五年级 第1讲 计数问题(三) 学生版
高思级枚举法计数问题答案
第3讲 枚举法（一）（计数问题第1讲）【1】1～20共有多少个数相隔：20-1=19（个）；个数：19+1=20（个）。
答：1～20共有20个数。
【2】20～40共有多少个数相隔：40-20=20（个）；个数：20+1=21（个）。
答：20～40共有21个数。
【3】如图，桌上有一些围棋子，有多少枚黑子 正难则反一共：5×5=25（枚）；白子：9枚；黑子：25-9=16（枚）。
答：有16枚黑子。
【4】小明决定去香山、颐和园、圆明园这3个景点旅游，要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序 （1）香山、颐和园、圆明园；（2）香山、圆明园、颐和园；（3）颐和园、香山、圆明园；（4）颐和园、圆明园、香山；（5）圆明园、香山、颐和园；（6）圆明园、颐和园、香山。
3×2=6（种）答：他一共有6种不同的游览顺序。
【5】小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选2个地方去旅游，小王有多少种不同的选择 握手原则⎩⎨⎧÷⨯-2每个人握手次数所有人握手次数：人数1每个人握手次数：人数（1）青岛、三亚；（2）青岛、桂林；（3）青岛、杭州；（4）三亚、桂林；（5）三亚、杭州；（6）桂林、杭州。
4×3÷2=6（种）答：小王有6种不同的选择。
【6】小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选3个地方去旅游，小王有多少种不同的选择 正难则反：在4个地方里面选3个，也就是每次去掉1个地方不选。
（1）青岛、三亚、桂林（不选杭州）；（2）青岛、三亚、杭州（不选桂林）；（3）青岛、桂林、杭州（不选三亚）；（4）三亚、桂林、杭州（不选青岛）。
答：小王有4种不同的选择。
【7】墨莫在一张纸上画了一些图形，如图所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的。
数一数，纸上一共有多少条线段（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内） 三角形个数：2；四边形个数：2；五边形个数：2。
（3+4+5）×2=24（条） 答：纸上一共有24条线段。
第1讲 数一数(教师版)(知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升)苏教版
第1讲数一数学问点一：数数的方法数数时依据肯定的挨次，一个一个地数，最终数到几，物体的总数就是几。
学问点二：用圆点表示相应物体的数量肯定数量的物体可以用相应数量的圆点来表示。
用圆点表示物体数量时，物体的数量与圆点的个数是一一对应的。
考点一：数数的方法【例1】看图填数。
【分析】一个一个数的方法解答前两个图，图三十位上的数表示1个十，个位上的8表示8个一，据此解答。
【解答】解：如图：【点评】本题考查了数数的方法。
1．看图写数。
【分析】数出个数，写数即可。
【解答】解：如图：【点评】本题主要考查数一数，关键培育同学的数感。
2．在括号中填上数字。
【分析】图一一个一个数一共有5个正方体；图二是由1个十和2个一组成的数是12；图三的计数器是由1个十和6个一组成的数是16，据此解答。
【解答】解：如图：【点评】本题考查了数数的方法及数的组成意义。
3．我会看图写数。
【分析】按挨次分别数一数各种物品的数量，然后写出即可。
【解答】解：故答案为：4，6，8。
【点评】本题主要考查了同学对10以内数的生疏和读写状况，属于基础学问，要娴熟把握。
一．选择题（共5小题）1．如图中有（）个。
A．8 B．7 C．6【分析】从上往下一层一层的一个一个的数，留意隐蔽的正方体。
【解答】解：图中有2+6＝8（个）。
故选：A。
【点评】本题考查了利用一个一个数数的方法解答问题。
2．从下面一行移动（）只蝴蝶到上面一行，两行就一样多了。
A．4 B．3 C．2【分析】依据题意，第一行有5只，其次行有9只，看看其次行比第一行多几只，把多的数量一只一只分，直到分完为止。
据此解答。
【解答】解：9﹣5＝4（只）5+1+1＝7（只）9﹣1﹣1＝7（只）答：从下面一行移动2只蝴蝶到上面一行，两行就一样多了。
故选：C。
【点评】本题考查了数一数，比较物体多少的方法。
3．11后面第4个数是（）。
A．15 B．16 C．17【分析】一个一个往后数的方法解答，11，12，13，14，15，16......，据此找到第四个数即可。
春小学五年级 第讲 计数问题 系统复习班 教师版
在日常的生活和数学竞赛中，经常会遇到一些计数问题，而一些常用的计数还是有规律可寻的，我们不妨总结一下.知识点：1. 图形的计数.2. 排列组合3. 容斥原理图形计数中常见的几类：1、数线段、三角形，（锐）角的个数.①我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类.如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条.所以共有3＋2＋1＝6(条).②我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类.如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条.数线段时线段的条数与图上的点存在一定的关系.例题中共有4个点，线段的条数为3+2+1=6(条). 由此，我们可以推广到一般情况：如果图中有N个点，那么线段的总条数为：(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+3+2+1即：(1)2n n⨯-第一个图中三角形的个数是：3+2+1=6（个），第二个图中锐角的个数是：4+3+2+1=10（个）数三角形、数角的方法与数线段的的方法相似，所以计算线段总条数的公式，同样也适用于数三角形和数（锐）角.2、数长方形的个数.以BC为宽的长方形有5+4+3+2+1=15(个)(CD上有一条线段就有一个以BC为宽的长方形)；同理：以AB、AC为宽的长方形有15个.共有长方形15+15+15=45(个).注意到在AC上有几条线段就有几个不同的宽：(5+4+3+2+1)×(2+1)=45(个)由此，我们可以推广到一般情况：当一边上含有n条基本线段，另一边上含有m条基本线段时，长方形的总数为(n+…+3+2+1)×(m＋…+3+2+1)．3、数正方形的个数.图中共有正方形9×3+8×2+7×1=50(个)．由此，我们可以推广到一般情况：如果一个长方形的一条边被分成n等份，另一条边被分成m等份，且长和宽上的每一份相等，那么这个长方形中正方形的总数为：nm+(n－1)(m－1)+(n－2)(m－2)+…+(n－m+1)×1(其中n≥m)．如果长方形的两条边都相等，那么就成了一个正方形，如下图：图中共有正方形4×4＋3×3＋2×2＋1=30（个）由此我们可以得出：如果一个大正方形的每条边都被分成n等份，那么这个大正方形中所有正方形的总数为：n2+(n一1)2+(n一2)2+…+32+22+12．在数学竞赛和小升初的考试中，会出现一些比较复杂的图形，这就需要我们根据图形的构成方法和自身特点，选择适当的方法．常见的计数图形的方法有多退少补法、分类法、列表法、转化法等．遇到一些复杂的图形计数问题时，常常需要把几种方法结合起来使用，下面我们就通过一些例题来进行分析.【例1】数一数图中有多少条线段?仔细观察图2—1—2，不难发现其中一共有50个点，运用上面的公式易求线段的总条数．【分析】图中共有线段：49+48+47+46+…+3+2+1=50×(50—1)÷2=1225(条)说明：如果要计数的线段是共线线段，只要数出其中共有几个点，就可以直接运用上面的公式求出线段的总条数．【巩固】数一数，右图中共有线段_______条．【分析】AG，AB中共有线段：(3+2+1)×2=12(条)EF，CD，BC，AC中共有线段(2+1)×4=12(条)所以，总共有线段： 12+12=24(条)．【例2】分别数出图中每个图形中三角形的总个数？【分析】仔细观察图中的两个图形可以发现：每个三角形中，有两条边是由A点引出的，而第三条边是BC或HI上的线段，BC或HI上线段的条数就与三角形的个数一一对应了．于是数三角形个数的问题可以转化为数线段条数的问题．先看图(1)，根据数线段的规律可知，BC边上共有(5+4+3+2+1)=15条线段，也就是说图(1)中有15个三角形．再看图(2)，它仅仅是在图(1)的基础上又画了一条割线所构成的；同样的道理，HI边上也有15条线段，因此以HI边上的线段为第三边的三角形也有15个，所以图(2)中共有(15×2)=30个三角形．解：(1)5+4+3+2+1=15(个)(2)(5+4+3+2+1)×2=30(个)【例3】（北京市第七届“迎春杯”决赛试题）下图中共有____个正方形.【分析】这个图可以先看成是3个没有重叠的4×4正方形来数，然后再把重叠的部分2个2×2正方形的个数减掉.这就利用了多退少补的方法.每个4×4正方形中有：边长为1的正方形42个；边长为2的正方形32个；边长为3的正方形22个；边长为4的正方形12个；总共有42+32+22+12=30(个)正方形．现有3个4 × 4的正方形，它们重叠部分是2个2 ×2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×3—5×2=80（个）【例4】（南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛试题）数一数，右图中三角形共有______个．【分析】利用对称性，分情况计算．类似于△ABH的三角形共有6个；类似于△AGH的三角形共有6个；类似于△ABJ的三角形共有12个；类似于△ABC的三角形共有6个；类似于△AEC的三角形共有2个．于是，图中共有三角形6+6+12+6+2=32(个)．【例5】（第二届“华数杯”决赛试题）图中有多少个平行四边形?【分析】这个题要用分类法来计数更合适，不妨把图1转变为图2来讨论．仔细观察和分析图2可以从以下两个方面来对平行四边形分类：(1)平行四边形的方向，图中阴影部分图形代表三种基本平行四边形，它们组成的平行四边形分别以A、B、C类表示．(2)平行四边形所含基本平行四边形的个数．下面我们列表统计如下：图中平行四边形的个数为：(6+6+2+1)×2+(5+4)=39(个)．说明：在用分类法计数图形时，如何合理地选择分类的标准是非常重要的；恰当地结合列表法来统计，可以化繁为简，一目了然．1、关于排列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列．由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，我们把它记做mnp（m≤n），m(1)(2) (1)mnp n n n n m=---+共个数.其中!(1) (1)nnP n n n==⨯-⨯⨯2、关于组合一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作(1) (1)!mmnn n n mCm⨯-⨯⨯-+=个数这就是组合数公式.【例6】（1）有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排）【分析】这是个排列问题.由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：种不同的拍照情况．开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?【分析】先排独唱节目，四个节目随意排，有44P=24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，对应23P=6种排法；再在独唱节目之问的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法，由乘法原理，一共有24×6×3=432种不同的编排方法．（2）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班.问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？【分析】这是组合问题.一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法.【例7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第1阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第3阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1到4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛?【分析】第l阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛26C=15场，共8个小组，有15×8=120场；第2阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛24C=6场，共4个小组，有6×4=24场；第3阶段赛2+2=4场．根据加法原理，整个赛程一共有120+24+4=148场比赛．【例8】从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?【分析】先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有36C=20种选法．由乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．【例9】如下图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？【分析】从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B 的全部走法时，只要用加法原理求和即可．解：从A点先经过C到B点共有：1×3=3（种）不同的走法．从A点先经过D到B点共有：2×3=6（种）不同的走法．所以，从A点到B点共有：3+6=9（种）不同的走法．同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“容斥原理”，大家先一起回答两个问题：(1) 如右图（1），两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？(2) 如右图（2），一个正方形每条边上有6个点，四条边上一共有24个点吗？聪明的同学马上就会发现：(1) 两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了.因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2.(2) 四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有 6×4-4＝20(个)点.这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法.当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉.在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.我们用|A|表示有限集A的元素个数.求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）.【例10】 某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人，那么语文成绩得满分的有多少人？【分析】 数学或语文至少有一科得满分的有45 - 29=16人，这16个人中数学得满分的有10人，那么数学没有得满分的有6人，这些人必定是语文得了满分，又知有3人两科均得满分，则语文得满分的一共有6+3=9人.【例11】 求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？【分析】“既不是5的倍数也不是6的倍数”的反面情况就是“是5的倍数或者是6的倍数”.记A ：1～100中5的倍数，205100=÷，有20个； B ：1～100中6的倍数，4166100 =÷，有16个；B A ：1~100中5和6的公倍数，即30的倍数，10330100 =÷，有3个.依据公式，1~100中5的倍数或6的倍数共有3331620=-+个，则既不是5的倍数也不是6的倍数的数有6733100=-个.【例12】 学而思画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的.现在知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅？【分析】不是六年级的画中包括五年级的画，同样不是五年级的画中也包括了六年级的画，又16比15大1，说明五年级比六年级多1幅，又知两个年级共有25幅画，则五年级的画有132)125(=÷+幅，因此其他年级的画有31316=-幅.【例13】 某校五年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组.已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人.那么三组都参加的有多少人？【分析】设参加语文小组的人组成集合为A ，参加英语小组的人组成集合为B ，参加数学小组的人组成集－15－21＝58，为|A ∩B|+|B ∩C|+|A ∩C|+|A ∩B ∩C|； |A ∩B|+|A ∩C|+|A ∩B ∩C|； |A ∩B|+|B ∩C|+|A ∩B ∩C|； |B ∩C|+|A ∩C|+|A ∩B ∩C|； 于是，三组都参加的人|A ∩B ∩C|有36+46+42－2×58＝8人.【附1】数一数，右图中共有多少条线段？【分析】数线段要分类数：我把它分成两大类：“个人”和“集体”.“个人”：5条 ；“集体”：3+2+1=6 （条）；共5个这样的集体， 所以共5×（3+2+1）+5=35（条）.【附2】（第六届迎春杯决赛）用三根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．用这样的等边三角形如图所示，拼合成一个大的等边三角形．如果这个大的等边三角形的底为20根火柴长，那么一共要多少根火柴？【分析】注意引导学生用“分层数的思路”.把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2=6根火柴；从上向下数第三层用了3×3=9根火柴；…… 从上向下数第20层用了3×20=60根火柴．所以，总共要用火柴：3×(1+2+3+…+20)=630(根)．【附3】（北京市第六届“迎春杯”决赛）如图是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有____种不同的放置方法．【分析】设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有10×9=90种不同的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有9×8=72 种不同的放置方法．因此，总共有72×90=6480种不同的放置方法．【附4】有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语.问既懂英语又懂俄语的有多少人？【分析】法1 ：在100人中懂英语或俄语的有：100-10=90（人）.又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：90-75=15（人）.从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的83-15=68（人）就是既懂英语又懂俄语的旅客.法 2 ：学会把公式进行适当得变换，由容斥原理，得：|A ∩B|=|A|+|B|-|A ∪B|=75+83-90=68（人）.【附5】三年级科技活动组共有63人.在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人.每个同学都至少完成了一项活动.问：同时完成这两项活动的同学有多少人？了一项活动，根据包含排除法知，42＋34-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即 76-(完成了两项活动的人数)＝63.由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76-63＝13(人).也可画图分析.1. 如右图，数数有多少个三角形？【分析】法1：常规方法（分类数），第一类（含1个基本三角形，最小的）：1+3+5=9（个）；第二类（含4个基本三角形，次大的）：3个；第三类（含9个基本三角形，最大的）：1个.法2：我们可以换个角度分层，将右图从上到下分成最基本的3层，第一层有1个小三角，第一层有3个小三角，第一层有5个小三角，第一层+第二层有1个较大的三角形，第二层+第三层有2个较大的三角形，第一层+第二层+第三层有最大的一个三角形，所以共：1+3+5+1+2+1=13（个）三角形.在数的过程中注意可将三角形分成尖朝上和朝下两类.2. （第十一届迎春杯决赛）如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么图中包含“*”号的大、小正三角形一共有多少个？【分析】分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个；边长为3的正三角形有1个；因 此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有：1+4+1=6(个)．3. 从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?【分析】先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有36C =20种选法．由乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．4. 某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？分析 由组合数公式，共有11 / 11 种不同的选法；由排列数公式，共有342p ＝42×41×40＝68880种不同的站法.5. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【分析】A 圆表示学画画的人，B 圆表示学钢琴的人，C 表示既学钢琴又学画画的人，图中A 圆不含阴影的部分表示只学画画的人：43-37=6，图中B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人：58-37=21.6. 一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了.一班有多少人两项比赛都没有参加？【分析】45-(26＋22-12)=9(人).生命的价值不要让昨日的沮丧令明天的梦想黯然失色！在一次讨论会上，一位著名的演说家没讲一句开场白，手里却高举着一张20美元的钞票.面对会议室里的200个人，他问："谁要这20美元？"一只只手举了起来.他接着说："我打算把这20美元送给你们中的一位，但在这之前，请准许我做一件事."他说着将钞票揉成一团，然后问："谁还要？"仍有人举起手来.他又说："那么，假如我这样做又会怎么样呢？"他把钞票扔到地上，又踏上一只脚，并且用脚碾它.尔后他拾起钞票，钞票已变得又脏又皱"现在谁还要？"还是有人举起手来."朋友们，你们已经上了一堂很有意义的课.无论我如何对待那张钞票，你们还是想要它，因为它并没贬值，它依旧值20美元.人生路上，我们会无数次被自己的决定或碰到的逆境击倒、欺凌甚至碾得粉身碎骨.我们觉得自己似乎一文不值.但无论发生什么，或将要发生什么，在上帝的眼中，你们永远不会丧失价值.在他看来，肮脏或洁净，衣着齐整或不齐整，你们依然是无价之宝."温馨提示：生命的价值不依赖我们的所作所为，也不仰仗我们结交的人物，而是取决于我们本身！我们是独特的--永远不要忘记这一点！。
【经典教案】-小学数学五年级第1课时 数数和读数
第九单元认识11-20各数第1课时数数和读数教学内容：课本第82-83页。
教学目标：1、能正确地数出11—20各数，认识11—20各数并能正确读数。
掌握20以内数的顺序。
初步体会11—20的数的组成。
2、通过生活化的实例认识计数单位“十”，初步了解十进制，体会数与生活的联系，产生学习数学的兴趣。
3、参与实践过程，在活动中获得成功的体验。
培养初步的数感。
教学重难点：认识计数单位“十”，初步体会引进十进制的必要性。
教学过程：一、情境引入1、谈话：你帮爸爸妈妈买过东西吗？2、想买一本标价是11元的书，你准备怎样付钱？怎样简便地把钱付清，又不用营业员找钱，你有好办法吗？先讨论讨论。
看看谁的办法好？二、探究交流（一）操作。
认识“10个一是1个十”谈话：老师这里有一些小棒，请你来抓一把，看看有多少根？先不数，猜一猜你抓了几根小棒？请你数一数，你猜对了吗？通过数一数，我们知道了你手里有几根小棒。
讲述：刚才抓小棒的时候我们都是通过数，才能知道抓到了几根小棒，那每次都要这样数一数，多麻烦呀！怎样才能让自己和别人能一下子看出小棒有多少根呢？你有什么好主意吗？试着摆一摆。
小组成员一起讨论。
全班交流得出：把十根捆成一捆来数最快了。
因为10个一就是1个十。
1、谈话：我们已经学过的数中最大的数是几？请同学们从准备的小棒中数出10根小棒，再把这些小棒捆成1捆。
2、学生按要求进行操作活动。
3、反馈：指名让一位同学在实物投影上演示：数出10根小棒，再把这些小棒捆成1捆。
虽然这是在春天，我能想像到围墙的夏日，一定是大雨欲来前的一树树绿，映照着围墙也异常秀美而苍翠，如诗又如画；围墙的秋日，墙身上肯定会被夕阳落照染得分外凄艳，看破世事，无限苍然；围墙之冬，自然是纯净洁白的，如山中隐士，不染缁尘。
与明月相依，和清风为伴。
听新树抽芽，燕雀呢喃。
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英语的单词是很重要的一项，英语想要拿到高分，就一定需要在英语单词上多下功夫，学好单词也是英语逆袭的必要条件，想要掌握好英语单词的话，最好不要大面积占用时间来背英语单词，可以将英语单词的学习时间分为一些零散的闲暇时间出门十步是红尘，多少人在熙熙攘攘、尔虞我诈中迷失了方向，迷失了自我，从心底渴求回归自然。
苏教版数学五年级上册 第1课时 复式统计表
复式统计表
情境导入
丰富的乐器兴趣小组
探究新知
青云小学五年级组织了四个乐器兴趣小组，人数如下：
➢ 说说这四个单式统计表的相同点和不同点。
五年级古筝兴趣小组人数统计表
性别
合计
2012年11月
男
女
人数
28
7
21
五年级葫芦丝兴趣小组人数统计表
性别
合计
2012年11月
男
女
人数
27
17
10
五年级笛子兴趣小组人数统计表
（2）如果三年级每个班都有45人，三年级学生中有多少人 不会游泳？ 45×3－68＝67（人）
答：三年级学生中有67人不会游泳。
512 54 66 68 86 113 125 175 18 20 26 33 36 42 169 20 25 23 24 37 40 168 16 21 19 29 40 43
从复式统计表中，还可以看出参加小提琴兴趣小组的人数最多， 参加笛子兴趣小组的人数最少。(答案不唯一)
➢ 与上面的四张统计表相比，复式统计表有什么优点？
能表示出四个兴趣 小组的总人数。
更容易比较各小组 男、 女生的人数。
便于从整体上了解 五年级乐器兴趣小 组的情况。
随堂练习
下面是某工厂2021年和2022年第一季度各个月的产量 统计表，请你补充完整。
512 54 66 68 86 113 125 175 18 20 26 33 36 42 169 20 25 23 24 37 40 168 16 21 19 29 40 43 （1）东山小学的六个年级中，哪个年级会游泳的人数最多？ 哪个年级会游泳的人数最少？
答：六年级最多，一年级最少。
(完整版)小升初五年级数学培优教材(第三期)共四期
目录第1讲速算与巧算………………………………第2讲定义新运算………………………………第3讲追及问题………………………………第4讲列车过桥问题………………………………第5讲加法原理…………………………………第6讲乘法原理……………………………………第7讲计数原理的综合应用……………………………第8讲逻辑推理问题……………………………………第9讲列方程解应用题………………………………第10讲综合练习………………………………【知识要点】小数的简便计算除了可以灵活运用整数四则运算中我们已经学过的许多速算与巧算的方法外,还可以运用小数本身的特点，如小数的意义、小数的数位顺序、小数的性质、小数点位置移动引起小数大小的变化等。
【例题精讲】例1、计算：（1）0。
125×0.25×0.5×64（2)7.68÷2.5÷0.4例2、计算：（1）1.25×1。
08 （2)7。
5×9.9例3、计算：（1）（4.8×7。
5×8.1）÷（2.4×2.5×2。
7）（2） 1.1÷（1。
1÷1.2）÷（1.2÷1。
3）÷（1.3÷1。
4)例4、1240×3。
4＋1.24×2300＋12。
4×430例5、（2+3。
15+5。
87）×(3。
15+5。
87+7。
32)—（2+3。
15+5。
87+7。
32）×(3.15+5.87)【基础夯实】1、计算:（1）1.25×32×0。
25 (2）1.25×882、计算：（1）2。
5×10。
4 （2）3.8×0.993、计算：（1）4。
6×99＋4.6 (2）7.5×101－7.54、计算:(1）4。
第1讲：图形乘法计数
第1讲 图形乘法计数
★学习目标
1.学习不规则图形的计数办法
2.用所学乘法进行计数，巩固对乘法的实际应用，渗透数形结合思想。
★典型例题
例1.你还记得这首诗吗？请问去掉标点后，这首诗一共有几个字？
鹅、鹅、鹅，
曲项向天歌，
白毛浮绿水，
红掌拨清波。
例2.小朋友，请你数一数下面的图形里面有多少个？
例3.像下图这样摆出一个长方形，一共用了多少根小棒？
方法1： × ＋ = 方法2： × ＋ =
例4.古希腊学者发现了一些特殊的数，他们用图形表示这些数。
第7个正方形数是多少呢？
例5.某年级乙班的同学人数恰是一个三角形数，又是一个正方形数。
问某年级乙班有多少名同学？（某班人数在30人与60人之间）
★课堂总结
1.分层计数。
2.结合乘法：
（1）有序分类：横向、纵向。
（2）数过的做记号。
（3）找相同，用乘法。
3.神奇的图形数字
（1）三角形数：1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，。
，5050，。
（2）正方形数：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100。
★课后习题
1.下面是李白的《静夜思》，问全诗共用了多少个字？
床前明月光，
疑是地上霜。
举头望明月，
低头思故乡。
2.下列图形中你能数出多少个？
3.如下图所示，摆出一个正方形，一共用了多少根小棒？
4.如下图所示，第8个三角形数是多少？
5.小朋友们知道5050是三角形数吗？如果是，他是第几个？。
五下 第一讲.趣味数字题
思维数学——打开智慧之门的金钥匙五年级下册第一讲数字趣味题姓名：【指点迷津】数字和数是两个不同的概念，但他们之间有密切的联系。
这里所讲的数字问题是研究一个若干位数与其他各位数字之间的关系。
数字问题不仅有一定的规律，而且还非常有趣。
解答数字问题的常用方法：1、根据已知条件，分析数或数字的特点，寻找其中的规律。
2、将各种可能一一列举，排除不符合题意的部分，从中找出符合题意的结论。
3、找出数中数字之间的相差关系和倍数关系，转化成“和倍”、“差倍”等问题。
4、条件复杂时，可将题中条件用文字式、竖式表示，然后借助文字式、竖式进行分析。
例1、一个两位数，十位上的数字是个位上数字的3倍，如果把这两个数字对调，组成一个新的两位数，与原数的差为54，求原数。
【试一试】一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，如果把这两个数字对调，组成一个新的两位数，与原数的和为132，求原数。
例2、把数字6写到一个四位数的左边，再把得到的五位数加上8000，所得到的和正好是原来四位数的35倍。
原来四位数是多少？【试一试】一个两位数，在它的前面写上3，所成的三位数比原来的两位数的7倍多24。
求原来的两位数。
例3、两个数的和是161.7，把较大数的小数点向左移动一位后就和较小数相等。
求这两个数。
【试一试】两个数的差是323.73，把较小数的小数点向右移动两位后就和较大数相等。
求这两个数。
例4、如果一个数，将它的数字倒排后所得的仍是这个数，我们称这个数为对称数。
例如22、565、1991、20702等都是对称数。
求在1～1000中共有多少个对称数？【试一试】有一个四位数的对称数，四位数字之和为10，十位数字比个位数字多3，求这个对称数。
例5、一个六位数的个位数字是7，如果把7移到首位，其余的数字依次向右移动一位，所得新数就是原数的5倍。
求原数。
【试一试】一个六位数的个位数字是6，如果把6移到首位，其余的数字依次向右移动一位，所得新数就是原数的4倍。
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五年级HT课程秋季下学生版
第1讲计数问题（三）
复习：
（1）有10个相同的白球排成一排，将2个相同的黑球分别插入两个白球之间（2个黑球不相邻），有多少种不同情况？
（2）10个相同的白球和2个相同的黑球排成一排，有多少种不同情况？
例1．
1.10个相同的球放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，共有多少种不同放法？
2.10个相同的球放入3个不同的盒子里，允许有空盒，共有多少种不同放法？
3.将15写成四个非零自然数之和，共有多少种不同情况？（加数的顺序不同视为不同情况）
4.有足够多的大小相同的红、黄、白三种颜色的球，从中取出8个，问共有多少种不同的情
况？
5.把10个相同的球放入3个不同的盒子里，要求第1个盒子至少放1个，第2个盒子至少
放3个，第3个可以是空盒，问共有多少种不同的情况？
例2．
6.5个不同的球放入3个不同的盒子里，共有多少种不同情况？
7.5个相同的球放入3个相同的盒子里，共有多少种不同情况？
8.5个相同的球放入3个不同的盒子里，共有多少种不同情况？
例3.
9.有10块一样的巧克力，每次至少吃一块，共有多少种不同的情况？
10.有15块相同的糖，如果每天至少吃3块，那么共有多少种不同的情况？。