江西省高考数学二轮复习 小题精做系列专题09

江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题09一、选择题1．设,a b 为正实数，则“a b <”是“11a b a b-<-”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件 【答案】D 【解析】【考点定位】充分必要条件.2．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x＋2x·m ＋1＝0”．若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围是A. (－∞，－2]B. [2,+∞)C. (－∞，－2)D. (2,+∞) 【答案】A 【解析】3．已知01a <<，则2a 、2a、2log a 的大小关系是（ ） A ．2a >2a >2log a B ．2a>2a >2log a C ．2log a >2a >2a D ．2a >2log a >2a4．已知x ，y∈R，i 为虚数单位．若1xi+＝1－yi ，则x ＋yi ＝( ) A ．2＋i B ．1＋2i C ．1－2i D ．2－i5．若点(,)P a b 在函数23ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图像上，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）（A（B ） 2 （C）（D ）8 【答案】D 【解析】6．右图可能是下列哪个函数的图象（ ）A.y=2x－x 2－1 B. 14sin 2+=x x x y C.y=(x 2－2x)e xD.x x y ln =【答案】C 【解析】7．已知函数()2log ,02sin(), 2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足()()()1234()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则3412(1)(1)x x x x -⋅-⋅的取值范围（ ）A.(20，32)B.(9,21)C.(8,24)D.(15，25) 【答案】B 【解析】试题分析：如图：8．已知函数()sin cos =+f x m x n x ，且()6f π是它的最大值，(其中m 、n 为常数且0≠mn )给出下列命题：①()3f x π+是偶函数；②函数()f x 的图象关于点8(,0)3π对称；③3()2-f π是函数()f x 的最小值；④3m n =. 其中真命题有( )A. ①②③④B.②③C. ①②④D.②④ 【答案】D 【解析】【考点定位】三角函数的性质。

9．已知22sin 1)(xx f +=，若)5(lg f a =，)2.0(lg f b =则下列正确的是（ ） A ．0=+b a B ．0=-b a C ．1=+b a D ．1=-b a 【答案】C 【解析】10．函数3()sin 24sin cos ()f x x x x x R =-∈的最小正周期为（ ）． A ．2πB ．4πC ．8πD ．π【答案】A 【解析】试题分析：321()sin 24sin cos sin 2(12sin )sin 2cos 2sin 42f x x x x x x x x x =-=-==，所以所求函数的最小正周期为2π，选A .【考点定位】二倍角的三角函数公式，三角函数的性质.11．已知x ，y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则46--+x y x 的取值范围是( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡73,0B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡76,0C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡720,2 【答案】C 【解析】【考点定位】线性规划问题。

12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)12 【答案】B【解析】试题分析：解：由三视图可知该几何体是四棱锥，其底面是长为3，宽为2的矩形，高为2， 所以11322433V sh ==⨯⨯⨯= 故应选B.【考点定位】1、空间几何体的三视图与直观图；2、棱锥的体积.13．一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（ ）A ．133π B ． 154π C ．4π D ．92π 【答案】D 【解析】14．已知点)0,2(F ，(1,0),(1,0)A B -，直线x =上有两个动点M N 、，始终使45MFN ∠=︒，三角形MFN 的外心轨迹为曲线,C P 为曲线C 在一象限内的动点，设α=∠PAB ，β=∠PBA ，γ=∠APB ，则（ ）A ．tan tan tan 0αβγ++=B ．tan tan tan 0αβγ+-=C ．tan tan 2tan 0αβγ++=D ．tan tan 2tan 0αβγ+-= 【答案】C 【解析】试题分析：依题意设12(),()22M y N y ，MFN ∆的外心为(,)Q x y ，则有122y y y +=即122y y y +=，又由QM QF =得22QM QF =即22221(()(x y y x y +-=+，将122y y y +=12302y y --=即1232y y =-，在M F N ∆中，由余弦定理可得所以00000000tan tan 2tan ()01111y y y yx x x x αβγ++=---=+-+-，故选C. 【考点定位】1.动点的轨迹；2.直线的斜率；3.两角和的正切公式.15．已知双曲线C:()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2,,A B 为期左右顶点,点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点,点O 为坐标原点,若,,PA PB PO 的斜率为123,,k k k ,则123m k k k =的取值范围为( )A.(B.(C.⎛⎝⎭D.()0,816．如图是求112122+++(共6个2)的值的程序框图,图中的判断框中应填( )(A)i≤5? (B)i<5? (C)i≥5?(D)i>5?【答案】A【解析】由于所给计算的表达式中共有6个2,故只需5次循环即可,由此控制循环次数的变量i应满足i≤5.【考点定位】程序框图.17．执行如图所示的程序框图，输入的N＝2014，则输出的S＝（）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014 【答案】C 【解析】二、填空题18．已知()20OB =，,()22OC =，,(2)CA αα= ,则OA 与OB 的夹角的取值范围是__ __. 【答案】]125,12[ππ【解析】试题分析：法一、(2,2)OA OC CA αα=+=，设(,)A x y ，则222(2)(2)22x x y y αα⎧=+⎪⇒-+-=⎨=⎪⎩，所以点A 在以C .作出图形如下图所示，从图可知OA 与OB的夹角的取值范围是]125,12[ππ.【考点定位】向量. 三、解答题19．设函数()(1)f x x α=+的定义域是[1,)-+∞,其中常数0α>.(1)若1α>,求()y f x =的过原点的切线方程.(2)当2α>时,求最大实数A ,使不等式2()1f x x Ax α>++对0x >恒成立.(3)证明当1α>时,对任何*n N ∈,有12111(())n k k n k kααα+=-<+<∑.【答案】(1)切线方程为1y x α=+和1()(1)1y x ααααααα-=+--.(2)A 的最大值是.（3）详见解析. 【解析】明1(1)x x ααα<+-<.故令()()h x fx xα=-，然后利用导数求()()h x f x x α=-在区间[1,0]-上范围即可.试题解析：(1)1()(1)f x x αα-'=+.若切点为原点,由(0)f α'=知切线方程为1y x α=+;.若,则,由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立.若,则,由知存在,使得对恒成立,即11(1)22ααα<-+<，，11(1)33ααα<-+<，11(1)44ααα<-+<，11(1)55ααα<-+<，…………………………11(1)11n nααα<-+<++，将以上不等式相加得：121(1)nkn nk kααα+=<-+<∑，即12111(())nkkn k kααα+=-<+<∑.【考点定位】导数及其应用.20．已知函数),,(ln)1(2)(2>∈∈--=*aRaNkxaxxf k且（1）讨论函数)(xf的单调性；（2）若2014=k时，关于x的方程axxf2)(=有唯一解，求a的值；（3）当2013=k时，证明: 对一切),0(+∞∈x，都有)21(2)(2exeaxxfx->-成立．【答案】详见解析 【解析】（2）若2014=k ，则2*()2ln ()f x x a x k =-∈N ．记()()222ln 2g x f x ax x ax x ax =-=-- 222()22()a g x x a x ax a '=--=--,若方程f(x)=2ax 有唯一解，即g(x)=0有唯一解； 令()0g x '=,得20x ax a --=．因为0,0a x >>，所以10 x =<（舍去），2 x ． 当2(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(0,)x 是单调递（3）当2013=k 时， 问题等价证明2ln ((0,))x x x x x e e>-∈+∞ 由导数可求()ln ((0,))x x x x ϕ=∈+∞的最小值是1e-，当且仅当1x e=时取到， 设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()xxm x e-=，21．已知函数1()f x x x=-，()ln ()g x a x a R =∈. (1)a≥－2时,求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)设h(x)=f(x)+g(x),且h(x)有两个极值点为12,x x ,其中11(0,]2x ∈,求12()()h x h x -的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）5ln 23-. 【解析】最小值即可，对()H x 求导，判断函数()H x 的单调性，求出函数()H x 的最小值即为所求.试题解析：（1）由题意x a x x x F ln 1)(--=，其定义域为()∞+，0，则221)(xax x x F +-='，2分对于1)(2+-=ax x x m ，有42-=∆a .①当22≤≤-a 时，0)(≥'x F ，∴)(x F 的单调增区间为),0(+∞；②当2>a 时，0)(='x F 的两根为2421--=a a x ，2422-+=a a x由题0)(='x h 两根分别为1x ，2x ，则有122=⋅x x ，a x x -=+21， 8分∴121x x =，从而有111x x a --=22．已知函数f(x)=(2cos 2x-1)sin2x+cos4x .（1）求f(x)的最小正周期及最大值.（2）设A,B,C 为△ABC 的三个内角，若cosB=,f()=-，且角A 为钝角，求sinC.【答案】(1) ； (2).【解析】（2）∵f()=-，∴sin(4×+)=-sin(2A+)=-【考点定位】1、三角恒等变换；2、解三角形.23．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B p C A sin sin sin ⋅=+（R ∈p ），且241b ac =． （1）当45=p ，1=b 时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围．【答案】(1) ⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.1,41c a ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,26p ． 【解析】（2）由余弦定理，B ac ac c a B ac c a b cos 22)(cos 22222--+=-+=，（1分）即)cos 1(212222B b b p b +-=， （2分） 所以B p cos 21232+=． （4分） 由B 是锐角，得)1,0(cos ∈B ，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈2,232p ． （6分） 由题意知0>p ，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈2,26p ． （7分） 【考点定位】（1）正弦定理；（2）余弦定理及三角函数值的范围. 24．设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，122+=n n a a ． （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设数列{n b }满足*31212311,2n n n b b b b n N a a a a ++++=-∈，求{n b }的前n 项和T n ； （3）是否存在实数K ，使得T n K ≥恒成立.若有，求出K 的最大值，若没有，说明理由. 【答案】（1）a n =2n ﹣1，n ∈N *；（2）2332n n n T +=-；（3）12K ≤. 【解析】试题分析：（1）由于{a n }是等差数列，故只需求出其首项a 1和公差d 即可得其通项公式.由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1得方程组：11114684(21)22(1)1a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，这个方程组中，看起来有3个未知数，但n 抵消了(如果解得a 1=1，d =2．∴a n =2n ﹣1，n ∈N *．（2）由已知*31212311,2n n n b b b b n N a a a a ++++=-∈，得： 当n =1时，1112b a =， 当n ≥2时，1111(1)(1)222n n n n n b a -=---=，显然，n =1时符合． ∴12n n n b a =，n ∈N *，由（1）知，a n =2n ﹣1，n∈N *．∴212n n n b -=，n ∈N *． 又23135212222n n n T -=++++，∴234111352122222n n n T +-=++++，25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知nn a b 1log 3=，记12n n S b b b =+++，1111111133636n nT S =+++++++++++,求证：20141013.T <【答案】（1）13n na =；（2）参考解析1111(1)11111111212(1)362231nnS n n ==++++⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-+.即可得到n T .又由于1111121221212nn n n n+++⋅⋅⋅+<⨯=+-.即可得到结论.试题解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1222632311()3a a a a a +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得111,33a q ==.所以通项13n na =. （2）由（1）得331log log 3n n nb n a ===.【考点定位】1.等差数列、等比数列的性质.2.数列的求和.3.数列与不等式的知识交汇.4.归纳递推的思想.26．如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ; （2）求证：BDE BC 平面⊥;（3）求点D 到平面BEC 的距离.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题解析：（1）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,． 在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =． 3分 所以四边形ABNM 为平行四边形． 所以BN ∥AM ． 4分又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ， 所以AM ∥平面BEC ． 5分（2）在正方形ADEF 中，ED AD ⊥．（3）解法一：因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ． 11分 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则⊥DG 平面BEC 所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度 12分 在直角三角形BDE 中，DG BE DE BD S BDE ⋅=⋅=∆2121 所以3632==⋅=BEDEBD DG【考点定位】勾股定理线面平行,线面垂直等体积法27．如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：BM AD ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --【答案】(1)详见解析；(2)中点. 【解析】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛220000,220,2,2200,22，，，，，，，D M B A 则 (),0,20,220,22，，=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=所以，0=⋅,故BM AD ⊥ 7分 （2）设DE DB λ=,因为平面AMD 的一个法向量=010n （，，）2(,,)22222ME MD DB λλ=+=--,(AM =【考点定位】1.空间向量求线线垂直；2.空间向量求二面角. 28．已知抛物线24x y =，直线:2l y x =-，F 是抛物线的焦点. （1）在抛物线上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小； (2)如图，过点F 作直线交抛物线于A 、B 两点. ①若直线AB 的倾斜角为135，求弦AB 的长度；②若直线AO 、BO 分别交直线l 于,M N 两点,求||MN 的最小值.【答案】（1）(2,1)P ；(2)①AB ||8=；②||MN 的最小值是5.由题可知：11,2,12x x y =∴==同理由228442N x y x x x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩ 9分所以1288||||44M N MN x x x x =-=---121212|164()x x x x x x -=-++① 10分综上:||MN。