2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业(十三)抛物线及其标准方程新人教B版选修2_1
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 课时作业13 抛物线及其标准方程(含解析)新人教A版高二选修2-1
课时作业13 抛物线及其标准方程[基础巩固]一、选择题1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A．y2＝－4x B．x2＝4yC．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )A.18B．－18C．8 D．－83．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A．圆 B．椭圆C．直线 D．抛物线4．抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是( )A．4 B．8C．16 D．325．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x23p ＋y2p＝1的一个焦点，则p＝( )A．2 B．3C．4 D．8二、填空题6．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．7．抛物线y2＝12x上一点M的横坐标是3，纵坐标大于0，则点M到焦点的距离是________．8．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA＝________m.三、解答题9．若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线的方程．10．平面上一动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．[能力提升]11．已知定点A(1,1)和直线l：x＋y－2＝0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为( )A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线12．若抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是________．13．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．14．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB 的宽度恰好是拱高OD的4倍．设拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值．课时作业13 抛物线及其标准方程1．解析：设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.答案：C2．解析：抛物线y＝ax2的标准方程是x2＝1ay，则其准线方程为y＝－14a＝2，所以a ＝－18.答案：B3．解析：如图，设P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．答案：D4．解析：因为横坐标为6的点到焦点的距离是10，所以该点到准线的距离为10，抛物线的准线方程为x＝－p2，所以6＋p2＝10，所以p＝8.答案：B5．解析：∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为p2，0，∴由已知得椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点为p2，0.∴3p－p＝p24，又p＞0，∴p＝8.答案：D6．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，p＝2，准线方程为x＝－p2＝－1.答案：2 x＝－17．解析：y2＝12x中，2p＝12，p＝6，焦点坐标是F(3,0)．方法一将x＝3代入y2＝12x中，得y2＝36，又M的纵坐标大于0，则y＝6，所以M(3,6)，则|MF|＝3－32＋0－62＝6.方法二由焦半径公式知|MF|＝3＋p2＝3＋3＝6.答案：68．解析：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p•(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，因为点A(－4，y0)在抛物线上，所以16＝－5y0即y0＝－165，所以OA的长为5－165＝1.8(m)．即管柱OA的长为1.8 m.答案：1.89．解析：∵点M到对称轴的距离为6，且抛物线的对称轴为x轴，∴可设点M的坐标为(x,6)．又∵点M到准线的距离为10，∴62＝2px，x＋p2＝10，解得x＝9，p＝2或x＝1，p＝18.故当点M的横坐标为9时，抛物线的方程为y2＝4x；当点M的横坐标为1时，抛物线的方程为y2＝36x.10．解析：方法一设点P的坐标为(x，y)，则有x－12＋y2＝|x|＋1.两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.即y2＝4x x≥0，0x＜0，故动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．方法二由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y 轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合题意；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．11．解析：因为点A(1,1)在直线l：x＋y－2＝0上，所以到定点A的距离和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是过定点A且与直线l：x＋y－2＝0垂直的直线．答案：D12．解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知点A到焦点F的距离等于点A 到准线的距离，即|AF|＝x1＋p2＝x1＋12.同理|BF|＝x2＋p2＝x2＋12.故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝5，即x1＋x2＝4，得x1＋x22＝2.故线段AB的中点的横坐标是2.答案：213．解析：由抛物线定义，得焦点为F－p2，0，准线为x＝p2，由题意设M到准线的距离为|MN|，则|MN|＝|MF|＝10，即p2－(－9)＝10，所以p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x，将M(－9，y0)代入y2＝－4x，解得y0＝±6，所以M(－9,6)或M(－9，－6)．14．解析：以拱顶O为原点，拱高DO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，易知点B的坐标为a2，－a4.由点B在抛物线上，得a22＝－2p•－a4，∴p＝a2，∴抛物线方程是x2＝－ay.设点E(0.8，y0)为此抛物线上一点，代入方程x2＝－ay，得(0.8)2＝－ay0，∴y0＝－0.64a，∴点E到拱底AB的距离h＝a4－|y0|＝a4－0.64am，令h＞3，即a4－0.64a＞3，解得a＞12＋154.242或a＜12－154.242(舍去)，∴能使卡车安全通过的a的最小整数值为13.。
[推荐学习]高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 13抛物线及其标准方程课时作业 新人教A版选修2-1
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此时(|MA|＋|MF|)最小，即|AF|min＝5， 2＋42＝25，
－ ＝±3⇒p＝1或p＝13(舍去)．
故抛物线方程为y2＝2x.
综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.
14．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1距离之和的最小值；
课时作业(十三) 抛物线及其标准方程
A组 基础巩固
1．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离为( )
A．1 B．2C．4 D．8
解析：由y2＝4x得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴焦点到准线的距离为2.
答案：B
2．以双曲线 － ＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝16xB．y2＝12x
C．y2＝－20xD．y2＝20x
解析：由已知抛物线的焦点为(4,0)，
则设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)．
∴ ＝4，p＝8.∴所求方程为y2＝16x.
答案：A
3．已知动点M(x，y)的坐标满足 ＝|x＋2|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线 D．以上均不对
解析：设F(2,0)，l：x＝－2，则M到F的距离为 ，M到直线l：x＝－2的距离为|x＋2|，又 ＝|x＋2|，所以动点M的轨迹是以F(2,0)为焦点，l：x＝－2为准线的抛物线．
解析：由已知得B点的纵坐标为1，横坐标为 ，即B ，将其代入y2＝2px(p＞0)得1＝2p× ，解得p＝ ，则B点到抛物线准线的距离为 ＋ ＝ p＝ .
答案：
10．动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程作业1 北师大版选修1-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题2.2.1 抛物线及其标准方程[基础达标]1.已知抛物线的焦点坐标是F (0，－2)，则它的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析：选D.p 2＝2，∴p ＝4，焦点在y 轴负半轴上，故其标准方程为x 2＝－8y . 2.抛物线x 2＝8y 的准线方程为( )A ．y ＝－2B ．x ＝－2C ．y ＝－4D ．x ＝－4解析：选A.其焦点为(0，2)，故准线方程为y ＝－2.3.点P 为抛物线y 2＝2px 上任一点，F 为焦点，则以P 为圆心，以|PF |为半径的圆与准线l ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．位置由F 确定解析：选B.圆心P 到准线l 的距离等于|PF |，∴相切．4.如图，南北方向的公路L ，A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 北偏东60 °方向2 3 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路L 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上某处建一座码头，向A ，B 两地运货物，经测算，从M 到A ，B 修建公路的费用都为a 万元/km ，那么，修建这两条公路的总费用最低是( )A ．(2＋3)a 万元B ．(23＋1)a 万元C ．5a 万元D ．6a 万元解析：选C.依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、L 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，只需求出B 到直线L 的距离即可．∵B 地在A 地北偏东60°方向2 3 km 处，∴B 到点A 的水平距离为3 km ，∴B 到直线L 的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a 万元，故选C.5.一个动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(2，0)D ．(4，0)解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x ＋2＝0的距离等于到焦点F (2，0)的距离，∴动圆必过定点(2，0)．6.经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为________．解析：设抛物线的标准方程为y 2＝2px 或x 2＝－2py ，把P (4，－2)分别代入得(－2)2＝8p 或16＝－2p ×(－2)；∴p ＝12或p ＝4，故对应的标准方程为y 2＝x 和x 2＝－8y . 答案：y 2＝x 或x 2＝－8y7.已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________．解析：圆方程可化为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，由题意知1＝p 2，∴p ＝2.答案：28.过点A (0，2)且和抛物线C ：y 2＝6x 相切的直线l 方程为________．解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝0，与抛物线C 相切；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y －2＝kx ，与y 2＝6x 联立，消去x 得y －2＝k 6y 2， 即ky 2－6y ＋12＝0，由题意可知k ≠0，Δ＝(－6)2－48k ＝0，∴k ＝34，∴y －2＝34x . 即为3x －4y ＋8＝0.答案：x ＝0或3x －4y ＋8＝09.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程．解：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.因为M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎨⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.所以所求的抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.10.一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为(a 2，－a 4)，由点B 在抛物线上，∴(a 2)2＝－2p ·(－a4)，p ＝a 2，∴抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a. ∴点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a>3. 解得a >12.21，∵a 取整数，∴a 的最小整数值为13. [能力提升]1.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42，∴x 0＝32，∴y 20＝42x 0＝42×32＝24，∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×26＝2 3. 2.从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．解析：∵抛物线方程为y 2＝4x ，则准线方程为x ＝－1.令P 点坐标为P (x 0，y 0)，由图可知，|PM |＝x 0＋1＝5.∴x 0＝4.把x 0＝4代入y 2＝4x ，解得y 0＝±4，∴△MPF 的面积为12|PM |×|y 0|＝12×5×4＝10. 答案：103.已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|PA |的值最小．解：∵(－2)2<8×4，∴点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，由抛物线的定义可知：|PF |＋|PA |＝|PQ |＋|PA |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|PA |取得最小值，即为|AB |.∵A (－2，4)，∴不妨设|PF |＋|PA |的值最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y得y 0＝12，故使|PF |＋|PA |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为(－2，12)． 4．已知点A (3，2)，点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程；(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由于动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等，由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，∴p ＝1，2p ＝2，故轨迹方程为y 2＝2x .(2)如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M(x0，2)代入抛物线方程得x0＝2，即M(2，2)．。
2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业十四抛物线的简单几何性质新人教B版选修2_
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，那么x1＋x2＝2＋ .
由抛物线的概念可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋ ＞4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
2．设抛物线y2＝8x的核心为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，若是直线AF的斜率为－ ，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：由抛物线的概念得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－ ，可知∠PAF＝60°，△PAF是等边三角形，
∴|PF|＝|AF|＝ ＝8.
解析：如图，由抛物线概念知，
P到其准线的距离d1等于P到核心F的距离|PF|，
则d1＋d2的最小值确实是P，F，R(设PR⊥l)三点在同一直线上时的特殊情形，
即为点F(1,0)到直线l的距离FN的长，故d1＋d2＝ ＝3 .
14．已知直线l通过抛物线y2＝4x的核心F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)假设|AF|＝4，求点A的坐标；
与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，现在|AB|＝4，
因此，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
解析：设点Q的坐标为 .
由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，
即y ＋ 2≥a2，
整理，得y (y ＋16－8a)≥0.
∵y ≥0，∴y ＋16－8a≥0.
即a≤2＋ 恒成立．
而2＋ 的最小值为2.
∴a≤2.
答案：(－∞，2]
9．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的核心，A为抛物线上一点，假设 · ＝－4，求点A的坐标．
高中数学选修2-1第二章第13课时同步练习 第二章 圆锥曲线与方程(复习)(A)
第二章 圆锥曲线与方程（复习A ）1、过点（2，4）作直线，与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线有（ ） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条2、双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是（ ）A 、)0,(-∞B 、（1，+∞）C 、),1()0,(+∞⋃-∞D 、),1()1,(+∞⋃--∞3、已知（4，2）是直线l 被椭圆193622=+y x 截得的线段的中点，则l 的方程是（ ） A 、x-2y=0 B 、x+2y-4=0 C 、2x+3y+4=0 D 、x+2y-8=0 4、抛物线x y 412=关于直线x-y=0对称的抛物线的焦点坐标是（ ）A 、（1，0）B 、（0，1）C 、（0，161）D 、（0,161）5、对于抛物线C ：y 2=4x ，我们称满足0204x y <的点M （00,y x ）在抛物线的内部。
若M （00,y x ）在抛物线的内部，则直线)(2:00x x y y l +=与C （ ） A 、恰有一个公共点 B 、恰有两个公共点C 、可能有一个公共点，也可能有两个公共点D 、没有公共点6、直线y=x+3与曲线14||92=-y y x 的交点个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、37、与直线2x-y+4=0平行的抛物线y= x 2的切线方程是 ( )A 、2x -y+3=0B 、2x -y -3=0C 、2x-y+1=0D 、2x-y-1=08、如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、(134, +∞) B 、（- ∞,134） C 、（- ∞,-134） D 、（-134 ,134） 9、若焦点是（0，25±）的椭圆截直线3x-y-2=0所得弦的中点的横坐标为1/2，则椭圆的方程是 . 10、设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 .11、如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点, 点P(1,2), A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)均在直线上. (Ⅰ)写出该抛物线的方程及其准线方程；(Ⅱ)当PA 与PB 的斜率存在且倾角互补时,求21y y +的值及直线AB 的斜率.12、设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：（Ⅰ）动点P 的轨迹方程； （Ⅱ）||的最小值与最大值.参考答案1、B （注意点在曲线上）2、C （利用数形结合）3、D （利用“点差法”求斜率）4、C5、D （直线l 过定点（0,0x -），斜率为2）6、B （先分类讨论去掉绝对值，再利用数形结合）7、D8、C9、利用“点差法”可求得1752522=+y x 10、x+y-4=0 11、解(Ⅰ)由已知条件,可设抛物线的方程为.22px y = ∵点P(1,2)在抛物线上,∴,1222⋅=p 得p =2.故所求抛物线的方程是,42x y =准线方程是x=--1. (Ⅱ) 设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB , ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴.PB PA k k -= 由A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)在抛物线上,得,4121x y = ①,4222x y = ② ∴,14121412222211--=--y y y y∴ ),2(221+-=+y y ∴.421-=+y y由①-②得直线AB 的斜率).(144421211212x x y y x x y y k AB ≠-=-=+=--=12、（Ⅰ）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 的解.将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是).44,4()2,2()(21222121k k k y y x x OB OA OP ++-=++=+= 设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以,142121=+y x ④①②.142222=+y x ⑤. ④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以 .0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧. 当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x （Ⅱ）解：由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以 127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x故当41=x ，||取得最小值，最小值为61;41-=x 当时，||取得最大值，最大值为.621。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 课时作业17 2.4.1 抛物线及其标准方程(含解析)新人教A版高
课时作业17 抛物线及其标准方程时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知定点F 和定直线l ，点F 不在直线l 上，动圆M 过点F 且与直线l 相切，则动圆圆心M 的轨迹是( C )A ．射线B ．直线C ．抛物线D ．椭圆解析：因为动圆M 过点F ，且动圆M 与直线l 相切，所以圆心M 到直线l 的距离等于圆的半径|MF |，即动点M 到定点F 的距离等于它到定直线l 的距离，且定点F 不在定直线l 上，所以由抛物线的定义，可知圆心M 的轨迹是抛物线．2．已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( C ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 解析：方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M 的轨迹是抛物线．故选C.3．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( D ) A ．(1,0) B ．(0，14)C ．(14，0)D ．(0，18)解析：抛物线方程为x 2＝12y ，可知焦点在y 轴上，且p 2＝18，所以焦点坐标是(0，18)．故选D.4．抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( B ) A.12B.32 C ．1 D. 3解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为32.5．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( B ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.6．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p ＝( B )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵a 2＝6，b 2＝2，∴c 2＝a 2－b 2＝4，c ＝2，即椭圆的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，p ＝4.7．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( C )A.34B ．1 C.54D.74解析：如图所示，设E 为AB 的中点，过A ，B ，E 作准线l ：x ＝－14的垂线，垂足分别为C ，D ，G .根据抛物线的定义，知|AC |＋|BD |＝|AF |＋|BF |＝3.根据梯形中位线定理，得线段AB 的中点到y 轴的距离为12(|AC |＋|BD |)－14＝32－14＝54.8．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值X 围是( C )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：圆心到抛物线准线的距离为p ＝4，根据已知只要|FM |>4即可，根据抛物线的定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值X 围是(2，＋∞)．二、填空题9．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝2；准线方程为x ＝－1.解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.10．已知抛物线C ：4x ＋ay 2＝0恰好经过圆M ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.解析：圆M 的圆心为(1,2)，代入4x ＋ay 2＝0得a ＝－1，将抛物线C 的方程化为标准方程得y 2＝4x ，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.11．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝6.解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F (0，p2)，准线l 为y ＝－p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A (－12＋p 22，－p2)，B (12＋p 22，－p 2)， 所以|AB |＝12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p12＋p 2＝32，解得p ＝6. 三、解答题12．根据下列条件写出抛物线的标准方程． (1)准线方程是y ＝3； (2)过点P (－22，4)； (3)焦点到准线的距离为 2.解：(1)由准线方程为y ＝3知抛物线的焦点在y 轴负半轴上，且p2＝3，则p ＝6，故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y .(2)∵点P (－22，4)在第二象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由42＝－2p ×(－22)，解得p ＝22；若抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，则由(－22)2＝2p ×4，解得p ＝1.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－42x 或x 2＝2y .(3)由焦点到准线的距离为2，得p ＝2，故所求抛物线的标准方程为y 2＝22x ，或y 2＝－22x ，或x 2＝22y ，或x 2＝－22y .13．已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A (3,2)． (1)求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标；(2)求点P 到点B (12，2)的距离与到直线x ＝－12的距离之和的最小值．解：(1)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴点A 在抛物线内部．过点P 作PQ 垂直抛物线的准线l ：x ＝－12于点Q ，由抛物线的定义，知|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PQ |，当P ，A ，Q 三点共线时，|P A |＋|PQ |的值最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时点P 的纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2， ∴点P 的坐标为(2,2)．(2)设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d .显然点B (12，2)在抛物线的外部．由抛物线的定义，得|PB |＋d ＝|PB |＋|PF |≥|BF |，当B ，P ，F 三点共线(P 在线段BF 上)时取等号． 又|BF |＝(12－12)2＋(2－0)2＝2， ∴所求最小值为2.——能力提升类——14．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( C )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：因为抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，所以焦点F (p2，0)，设M (x ，y )，由抛物线的性质，知|MF |＝x ＋p 2＝5，得x ＝5－p2.因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心的横坐标为52，由已知，得圆的半径也为52，故该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心的纵坐标为2，则点M 的纵坐标为4，即M (5－p2，4)，代入抛物线方程，得p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，试判断|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|是否成等差数列．解：由抛物线的定义知，|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，所以x 1＝|FP 1|－p 2，x 2＝|FP 2|－p2，x 3＝|FP 3|－p2，又2x 2＝x 1＋x 3，所以2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 故|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|成等差数列．。
学年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业抛物线的简单几何性质含解析新人教A版选修_
课时作业14 抛物线的简单几何性质[根底稳固]一、选择题1．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．8B ．10C ．6D ．42．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D ．3 3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，那么直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π64．假设直线y ＝2x ＋p 2与抛物线x 2＝2py (p ＞0)相交于A ，B 两点，那么|AB |等于( ) A ．5p B ．10pC ．11pD ．12p5．点P 在抛物线x 2＝4y 上，那么当点P 到点Q (1,2)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．(2,1)B ．(－2,1)C ．－1，14D ．1，14二、填空题6．点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，那么直线AF 的斜率为________．7．抛物线y 2＝12x ，那么弦长为定值1的焦点弦有________条． 8．A (2,0)，B 为抛物线y 2＝x 上一点，那么|AB |的最小值为________．三、解答题9．直线x －2y －1＝0被焦点在y 轴上，顶点在原点的抛物线截得的弦长为15，求此抛物线的方程．10．等边三角形AOB 的顶点A ，B 在抛物线y 2＝x 上，O 为坐标原点，顶点A 到抛物线的焦点F 的距离等于134，求△AOB 的面积． [能力提升]11．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，那么FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．812．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．假设|FQ |＝2，那么直线l 的斜率等于________．13．抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)假设|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)假设AP →＝3PB →，求|AB |.14．设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P到定点M 0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)假设直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值． 课时作业14 抛物线的简单几何性质1．解析：根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到抛物线准线的距离，所以|AB|＝x1＋x2＋p ＝6＋2＝8.答案：A2．解析：设抛物线y ＝－x2上一点为(m ，－m2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为 |4m －3m2－8|5＝－3m －232－2035，故当m ＝23时，取得最小值，为43.答案：A3．解析：设P(x1，y1)，由题意得F(1,0)，所以|PF|＝x1＋1＝4⇒x1＝3，所以y1＝23，所以A(－1,23)，所以kAF ＝23－0－1－1＝－3，所以倾斜角为2π3.答案：B4．解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px －p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝4p ，∴y1＋y2＝9p.∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p ＝10p.答案：B5．解析：根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，所以点P 到点Q(1,2)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和最小，只需点P 到点Q(1,2)的距离与点P 到准线的距离之和最小，过点Q(1,2)作准线的垂线，交抛物线于点P ，此时距离之和最小，点P 的坐标为1，14.答案：D6．解析：由抛物线定义得：xA ＋1＝5，xA ＝4，又点A 位于第一象限，因此yA ＝4，从而kAF ＝4－04－1＝43.答案：437．解析：因为通径的长2p 为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a ，假设a ＞2p ，那么焦点弦存在两条；假设a ＝2p ，那么焦点弦存在一条；假设a ＜2p ，那么焦点弦不存在．由y2＝12x 知p ＝14，那么通径长2p ＝12，因为1＞12，所以弦长为定值1的焦点弦有2条．答案：28．解析：设点B(x ，y)，那么x ＝y2≥0，所以|AB|＝x －22＋y2＝x －22＋x ＝x2－3x ＋4＝x －322＋74.所以当x ＝32时，|AB|取得最小值，且|AB|min ＝72.答案：729．解析：设抛物线方程为x2＝ay(a ≠0)，。
2017-2018学年高一数学选修1-1全册同步导学案含答案【人教B版】
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
3.3.2利用导数研究函数的极值
3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用
1.1命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨(1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
判断下列命题的真假：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
(2)0是最小的自然数
(3)0既不是奇数，也不是偶数
(4)空集是任何非空集合的真子集
答案：(1)假(2)真(3)假(4)真
类题演练3
(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.
(3)是假命题，数0既不是正数也不是负数.
(4)是假命题，没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况.
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答案：
10．动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．
解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA.
可知p＝4，
∴所求的轨迹方程为y2＝－8x.
B组 能力提升
11．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()
A．2 B．3 C. D.
解析：如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为|PF|，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝ ＝2.
设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1.
∵圆P又∵圆P与直线l：x＝1相切，
∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1.
∵|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′距离相等，
∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线．
设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，
15．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点A(3,2)．
(1)求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．
课时作业(十三)抛物线及其标准方程
A组 基础巩固
1．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离为()
A．1B．2C．4D．8
解析：由y2＝4x得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴焦点到准线的距离为2.
答案：B
2．以双曲线 － ＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()
A．y2＝16xB．y2＝12x
答案：A
12．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是__________．
解析：由题意知P到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6，由抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离也是6.
答案：6
13．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M到定点A 和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．
解析：抛物线方程化为标准形式为x2＝ y，其准线方程为y＝－ ＝2，所以a＝－ .
答案：B
6．抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则此抛物线的方程为()
A．y2＝－16x
B．y2＝8x
C．y2＝16x或y2＝－8x
D．y2＝－16x或y2＝8x
解析：抛物线的准线方程为x＝－ ，则 ＝3，m＝8或－16.
解：
(1)当点A在抛物线内部时，42＜2p· ，即p＞ 时，|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.
当A，M，A′共线时(如图中，A，M′，A″共线时)，(|MF|＋|MA|)min＝5.
故 ＝5－ ＝ ⇒p＝3，满足3＞ ，所以抛物线方程为y2＝6x.
(2)当点A在抛物线外部或在抛物线上时，42≥2p· ，
(1)(2)
(2)如图(2)，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝± .因为 ＞2，所以点B在抛物线内部，过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F，此时，由抛物线定义知：|P1Q|＝|P1F|.根据两点之间线段最短可知，当点P移动到点P1位置时|PB|＋|PF|的值最小．
所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即0＜p≤ 时，连接AF交抛物线于点M，
此时(|MA|＋|MF|)最小，即|AF|min＝5， 2＋42＝25，
－ ＝±3⇒p＝1或p＝13(舍去)．
故抛物线方程为y2＝2x.
综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.
14．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：
(1)如图(1)，易知抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
∵点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F(1,0)的距离，
∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小．
如图(2)，显然P是A、F的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|＝ .
答案：C
4．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点()
A．(4,0)B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
解析：x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，由抛物线定义知动圆一定过抛物线的焦点．
答案：B
5．抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是()
A． B．－ C．8 D．－8
答案：y2＝8x
8．已知点A(0，－2)，直线l：y＝2，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为________．
解析：设圆心为C，则|CA|＝d，其中d为点C到直线l的距离，所以C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线．
所以所求轨迹方程为x2＝－8y.
答案：x2＝－8y
9．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
C．y2＝－20xD．y2＝20x
解析：由已知抛物线的焦点为(4,0)，
则设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)．
∴ ＝4，p＝8.∴所求方程为y2＝16x.
答案：A
3．已知动点M(x，y)的坐标满足 ＝|x＋2|，则动点M的轨迹是()
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．以上均不对
解析：设F(2,0)，l：x＝－2，则M到F的距离为 ，M到直线l：x＝－2的距离为|x＋2|，又 ＝|x＋2|，所以动点M的轨迹是以F(2,0)为焦点，l：x＝－2为准线的抛物线．
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.故选D.
答案：D
7．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到定直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．
解析：由条件可知P点的轨迹为抛物线，其焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2，
所以 ＝2，p＝4，轨迹方程为y2＝2px＝8x.