高三数学 复数复习
高三复数复习课件
三角函数图像的绘制方法
利用MATLAB绘制三角函数图像
使用MATLAB的绘图功能，可以绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
利用Python绘制三角函数图像
使用Python的matplotlib库，可以绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
04
复数在解方程中的应用
一元二次方程的解法及其应用
实数根与虚数根
一元二次方程的解可以是 实数或虚数，通过判别式
复数解的形式
二元一次方程组的解也可 以表示为复数形式，包括 实部和虚部。
在几何中的应用
二元一次方程组的解可以 表示平面上的点，通过几 何意义可以直观地理解方 程组的意义。
多元一次方程组的解法及其应用
01
消元法与代入法
多元一次方程组可以通过消元法和代入法求解，得到多个未知数的值。
02
复数解的形式
多元一次方程组的解也可以表示为复数形式，包括实部和虚部。
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THANKS
复数的表示方法
复数可以用平面坐标系中的点来 表示，实部为横坐标，虚部为纵 坐标。
复数的性质及其运算规则
复数的性质
复数具有实部和虚部，可以比较大小，可以进行四则运算等 。
复数的运算规则
复数的加法、减法、乘法和除法运算都有特定的规则，需要 掌握。
复数的几何意义与坐标表示
复数的几何意义
复数可以用平面坐标系中的点来表示 ，也可以用向量来表示。
利用复数计算三角函数的值
对于复数$z = a + bi$，其三角形式为$r(\cos \theta + i \sin \theta)$，则 $\sin z = \sin \theta (\cos \theta + i \sin \theta)$，$\cos z = \cos \theta (\cos \theta + i \sin \theta)$。
高三数学复习知识点之复数
高三数学复习知识点之复数1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=-1.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i的数（其中a，b∈R）；② 实数—当b = 0时的复数a + b i，即a；③ 虚数—当b≠0时的复数a + b i；④ 纯虚数—当a = 0且b≠0时的复数a + b i，即b i.⑤ 复数a + b i的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：a+bi=c+di<=>a=c且b=d(其中,a,b,c,d∈R)特别的a+bi=0<=>a=b=0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z₁,z₂为复数，则1°若z₁+z₂>0，则z₁>-z₂.（×）[z₁,z₂为复数，而不是实数]2°若z₁<z₂，则z₁-z₂<0.（√）②若a,b,c∈C，则(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0是a=b=c的必要不充分条件.（当(a-b)²=i²，(b-c)²=1,(c-a)²=0时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：d=|z₁-z₂|.其中z₁,z₂是复平面内的两点z₁和z₂所对应的复数，d表示z₁和z₂间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：|z-z0|=r(r>0).⑵曲线方程的复数形式：①|z-z0|=r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②|z-z₁|=|z-z₂|表示线段z₁z₂的垂直平分线的方程.③|z-z₁|+|z-z₂|=2a(a>0且2a>|z₁z₂|表示以Z₁,Z₂为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示线段Z₁,Z₂）.④||z-z₁|-|z-z₂||=2a(0<2a<|z₁z₂|,表示以Z₁,Z₂为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设z₁,z₂是不等于零的复数，则①||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,λ>0).②||z₁|-|z₂||≤|z₁-z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ>0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0).注：3. 共轭复数的性质：注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4⑴①复数的乘方：zⁿ=z·z·z...z}n(n∈N﹢)②对任何z，z₁,z₂∈C及m,n∈N﹢有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i²=-1,i的4次方=1若由就会得到-1=1的错误结论.②在实数集成立的|x|=x₂. 当x为虚数时，|x|≠x²，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若ω是1的立方虚数根。
高三数学 复数的有关概念总复习
第十四章复数——复数的有关概念（二）知识点详析1．知识体系表解2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位,规定,形如a+bi的数称为复数,其中a，b∈R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)(3)复数的相等设复数，那么的充要条件是：．(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．复数z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：⑴怎样计算？（先求n被4除所得的余数，）⑵是1的两个虚立方根，并且：⑶复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。
⑷棣莫佛定理是：⑸若非零复数，则z的n次方根有n个，即：它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为的圆上，并且把这个圆n等分。
⑹若，复数z1、z2对应的点分别是A、B，则△AOB（O为坐标原点）的面积是。
⑺=。
⑻复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：①轨迹为一条射线。
②轨迹为一条射线。
③轨迹是一个圆。
④轨迹是一条直线。
⑤轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在。
⑥轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在。
4．学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；(2)(3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i 及1的立方虚根ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。
高三复数知识点总结
高三复数知识点总结在高三数学学习中，复数是一个非常重要的知识点。
复数在数学中具有重要的应用价值，尤其在代数、几何以及物理学等领域中起着关键作用。
本文将对高三复数知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地掌握和应用相关概念。
一、复数的定义和表示方法复数是由实数和虚数单位i所组成的，可表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实部和虚部。
实部和虚部都是实数。
复数具有加法、减法、乘法和除法运算。
二、复数的加减法复数的加减法可以通过分别对实部和虚部进行相应的运算得出。
例如，(a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i。
三、复数的乘法复数的乘法需要用到乘法公式，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd) +(ad+bc)i。
四、复数的除法复数的除法需要用到公式，即(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
五、共轭复数共轭复数是指实部相同，虚部符号相反的两个复数。
对于复数a+bi，它的共轭复数表示为a-bi。
共轭复数在复数的除法和复数的模运算等方面非常有用。
六、复数的模复数的模是指复数与原点之间的距离，可用勾股定理计算。
对于复数a+bi，它的模表示为|a+bi| = √(a^2 + b^2)。
七、复数的辐角复数的辐角是指复数与正实轴之间的夹角，可用三角函数计算。
对于复数a+bi，它的辐角表示为arg(a+bi)。
八、复数的指数形式复数可以用指数形式表示，即re^(iθ)，其中r为模，θ为辐角。
指数形式可以转化为三角形式，即a+bi的形式。
九、复数的平方根对于复数a+bi，它的平方根可以通过求解方程z^2 = a+bi得到。
解得的两个根可以通过共轭复数的概念得到。
十、复数在几何中的应用复数在几何中有广泛的应用，比如描述平面上的点、表示向量、表示旋转变换等。
通过将复数与平面上的点一一对应，可以进行各种几何运算。
数学复习复数与虚数
数学复习复数与虚数数学复习：复数与虚数一、复数的概念及运算在数学中，复数是由实数和虚数相加或相减组成的。
虚数单位 i 定义为：i^2 = -1。
复数的一般表示形式为 a+bi，其中 a 为实部，b 为虚部。
1. 复数的定义和表示方法复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为 a+bi，其中 a 是实部，b 是虚部。
例如，5+3i 就是一个复数。
2. 复数的加法和减法复数的加法：若 z1 = a+bi，z2 = c+di，则 z1+z2 = (a+c)+(b+d)i。
复数的减法：若 z1 = a+bi，z2 = c+di，则 z1-z2 = (a-c)+(b-d)i。
3. 复数的乘法和除法复数的乘法：若 z1 = a+bi，z2 = c+di，则 z1*z2 = (ac-bd)+(ad+bc)i。
复数的除法：若 z1 = a+bi，z2 = c+di，则 z1/z2 =[(ac+bd)/(c^2+d^2)]+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
二、虚数的概念及运算虚数是复数中虚部不为零的数。
虚数单位 i 定义为：i^2 = -1。
虚数的一般表示形式为 bi，其中 b 为虚数的系数。
1. 虚数的定义和表示方法虚数是由虚部不为零的复数，一般表示为 bi，其中 b 是虚数的系数。
例如，3i 就是一个虚数。
2. 虚数的乘法和除法虚数的乘法：若 ix = (0+1i)(x+0i) = 0+xi = xi。
虚数的除法：若 ix = xi，则i = √(-1) = ±√i，即虚数的除法需要使用复数表示。
三、复数的应用领域复数在数学中有广泛的应用，特别是在电路分析、信号处理、傅里叶分析等领域。
1. 电路分析在电路分析中，复数可以方便地表示电流和电压的相位关系。
2. 信号处理在信号处理中，复数用于表示信号的频谱特性和频域滤波操作。
3. 傅里叶分析在傅里叶分析中，复数用于描述信号的频谱分量和信号的频域特性。
高考数学复数知识点、公式(最齐全)
数系的扩充和复数概念和公式总结1.虚数单位i:它的平方等于-1, 即21i=-2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根, 即方程x2=－1的一个根, 方程x2=－1的另一个根是－i3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.复数的定义：形如(,)+∈的数叫复数, a叫复a bi ab R数的实部, b复数集, 用字母C复数通常用字母z表示, 即(,)=+∈z a bi a b R5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈, 当且仅当b=0时, 复a bi ab R数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时, 复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时, z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时, z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时, z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等, 那么我们就说这两个复数相等如果a, b, c, d∈R, 那么a+bi=c+di⇔a=c, b=一般地, 两个复数只能说相等或不相等, 而不能比较大小.即使是3,62++也没有大小。
i i如果两个复数都是实数, 当两个复数不全是实数时不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a, 纵坐标是b, 复数z=a+bi(a、b ∈R)可用点Z(a, b)表示, 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做实轴, y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0, 0)设z1=a+bi, z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 复数的加法运算满足交换律和结合律10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
高三复数总复习知识点、经典例题、习题
复数一．基本知识【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解二． 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
高考复数知识点精华总结
高考复数知识点精华总结1．复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ； （4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模, 且2||z z z ⋅==a2+b2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
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1.虚数单位是怎样定义的？
虚数单位，规定： （1）它的平方等于-1，即
i
2
1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算 时，原有的加、乘运算律仍然成立．
根据对虚数单位i的运算规定易知：
i 1, i
4n
4 n1
i, i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
2.复数的表示形式是怎样的？
形如 a bi(a, b R ) 的数，叫做复数．
C {z | z a bi, 其中a, b R)
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字 母C表示 . 实部 虚部 通常用字母 z 表示，即 z a bi(a, b R) 当 b 0 时，z 是实数a． 复数 叫做纯虚数． 实 数 集
答案：C
z +z+ z =3，则z对应点的轨迹 例12.复数z满足z·
是____________. 解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆. 答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
2 2
2
(4)复数的模可以比较大小，一般地，两个复数不能比 较大小，除非两个复数都是实数才可以比较大小。 典型例题：一、代数运算
1 3 i 求证： 例3：设w= 2 2 ① 1+w+w2=o ②w3=1
例6：实数m取什么值时，复数
(m 8m 15) (m 5m 14)i
2 2
对应的点
（1）位于第一、三象限？
（2）位于第四象限？ 例7：已知 z 2 z 4i, 求复数z.
2 bi 例9.如果复数 （其中i为虚数单位，b为实数） 1 2i
的实部和虚部互为相反数，那么b等于
A.
2
2 B. 3
2 C.－ 3
D.2
2 bi (2 bi)(1 - 2i) 2 2b (b 4)i 解析： = = 5 1 2i 5 2 ∴2－2b=b+4，b=－ . 3
3.两复数相等的充要条件是什么？
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就 说这两个复数相等．即如果 a , b, c, d R ，那么
a bi c di a c, b d
例2 已知 (2 x 1) i y (3 y )i ，其中 x, y R ， 求 x与 y .
当 b 0时，z 叫做虚数． 当 a 0 且 b 0时，z bi 复数集C
虚数集I
R
例1：实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？(口答）
解：（1）当 m 1 0，即 m 1 时，复数z是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z是虚数． （3）当 m 1 0 ，且 m 1 0 ，即 m 1 时， 复数z 是纯虚数．
9、补充概念。 (1)复数z a bi的模 | z |2 a 2 b2 ;
(2)复数z a bi的共轭复数，记为： z a－bi， 即实部相等，虚部成相 反数的复数互为共轭复 数;
(3) z z (a bi ) (a－bi ) a b z .
解： 1 ( 3 y )
5 所以 x , y 4 2
4.复数的几何意义是怎样的？
复数z=a+bi↔复平面内的点Z（a，b）↔平面向量OZ x轴叫实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数； 除了原点y，虚轴上的点都表示纯虚数。象限中的 点都表示非纯虚数。
y Z（a，b）
O
x
5、复数的加法法则
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i
6、复数的减法法则
（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i。
注：两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚 部与虚部分别相加（减），即
（a+bi）±（c+di）=（a ± c） + （b±d）i
7、复数的乘法
z1· z2=(a+bi)(c+di)= ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i 注：1、复数的乘法与多项式的乘法类似，但必须 在所得的结果中把i2 换成-1，并把实部与虚部分开。
8、复数的除法
a bi （a+bi）÷ （c+di) 或 c di (a bi )(c di ) a bi (c di )(c di ) c di ac bd (bc ad )i 2 2 c d ac bd bc ad 2 2 i 2 2 c d c d