:244k +=214k +,此方程在实数范围内无解, 故原假设错误,即不存在点P ,使得13AP PQ =u u u r u u u r.【题干序号】21已知无穷数列{}n a ,{}n b ,{}n c 满足:对任意的*n N ∈,都有1n a +=n n b c -,1n b +=n n c a -,1n c +=n n a b -.记n d ={},,n n n max a b c ({},,max x y z 表示3个实数x ,y ,z 中的最大值).(1)若1a =1,1b =2,1c =4,求4a ,4b ,4c 的值; (2)若1a =1,1b =2,求满足2d =3d 的1c 的所有值;(3)设1a ,1b ,1c 是非零整数,且1a ,1b ,1c 互不相等,证明:存在正整数k ,使得数列{}n a ,{}n b ,{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0.【答案序号】【来源】2020届上海市崇明区高三第一次高考模拟 【答案】（1）4a =0,4b =1-,4c =1.（2）2-,1-,1,2.（3）见详解【解析】（1）由题意:2a =11b c -=24-=2-;2b =11c a -=41-=3;2c =11a b -=12-=1-;以此类推,看得出4a =0,4b =1-,4c =1.（2）若1a =1,1b =2,1c =x ,则2a =2x -,2b =1x -,2c =1-,22,011,121,2x x d x x x ⎧-≤<⎪=≤<⎨⎪-≥⎩,3a =11x --,3b =12x --,3c =21|x x ---,当01x ≤<时,3a =x -,3b =1|x -,3c =1,3d =1,由3d =2d ,得|x =1,不符合题意. 当12x ≤<,3a =2x -,3b =1x -,3c =32x -,32,1 1.51,1.52x x d x x ⎧-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎩,由3d =2d ,得x =1,符合题意.当2x ≥,3a =2x -,3b =3x -,3c =1-,31,23,2,3,x d x x ⎧≤<⎪=⎨-≥⎪⎩由3d =2d ,得x =2,符合题意,综上1c 的取值是:2-,1-,1,2.（3）先证明：存在正整数3k ≥,使,k a ,k b ,k c 中至少有一个为零, 假设对任意正整数3k ≥,k a ,k b ,k c 都不为零,由1a ,1b ,1c 是非零整数,且1a ,1b ,1c 互不相等,得1*d N ∈,*2d N ∈,若对任意3k ≥,k a ,k b ,k c 都不为零,则*k d N ∈.即对任意1k ≥,*k d N ∈. 当1k ≥时,1k a +={}|,k k k kkb c max b c d -<≤,1k b+=k k k c a d -<,1k c +=k k k a b d -<,所以1k d +={}111,,k k k k max a b c d +++<,所以{}k d 单调递减,由2d 为有限正整数,所以必存在正整数3m ≥,使得0m d ≤,矛盾,所以存在正整数3k ≥,使k a ,k b ,k c 中至少有一个为零,不妨设k a =0,且10a ≠,20a ≠…10k a -≠,则1k b -=1k c -,且1k b -=11k k c a --≠, 否则若1k b -=1k c -=1k a -,因为111k k k a b c ---++=0, 则必有1k a -=1k b -=1k c -=0,矛盾.于是,k b =110k k c a ---≠,k c =110k k a b ---≠,且k b =k c -,所以,1k a +=0,1k b +=k c ,1k c +=k b -=k c -,以此类推,即有:对n k ∀≥,n a =0,1n b +=k c ,1n c +=k c -,0k c ≠,此时有且仅有一个数列{}n a自k项起各项均为0.综上:结论成立.试卷第11页，总11页。
2020年上海崇明县高考理科数学一模卷答案
上海市崇明县2020届高三一模数学试题（理科）参考答案一、填空题1、3+5i2、512π 3、+=0x y 4、[]-1,1 5、1- 6、10 7、30 8、4 9、89 10、-2a ≤ 11、12 12、( 13、1830 14、(-4,-2) 二、选择题15、C 16、C 17、C 18、A三、解答题19、1(x)=sin2x+cos2x f （）(2x+)4π=T π∴（2）因为32x+444πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以sin (2x+)4π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ,所以(x)f ⎡∈-⎣ 函数的增区间为48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，减区间为84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 20、（1）方法一、以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系,设AB a =，则1,1,12a B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，1(0,1,1)AD =u u u u r . 所以 , 11110,B E AD B E AD ⋅=⊥u u u r u u u u r 。
另解：11AA D D 为正方形，所以11A D AD ⊥，111111A D AD AD B CD CD AD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭面A 。
11111B E A B CD AD B E ⊆⇒⊥又面。
（2）因为()()12,0,11,1,0,AB AE ==u u u r u u u r ，所以取面AB 1E 的一个法向量为()1=1,-1,-2n u r ，同理可取面A 1B 1E 一个法向量为()2=0,1,1n u u r ，设二面角A-B 1E-A 1为α，则1212cos =2n n n n α⋅=⋅，=6πα所以即二面角A-B 1E-A 1的大小为6π. 22、解：（1）22(x)=x +-1f x ，令2(x)=0f，得x所以21(x)(,1)22f 在区间内的零点是x=。
（2）证明：因为 n 1()<02f ，n (1)>0f 。
崇明区2020届第二次高考模拟考试数学学科参考答案及评分标准
崇明区2020届第二次高考模拟考试数学学科参考答案及评分标准一、填空题1. 2-；2. [0,2]；3. 12i -；4. 1；5. ；6. 32；7. 79-； 8. 8； 9. 23π； 10. 7； 11. 34； 12. 154. 二、选择题13. A ； 14. B ； 15. D ； 16.A . 三、解答题 17. 解：（1）联结BD ，因为ED ⊥平面ABCD ，所以EBD ∠是直线BE 与平面ABCD 所成的角……………2分在Rt EDB V 中，tan4DB EBD DE ∠===所以arctan4EBD ∠=所以直线BE 与平面ABCD 所成的角的大小是arctan4…………………………6分 （2）以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、1AA 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,1)A B C E所以1(2,0,2)BA =-u u u r ，1(0,2,1)A E =-u u u r，(0,0,2)BC =u u u r …………………………2分 设平面1A BE 的一个法向量为(,,)n u v w =r，则110,0n BA n A E ⋅=⋅=r u u u r r u u u r ，所以22020u w v w -+=⎧⎨-=⎩ 取1v =，则2u w ==，于是平面1A BE 的一个法向量为(2,1,2)n =r…………………5分于是点C 到平面1A BE 的距离||23||n BC d n ⋅==r u u u rr …………………………8分18. 解：（1）函数()f x 的定义域是R ，任取12,x x R ∈，设12x x <，有1212121212()()2(2)(22)(1)222x x x x x x x x a a a f x f x +-=---=-+…………………………3分 因为12x x <，所以12220xx -<，又0a >，所以12()()0f x f x -<，所以函数()f x 在其定义域上是增函数…………………………6分（2）当1a =时，11()2(2)()22xxx xf x f x ---=-=--=- 所以函数()f x 是奇函数…………………………2分 当1a ≠时，1(1)2,(1)222a f f a =--=- 若(1)(1)f f -=-，则1a =，与1a ≠矛盾，所以函数()f x 不是奇函数………………5分 若(1)(1)f f -=，则1a =-，与0a >矛盾，所以函数()f x 不是偶函数综上所述，当1a =时，函数()f x 是奇函数，当1a ≠时，函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数…………………………8分19.解：（1）联结BD ，则在BCD V 中2,45BD BDC ︒=∠=由sin sin BD BCBCD BDC=∠∠，得：2sin 45 1.633sin1203BC ︒︒==≈ 所以BC 的长约为1.633千米…………………………6分 （2）方法一：设(0)3CBD πθθ∠=<<，则3BDC πθ∠=-在BCD V 中，由sin sin sin BD BC CDBCD BDC CBD==∠∠∠， 得：sin(),3BC CD πθθ=-=…………………………3分所以[sin()sin ])33BC CD ππθθθ+=-+=+…………………………6分所以当6πθ=时，BC CD + 4+千米，约为6.309千米………8分方法二：设BC x =千米，CD y =千米，（,x y R +∈）在BCD V 中，由222cos 2BC CD BD BCD BC CD+-∠=⋅，得2240x y xy ++-=………………2分 所以2()4x y xy +-=又由x y +≥21()4xy x y ≤+，当且仅当x y =时等号成立………………………6分 所以221()4()4x y x y +-≤+故x y +≤4+千米，约为6.309千米………………8分19. 解：（1）椭圆Γ的右焦点(1,0)F ，由22112x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(A -，所以||AF =4分（2）证明：由题意，得：((,A t B t所以直线AF1)(1)x t y -=-直线BC2)(2)x t y -=-由1)(1)2)(2)x t y x t y -=--=-，得：3423t x t y -⎧=⎪-⎪⎨⎪⎪=⎩即点P的坐标是34(23t t --因为222234()8241823122(23)t t t t t --+-+==- 所以点P 在椭圆Γ上…………………………5分（3）证明：设直线AP 的方程是1x my =+，代入2212x y +=中，得 22(2)210m y my ++-= 设1122(,),(,)A x y P x y ，则有12122221,22m y y y y m m -+=-⋅=++所以12||y y -==…………………………3分因为2424444m m m +≤++，当且仅当0m =时等号成立所以24244144m m m +≤++所以1≤，12||y y -6分所以121||||22PAC S FC y y =-≤V …………………………7分20. 解：（1）当110a =时，{}n a 中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,L ，所以91058(421)237S =+++++⨯=. …………………………4分 （2）① 若1a 是奇数，则213a a =+是偶数，213322a a a +==， 由317S =，得1113(3)172a a a ++++=，解得15a =，适合题意……………2分 ② 若1a 是偶数，不妨设*12()a k k =∈N ，则122a a k ==. 若k 是偶数，则2322a k a ==，由317S =，得2172kk k ++=，此方程无整数解； 若k 是奇数，则33a k =+，由317S =，得2317k k k +++=，此方程无整数解. 综上，15a =. …………………………6分 （3）首先证明：一定存在某个i a ，使得6ia ≤成立.否则，对任意*i ∈N ，都有6i a >，当i a 为奇数时，有232i i i a a a ++=< 当i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i aa a +=< 因此，若对任意*i ∈N ，都有6i a >，则135,,,a a a L 单调递减………………4分 注意到*n a ∈N ，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个i a ，使得6ia ≤成立 (6)分经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1； 当6i a =时，{}n a 中出现3，综上，{}n a 中总有一项为1或3. …………………………8分。
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
2020年上海崇明县高考理科数学一模卷
崇明县2020学年第一学期期末考试试卷高 三 数 学(理科)（考试时间120分钟，满分150分）一、填空题（每题4分，共56分）1、设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =.2、已知(0,)απ∈且tan()4πα+=，则α=.3、过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是.4、若集合131{,11},{2,01}A y y x x B y y x x==-==-<≤≤≤，则A B I 等于 .5、已知1()y f x -=是函数2()2f x x =+(0)x ≤的反函数，则1(3)f -=.6、251()x x -展开式中x 7这个数列的第389、数列{}n a 前n 项和为n S ，则n 10、已知：条件A ：22031xx >-，条件B ：x a >， 如果条件A 是条件B 的充分不必要条件， 则实数a 的取值范围是.11、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值等于 .12、在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP u u u r 按逆时针旋转34π后得向量OQ u u u r ，则点Q 的坐标是 .第7题图13、数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和等于.14、已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-，若同时满足条件：①对于任意x R ∈，()0f x <或()0g x <成立； ②存在(,4)x ∈-∞-，使得()()0f x g x ⋅<成立．则m 的取值范围是.二、选择题（每题5分，共20分）15、设函数()sin ,f x x =x R ∈，则下列结论错误的是………………………………………（ ） A ．()f x 的值域为[0,1] B ．()f x 是偶函数C ．()f x 不是周期函数D ．()f x 不是单调函数16、下面是关于复数21z i=-+的四个命题： ①2z =； ②22z i =； ③z 的共轭复数为1i +； ④z 的虚部为1-．其中正确的命题……………………………………………………………………………（ ）A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（ ）AB ．C ．4D ．818、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为……………………（ ）A ．35B ．815C ．25D ．15三、解答题（本大题共74分，解答下列各题需要必要的步骤）19、（本题12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）已知函数2()=sin(2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--, x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的值域以及函数()f x 的单调区间．20、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AA AD ==, E 为CD 中点．（1）求证：11B E AD ⊥；（2）若2AB =，求二面角11A B E A --的大小．21、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）已知数列{}n a ，记123()n A n a a a a =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, 2341()n B n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, 3452()n C n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, (1,2,3,......)n =，并且对于任意n N *∈，恒有0n a >成立．（1）若121,5a a ==，且对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n N *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列．ABCE DA 1D 1B 1C 1。
2022届上海市崇明区高考数学一模试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．172．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．3．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．34．已知x 与y 之间的一组数据：x1 2 3 4 ym3.24.87.5若y 关于x 的线性回归方程为 2.10.25y x =-，则m 的值为（ ） A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．4.55．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log 5)a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>6．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）A ．7πB ．6πC ．5πD ．4π7．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥8．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．59．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N10．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( )A ．13(,)34B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,1)211．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 12．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1B ．1C ．0D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年上海市崇明区高考数学一模试卷
上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a }，若A ∪B={1，2，3，5}，则a= ．2．（4分）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 ．3．（4分）不等式＜0的解是 ．4．（4分）若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 5．（4分）在代数式（x ﹣）7的展开式中，一次项的系数是 ．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．7．（5分）若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，），则a= ． 8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm 3，则该几何体的侧面积为 cm 2．9．（5分）已知函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ，且f （2）=2，则a= ．10．（5分）若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，则a= ．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC 中，BC 边上的中垂线分别交BC ，AC 于点D ，E ．若•=6，||=2，则AC= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13．（5分）展开式为ad ﹣bc 的行列式是（ ）祝您高考马到成功！A ．B ．C ．D ．14．（5分）设a ，b ∈R ，若a ＞b ，则（ ） A ．＜ B ．lga ＞lgb C ．sin a ＞sin b D ．2a ＞2b15．（5分）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y 2=1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任一点，若=a+b（a ，b ∈R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+b 2≥1 B ．|ab |≥1 C ．|a +b |≥1 D ．|a ﹣b |≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°，（1）求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角的大小．18．（14分）已知f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1．（1）求f （x ）的最大值及该函数取得最大值时x 的值； （2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若a=，b=，且f （）=，求边c 的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规祝您高考马到成功！划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （n ∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n ）为正值时，认为该项目赢利． （1）试求 f （n ）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由． 20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：+y 2=1 （a ＞0，a ≠1）的两个焦点分别是F 1，F 2，直线l ：y=kx +m （k ，m ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形，求a 的值；（2）若k=1，且△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系；（3）若a=2，且k OA •k OB =﹣，求证：△OAB 的面积为定值．21．（18分）若存在常数k （k ＞0），使得对定义域D 内的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，则称函数f （x ）在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”． （1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数f （x ）=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由； （3）若y=f （x ）（x ∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x 1，x 2，都有 |f （x 1）﹣f （x 2）|≤1．祝您高考马到成功！上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a }，若A ∪B={1，2，3，5}，则a= 3 ． 【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a }， A ∪B={1，2，3，5}， ∴a=3． 故答案为：3．2．（4分）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 （1，0） ．【解答】解：∵抛物线y 2=4x 是焦点在x 轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是 （﹣1，0） ．【解答】解：不等式＜0，即 x （x +1）＜0，求得﹣1＜x ＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= 1﹣i ． 【解答】解：由iz=1+i ，得z==1﹣i故答案为：1﹣i ．5．（4分）在代数式（x ﹣）7的展开式中，一次项的系数是 21 ．（用数字作答）祝您高考马到成功！【解答】解：（x ﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2， ∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= 2 ．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知 函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，）， 则：（，）满足f （x ）=x α， 所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm 3，则该几何体的侧面积为 18π cm 2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm ，则圆柱体的体积为 V=πa 2•a=27π，祝您高考马到成功！解得a=3cm ；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm 2． 故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ，且f （2）=2，则a= ﹣ ．【解答】解：∵函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ， ∴x ＞0时，﹣f （x ）=2﹣x ﹣a （﹣x ）， ∴f （x ）=﹣2﹣x ﹣ax ， ∵f （2）=2，∴f （2）=﹣2﹣2﹣2a=2， 解得a=﹣． 故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，则a= 2 ．【解答】解：无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，可得=a ，即有=a ，即为2a 2﹣5a +2=0， 解得a=2或，由题意可得0＜|q |＜1， 即有0＜|a ﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立． 故答案为：2．祝您高考马到成功！11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 780 种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论： ①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C 53C 31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况， 此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C 52C 32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C 51C 33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法， 则一共有360+360+60=780； 故答案为：780．12．（5分）在ABC 中，BC 边上的中垂线分别交BC ，AC 于点D ，E ．若•=6，||=2，则AC= 4 ．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示， 设B （﹣a ，0），C （a ，0），E （0，b ），∠ABC=α， 由||=2，知A （﹣a +2cosα，2sinα），∴=（a ﹣2cosα，b ﹣2sinα），=（2a ，0）， ∴•=2a （a ﹣2cosα）+0=2a 2﹣4acosα=6，∴a 2﹣2acosα=3； 又=（2a ﹣2cosα，﹣2sinα），祝您高考马到成功！∴=（2a ﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a 2﹣8acosα+4 =4（a 2﹣2acosα）+4 =4×3+4 =16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13．（5分）展开式为ad ﹣bc 的行列式是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad ﹣bc ，由题意得，=ad ﹣bc ．故选B ．14．（5分）设a ，b ∈R ，若a ＞b ，则（ ） A ．＜ B ．lga ＞lgb C ．sin a ＞sin b D ．2a ＞2b【解答】解：由a ＞b ，利用指数函数的单调性可得：2a ＞2b ．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A ，B ，C 不正确． 故选：D ．祝您高考马到成功！15．（5分）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解答】解：∵S 4+S 6＞2S 5， ∴4a 1+6d +6a 1+15d ＞2（5a 1+10d ）， ∴21d ＞20d ， ∴d ＞0，故“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”充分必要条件， 故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y 2=1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任一点，若=a+b（a ，b ∈R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+b 2≥1B ．|ab |≥1C ．|a +b |≥1D ．|a ﹣b |≥2【解答】解：双曲线﹣y 2=1的渐近线为：y=±x ．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A （2，1），B （2，﹣1）．=a+b=（2a +2b ，a ﹣b ）．代入双曲线方程可得：﹣（a ﹣b ）2=1，化为ab=． ∴=ab ，化为：|a +b |≥1．故选：C ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，A 1C 与底面ABCD 所祝您高考马到成功！成的角为60°，（1）求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2， ∴AA 1⊥平面ABCD ，AC==2，∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角， ∵A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°， ∴∠A 1CA=60°，∴AA 1=AC•tan60°=2•=2， ∵S 正方形ABCD =AB ×BC=2×2=4， ∴四棱锥A 1﹣ABCD 的体积： V===． （2）∵BD ∥B 1D 1，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A 1D=A 1B==2， ∴cos ∠A 1BD===．∴∠A 1BD=arccos．∴异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角是arccos．祝您高考马到成功！18．（14分）已知f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1．（1）求f （x ）的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若a=，b=，且f （）=，求边c 的值．【解答】解：f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1=sin2x +cos2x=2sin （2x +）（1）当2x +=时，即x=（k ∈Z ），f （x ）取得最大值为2；（2）由f （）=，即2sin （A +）=可得sin （A +）=∵0＜A ＜π ∴＜A ＜ ∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4 当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．祝您高考马到成功！19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （n ∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n ）为正值时，认为该项目赢利． （1）试求 f （n ）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计投入为8+2（n ﹣1）=2n +6（千万元），第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f （n ）=﹣（2n +6）=﹣2n ﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f （n +1）﹣f （n ）=[﹣2（n +1）﹣7]﹣[﹣2n ﹣7]=[﹣4]，∴当n ≤3时，f （n +1）﹣f （n ）＜0，故当n ≤4时，f （n ）递减； 当n ≥4时，f （n +1）﹣f （n ）＞0，故当n ≥4时，f （n ）递增． 又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利； 方法二：设f （x ）=﹣2x ﹣7（x ≥1），则f′（x ）=，令f'（x ）=0，得=≈=5，∴x ≈4．祝您高考马到成功！从而当x ∈[1，4）时，f'（x ）＜0，f （x ）递减； 当x ∈（4，+∞）时，f'（x ）＞0，f （x ）递增． 又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：+y 2=1 （a ＞0，a ≠1）的两个焦点分别是F 1，F 2，直线l ：y=kx +m （k ，m ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形，求a 的值； （2）若k=1，且△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系； （3）若a=2，且k OA •k OB =﹣，求证：△OAB 的面积为定值．【解答】解：（1）∵M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形， ∴△MF 1F 2为等腰直角三角形， ∴OF 1=OM ， 当a ＞1时，=1，解得a=，当0＜a ＜1时，=a ，解得a=，（2）当k=1时，y=x +m ，设A （x 1，y 1），（x 2，y 2），由，即（1+a 2）x 2+2a 2mx +a 2m 2﹣a 2=0，∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2=，∵△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴•=0，祝您高考马到成功！∴x 1x 2+y 1y 2=0， ∴+=0，∴a 2m 2﹣a 2+m 2﹣a 2=0 ∴m 2（a 2+1）=2a 2，（3）证明：当a=2时，x 2+4y 2=4， 设A （x 1，y 1），（x 2，y 2）， ∵k OA •k OB =﹣， ∴•=﹣，∴x 1x 2=﹣4y 1y 2， 由，整理得，（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4=0．∴x 1+x 2=，x 1x 2=，∴y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2 =++m 2=，∴=﹣4×，∴2m 2﹣4k 2=1， ∴|AB |=•=•=2•=∵O 到直线y=kx +m 的距离d==，∴S △OAB =|AB |d==•==1祝您高考马到成功！21．（18分）若存在常数k （k ＞0），使得对定义域D 内的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，则称函数f （x ）在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”． （1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数f （x ）=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f （x ）（x ∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x 1，x 2，都有 |f （x 1）﹣f （x 2）|≤1． 【解答】解：（1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x 1，x 2（x 1≠x 2），均有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，不妨设x 1＞x 2，则k ≥=恒成立．∵1≤x 2＜x 1≤4，∴＜＜，∴k 的最小值为．（2）f （x ）=log 2x 的定义域为（0，+∞），令x 1=，x 2=，则f （）﹣f （）=log 2﹣log 2=﹣1﹣（﹣2）=1， 而2|x 1﹣x 2|=，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞2|x 1﹣x 2|， ∴函数f （x ）=log 2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内f （a ）=M ，f （b ）=m ，则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b ）≤|a ﹣b |． 若|a ﹣b |≤1，显然有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|a ﹣b |≤1． 若|a ﹣b |＞1，不妨设a ＞b ，则0＜b +2﹣a ＜1，祝您高考马到成功！∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．！功成到马考高您祝。
上海市崇明县2020年高三数学高考模拟考试 理 沪教版 新课标
上海市崇明县2020年高考第二次模拟考试 数 学 试 卷（理科使用）（满分150分，答题时间120分钟）注意：在本试卷纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．一、填空题（每小题4分，共56分）1、已知z 为复数，且(2)1i z i +=，则z = .2、已知集合{}31|log ,1,|,12xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B ⋃= .3、若3tan 0x +=，当[]0,x π∈时，cos x = . 4、不等式11111x x+≥-的解集为 .5、若关于x 的函数1axy x =-（0a ≠，a R ∈）的反函数 是其本身，则a = .6、运行如右图所示的程序框图，其输出结果k = .7、若1)n x的展开式中第5项是常数项，则常数项等于 .8、若A 、B 两点的极坐标分别为(4,)3A π，(6,0)B则AB = .9、已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则圆锥的体积等于 .10、已知双曲线221124x y -=的右焦点为(,0)F c ，点P 到(,0)F c 的距离比到直线50x +=的距离 少1，则点P 的轨迹方程为 .11、某校组织科普知识竞赛，每位选手需要回答三个问题. 竞赛规则规定：每题回答正确得100分；回答不正确得100-分. 某选手每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否（第6题图）相互间没有影响. 该选手回答三个问题总得分的数学期望值等于 .12、已知直线:230l x y ++=的方向向量为d u r，圆C ：222()()x a y b r -+-=的圆心为Q (,)a b ，半径为r . 如果从{}1,2,3,4,...,9,10中任取3个不同的元素分别作为,,a b r 的值，得到不同的圆，能够使得0d OQ ⋅=u r u u u r（O 为坐标原点）的概率等于 .（用分数表示）13、已知正数数列{}n a （n N *∈）定义其“调和均数倒数”12111nn a a a V n ++⋅⋅⋅+=（n N *∈），那么 当12n n V +=时，2010a = . 14、若函数2()21(0,)f x tx x t t =-++<为常数，对于任意两个不同的12,x x ，当[]12,2,2x x ∈-时，均有1212|()()|||f x f x k x x -≤- ( k 为常数，k R ∈) 成立，如果满足条件的最小正整数k 等于4，则实数t 的取值范围是 .二、选择题（每小题5分，共20分） 15、（ ）A ．16-B ．16C ．164i -D．1416、函数()2cos()cos()44f x x x ππ=+-是 ……………………………………………………（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数17、农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成. 2020年某地区农民人均收入为6300元（其中工资性收入为3600元，其它收入为2700元），预计该地区自2020年起的5年内，农民的工资性收入将以6%的年增长率增长；其它收入每年增加320元. 根据以上数据，2020年该地区农民人均收入介于……………………………………………………………………（ ）A ．8400元～8800元B ．8800元～9200元C ．9200元～9600元D ．9600元～10000元18、若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，1()2f x x=-，以下命题： ① 0x >时，1()2f x x =-； ②()f x 在区间()0,+∞单调递增；③()f x 的反函数1()f x -的定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；④ 函数()y f x =的图像与函数()y f x s t =--的图像关于点(,)22s t对称.其中正确命题的序号是……………………………………………………………………（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④三、解答题（本大题共有5题，满分74分，解答下列各题必须写出必要的步骤） 19、（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）已知向量(cos sin ,1),(2cos 2sin ,1)a x x b x x =-=+r r ，()4f x a b =⋅-r r（1）求函数()f x 的最小正周期及值域；（2）若()()224f f ααπ-+=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求角α的值.20、（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）在四棱锥S OABC -中，SO ⊥底面OABC ，底面OABC 为正方形. 2SO OA ==， 点P 满足AP AS λ=u u u r u u u r，D 为BC 的中点.（1）当12λ=时，求二面角P OB A --的大小； （2）是否存在[]0,1λ∈，使OP SD ⊥u u u r u u u r，若存在 求出λ的值；若不存在请说明理由.21、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分） 已知函数1().f x a x=-（1）求证：函数()y f x =在(0,)+∞上是增函数；（2）若()2f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数()y f x =在[],m n 上的值域是[],m n （m n ≠），求实数a 的取值范围.22、（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）与双曲线22131x y -=有相同的焦点12(,0),(,0)F c F c -（0c >），P 为椭圆上一点， 12PF F ∆的最大面积等于过点(3,0)N -且倾角为30︒的直线l 交椭圆于A 、 B 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：点1(,0)F c -在以线段AB 为直径的圆上；SP OABD C（3）设E 、F 是直线l 上的不同两点，以线段EF 为直径的圆过点1(,0)F c -，求EF 的最小值 并求出对应的圆方程.23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数6()5f x x=-，数列{}n a 满足：11,(),.n n a a a f a n N *+==∈ （1）若对于n N *∈，都有1n n a a +=成立，求实数a 的值； （2）若对于n N *∈，都有1n n a a +>成立，求实数a 的取值范围；（3）请构造一个无穷数列，满足以下关系：①1,n n n N b b *+∈<时成立；②当a 为数列{}n b 中的任意一项时，数列{}n a 必含有某一项的值为1.崇明县2020年高考第二次模拟考试理科试卷解答及评人标准一、填空题答案 5 1820 7233π x y 162=题号 11 121314答案 180118 2010111,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、选择题 题号 15 16 17 18 答案 ACBB三、解答题19、解： （1）函数()4f x a b =⋅-r r=32cos 2-x函数()f x 的最小正周期为π；函数()f x 值域为[]1,5--（2）由6)42()2(=+-πααf f 得()6sin cos 2=+αα；234sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πα，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+43,44πππα，得34ππα=+或324ππα=+； 所以：12πα=或125πα=20、解：如图分别以OA 、OC 、OS 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（1）可知()()()0,0,2,1,0,1,2,2,0OS OP OB ===u u u r u u u r u u u r设平面POB 的法向量为(),,n x y z =r由00n OP n OB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u ur 得00x y x z +=⎧⎨+=⎩可得()1,1,1n =-r 记二面角P OB A --的平面角为θ，3cos 3θ=二面角P OB A --的平面角为3cosarc （2）设点P 为(),0,x z ，()()2,0,2,2,0,AS AP x z =-=-u u u r u u u r由AP AS λ=u u u r u u u r 得2222,22x x z z λλλλ-=-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩， ()()1,2,2,22,0,2SD OP λλ=-=-u u u r u u u r,0SD OP ⋅=u u u r u u u r 得13λ=21、解：1)任取120x x <<<+∞ 121211()()f x f x a a x x -=--+ =122112110x x x x x x --=< 所以：函数()y f x =在(0,)+∞上是增函数 2) 若()2f x x <在(1,)+∞上恒成立,得12a x x -<即12a x x <+ 记1()2g x x x=+,在(1,)+∞上是增函数，得()(1)3g x g >=，所以：3a ≤3）函数()y f x =的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞ ⅰ)当0n m >>时，()f x 在[],m n 上是增函数()()f m mf n n=⎧⎨=⎩略解：2a >ⅱ) 当0n m >>时，()f x 在[],m n 上是减函数()()f m nf n m=⎧⎨=⎩略解：0a =所以：{}()02,a ∈⋃+∞22、解：1)2,c b a ===椭圆方程为：22162x y += 2）:3)3AB l y x =+，点()12,0F -22(3)3162y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，22630x x ++=圆心3,22⎛-- ⎝⎭12AB r ===圆方程为223()(122x y +++= 点()12,0F -满足圆方程223()(122x y +++=。
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2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．（4分）不等式＜0的解是．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且S n=a，则a=．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=3．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则：（，）满足f（x）=xα，所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=﹣．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，∵f（2）=2，∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且S n=a，则a=2．【解答】解：无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且S n=a，可得=a，即有=a，即为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由题意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立．故答案为：2．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有780种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法，则一共有360+360+60=780；故答案为：780．12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=4．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），∴=（a﹣2cosα，b﹣2sinα），=（2a，0），∴•=2a（a﹣2cosα）+0=2a2﹣4acosα=6，∴a2﹣2acosα=3；又=（2a﹣2cosα，﹣2sinα），∴=（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a2﹣8acosα+4=4（a2﹣2acosα）+4=4×3+4=16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．故选：D．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，=AB×BC=2×2=4，∵S正方形ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，∴S=|AB|d==•==1△OAB21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。