3.1圆的对称性
《圆的对称性》圆圆的对称性
艺术家们也经常利用圆形的对称性来创作美丽的艺术作品，例如旋转对称的图案、镜像对称的图案等。
艺术创作
02
CHAPTER
圆的轴对称性
轴对称性是一种几何属性，指的是一个图形关于某一直线（称为“对称轴”）对称，即图形上的任意点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
对称轴是一条直线，它把图形划分成两个部分，其中一个部分相对于对称轴折叠后能够与另一个部分重合。
感谢您的观看。
04
CHAPTER
圆的旋转对称性
旋转对称性是指一个图形在旋转一定角度后，仍然保持不变的形状和大小。
旋转对称轴是一条通过图形中心的直线，将图形旋转特定角度后，图形上的点与旋转前的点重合。
圆在绕其中心旋转任意角度时，其形状和大小均保持不变。
圆上任意一点在绕圆心旋转一定角度后，都会与原来的点重合。
雕塑中的应用
许多生物形状都表现出圆的对称性，如人的身体、树叶等。这种对称性有助于保持生物体的平衡，使其在运动时更加流畅、自然。
在天体运动中，圆的对称性也非常重要。例如，地球的自转和公转都是以圆形轨道进行的，这种圆形运动方式使得天体能够更加稳定地运动，避免了不必要的震动和变化。
生物形状
天体运动
THANKS
圆是一个具有轴对称性的图形，它的对称轴是经过圆心的任意一条直线。
圆上的任意一点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
圆沿着对称轴折叠后，两侧的点能够完全重合。
通过圆的轴对称性，我们可以很容易地找到圆上任意一点的对称点，以及通过旋转和翻转等变换得到新的图形。
圆的轴对称性也是证明一些几何定理的重要工具，例如，利用圆的轴对称性可以证明圆中的垂径定理和切线长定理等。
青岛版九年级数学上册课件：3.1圆的对称性2
推理格式：
B
B′
O A
O′ A′
如图所示： (1)∵⊙O 和⊙O′是等圆,且
A O B= A′O′B′, ∴A B=A′B′，A B= A′B′.
(2) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
条弦，OE⊥AB，OF⊥CD,垂足
分别为E，F.
B
F O
D
⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小 有什么关系？为什么？
⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关 系？为什么？ ∠ AOB与∠ COD呢？
• 如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线
与CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三上午3时32分26秒03:32:2622.4.13
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午3时32分22.4.1303:32April 13, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月13日星期三3时32分26秒03:32:2613 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
∴ A B=A′B′， A O B=
A′O′B′.
(3) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′,
∴ A B=A′B′， A O B=
A′O′B′.
探索总结
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两 条弧、两条弦中有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等.
九年级上册数学补充习题答案【三篇】
九年级上册数学补充习题答案【三篇】
【导语】数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
下面是xx为您整理的九年级上册数学补充习题答案【三篇】，仅供大家查阅。
3.1圆的对称性第1课时答案
1、CE=DE，BC=BD，AC=AD
2、3
3、D
4、D
5、作OG⊥CD，垂足为G，
∴EG=FG，
∵AC∥OG∥BD，OA=OB，
∴CG=DG，
∴CE=DF.
6、22cm或8cm.
7、（1）设OB与CC′的交点为P，则Rt△OCP≌Rt△OC′P，
∴OC′=OC；
（2）OC=BC；
（3）32
3.1圆的对称性第2课时答案
1-2、略
3、∠BOC=∠BOD，∠AOC=∠AOD.
4、D.
5、连接DB，△ABD≌△CDB（SAS）.
6、（1）连接OC，∠DOC=∠OCA=∠CAO=∠DOB；
（2）AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，如果CD=BD，那么AC∥OD，证明：连接AC，
∵∠DOC=∠BO D，∠A=∠C
∴∠BOC=∠A+∠C，即∠BOD=∠A，
∴AC∥OD.
7、不相等，略
3.1圆的对称性第3课时答案
1、50
2、70
3、D
4、B
5、70°
6、AB=CD=EF
7、作OD⊥AB，垂足为D，交CD于E，设⊙O半径为R，则R -3 -R -4 =1. ∴R=5，MN=10。
九年级数学上册(青岛版)课件：3.1 圆的对称性 (共16张PPT)
3.1 圆的对称性
初中数学
《高效课时通》
你知道车轮为什么设计成圆形？设计成三角 形、四边形又会怎样？从中你发现了什么？
初中数学
《高效课时通》
圆绕着圆心 旋转任何角度后, 都能与自身重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
初中数学
《高效课时通》
(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O和⊙O′. (2)在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角
3．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
初中数学
《高效课时通》
初中数学
谢谢！
墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为•显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
3.1圆的对称性
C
D
自主学习：
1、圆是轴对称图形吗？ • 圆是轴对称图形.
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？
圆的对称轴是任意一条经过 ●O
圆心的直线,它有无数条对称轴. 你是用什么方法找到对称轴的? 利用折叠的方法即可解决上述问题.
自主学习：
2、按下面的步骤做一做： 1）拿出一张圆形纸片，把这个圆对折， 使圆的两半部分重合． 2）得到一条折痕CD． 3）在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
B
C
探究二：垂径定理的应用
例１：如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交 AB于点C、D，且AC=BD。
求证：OA＝OB。
探究二：垂径定理的应用
例2：如图，已知在⊙O A 中，弦AB的长为8厘米， 圆心O到AB的距离为3厘 米，求⊙O的半径。
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧 AB”小. 于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用两个字母).
大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒DB
(用三个字母).
B
连接圆上任意两点间的线段叫做弦
(如弦AB).
A
●O
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
你说、我说、大家说：
当堂达标：
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径， A
则下A列、结A⌒C论=不A⌒D正确的B、是B（⌒C=CB⌒）D
3.1圆的对称性
探究一：垂径定理的三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
A B O
M└
●
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC = BC, AD = BD. ③直径平分弦 结论 ④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧
D
条件
①一条直径 ②垂直于弦
垂 直 直 径
C
半 径
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
想一想:排水管中水最深多少?
解决求赵州桥拱半径的问题
例2、赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解：连结OA． ∵OM⊥AB， 1 ∴ AM AB
AM OA 2 OM 2 3
∴AB＝2AM＝6(cm)．
2、 如图，已知在⊙O中，弦AB的长
为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
A
E
. O
B
题后小结：
1．作圆心到弦的距离和连 半径是圆中常见的辅助线；
8
C D
10
C
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
D
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
C B
B C
O
O
A
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
D
A
青岛版数学九年级上册同步导学案：3.1.1圆的对称性
3.1.1 圆的对称性【学习目标】1、探索圆的轴对称性和垂径定理、推论2、能用垂径定理及推论进行计算和简单的证明【学习重难点】1、探索垂径定理的性质2、垂径定理及推论的应用【学习过程】 一、学习准备：填空:(1) 圆上任意两点间的部分叫做 。
大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫 。
(2) 连接圆上任意两点的线段叫做 ，经过圆心的弦叫 .二、自主探究如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥ AB 于点M.右图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是 ;根据轴对称性质图中相等线段有 ;相等的劣弧有 .垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的弧.把垂径定理用符号语言表示为： 在⊙O 中，⎭⎬⎫⊥是直径CD M 于AB CD ⇒⎪⎩⎪⎨⎧2.以小组为单位交流讨论以下问题：如图：AB 是⊙O 的弦（不是直径）作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点E.(1)图形是轴对称图形吗？(2)发现的等量关系有： _________________________ .垂径定理的推论：平分弦( )的直径垂直 .几何语言表示：在⊙O 中精讲点拨，深化新知1、尝试证明例1，与课本所给方法比较，哪种方法更简洁？2、阅读例2，画出图形，以小组为单位讨论理清解答思路。
板演解答过程。
3、垂径定理及推论与勾股定理进行计算是常考内容，一般是在三角形中研究。
所以常见辅助线，常用数学思想有三、课堂小结：1、谈一谈，这节课你有哪些收获？2、对于本节所学内容你还有哪些疑惑？四、随堂训练1填空在直径650mm的圆柱形油槽中倒一些油后，截面如图。
若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
⊥于E，交⊙O于F，连接OA解: 过⊙O作OF AB设EF=x mm,∴OE=1⨯650-x=325-x2OE⊥AB∴AE= ，AB= .在Rt∆AOE中， OA2= + ,即= + .解得x1= ，x2= .答：油槽的最大深度为.2. 已知圆的半径为5，两平行弦长为6和8，则这两条弦的距离为.3. 已知AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，OE交AC于D，AC=8，DE=2OD = .4、下列命题正确的是( )A．弦的垂线平分弦所对的弧 B. 平分弦的直径垂直于这条弦C. 过弦的中点的直线必过圆心D. 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心5、如图已知⊙Ｏ的半径为30mm, 弦AB=36mm,点O到AB的距离是，OAB 的余弦值为。
2022年九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.1圆的对称性教案新版青岛版
3.1圆的对称性教学目标【知识与能力】(1)理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；(2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题．【过程与方法】(1)通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；(2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧．【情感态度价值观】经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．教学重难点【教学重点】对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．【教学难点】能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．课前准备多媒体课件教学过程一、创设情境，导入新课问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？(如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴)．问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？生：折叠．今天我们继续来探究圆的对称性．问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？生：圆心和半径．问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？忆一忆：1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________．2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧．3．___________叫做等圆，_________叫做等弧．4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角．二、探究交流，获取新知知识点一：圆的对称性1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．知识点二：垂径定理按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD ．3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如上图．师：老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)师：通过第一步，我们可以得到什么？学生齐声：可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．师：很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？生：我发现了，AM =BM ，AC BC =，AD BD =．师：为什么呢？生：因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．师：还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？师生共析：如下图示，连接OA 、OB 得到等腰△OAB ，即OA =OB ．因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM =BM ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合．因此AM =BM ，AC =BC ，AD =BD ．师：在上述操作过程中，你会得出什么结论？生：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．结论：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.例1：如教材69页图3-4，以△OAB 的顶点O 为圆心的⊙O 交AB 于点C ，D ，且AC =BD .求证：OA =OB .例2:1400多年前，我国隋唐时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度为37.02m ，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.23m.求拱桥所在圆的半径(精确到0.1m).知识点三：圆的中心对称性．问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．知识点四：同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系做一做：在等圆⊙O 和⊙O '中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠(如图3-8)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．小红认为''=AB A B ，''=AB A B ，她是这样想的：∵半径OA 重合，'''∠∠=AOB A O B ，∴半径OB 与OB '重合，∵点A 与点A '重合，点B 与点B '重合，∴AB 与A B ''重合，弦AB 与弦A B ''重合，∴AB =A B ''，AB =A B ''．生：小红的想法正确吗？同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？学生之间交流，谈谈各自想法，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．例3：如书本71页图3-11，AB 与DE 是⊙O 的两条直径，C 是⊙O 上一点，AC ∥DE .求证：(1)弧AD =弧CE ；(2)BE =EC .知识点五：圆心角的度数与它所对弧的度数之间的关系思考：（1）把顶点在圆心的周角等分成360份，每份圆心角的度数是多少？（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，整个园被分成了多少份？每一份的弧是否 相等？为什么？ 师：整个圆1360的叫做1°的弧.1°的圆心角所对的弧是多少度；反之，1°的弧所对的圆心角是多少度.圆心角与它所对的弧有什么关系？生：1°的圆心角所对的弧是1°；1°的弧所对的圆心角是1°.结论：圆心角的度数与它所对弧的度数相等.例4：如书本73页图3-14，OA ，OC 是⊙O 中两条垂直的直径，D 是⊙O 上的一点.连接AD 并延长与OC 的延长线相交于点B ，∠B =25°.求弧AD ，弧CD 的度数.例5：如书本73页图3-15，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为2cm ，求AB 的长. 三、随堂练习1．日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例．2．利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：(1)是轴对称图形但不是中心对称图形；(2)是中心对称图形但不是轴对称图形；(3)既是轴对称图形又是中心对称图形．3．已知，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB =120°，C 是AB 的中点，试确定四边形OACB 的形状，并说明理由．四、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2．对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3．对老师说，你还有哪些困惑？。
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B E A
O
O
C
E
O
A
A
E C
B
C
B
D
O E C B
O
D
A
E D
B
A
E C
B
探究二：垂径定理的应用
例１：如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交 AB于点C、D，且AC=BD。 求证：OA＝OB。
探究二：垂径定理的应用
例2：如图，已知在⊙O 中，弦AB的长为8厘米， 圆心O到AB的距离为3厘 米，求⊙O的半径。
3.1
圆的对称性(1) -----垂径定理
浞景学校 张呈玲
学习目标：
• 理解圆的轴对称性及其相关性质； • 理解垂径定理； • 会运用垂径定理解决有关问题。
重点、难点：
垂径定理及其应用。
预习案的交流与展示：
知识准备： 什么是轴对称图形？我们曾经学过哪些轴 对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两 旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴 对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、 菱形、等腰梯形、正方形等。
B
赵州石拱桥
• 1400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高) 为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).Biblioteka 课后提升：船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出 水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出 水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱 桥吗？
A E B
. O
实际应用
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ⌒ ，点o是 CD ⌒ 的圆 心)，其 (即图中 CD ⌒ 中CD=600m,E为 CD 上一点，且 OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段 弯路的半径。
C
E
F O D
挑战自我：
如图，P为⊙O内一点，你能用尺规作⊙O的一 条弦AB，使点P恰为AB的中点吗？ 说明你的理由。
你说、我说、大家说：
当堂达标：
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径， A 则下列结论不正确的是（ C ） C ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ M└ A、AC=AD B、BC=BD O C、AM=OM D、CM=DM
●
D
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径， 若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
●
探究一：垂径定理的三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
A B O
M└
●
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC = BC, AD = BD. ③直径平分弦 结论 ④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧
D
条件
①一条直径 ②垂直于弦
同步训练：
D
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段 或相等的圆弧？
D C M└
●
B
O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
∴
⌒ ⌒ AC = BC,
⌒ ⌒ AD = BD.
自主学习：
能不能试着利用构造等腰三角形得出上面的等量关 系？ 证明： 连接OA,OB, 则OA=OB. C ∵CD⊥AB于M A B ∴AM=BM. M└ ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称 . O ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ D 重合, AC和BC重合, AD和BD重合. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AC = BC, AD = BD.
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB” . ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 AB (用两个字母).
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ADB (用三个字母).
B A
连接圆上任意两点间的线段叫做弦 (如弦AB).
●
O
C
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
D
自主学习：
1、圆是轴对称图形吗？ • 圆是轴对称图形.
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？ 圆的对称轴是任意一条经过 圆心的直线,它有无数条对称轴. 你是用什么方法找到对称轴的? 利用折叠的方法即可解决上述问题.
●
O
自主学习：
2、按下面的步骤做一做： 1）拿出一张圆形纸片，把这个圆对折， 使圆的两半部分重合． 2）得到一条折痕CD． 3）在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折 痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 4）将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图． 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等 的线段和相等的弧？ 它们为什么相等呢？
自主学习：
角能 形不 得能 出试 上着 面利 的用 等构 量造 关等 系腰 ？三
• 如图,小明的理由是: • 连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, A ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,