【解析】河北省邯郸市2015届高三上学期1月质检数学(文)试题

河北省邯郸市2015届高三上学期1月质检文科数学【试卷综述】重点考查基本知识和基本技能，侧重通性通法 注重对基本知识和基本技能的考查，重点考查通性通法，避免偏题、怪题，适当控制运算量，加大思考量，在大题中，每个题的难度按照由易到难的梯度设计，学生入口容易，但是又不能无障碍的获得全分， 本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力. 【题文】一、选择题【题文】1.已知集合{}{}2160,5,0,1A x x B =-<=-则A ．AB φ⋂= B.B A ⊆ C.{}0,1A B ⋂= D.A B ⊆【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】C 解析：∵A={x|-4<x<4}, B={-5，0，1}.∴{}0,1A B ⋂=正确.故选C. 【思路点拨】化简集合A ，再判断每个选项的正误. 【题文】2.已知i 是虚数单位，则复数4334iz i+=-的虚部是 A. 0 B. i C. i - D. 1【知识点】复数的概念与运算. L4 【答案】【解析】D 解析：因为()()()()4334432534343425i i i iz i i i i +++====--+，所以其虚部是1，故选D. 【思路点拨】把已知复数化为a+bi(a,b ∈R)形式，从而确定其虚部. 【题文】3.具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如右表所示.若y 与x 的回归直线方程为233ˆ-=x y，则m 的值是A. 4B.92C. 5D. 6 【知识点】线性回归 I4【答案】【解析】A 解析：由题意可知样本的中心点38+m 24⎛⎫⎪⎝⎭，，一定在回归方程上，所以代入方程可得4m =，所以A 正确.【思路点拨】由样本中心点一定回归方程上可知正确结果.【题文】4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为x y 25-=，则它的离心率为()A.52 B.32C.355D.23【知识点】双曲线的几何性质. H6【答案】【解析】B解析：由已知得2222225342ba a c caa b cíïïï=ï?=?ìïï+=ïïî,故选B.【思路点拨】根据已知得关于a,b,c的方程组，解得离心率.【题文】5.执行如右图所示的程序框图,若输入的n值等于7,则输出的s的值为A.15B.16C.21D.22【知识点】程序框图的准确阅读与理解. L1【答案】【解析】B 解析：图中循环结构循环的结果依次是：（1）s=1+0=1,i=2; (2)s=1+1=2,i=3; (3)s=2+2=4,i=4;(4)s=4+3=7,i=5;(5)s=7+4=11,i=6;(6)s=11+5=16,i=7.所以输入的n值等于7，那么输出s的值为16.故选B.【思路点拨】根据程序框图描述的意义，依次写出循环结果，得输入的n值.【题文】6. 已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组1222xyx y≤≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩给定．目标函数25z x y=+-的最大值为A．1 B．0 C．1- D．5-【知识点】向量的数量积；线性规划问题. F3 E5【答案】【解析】C 解析：(2,1)(x2,y1)2x y5z=?-=+-，画出可行域，平移目标函数得点（2,2）为最优解，所以z OA AM =⋅的最大值为22251?-=，故选C.【思路点拨】利用向量数量积的虚部形式，变形目标函数，画出可行域，平移目标函数得，目标函数取得最大值的最优解.【题文】7. 在正四棱锥P-ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为A ． 90B ． 60C ． 45D ． 30【知识点】异面直线所成的角 G11【答案】【解析】C 解析：设底面对角线的交点为O ，可知OE 平行于PC ，所以OE 与EB 所成的角即为异面直线PA 与BE 所成的角，又因为BO 垂直于面PAC ，所以角EOB 为直角，所以三角形EOB 为等腰直角三角形，所以角OEB 为45︒，所以C 正确.【思路点拨】由异面直线所成角的定义可平移直线，再根据三角形求出角.【题文】8. 已知{}(,)1,1x y x y Ω=≤≤，A 是由直线y x =与曲线3y x =围成的封闭区域，用随机模拟的方法求A 的面积时，先产生[]0,1上的两组均匀随机数，12,,...,N x x x 和12,,...,N y y y ，由此得N 个点(),(1,2,3,...)i i x y i N =，据统计满足3(1,2,3,...)i i i x y x i N ≤≤=的点数是1N ，由此可得区域A 的面积的近似值是 A.1N N B. 12N N C. 14N N D. 18N N【知识点】微积分定理；几何概型 B13 K3【答案】【解析】B 解析：由题意可知A 是由直线y x =与曲线3y x =围成的封闭区域，可通过积分求出其在[]0,1上的面积为14，即1N N ，而A 的面积是[]0,1上的面积的2倍，所以面积为12N N，所以B 正确.【思路点拨】由微积分定理可直接求出面积. 【题文】9.下列三个数33ln,ln ,ln 3322a b c ππ=-=-=-，大小顺序正确的是 A.b c a >> B.a b c >> C.a c b >> D.b a c >>【知识点】函数的单调性比较数值的大小. B3【答案】【解析】C 解析：设函数()()1ln (0)f 1f x x x x x x'=->⇒=-， 由()01f x x '<⇒>，所以分f(x)是()1,+∞的减函数，又332π<<，所以a c b >> 【思路点拨】构造函数f(x)=lnx-x,利用此函数的单调性，确定a,b,c 的大小顺序.【题文】10.已知等差数列{}n a 中，11=a ，前10项的和等于前5的和，若06=+a a m 则=mA 10B 9C 8D 2【知识点】等差数列的性质. D2【答案】【解析】A 解析：∵105105678910,0S S S S a a a a a =∴-=++++=6a +10a =7a 9a +=28a ，所以8a =0，所以m+6=28⨯=16，所以m=10,故选A.【思路点拨】根据等差数列的性质求解.【题文】11．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A.10B.20C.40D.60【知识点】几何体的三视图. G2【答案】【解析】B 解析：由三视图可知此几何体是四棱锥P-ABCD 如图，其中四边形ABCD 是边长为5 的正方形，有一个侧面与底面垂直，且以P 为直角顶点，两直角边长分别为3,4的直角三角形，所以该几何体的体积为213452035V ⨯=⨯⨯=,故选 B. ：【思路点拨】由三视图得此几何体的直观图，及此几何体的某些边长和边间位置关系，从而求得此几何体的体积.【题文】12. 已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ 若关于x 的方程[]25()(56)()60f x a f x a -++= (a R ∈)，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是A ．5014a a <<=或 B.5014a a ≤≤=或 C ．5014a a <≤=或 D.514a <≤或0a =【知识点】偶函数的性质；二次方程的实根分布. B4 B5【答案】【解析】C 解析：当0,1x 轾Î犏臌时，()50,4f x 轾犏Î犏臌，且()f x 是0,1轾犏臌上增函数； 当)1,x é??êë时，()51,4f x 纟çúÎççúèû，且()f x 是)1,é+?êë上减函数. 令()f x t=，则要使关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，根据函数f(x)的对称性，需使关于t 的方程20t at b ++=有两个不同实根12,t t ，且：（1）1201514t t íï<<ïïìï<<ïïïî或（2）121514t t íï=ïïìï<<ïïïî或（3）1254514t t íïï=ïïìïï<<ïïïî，由（1）得9,14a 骣÷ç÷?-ç÷ç÷桫，由（2）得9,24a 骣÷ç÷?-ç÷ç÷桫，由（3）得59,24a 骣÷ç÷?-ç÷ç÷桫. 所以实数a 的取值范围是： 599(,)(,1)244---- .故选C. 【思路点拨】画出函数f(x)的图像，求得函数f(x)的值域，结合图像与值域得，要使关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，需使需使关于t 的方程20t at b ++=有两个不同实根12,t t ，且：（1）1201514t t íï<<ïïìï<<ïïïî或（2）121514t t íï=ïïìï<<ïïïî或（3）1254514t t íïï=ïïìïï<<ïïïî，由此解得a 范围.【题文】二、填空题【题文】13.如图，正六边形ABCDEF的边长为AC DB ⋅=______【知识点】向量的数量积. F3【答案】【解析】92-解析：因为23AC DB ===，,AC DB 夹角120°， 所以AC DB ⋅= 933cos1202⨯⨯=-.【思路点拨】结合正六边形的性质求出两向量的模及夹角，再由向量数量积的定义求解. 【题文】14. 已知,(0,)x y ∈+∞，312()2x y -=，则14x y+的最小值为 【知识点】基本不等式法求最值. E6 【答案】【解析】3 解析：由312()2x y -=得x+y=3,所以14x y +()1143x y x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()141554333x y y x ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3142x y x x y y y x +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩(,(0,)x y ∈+∞)时 等号成立. 【思路点拨】由312()2x y -=得x+y=3,然后构造使用基本不等式的条件求得结论. 【题文】15. 已知圆4:22=+y x C ，过点)3,2(A 作C 的切线，切点分别为Q P ,，则直线PQ 的方程为 .【知识点】直线与圆的位置关系；直线的方程. H1 H4【答案】【解析】2x+3y-4=0 解析：以O(0，0),A(2，3)为直径端点的圆的方程为： X(x-2)+y(y-3)-0即22230x y x y +--=，与圆4:22=+y x C 相减得：2x+3y-4=0， 所以直线PQ 的方程为2x+3y-4=0【思路点拨】根据以OA 为直径的圆与已知圆的交线就是直线OQ 得结论. 【题文】16. 如图，在ABCRt ∆中， 90=∠A ,D 是AC 上一点，E 是BC 上一点，若EB CE BD AB 41,21==. 120=∠BDE ,3=CD ,则BC=【知识点】余弦定理；勾股定理；平行线分线段成比例定理. C8 N1解析：取BD 中点F ，BE 中点G ，连接AF 、FG ，可得30FAD EDC AF DE ∠=∠=⇒ ,FG 是△BDE 的中位线，所以FG ∥DE ，所以A 、F 、G 三点共线，设AB=a,则BD=2a,AD=，由12CD CE a DA EG ===⇒=，在△BDC 中，由余弦定理得(222323BC =+-⨯⨯ =93，所以.【思路点拨】取BD 中点F ，BE 中点G ，连接AF 、FG ，证明A 、F 、G 三点共线，由已知及平行线分线段成比例定理得线段AD 的长，从而得线段BD 长，然后在△BDC 中，由余弦定理求得BC 长. 【题文】三．解答题【题文】17. (本小题满分10分)等差数列{}n a 中，11-=a ，公差0≠d 且632,,a a a 成等比数列，前n 项的和为n S . （1） 求n a 及n S . （2） 设11+=n n n a a b ，n n b b b T +++= 21，求n T 【知识点】等差数列的概念与等比数列的概念；数列的前n 项和公式 D1 D4 【答案】【解析】(1) 32-=∴n a n n n s n 22-= (2) 21n n T n =--解析：（1）有题意可得2362a a a =⋅又因为11-=a 2=∴d …… 2分32-=∴n a n n n s n 22-= …………………4分（2）)121321(21)12)(32(111---=--==+n n n n a a b n n n ………6分)]121321()3111()1111[(2121---++-+--=+++=∴n n b b b T n n12)1211(21--=---=n n n …………10分 【思路点拨】由等比中项的性质可求出数列的公差，再写出通式公式与前n 项和公式，根据{}n b 的特点可利用裂项求和法求出n T【题文】18. (本小题满分12分)已知23cos 2sin 23)(2-+=x x x f （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.（2）当]2,0[π∈x 时，方程0)(=-m x f 有实数解，求实数m 的取值范围.【知识点】三角函数的性质 C4【答案】【解析】(1) 最小正周期为π , 单调递增区间是Z k k k ∈++-],6,3[ππππ(2) 3[,0]2m ∈- 解析：1cos 231()22cos2x-1=sin(2)12226x f x x x x π+=+-=++- ()sin(2)16f x x π∴=+-………2分∴最小正周期为π………4分令z=26x π∴+.函数()sin z 1f x =-的单调递增区间是-2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，由-222262k x k πππππ+≤+≤+， 得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴函数()f x 的单调递增区间是Z k k k ∈++-],6,3[ππππ………6分（2）当]2,0[π∈x 时，]67,6[62πππ∈+x ，]1,21[)62sin(-∈+πx ]0,23[)(-∈x f m x f =)( ]0,23[-∈∴m ………12分【思路点拨】求三角函数的周期与单调区间先要把解析式化简成一个三角函数式的形式，再根据定义求解，第二问可由单调性直接求出取值范围.【题文】19. (本小题满分12分) 如图，已知⊙O 的直径AB=3，点C 为⊙O 上异于A ，B 的一点，VC ⊥平面ABC ，且VC=2，点M 为线段VB 的中点.（1）求证：BC ⊥平面VAC ；（2）若直线AM 与平面VAC 所成角为4π.求三棱锥B -ACM 的体积.【知识点】直线与平面垂直；几何体的体积 G5 G7【答案】【解析】(1)略(2)3解析：（1）证明：因为VC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以VC ⊥BC ， 又因为点C 为圆O 上一点，且AB 为直径，所以AC ⊥BC ，又因为VC ，AC ⊂平面VAC ，VC ∩AC=C ，所以BC ⊥平面VAC. …………………4分（2）如图，取VC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥BC ，由（I ）得BC ⊥平面VAC ，所以MN ⊥平面VAC ，则∠MAN 为直线AM 与平面VAC 所成的角.即∠MAN=4π，所以MN=AN ；…………………………………6分令AC=a,则MN=2因为VC=2，M 为VC 中点，所以 所以，2,解得a=1…………………………10分 因为MN ∥BC,所以133ABC B ACMM ABC N ABC S NC VV V ---==== 12分【思路点拨】由线面垂直的判定定理可得结果，再利用等体积法可求出体积.【题文】20. (本小题满分12分)从某小区抽取100个家庭进行月用电量调查，发现其月用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图所示．（1）根据直方图求x 的值，并估计该小区100个家庭的月均用电量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从该小区已抽取的100个家庭中, 随机抽取月用电量超过300度的2个家庭，参加电视台举办的环保互动活动，求家庭甲（月用电量超过300度）被选中的概率．【知识点】统计；概率 I4 K1 【答案】【解析】(1)0.0044(2)13解析：（1）由题意得，10060.00036.020024.00012.050=+++⨯+⨯）（x 0044.0=∴x .设该小区100个家庭的月均用电量为S则+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=225500044.0175500060.0125500036.075500024.0S=⨯⨯+⨯⨯325500012.027*******.09+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186.（2）6100500012.0=⨯⨯ ，所以用电量超过300度的家庭共有6个.分别令为甲、A 、B 、C 、D 、E ，则从中任取两个，有（甲，A ）、（甲，B ）、（甲，C ）、（甲，D ）、（甲，E ）、（A,B)、（A,C)、(A,D)、(A,E)、(B,C)、(B,D)、(B,E)、(C,D)、(C,E)、(D,E)15种等可能的基本事件，其中甲被选中的基本事件有（甲，A ）、（甲，B ）、（甲，C ）、（甲，D ）、（甲，E ）5种.∴家庭甲被选中的概率31155==p . 【思路点拨】由图可直接求出x 的值，再列出甲被选中的结果数求出概率.【题文】21. (本小题满分12分)已知椭圆C:)0(12222>>=+b a b y a x 过点A )23,22(-，离心率为22，点21,F F 分别为其左右焦点. （1）求椭圆C 的标准方程;（2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点Q P ,,且OQ OP ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.【知识点】椭圆的概念；直线与椭圆的位置关系 H5 H8【答案】【解析】(1)1222=+y x (2)存在圆心在原点的圆3222=+y x 满足题意解析：（1）由题意得：22=a c ，得c b =，因为)0(1)23()22(2222>>=+-b a ba ，得1=c ，所以22=a ，所以椭圆C 方程为1222=+y x . ……………4分 （2）假设满足条件的圆存在，其方程为：)10(222<<=+r r y x当直线PQ 的斜率存在时，设直线方程为b kx y +=，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x b kx y 得 222(12)4220k x bkx b +++-=，令),(),,(2211y x Q y x P221214kbk x x +-=+，22212122k b x x +-=…………6分 OQ OP ⊥02121=+∴y y x x021421)22)(1(2222222=++-+-+∴b kb k k b k 22322+=∴k b .………8分 因为直线PQ 与圆相切，2221k b r +=∴=32 所以存在圆3222=+y x 当直线PQ 的斜率不存在时，也适合3222=+y x . 综上所述，存在圆心在原点的圆3222=+y x 满足题意.…………12分 【思路点拨】根据已知条件可求出椭圆方程，再由直线与椭圆的位置关系求出满足题意的圆. 【题文】22. (本小题满分12分)已知a ∈R ，函数321()(2)3f x x a x b =+-+，()4ln g x a x =． (1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处的切线重合，求a ，b 的值；(2)设()'()()F x f x g x =-，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，都有2121()()2()F x F x a x x ->-，求a 的取值范围．【知识点】导数；函数的性质 B11 B12【答案】【解析】(1) 319,26a b =-= (2) 12a ≤- 解析： (1)2()2(2)f x x a x '=+-，(1)23f a '=-.4()a g x x'=，(1)4g a '= 由题意，(1)(1)f g ''=，423a a =-，32a =-. 又因为(1)0g =，0c ∴=.(1)0f =,得196b =………………… 4分 (2)由 2121()()2()F x F x a x x ->-可得，2211()2()2F x ax F x ax ->-令()()2h x F x ax =-，只需证()h x 在(0,)+∞单调递增即可…………8分()()2h x F x ax =-=22(2)4ln 2x a x a x ax +---2=44ln x x a x --2244()x x a h x x--'= 只需说明2244()0x x a h x x--'=≥在()0,+∞恒成立即可……………10分 即24-24a x x ≤+，211(1)22a x ≤--+ 故，12a ≤- ………………………………………………………12分 【思路点拨】根据函数的导数可求出a,b 的值，再利用导数研究函数的单调性可求a 的范围.。