2018高三大一轮复习数学(文)课件：第十二章 推理与证明、算法、复数 12-4
2018版高考数学文人教大一轮复习课件 第十二章 推理与
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.( × ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( × ) (3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”.( × ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( × ) (5) 在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综 合法展现解决问题的过程.( √ ) (6)证明不等式 2＋ 7< 3＋ 6 最合适的方法是分析法.( √ )
2.用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能
被5整除”时，假设的内容应为 A.a，b都能被5整除
B.a，b不都能被5整除
答案
解析
C.a，b至少有一个能被5整除
D.a，b至多有一个能被5整除 “都不能”的否定为“至少有一个能”，故假设的内容应为“a，b至 少有一个能被5整除”.
②框图表示： Q⇐P1 ― → P1⇐P2 ― → P2⇐P3 ― →… ― → ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ到一个明显成立的条件
(其中Q表示要证明的结论)．
③思维过程：执果索因．
2.间接证明 反证法：一般地，假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下，结论不成 立)，经过正确的推理，最后得出 矛盾 ，因此说明假设错误，从而证明 原命题成立 的证明方法.
证明
题型二 分析法的应用
例2
已知函数 f(x)＝tan
π x，x∈0，2，若
π x1，x2∈0，2，且
x1≠x2，
x1＋x2 1 . 求证：2[ f(x1)＋f(x2)] >f 2
证明
引申探究
2018版高考数学理一轮复习文档：第十二章 推理证明、算法、复数12-5 含解析 精品
1．条件概率及其性质(1)一般地，设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )n (A ). (2)条件概率具有的性质 ①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件， 则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件(1)设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (A )P (B |A )＝P (A )P (B )．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． 3．二项分布(1)一般地，在相同条件下重复做的几次试验称为n 次独立重复试验．(2)一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 【知识拓展】超几何分布与二项分布的区别(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； (2)超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( × ) (2)相互独立事件就是互斥事件．( × )(3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( × )(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( × )(5)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．( √ )1．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( ) A.38 B.27 C.28 D.37 答案 B解析 第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为27.2．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( ) A.49 B.29 C.427 D.227 答案 A解析 所求概率P ＝C 13·(13)1·(1－13)3－1＝49. 3．(2015·课标全国Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312 答案 A解析 3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________． 答案 0.8解析 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.5．(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________． 答案 12解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )][1－P (B )]＝(1－13)(1－14)＝12，“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所 求概率为1－P (A B )＝1－12＝12.题型一 条件概率例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25 D.12(2)如图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________. 答案 (1)B (2)14解析 (1)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14. (2)AB 表示事件“豆子落在△OEH 内”， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝△OEH 的面积正方形EFGH 的面积＝14. 引申探究1．若将本例(1)中的事件B ：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？解 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25， P (B )＝C 23C 25＝310，又A ⊇B ，则P (AB )＝P (B )＝310，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝34.2．在本例(2)的条件下，求P (A |B )． 解 由题意知，∠EOH ＝90°，故P (B )＝14，又∵P (AB )＝△OEH 的面积圆O 的面积＝12×1×1π×12＝12π， ∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝12π14＝2π.思维升华 条件概率的求法(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )求P (B |A )． (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ).(2016·开封模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A.310 B.29 C.78 D.79答案 D解析 方法一 设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730，则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79.方法二 第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为C 17C 19＝79.题型二 相互独立事件的概率例2 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T 的分布列；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 解 (1)由统计结果可得T 的频率分布为以频率估计概率得T 的分布列为(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同， 设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一 P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二 P (A )＝P (T 1＋T 2＞70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09， 故P (A )＝1－P (A )＝0.91.思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．(2017·青岛月考)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米．已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．解 (1)由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为14，13，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率 P 1＝14×13＋12×13＋14×13＝13，所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P ＝1－P 1＝1－13＝23.(2)由题意可知，ξ＝6,7,8,9,10， 则P (ξ＝6)＝14×13＝112，P (ξ＝7)＝14×13＋12×13＝14，P (ξ＝8)＝14×13＋14×13＋12×13＝13，P (ξ＝9)＝12×13＋14×13＝14，P (ξ＝10)＝14×13＝112.所以ξ的分布列为题型三 独立重复试验与二项分布 命题点1 根据独立重复试验求概率例3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列．解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝23×23×23＝827，P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827， P (C )＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝1627，P (X ＝1)＝P (C )＝427，P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫1－232×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133＋C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13＝19. 故X 的分布列为命题点2 根据独立重复试验求二项分布例4 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎫121×⎝⎛⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)， 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512.思维升华 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率．(2016·沈阳模拟)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列．解 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响，∴P (A )＝C 23(13)2(23)1＋C 33(13)3＝727. (2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝(13)3＝127，P (X ＝1)＝C 13(23)1(13)2＝29， P (X ＝2)＝C 23(23)2(13)1＝49， P (X ＝3)＝(23)3＝827.因此X 的分布列为18．独立事件与互斥事件典例 (1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是37，乙夺得冠军的概率是14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．(2)某射手每次射击击中目标的概率都是23，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________． 错解展示解析 (1)设“甲夺得冠军”为事件A ，“乙夺得冠军”为事件B ，则P (A )＝37，P (B )＝14，由A 、B 是相互独立事件，得所求概率为P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝37×34＋47×14＋37×14＝1628＝47. (2)所求概率P ＝C 35×(23)3×(13)2＝80243. 答案 (1)47 (2)80243现场纠错解析 (1)设“甲夺得冠军”为事件A ，“乙夺得冠军”为事件B ，则P (A )＝37，P (B )＝14.∵A 、B 是互斥事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝37＋14＝1928.(2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则 P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝881. 答案 (1)1928 (2)881纠错心得 (1)搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立”． (2)区分独立事件与n 次独立重复试验.1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.18 答案 A解析 由古典概型知P (A )＝12，P (AB )＝14，则由条件概率知P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.2．(2016·长春模拟)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( ) A ．C 1012(38)10(58)2 B ．C 912(38)9(58)2C ．C 911(58)9(38)2D ．C 911(38)10(58)2 答案 D解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球， 因此P (X ＝12)＝38C 911(38)9(58)2＝C 911(38)10(58)2. 3．已知A ，B 是两个相互独立事件，P (A )，P (B )分别表示它们发生的概率，则1－P (A )P (B )是下列哪个事件的概率( )A ．事件A ，B 同时发生 B ．事件A ，B 至少有一个发生C ．事件A ，B 至多有一个发生D ．事件A ，B 都不发生 答案 C解析 P (A )P (B )是指A ，B 同时发生的概率，1－P (A )·P (B )是A ，B 不同时发生的概率，即事件A ，B 至多有一个发生的概率．4．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45 D.710答案 A解析 设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，“丙命中目标”为事件C ，则击中目标表示事件A ，B ，C 中至少有一个发生．又P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )]＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率P ＝1－P (A B C )＝34.5．(2017·南昌质检)设随机变量X 服从二项分布X ～B (5，12)，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( ) A.56 B.45 C.3132 D.12 答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4.∵X 服从X ～B (5，12)，∴P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132.6．(2016·安徽黄山屯溪一中月考)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( ) A ．P (B )＝25B ．事件B 与事件A 1相互独立C ．P (B |A 1)＝511D ．P (B )的值不能确定，它与A 1，A 2，A 3中哪一个发生都有关 答案 C解析 由题意A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件， P (A 1)＝510＝12，P (A 2)＝210＝15，P (A 3)＝310，P (B |A 1)＝12×51112＝511，由此知，C 正确；P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，而P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3) ＝12×511＋15×411＋310×411＝922. 由此知A ，D 不正确．故选C.7．设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________.答案1927解析 ∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59， 解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927. 8．如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．答案 18解析 灯泡甲亮满足的条件是a ，c 两个开关都开，b 开关必须断开，否则短路．设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则甲灯亮应为事件A B C ，且A ，B ，C 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，由独立事件概率公式知P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝12×12×12＝18. 9．(2017·广州月考)设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为________．答案964解析 设事件A 发生的概率为p ，由题意知(1－p )3＝1－6364＝164，解得p ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×(14)2＝964. 10．(2016·荆州质检)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A ＝“至少一次出现反面”，事件B ＝“恰有一次出现正面”，则P (B |A )＝________. 答案 37解析 由题意知，P (AB )＝323＝38，P (A )＝1－123＝78，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝3878＝37.11．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲，乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解 (1)依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有k 人去参加甲游戏”为事件A k (k ＝0,1,2,3,4)．则P (A k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k . 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133×23＋C 44⎝⎛⎭⎫134 ＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故 P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列是12.(2016·西安模拟)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率． 解 (1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6 元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， 因为利润＝产量×市场价格－成本． 所以X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.P(X＝4 000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2 000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，故X的分布列为(2)设C i表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(C i)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×(1－0.8)＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.*13.李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率．解(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)记事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场比赛中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝A B∪A B，A，B独立．根据投篮统计数据，P(A)＝0.6，P(B)＝0.4.P(C)＝P(A B)＋P(A B)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为0.52.。
2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档 第十二
1．直接证明(1)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．②框图表示：已知条件⇒…⇒…⇒结论③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．②框图表示：结论⇐…⇐…⇐已知条件③思维过程：执果索因．2．间接证明反证法：要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．这个过程包括下面3个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × ) (3)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”．( × ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × )(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( √ )(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．( √ )1．(2016·扬州质检)已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为______________________． 答案 c n ＋1<c n 解析 由条件得 c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，则c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1<c n .2．用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，若ab 不能被5整除，则a 与b 都不能被5整除”时，假设的内容应为____________________________． 答案 a ，b 至少有一个能被5整除解析 “都不能”的否定为“至少有一个能”，故假设的内容应为“a ，b 至少有一个能被5整除”．3．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0只要证明________(填正确的序号)． ①2ab －1－a 2b 2≤0； ②a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0；③(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0；④(a 2－1)(b 2－1)≥0. 答案 ④解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.4．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是__________________________． 答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a ) ＝a (a －b )＋b (b －a ) ＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0. ∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b .5．(2016·盐城模拟)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n n )，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________． 答案332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 且A ，B ，C ∈(0，π)． ∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f (A ＋B ＋C 3)＝f (π3)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.题型一 综合法的应用例1 数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1.(1)证明：数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{1a n }的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.(1)证明 ∵a n ＋1＝a n2a n ＋1，∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ，即1a n ＋1－1a n＝2，故数列{1a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知1a n＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.方法一1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 方法二1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>1，又∵1>n n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n >n n ＋1. 思维升华 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c . 证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0. 由于a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc >0成立． 上式两边同时取常用对数，得 lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2)>lg abc ，∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .题型二 分析法的应用例2 已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.证明 要证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22， 即证明12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证明12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22，只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2).由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)． 所以cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0， 故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2， 即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2， 即证cos(x 1－x 2)<1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 1≠x 2知上式显然成立， 因此12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 引申探究若本例中f (x )变为f (x )＝3x －2x ，试证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 证明 要证明f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22， 即证明(3x 1－2x 1)＋(3x 2－2x 2)2≥1223x x +－2·x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥1223x x +－(x 1＋x 2)，即证明3x 1＋3x 22≥1223x x +，因此只要证明3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2，由于x 1，x 2∈R 时，3x 1>0,3x 2>0，由基本不等式知3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2显然成立，故原结论成立．思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．(2016·苏州模拟)下列各式：1＋0.12＋0.1>12，0.2＋30.5＋3>0.20.5，2＋73＋7>23，72＋π101＋π>72101. 请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题(写出已知，求证)，并用分析法加以证明．解 已知a >b >0，m >0，求证：b ＋m a ＋m >ba .证明如下：∵a >b >0，m >0，欲证b ＋m a ＋m >ba ，只需证a (b ＋m )>b (a ＋m )，只需证am >bm ， 只需证a >b ，由已知得a >b 成立， 所以b ＋m a ＋m >b a 成立．题型三 反证法的应用 命题点1 证明否定性命题例3 (2016·连云港模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列． (1)解 设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1.(2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 命题点2 证明存在性问题例4 已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明 由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，∴SA ⊥AD . 同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴SA ⊥平面ABCD .(2)解 假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD .∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD . ∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ， ∴平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾， ∴假设不成立．∴不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD . 命题点3 证明唯一性命题例5 已知a ≠0，证明关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根． 证明 由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝ba .假设x 1，x 2是它的两个不同的根， 即ax 1＝b ， ① ax 2＝b ，②由①－②得a (x 1－x 2)＝0， 因为x 1≠x 2，所以x 1－x 2≠0，所以a ＝0，这与已知矛盾，故假设错误． 所以当a ≠0时，方程ax ＝b 有且只有一个根．思维升华 应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤 第一步：分清命题“p ⇒q ”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q 相反的假设綈q ；第三步：由p 和綈q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q 不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p ⇒q 为真．所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a>c .证明 (1)∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根， 又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根． 即1a是函数f (x )的一个零点． (2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0，与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a >c .22．反证法在证明题中的应用典例 (14分)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A 、C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．思想方法指导 在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意：(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去． 规范解答(1)解 因为四边形OABC 为菱形， 则AC 与OB 相互垂直平分． 由于O (0,0)，B (0,1)， 所以设点A ⎝⎛⎭⎫t ，12， 代入椭圆方程得t 24＋14＝1，则t ＝±3，故|AC |＝2 3.[4分] (2)证明 假设四边形OABC 为菱形， 因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ， 所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.[7分] 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km1＋4k 2，y 2＋y 22 ＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.[10分] 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0， 所以直线OB 的斜率为－14k，因为k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， 所以AC 与OB 不垂直．[13分]所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．[14分]1．(2017·泰州月考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是__________________________． 答案 方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根解析 因为“方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．2．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为__________．答案 (－3,0]解析 若2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0或k ＝0. 解得－3<k ≤0.3．设x ，y ，z >0，则关于三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy 的叙述正确的是________．①都大于2②至少有一个大于2 ③至少有一个不小于2④至少有一个不大于2答案 ③解析 因为(y x ＋y z )＋(z x ＋z y )＋(x z ＋xy )＝(y x ＋x y )＋(y z ＋z y )＋(z x ＋xz )≥6， 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．所以三个数中至少有一个不小于2，③正确．4．(2016·镇江模拟)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是____________． 答案 P <Q解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a ·a ＋7＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a ＋3·a ＋4＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2<Q 2，∴P <Q .5．(2016·苏州模拟)下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件的序号是________． 答案 ①③④解析 要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a b >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋a b≥2成立．6．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是________．①假设a ，b ，c 都是偶数；②假设a ，b ，c 都不是偶数；③假设a ，b ，c 至多有一个偶数；④假设a ，b ，c 至多有两个偶数．答案 ②解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故②正确．7．(2016·全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．答案 1和3解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．8．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 若二次函数f (x )≤0在区间[－1,1]内恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0， 解得p ≤－3或p ≥32， 故满足题干条件的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32. 9．已知m >0，a ，b ∈R ，求证：(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m. 证明 因为m >0，所以1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f (x ＋12)为偶函数．证明 由函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，可知f (x ＋1)＝f (－x )．将x 换成x －12代入上式可得 f (x －12＋1)＝f [－(x －12)]， 即f (x ＋12)＝f (－x ＋12)， 由偶函数的定义可知f (x ＋12)为偶函数． 11．(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明 (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0.∵a >1，∴ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0. 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0相矛盾， 故方程f (x )＝0没有负数根．12．(2016·浙江)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈[0,1]，证明： (1)f (x )≥1－x ＋x 2；(2)34＜f (x )≤32. 证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－(－x )41－(－x )＝1－x 41＋x ， 由于x ∈[0,1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1， 即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1， 所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝(x －1)(2x ＋1)2(x ＋1)＋32≤32， 所以f (x )≤32. 由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， 又因为f ⎝⎛⎭⎫12＝1924＞34，所以f (x )＞34. 综上，34＜f (x )≤32. 13.(2015·课标全国Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2. 因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2,即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课件：第十二章 推理与证明、算法、复数12-2
(2)[教材习题改编]用分析法证明不等式 n＋ n＋4<2 n＋2
0<4 ． (n>0)时，最后推得的显然成立的最简不等式是________
解析：要证 n＋ n＋4<2 n＋2，即证 2n＋4＋2
n2＋4n
<4(n＋2)，即证 n2＋4n<n＋2，即证 n2＋4n<(n＋2)2，即证 0<4.
x1＋x2 fx1＋fx2 证明：要证明 ≥f 2 ， 2
3x1－2x1＋3x2－2x2 即证明 2 x1＋x2 x1＋x2 ≥3 －2· ， 2 2 3x1＋3x2 因此只要证明 －(x1＋x2) 2 x1＋x2 ≥3 2 －(x1＋x2)，
3x1＋3x2 x1＋x2 即证明 ≥3 ， 2 2 3x1＋3x2 因此只要证明 ≥ 3x1· 3x2， 2 由于 x1，x2∈R 时，3x1>0,3x2>0， 3x1＋3x2 由基本不等式知 ≥ 3x1· 3x2 显然成立，故原结论成 2 立．
只需证 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证 c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC 三内角 A，B，C 成等差数列，故 B＝60° ， 由余弦定理，得 b2＝c2＋a2－2accos 60° ， 即 b2＝c2＋a2－ac，故 c2＋a2＝ac＋b2 成立． 于是原等式成立．
[点石成金]
x1＋x2 1 即证明2(tan x1＋tan x2)>tan 2 ， x1＋x2 1 sin x1 sin x2 只需证明 cos x ＋cos x >tan ， 2 2 1 2 sinx1＋x2 sinx1＋x2 只需证明2cos x cos x > . 1 2 1＋cosx1＋x2
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第十二章推理证明、算法、复数12.2含解析
1．基本事件的特点（1)任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是错误!;如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n. 4．古典概型的概率公式P （A )＝错误!。
【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”)（1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”．（×）（2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面"“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．（×）（3）从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( ×)（4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为错误!.（√）(5)从1，2，3，4，5中任取出两个不同的数,其和为5的概率是0。
2。
（√)(6）在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A,且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m,则事件A的概率为错误!。
( √)1．从1,2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A。
错误!B。
错误!C.14D.错误!答案B解析基本事件的总数为6,构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率P＝错误!＝错误!，故选B.2．(2016·北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )A。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课件：第十二章 推理与证明、算法、复数12-1
OE OF OG OH 故 ＋ ＋ ＋ AE DF BG CH VO－BCD＋VO－ABC＋VO－ACD＋VO－ABD VA－BCD ＝ ＝ ＝1. VA－BCD VA－BCD
[点石成金] 类比推理的分类及处理方法 类别 解读 适合题型 在求解由某种熟悉的定义产生的类比 类比 已知熟悉定义类 推理型试题时，可以借助原定义来求 定义 比新定义 解 从一个特殊式子的性质、一个特殊图 平面几何与立体 形的性质入手， 提出类比推理型问题， 几何、等差数列 类比 求解时要认真分析两者之间的联系与 性质 与等比数列的类 区别，深入思考两者的转化过程是求 比 解的关键 有一些处理问题的方法具有类比性， 已知熟悉的处理 类比 可以把这种方法类比应用到其他问题 方法类比未知问 方法 的求解中，注意知识的迁移 题的处理方法
[典题 1]
(1)在等差数列{an}中， 若 am＝p， an＝q(m， n∈N*，
nq－mp n－m≥1)，则 am＋n＝ . n－m 类比上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若 bm＝r，
n－m sn rm * bn＝s(n－m≥2，m，n∈N )，则可以得到 bm＋n＝________.
考点 1
类比推理
1.合情推理的过程 从具体问 观察、分析、 归纳、 提出 → → → 题出发 比较、联想 类比 猜想 合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结 论都要经过进一步严格证明．
2．类比推理 (1)定义： 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某
这些特征 的推理． 些已知特征，推出另一类对象也具有________ 特殊 特殊 的推理． (2)特点：是由________ 到________
an (1)[教材习题改编]若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (n∈ 1＋an 1 * * a ＝ ( n ∈ N ) n N )，则归纳出该数列的通项公式为________________ ． n
2018年高考数学课标通用(理科)一轮复习配套课件：第十二章 推理与证明、算法、复数12-4
)
[解析]
S＝1， 2 经第一次循环得到的结果是n＝4， i＝2，
S＝1＋1， 2 4 经第二次循环得到的结果是n＝6， i＝3， S＝1＋1＋1， 2 4 6 经第三次循环得到的结果是n＝8， i＝4.
必考部分
第十二章
推理与证明、算法、复数
§12.4 算法与程序框图
考纲展示► 1.了解算法的含义，了解算法的思想． 2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结 构、循环结构． 3．理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值 语句、条件语句、循环语句的含义．
考点1
顺序结构和条件结构
[题点发散3] 在本例(1)中，若将“输入x的值为1”改为 “输入x∈[－1,3]”，求y的取值范围．
x 2 ，x≥2， 解：由程序框图可知，y＝ 9－x，x<2.
又x∈[－1,3]， 所以当x∈[－1,2)时，y＝9－x， 此时y∈(7,10]． 当x∈[2,3]时，y＝2x∈[4,8]． 故y的取值范围为[4,10]．
名称内容
顺序结构
条件结构 循环结构 (1) (1)
程序 框图 (2) (2)
[典题1] (1)[2015· 福建卷]阅读如图所示的程序框图， 运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为( C )
A．2
B．7
C．8
D．128
[解析]
由程序框图知，
x 2 ，x≥2， y＝ 9－x，x<2.
[典题2]
(1)[2016· 四川卷] 秦九韶是我国南宋时期的数
学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算 法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式 值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为 (
2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档 第十二
1．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——一般性的原理；②小前提——特殊对象；③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．(×)(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.答案123解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10＋b10＝123.2．下面几种推理过程是演绎推理的是________．①在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12(a n－1＋1a n－1)(n≥2)，由此归纳数列{a n}的通项公式；②由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；③两直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°；④某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人．答案③解析①、④是归纳推理，②是类比推理，③符合三段论模式，③是演绎推理．3．(2017·南京质检)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是________．答案 ①④解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交． 4．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则存在的等式为________________． 答案 b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *) 解析 利用类比推理，借助等比数列的性质， b 29＝b 1＋n ·b 17－n ， 可知存在的等式为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．5．(2016·泰州模拟)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________. 答案n ＋22n ＋2解析 f (1)＝1－a 1＝1－14＝34，f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝34(1－19)＝23＝46，f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝23(1－116)＝58，推测f (n )＝n ＋22n ＋2.题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2016·山东)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4；⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5；…照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 答案 43×n ×(n ＋1)解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.命题点2 与不等式有关的推理例2 (2016·苏北四市联考)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.答案 n n解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n . 命题点3 与数列有关的推理例3 (2016·南京模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n .……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.命题点4 与图形变化有关的推理例4 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．答案 55解析 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55. 思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(2016·苏州模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则可以归纳出一般结论：当n ≥2时，有____________．答案 f (2n )>n ＋22(n ∈N *)解析 由题意知f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.故填f (2n )>n ＋22 (n ∈N *)．题型二 类比推理例5 (1)对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|OA →＋|OA →|OB →＝0；将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．(2)(2017·苏州月考)求1＋1＋1＋…的值时，采用了如下方法：令1＋1＋1＋…＝x ，则有x ＝1＋x ，解得x ＝1＋52(负值已舍去)．可用类比的方法，求得1＋12＋11＋12＋1…的值为________．答案 (1)V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 (2)1＋32解析 (1)线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的结论为V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0. (2)令1＋12＋1…＝x ，则有1＋12＋1x ＝x ， 解得x ＝1＋32(负值已舍去)．思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.题型三 演绎推理例6 已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )． (1)试证明：f (x )为R 上的单调增函数；(2)若x ，y 为正实数且4x ＋9y＝4，比较f (x ＋y )与f (6)的大小．(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )为R 上的单调增函数．(2)解 ∵x ，y 为正实数，且4x ＋9y ＝4，∴x ＋y ＝14(x ＋y )(4x ＋9y )＝14(13＋4y x ＋9x y )≥14(13＋2 4y x ·9x y )＝254， 当且仅当⎩⎨⎧ 4y x ＝9x y，4x ＋9y ＝4，即⎩⎨⎧x ＝52，y ＝154时取等号，∵f (x )在R 上是增函数，且x ＋y ≥254>6，∴f (x ＋y )>f (6)．思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．(1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为________． ①大前提错误②小前提错误③推理形式错误(2)(2016·南京模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是________． ①大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数； ②大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数； ③大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数； ④大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数． 答案 (1)③ (2)②解析 (1)因为大前提“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．(2)①中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故①错误；③、④都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以①、③、④都不正确，只有②正确．10．高考中的合情推理问题考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为填空题，难度为中档．解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：①b2 014是数列{a n}的第________项；②b2k－1＝________.(用k表示)(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________．①A＝N*，B＝N；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}；③A＝{x|0<x<1}，B＝R；④A＝Z，B＝Q.解析 (1)①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9×(2×5)2＝a 9，b 4＝(2×5)×112＝a 10，b 5＝14×(3×5)2＝a 14，b 6＝(3×5)×162＝a 15，…b 2 014＝⎝⎛⎭⎫2 0142×5⎝⎛⎭⎫2 0142×5＋12＝a 5 035.②由①知b 2k －1＝⎝⎛⎭⎫2k －1＋12×5－1⎝⎛⎭⎫2k －1＋12×52＝5k (5k －1)2. (2)对于①，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，故排除①； 对于②，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故排除②； 对于③，取f (x )＝tan(πx －π2)(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的， 故排除③. ④不符合，故填④.答案 (1)①5 035 ②5k (5k －1)2(2)④1．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a ∈R ，结论是：a 2>0，那么这个演绎推理出错在________． ①大前提 ②小前提 ③推理过程④没有出错答案 ①解析 推理形式正确，但大前提错误，故得到的结论错误． 2．下列推理是归纳推理的是________．①A ，B 为定点，动点P 满足P A ＋PB ＝2a >AB ，则P 点的轨迹为椭圆； ②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ②解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理，其余都不是．3．(2017·苏州质检)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________．答案 8解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6n (n －1)2＝3n 2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8(舍去负值)，故共有8层． 4．(2016·扬州模拟)平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为f (n )＝__________. 答案 n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域． 5．(2016·徐州模拟)推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是________．答案 ②解析 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．6．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.其中正确结论的个数是________．答案 1解析 (a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34， 故②错误．由向量的运算公式知③正确．7．把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下第i 行，从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 009，则i 与j 的和为________．答案 107解析 由题意可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数为961，前32个奇数行内数的个数为1 024，故2 009在第32个奇数行内，则i ＝63，因为第63行第1个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1 923＋2(j －1)，所以j ＝44，所以i ＋j ＝107.8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，类似的结论为______________________．答案 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30解析 由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.9．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________．答案 x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0y b 2＝1. 10．如图(1)，若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比1122OM N OM N S S ∆∆＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为_____________．答案 111222O PQ R O P Q R V V --＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为111222O P Q R O P Q R V V --＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2. 11．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3 ＝11＋3＋13(1＋3)＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33， 同理可得f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33. 由此猜想f (x )＋f (1－x )＝33. 证明：f (x )＋f (1－x )＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x 3＋3·3x ＝13x ＋3＋3x 3(3＋3x )＝3＋3x 3(3＋3x )＝33. 12．(2016·连云港模拟)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 13.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )的对称中心；(2)计算f (12 017)＋f (22 017)＋f (32 017)＋f (42 017)＋…＋f (2 0162 017)． 解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12. f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)． (2)由(1)知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2， 即f (x )＋f (1－x )＝2.故f (12 017)＋f (2 0162 017)＝2， f (22 017)＋f (2 0152 017)＝2， f (32 017)＋f (2 0142 017)＝2， …，f (2 0162 017)＋f (12 017)＝2. 所以f (12 017)＋f (22 017)＋f (32 017)＋f (42 017)＋…＋f (2 0162 017)＝12×2×2 016＝2 016.。
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1．(1)若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为 ( ) A．－1 C．1 B．0 D．－1 或 1
2 x －1＝0， 为纯虚数，得 x－1≠0，
解析：选 A.由复数 z
解得 x＝－1，故选 A.
b (2)设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数 a＋ i 为 纯虚数”的( )
所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．
答案 A
[引申探究] 1．对本例(1)中的复数 z，若|z|＝ 10，求 a 的值． 解：若|z|＝ 10，则(a－3)2＋1＝10， ∴|a－3|＝3，∴a＝0 或 a＝6.
z1 2．在本例(2)中，若z 为实数，则 a＝________. 2 4＋a z1 解析：若z 为实数，则 5 ＝0. 2
10 解析 z＝a－ ＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由 a∈R，且 z＝a 3－i 10 － 为纯虚数知 a＝3. 3－i
答案 D
z1 (2)已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若z 为纯虚数，则 2 z1 复数z 的虚部为( 2 A．1 2 C.5 ) B．i D．0
z1 2＋ai 2＋ai1＋2i 2－2a 4＋a 解析 由z ＝ ＝ ＝ 5 ＋ 5 i 是纯虚数， 5 1 － 2i 2 z1 得 a＝1，此时z ＝i，其虚部为 1. 2
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d
(a，b，c，d∈R)． (a，b，c，
(4)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔ a＝c，b＝－d d∈R)．
→ 的模叫作复数 z＝a＋bi 的模，记作 |z| ，即|z| (5)模：向量OZ
2 2 a ＋ b ＝ (a，b∈R)．
2．复数的几何意义 复数 z＝a＋bi 与复平面内的点 Z(a，b) b)(a，b∈R)是一一对应关系． → ＝(a， 及平面向量OZ
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
b 解析：选 B.若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0，∴a＋ i 是纯虚数或实 b b 数，不是充分条件；若复数 a＋ i 为纯虚数，则 a＋ i ＝a－bi，∴a ＝0 且 b≠0，∴ab＝0，是必要条件．
3．复数的运算 (1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法 则进行． 如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减法
→ ＋OZ → → －OZ → → OZ → OZ 的几何意义，即OZ＝ 1 2 ，Z1Z2＝ 2 1
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
[基础自测] 2 1．(2016· 高考山东卷)若复数 z＝ ，其中 i 为虚数单位，则 1－i － z ＝( ) B．1－i D．－1－iA．1＋Fra bibliotek C．－1＋i
21＋i 2 解析：选 B.z＝ ＝ ＝1＋i，∴－ z ＝1－i. 1－i 1－i1＋i
答案 A
(3)若 z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)， z2＝3－2i， 则“m ＝1”是“z1＝z2”的( A．充分不必要条件 C．充要条件
解析
) B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
解得 m＝－2 或 m＝1，
2 m ＋m＋1＝3， 由 2 m ＋m－4＝－2，
4＋3i 4＋3i1－2i 10－5i － 解析：∵ z ＝ ＝ ＝ 5 ＝2－i， 1＋2i 1＋2i1－2i ∴z＝2＋i.
答案：2＋i
类型一
复数的概念
10 [例 1] (1)设 i 是虚数单位．若复数 z＝a－ (a∈R)是纯虚 3－i 数，则 a 的值为( A．－3 C．1 ) B．－1 D．3
.
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程 x2＋x＋1＝0 没有解．( ) ) )
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.(
(3)复数中有相等复数的概念， 因此复数可以比较大小． ( (4)原点是实轴与虚轴的交点．( )
(5) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距 离，也就是复数对应的向量的模．( )
z 2．(2016· 高考全国丙卷)若 z＝4＋3i，则|z|＝( A．1 4 3 C.5＋5i B．－1
)
4 3 D．5－5i z 解析：选 D.先求出 z 与|z|，再计算|z|.
∵z＝4＋3i，∴ z ＝4－3i，|z|＝ 42＋32＝5， z 4－3i 4 3 ∴|z|＝ 5 ＝5－5i.
a＋bi 4．(2015· 陕西汉中模拟)已知 i 是虚数单位，若 ＝2＋i(a， 1＋i b∈R)，则 ab＝________. a＋bi 解析：由 ＝2＋i，得 a＋bi＝1＋3i，所以 a＝1，b＝3， 1＋i ab＝3.
答案：3
5．(教材改编)已知(1＋2i)－ z ＝4＋3i，则 z＝________.
基础 考点
知识导航 典例领航
智能
提升反航
课时规范训练
§ 12.4
复数
[知识梳理] 1．复数的有关概念 (1)定义：形如 a＋bi(a，b 是实数，i 是虚数单位)的数叫作复 数，其中 a 叫作实部 ，b 叫作 虚部 ．
(2)分类： 满足条件(a，b 为实数) a＋bi 为实数⇔
b＝0
复数的分类 a＋bi 为虚数⇔ b≠0 a＋bi 为纯虚数⇔a＝0且b≠0
3．在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A，B. 若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( A．4＋8i C．2＋4i B．8＋2i D．4＋i )
解析：选 C.∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段 AB 的中点 C(2,4)，则 点 C 对应的复数为 z＝2＋4i.
∴a＝－4.
答案：－4
[方法引航]
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚 部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部与 虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以 确定实部和虚部．