第三讲：三角形一边的平行线判定定理
三角形一边的平行线-平行线分线段成比例定理
探索与思考
如果DE // FG // BC，那么DF EG ? FB GC
D
E
FM G
B
N
C
过点D作DN∥EC交 FG、BC于点M、N， 得到A字型
注意：这是不能得到与 DE、FG、BC有关的比例 线段。
DF EG DF EG FB GC FB GC DB EC DB EC
知识点回顾
1、三角形一边的平行线的性质定理的内容是什么? 平行于三角形一边的直线截其他两边所在
的直线，截得的对应线段成比例.
知识点回顾 2、三角形一边的平行线的判定定理的内容是什么? 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段 段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
AD DE AB BC
如图，已知线段AB, 在线段AB上 求作一点C,使AC : CB 1: 2.
A
B
例题1 已知:如图 l1 // l2 // l3 ，AB=3,AC=8,
DF=10.求DE,EF．
D l1
B
E
l2Biblioteka CFl3例题2、已知线段 a, b, c.求作线段 x, 使a : b c : x.
a
b
c
试一试：已知线段 a, b, c.求作线段 x, 使ax bc.
想一想：若已知ａ、ｂ、ｃ作第四比例项ｄ，下列作法正确的是＿
两条直线被三条平行的直线所截，如果 在一条直线上截得的线段相等，那么在另 一条直线上截得的线段也相等。
定理的应用：
如果DA //
BE
//
CF，那么 DE EF
AB
__B_C___,
AC BC
DF
平行于三角形一边的直线
①
，
得其余两个，都可以推出DE//BC。
结论
三角形一边的平行线判定定理：
如果一条直线截三角形的两边所得的对 应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边。
思考一 若EF截在AB、AC的延长线上，或者截 在BA、CA的延长线上，如图，得到下边的比 例式，那么DE//BC还成立吗？
由 能得出DE//BC
结
论：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
如何来证明？
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其 他直线上截得的线段也相等.
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证： A1B1=B1C1 证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
[例一]
A
D
2
l1 E l2
3
B
?
4
F l3
C
AB m 已知：如图，l . 1//l 2 //l 3， BC n DE m 求证： . DF m n
证明 ：Ql1//l 2 //l 3 ,
F
A E
D B C
l1 l2 l3
\ AB DE m 注意观察： BC EF n 此图与前面图形有何不同？ （平行线分线段成比例定理） A D DE n m EF n EF \ ， DE m DE m E B DF m n 即 . DE m [例二] F C \ DE m . DF m n
例题2
已知：如图, l1 // l2 // l3 ，AB=3 ，DE=2 ，EF=4. 求BC=( 6 )
A D
3
B C
三角形一边的平行线知识讲解
三角形一边的平行线 知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；2、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；3、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【要点梳理】要点一、三角形一边的平行线性质定理及推论1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.要点诠释：(1)主要的基本图形：分A 型和X 型；A 型 X 型（2）常用的比例式：,,AD AE AD AE DB EC DB EC AB AC AB AC=== 3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：(1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、三角形一边的平行线判定定理及推论1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.要点诠释：判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).要点三、平行线分线段成比例定理1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；(3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.【典型例题】类型一、三角形一边的平行线性质定理1. 如图已知直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点且AD=BE.求证：EF：FD=CA ：CB.【答案与解析】过D 作DK ∥AB 交EC 于K 点.则，，即 又∵AD=BE ，∴.【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成比例.举一反三【变式】如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2AE AB AD =⋅ 【答案】∵DG ∥EC,∴AD AG AE AC=, ∵EG ∥BC,∴AE AG AB AC =, ADEG∴AD AE AE AB=, 即2AE AB AD =⋅.2.已知，△ABC 中，G 是三角形的重心， AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长.【答案与解析】延长BG 交AC 于点D,∵G 是三角形的重心，∴点D 是线段AC 的中点，又∵AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，∴AC=5，即DG=，∵BG:GD=2:1.∴BG=5.【总结升华】三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.类型二、三角形一边的平行线判定定理3. 如图，AM 是△ABC 的中线，P 是AM 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点.求证：DE ∥BC.【答案与解析】延长AM 到H ，使HM=MP ，连接BH 、CH∵BM=MC∴四边形BPCH 是平行四边形GBCA∵BH∥CD，CH∥BE在△ABH和△ACH中，有，∴DE∥BC【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.举一反三【变式】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证：BP BD CP CE=.【答案】过点C作CF∥AB交DP于点F, ∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴BP BD CP CF=,即BP BD CP CE=.类型三、平行线分线段成比例定理4. 如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，，求证：EF∥DC．【答案与解析】证明：∵DE∥BC，∴=，∵=，∴=，∴=，∴EF∥DC．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例．注意找准对应关系，以防错解．举一反三【变式】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A.12B. 2C.25D.35【答案】D提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=，。
三角形一边的平行线的判定及推论课件+2024-2025学年沪教版(上海)数学九年级第一学期
F
C
证明：过点C作CF//AB,交DE的延长线于点F
∵ CF//DB，CF=DB
=
∴ 四边形BCFD是□
∴ DF//BC
则 =
又∵
∴CF=DB
即: DE//BC
三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边．
∵
=
∴DE∥BC
(或= 、 = )
【思考】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，
如果= ，那么能否推出DE∥BC，为什么？
由“三角形一边的平行线
A
性质定理推论”可知：
以D为圆心，DE的长为半径画弧，
交AC于另一点E’，可知DE=DE’，
24.3（3）三角形一边的平行线的判定及推论
复习回顾
三角形一边的平行线性质定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例
∵ DE∥BC
∴=
=
8字型
=
A字型
【思考】“三角形一边的平行线性质定理”的逆命题正确吗？
=
求证
EF//DC
C
=
【例1】已知：如图，点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AB上，
且DE//BC ， = ．
求证： EF∥DC．
【问题1】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果 = ，
24.3(3)三角形一边的平行线
H
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与 边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长， 与线段BC的延长线交于点P. （3）若 ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数 关系式.
H
6.过△ ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中 线AD分别交于和E.求证：AE:ED=2AF:FB
三角形一边的 平行线的判定
1.三角形一边的平行线的性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两 边所在的直线，截得的对应线段成 比例.
字母 A 型
A
复 习
字母 X 型
E D
A
D B
E C
B C
2.三角形一边的平行线的性质定理的推论
平行于三角形的一边的直线，截其它两 边所在的直线，截得的三角形的三边与 原三角形的三边对应成比例.
所得的对应线段成比例，那么
A
这条直线平行于三角形的第三边
AD AE 已知： DB EC 求证： DE∥BC
C
D B
E’
E
问题二
AB AC 已知： AD AE
A求证： DE∥BC NhomakorabeaB D
C E
问题三
AD AE 已知： AB AC
求证： DE∥BC
E D
A
M
N
B
C
1.三角形一边的平行线的判定定理 A
问题四
AD DE 若 那么 DE∥BC吗？ AB BC 你能举反例吗?
A
A
E'
D B
E C
B
D
E C
练一练
1. △ABC的边AB、AC上各有一点D、E， 使DE//BC的条件是（ ）
三角形的一边的平行线判定定理及其推论
三角形的一边的平行线判定定理及其推论好嘞，今天咱们来聊聊三角形和它的一边的平行线判定定理。
这听起来可能有点枯燥，不过别担心，我会尽量让它变得有趣，咱们就当是在喝茶聊天，轻松一下。
三角形，哎，这个小家伙，虽然形状简单，但在几何里可真是个大明星。
它有三个角、三条边，看似平常，但却隐藏了很多有趣的秘密。
说到平行线，这个词儿你肯定不陌生，生活中到处都是平行线，比如铁轨、马路两旁的树，咱们平时走路、开车都在和它们打交道。
啥是三角形的一边的平行线判定定理呢？想象一下，你有一个三角形，像个披萨切了三角形，感觉都饿了。
现在在这三角形的某一边，咱们要画一条平行线，这条线就得和三角形的一边保持平行。
根据这个定理，如果你能找到一个角的对边与这条平行线相交，哎，你会发现这个三角形的某个角和交点的角是相等的，真是个神奇的现象！就像在舞会上，两个人跳舞时，竟然有一个神秘的默契，动作一模一样。
这个小小的定理告诉我们，平行线和三角形之间的关系其实是非常亲密的。
再说说这个定理的推论，听起来好像很高深，其实不然。
咱们看看，平行线有啥妙用。
比如，在生活中设计房子，建筑师经常得用到这些原理。
他们在画图时，得确保墙壁、窗户和楼梯的设计是多么的和谐，跟平行线就有着密不可分的联系。
你说，这能不重要吗？设计一个好房子，简直就像造一个美丽的梦，谁不想住得舒服呢？再举个例子，咱们在学校学几何的时候，老师总是让我们找角、找边，甚至让我们画图。
每次拿起尺子，哎呀，心里就会想，能不能一次性把这个图画得漂亮些。
掌握了平行线的定理，画三角形就像骑自行车一样，越骑越顺手。
你会发现，只要你能找到平行线和三角形的那些联系，画图再也不会是个麻烦事。
如果说生活是一本书，那么几何就像是其中的一章，虽然有点难懂，但只要细细品味，里面的智慧和乐趣就会慢慢显露。
三角形的一边的平行线判定定理，虽然简单，却在不知不觉中教会我们许多道理。
比如，平行线代表着一种稳定和平衡的状态，就像人际关系中那些相互理解的朋友，总是在一条线上，互不干扰却又相互支持。
九年级同步第3讲：三角形一边的平行线(二) - 教师版
三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．1、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．2、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果AD AEDB EC=那么l //BC ．三角形一边的平行线（二）内容分析知识结构模块一：三角形一边的平行线判定定理及推论知识精讲lAB CDEABCD EABCDE ll【例1】在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，根据下列条件，试判断DE 与BC 是 否平行．（1）3AD cm =，4DB cm =， 1.8AE cm =， 2.4CE cm =； （2）6AD cm =，9BD cm =，4AE cm =，10AC cm =； （3）8AD cm =，16AC cm =，6AE cm =，12AB cm =；（4）2AB BD =，2AC CE =．【难度】★【答案】（1）平行；（2）平行；（3）不平行；（4）平行．【解析】（1）34AD AE DB CE ==，可推知平行；（2）6CE AC AE =-=，23AD AE BD CE ==，可推知平行； （3）23AD AB =，38AE AC =，不相等，可推知不平行； （4）根据线段大小和位置关系，得AD BD =，AE CE =，1AD AEBD CE==，可推知平行． 【总结】考查三角形一边平行线判定定理的内容，根据比例性质进行相关变形应用．【例2】如图，::1:3AM MB AN NC ==，则:MN BC =．【难度】★ 【答案】1:4．【解析】由::1:3AM MB AN NC ==，根据三角形一边平行 线的判定定理，可知//MN BC ，根据三角形一边平行线 的性质定理和比例的合比性，可得::1:4MN BC AN AC ==．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用．例题解析A BCNMA B CEF【例3】如图，PMN ∆中，点A 、B 分别在MP 和NP 的延长线上，且38AP BP AM BN ==，则MNBA= ．【难度】★【答案】53．【解析】由38AP BP AM BN ==，由比例合比性，可得35AP BP PM PN ==，根据三角形一边平行线的判定定理的推论，可知//MN AB ，根据三角形一边平行线的性质定理，可得53MN PM BA AP ==．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用．【例4】如图，ABC ∆中，E 点在边AB 上，F 点在边AC 上，下列命题中不正确的是（ ）（A ）若EF //BC ，则AE AF EB FC = （B ）若AE AFEB FC=，则EF //BC （C ）若EF //BC ，则AE EFAB BC=（D ）若AE EFAB BC=，则EF //BC 【难度】★ 【答案】D【解析】A 、B 、C 选项都可由三角形一边平行线性质定理及其判定定理可判定正确，D 选项不符合定理判定内容．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的内容．ABPNMABCDE F ABCD O【例5】如图，点D 、F 在ABC ∆的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC ，AF ADAD AB =．求证：EF //DC ．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：//DE BC ， AD AE DB EC ∴=， 则AD AEAB AC=． 又AF AD AD AB =， AF AEAD AC∴=， ∴EF //DC ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先利用性质证明比例线段相等再进行判定应用．【例6】如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若A O D OC O B O=，8AO =，20CO =，15BC =，求AD 的长．【难度】★【答案】6．【解析】AO DO CO BO =， //AD BC ∴， 820AD AO BC CO ∴==．代入可计算，得：6AD =．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用．【例7】点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，如果DE ADBC AB=，能否得到DE //BC ，为什么？【难度】★★ 【答案】不能得到平行【解析】在AC 上必能找到一点E 使得DE //BC ，同时在AC 上能找到一点'E 使得'DE DE =，即等腰三角形存在，此时仍满足'DE ADBC AB =，但显然'DE 不与BC 平行． 【总结】考查三角形一边平行线判定定理内容的内容把握．ABC DEFM B C D NMABCD EF【例8】如图，M 为AB 的中点，EF //AB ，联结EM 、FM 分别交AF 、BE 于点C 和点D ．求证：CD //AB ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：EF //AB ，EF EC EF DFAM CM BM DM∴==，．M 为AB 的中点， A M B M∴=． E C D FC MD M∴=， ∴CD //AB ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用．【例9】如图，MC //ND ，且::PB AB PD CD =．求证：BN //AM ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：MC //ND ， PD PNCD MN ∴=．::PB AB PD CD =，PN PBMN AB∴=， ∴BN //AM ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定，先应用性质证明比例线段相等再判定．【例10】如图，D 、F 是ABC ∆的AB 边上的两点，满足2AD AF AB =．联结CD ，过点F 作FE //DC ，交边AC 于点E ，联结DE ．求证：DE //BC ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：FE //DC ， A F A EA D A C ∴=． 又2AD AF AB =， 即AF ADAD AB=， A E A DA C A B∴=， ∴DE //BC ． 【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定，先应用性质证明比例线段相等再判定．ABC A’B’C’OA BCDEFGH【例11】如图，AC //''A C ，BC //''B C ．求证：AB //''A B ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：AC //''A C ，BC //''B C ，''''OA OC OB OC OA OC OB OC ∴==，， ''OA OBOA OB ∴=，∴AB //''A B ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定，先应用性质证明比例线段相等再判定．【例12】将上题中的四边形OABC 绕点O 旋转180︒得下图，而其他已知条件不变，结论还成立吗？【难度】★★ 【答案】成立．【解析】证明：AC //''A C ，BC //''B C ，''''OA OC OB OC OA OC OB OC ∴==，，''OA OBOA OB ∴=．∴AB //''A B ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的推论，先应用性质证明比例线段相等再判定．【例13】点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，且DE //BC ，以DE 为一边作平行四边形DEFG ，延长BG 、CF 交于点H ，连接AH ，求证：AH //EF ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：DE //BC ， D E A EB C A C∴=． 又四边形DEFG 为平行四边形， //DE FG DE FG ∴=，．F G H F B C H C ∴=， A E H F A C H C ∴=， A E H FE CF C ∴=， ∴AH //EF ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的推论，先应用性质证明比例线段相等再判定．AB CA’B’C’OA B CDEF G【例14】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，BAF DAE ∠=∠，AE 与BD 交于点G ，又DF ADFC DF =．求证：四边形BEFG 是平行四边形．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：BAF DAE ∠=∠，BAE DAF ∴∠=∠． 又四边形ABCD 是菱形，//AB AD BC CD ABE ADF AD BC ∴===∠=∠，，．A B E A D F ∴≅．BE DF ∴=且有AD GDBE GB=． B E D F A D G DB C C D D F G B ∴==，， //EF BD ∴． 又DF AD FC DF =， DF GDFC GB∴=， //FG BC ∴． 即证四边形BEFG 是平行四边形．【总结】平行四边形的证明，先从判定定理出发，考虑哪个判定定理的应用，然后根据题目条件进行分析证平行．【例15】如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的点，且AE FD EB AF =， BG HC GC DH =，连接EH 、GF 相交于点O ．求证：OE GO FO OH =．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：连结EF 、BD 、GH ．A E F D EB A F=，即AE AFEB FD =， //EF BD ∴． 又BG HC GC DH =，即GC HCBG DH=，//GH BD ∴． //EF GH ∴， OE OFOH OG∴=， 即OE GO FO OH =． 【总结】观察题目条件的形式，可知题目考查三角形一边平行线性质及其判定定理，先判定再利用性质进行变形应用．ADB CEF P Q【例16】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD a =，BC b =，E 、F 分别是AD 、BC的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长．【难度】★★★【答案】abPQ a b =+．【解析】AD //BC ， AE PE ED EQBF BP FC QC∴==，． 又E 、F 分别是AD 、BC 的中点，A E D EB F FC ∴==，， PE EQBP QC ∴=， ////P Q B C A D ∴．P Q E P P QP F P B B C E B A DA F EB ∴===，，1PQ PQAD BC ∴+=． 代入，求得：abPQ a b=+．【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的，先应用性质证明比例线段相等再判定．由三线平行模型可得出结论．【例17】如图，点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线k ，交AB 于点E ，交AC 于点F ．求证：1BE CFAE AF +=．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：分别过点B 和点C 作BM 和CN 平行于直线 AD ，分别交AB 、AC 于点M 、点N ．则有////BM AG CN ，BE BM CF CNAE AG AF AG∴==，， BE CF BM CNAE AF AG+∴+=． 又G 是ABC ∆的重心，根据重心的性质，BD CD ∴=且有2AG DG =， 即此时DG 为梯形MBCN 的中位线．2BM CN DG AG ∴+==，即可证1BE CFAE AF+=．【总结】根据重心的特殊性质构造平行线段，用比例线段的转化建立一个三直线平行的模型解决问题．1、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么DF EGFB GC=．2、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【例18】如图，1l //2l //3l ，3AB =，8AC =，10DF =，求DE 、EF 的长．【难度】★ 【答案】152544DE EF ==，． 【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比 性，可得AB DE AC DF =，代入求得154DE =，则254EF DF DE =-=． 【总结】考查平行线分线段成比例定理结合比例的合比性质的应用．模块二：平行线分线段成比例定理知识精讲例题解析BCD E FG1l 2l3l BC1l 2l3l A DEFA BCDE F【例19】如图，直线1l 、2l 、3l 分别交直线4l 于点A 、B 、C ，交直线5l 于点D 、E 、F ，且1l //2l //3l ．已知3AB =，5AC =，9DF =，求DE 、EF 的长．【难度】★ 【答案】271855DE EF ==，． 【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性， 可得AB DE AC DF =，代入求得275DE =，则185EF DF DE =-=．【总结】考查平行线分线段成比例定理结合比例的合比性质的应用，两条直线交叉时仍成立．【例20】命题“梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 、F 在AB 、CD 上，且::AE EB DF FC =，则EF //BC ”是（选填“真”或“假”）命题．【难度】★ 【答案】真．【解析】过点A 作CD 的平行线，根据三角形一边平行线的判定定理易证得命题成立． 【总结】平行线分线段成比例定理，实际是三角形一边平行线性质定理的变形应用，即将一条直线进行平移即可．【例21】如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，5AC =，3BC =，则:AE DF =．【难度】★ 【答案】5:3．【解析】:::5:3AE DF AE DE AC BC ===． 【总结】考查图形中相等比例线段的转化．CB A 5l1l 2l3l4lDE F【例22】已知线段a 、b 、c ，求作线段x ，使::a b c x =． 【难度】★ 【答案】略．【解析】作法：在平面内任作一条直线1l ，在1l 上顺次截取 AB a BC b ==，，过点A 任作一条射线2l ，在2l 上截取线段AD c =，连结BD ，过点C 作//CE BD 交射线2l 于点E ，线段DE 即为所求．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，平行情况下截得的对应线段长度比例相等．【例23】如图，已知线段AB ，在线段AB 上求作一点C ，使得:1:2AC BC =． 【难度】★★ 【答案】略【解析】作法：过点A 任作一条射线l （不与AB 重合），在l 上顺次截取一个合适的线段， 使得AD DE EF ==， 连结BF ，过点D 作//DC BF 交线段AB 于点C ，点C 即为所求．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，平行情况下截得的对应线段长度比例相等．【例24】如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，点G 是三角形的重心，8AB =． （1）求GC 的长；（2）过点G 的直线MN //AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．【难度】★★【答案】（1）83GC =；（2）163MN =．【解析】（1）延长CG 交AB 于点D ，则CD 为ABC 斜边AB 上的中线，则有142CD AB ==，根据重心的性质，即可得2833GC CD ==，．（2）由MN //AB 易得G 为Rt AMN 斜边MN 的中线，故1623MN GC ==【总结】考查三角形重心的性质与直角三角形斜边中线相结合，根据平行可得出线段相等的判定．b cABABCNMG D【例25】如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =，求:AF BF 的值．【难度】★★ 【答案】2:15．【解析】过点A 作//AM BC 交CF 的延长线于点M ， 根据三角形一边平行线的性质定理，则有13AM AE DC ED ==．又23BD DC =，即()23BC DC DC -=． 可得25DC BC =， 则215AM BC =．由//AM BC 可得：::2:15AF BF AM BC ==．【总结】考查三角形一边平行线的性质，由已知和所求比例构造平行．【例26】如图，AB 、CD 、EF 都垂直于直线l ，12AB =，7EF =，:2:3BD DF =，求CD 的长．【难度】★★ 【答案】10．【解析】过点F 作//FN EA 交CD 于点M ，交AB 于点N．AB 、CD 、EF 都垂直于直线l ，////A B C D E F ∴，则四边形EFMC 、CMNA 、EFNA 都为平行四边形． 7E F C M N A ∴===， 5B N A B A N ∴=-=．:2:3B D D F =， 35DF BF ∴=．由平行可得：35DM DF BN BF ==，代入得：3DM =，10CD CM DM =+=． 【总结】考查平行线分线段成比例定理，往往通过平行线的平移转化到一个三角形中三角形一边平行线性质定理的应用．ABCDEFlM NA BCDEFO【例27】如图，ABC ∆中，M 为BC 中点，O 为AM 上一点，BO 的延长线交AC 于点D ， CO 的延长线交AB 于点E ，PQ //BC ，且PQ 过点O 与AB 、AC 分别交于点P和点Q ．求证：（1）PO OQ =；（2）DE //BC ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1）PQ //BC ，∴////PO BM OQ CM ，．PO AO OQ AO BM AM CM AM ∴==，， PO OQBM CM∴=．由M 为BC 中点，即可证得PO OQ =．（2）连结DE ． PQ //BC ，EO PO DO OQEC BC DB BC∴==，．由（1）可得PO OQ =，EO DO EC DB ∴=，EO DOOC OB∴=，∴DE //BC ． 【总结】考查三角形一边平行线的判定定理，注意根据相等的比例作为中间量进行等比例转换．【例28】如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O作EF //AB ，且10EF =，若:1:3AE ED =，求梯形ABCD 中位线的长．【难度】★★【答案】403．【解析】AB //CD ，AB AO BOCD OC OD∴==． A O B OA CB D∴=． 又EF //AB ，//EF CD ∴．又:1:3AE ED =，1144EO AO AE FO BO AO CD AC AD CD BD AC ∴======，．152E OF O E F ∴===，12042033DC EO AB CD ∴====，． 即梯形中位线长为()14023AB CD +=．【总结】充分利用三角形一边平行的性质和比例合比性进行计算，关键点在于判断中点，对于非等腰梯形也可得到相同的结论．ABCD E O PQM【例29】如图，已知点A 、C 、E 和点B 、F 、D 分别是O ∠两边上的点，且AB //ED ， BC //EF ．求证：AF //CD ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：AB //ED ，OA OBOE OD∴=， 即OB OE OA OD ⋅=⋅．又BC //EF ， O B O CO F O E ∴=， 即OB OE OC OF ⋅=⋅． O A O D O C O F∴⋅=⋅， 即OA OFOC OD=， ∴AF //CD ． 【总结】考查三角形一边平行线的性质及其判定定理，多用相等比例线段进行转化．【例30】如图，M 、N 分别是ABC ∆两边AB 、AC 的中点，P 是MN 上任一点，延长BP 、CP 交AC 、AB 于K 、H ，求AH AKHB KC +的值． 【难度】★★★ 【答案】1．【解析】过点A 作//DE BC ，分别交CH 、BK 的延长线于点D点E ．由//DE BC ，则有//AD BC ，//AE BC ，故AH AD AK AEHB BC KC BC ==，． ∴=AH AK AD AE DEHB KC BC BC++=． 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，∴MN 为ABC 的中位线，∴//MN BC 且1=2MN BC ，//MN DE ．又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，∴PM 、PN 分别为ABE 、ACD 的中位线，∴1122PM AE PN AD ==，，∴()12PM PN AE AD +=+，即12MN DE =．由此DE BC =，故1AH AKHB KC+=． 【总结】根据题目所求的比例线段，构造平行线，在图形中形成“A ”字型和“X ”字型的构造，先判定再应用，进行比例线段的综合应用．AC EF O【例31】如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE BC ⊥于点E ． （1）连接DE 交OC 于点F ，作FG BC ⊥于点G ，求证：点G 是线段BC 的一个三等 分点；（2）请你仿照（1）的作法，在原图上作出BC 的一个四等分点（要求保留作图痕迹，可不写作法及证明过程）．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）如图点M 即为所求． 【解析】（1）证明：四边形ABCD 是矩形， 90BCD OB OD ∴∠=︒=，．又OE BC ⊥，//OE CD ∴，12OE OB OFCD OD FC ∴===． FG BC ⊥，//FG OE ∴， 2CG FC GE OF∴==． 由OB OD =可知E 为BC 中点， 2163CG BC ∴==．即点G 是线段BC 的一个三等分点（2）延长EO 交AD 于点H ，连结CH 交DE 于点P ，过点P 作PM BC ⊥交BC 于点M ，易证点M 为EC 中点，即图中点M 即为所求．【总结】考查对三角形一边平行线性质定理的构造和应用，注意对图形中“A ”字型和“X ”字型的构造，先判定再应用，进行比例线段的综合应用．ABDE F G OHP M【例32】如图，ABC ∆中，12BC =，AC =45C ∠=︒，P 是BC 边上的一个动点， 过点P 作PD //AB 与AC 相交于点D ，连接AP ，设线段BP 的长为x ，APD ∆的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）是否存在一个位置的点P ，使APD ∆的面积等于APB ∆的面积的13？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()2140123y x x x =-+<<；（2）存在，8BP =．【解析】（1）过点P 作PE AC ⊥于点E ． 由BP x =，可得12PC x =-，又45C ∠=︒，故)12PE CE x ==-． 又//PD AB ，故BP ADBC AC=，代入可得：AD =．故)()2111124012223y PE AD x x x x x =⋅=-=-+<<． （2）过点A 作AF BC ⊥于点F ．由45C AC ∠=︒=，，可得：8AF CF ==， 故142ABPSAF BP x =⋅=． 又APD ∆的面积是APB ∆面积的13，∴2114433y x x x =-+=⨯，解得：8x =，即8BP =．【总结】考查三角形中一边平行线性质的综合应用，同时在题目中，注意对于特殊角的利用．ABCD PEF【习题1】如图，ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知=3AD ，5AB =，2AE =，43EC =，由此判断DE 和BC 的位置关系是，理由是 ． 【难度】★【答案】平行，三角形一边平行线的判定定理【解析】2BD AB AD =-=，则有AD AEBD EC =，根据三角形一边平 行线的判定定理可知平行．【总结】考查三角形一边平行线判定定理的内容掌握．【习题2】ABC ∆中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，以下能推出DE //BC 的条件 是（ ）．（A ）23AB AD =，12EC AE =（B ）23AD AB =，23DE BC = （C ）23AD DB =，23CE AE =（D ）43AD AB =，43AE EC =【难度】★ 【答案】A【解析】根据比例的合比性，可知只有A 选项中满足2AB AEBD EC==，根据三角形一边平行 线的判定定理可知A 选项正确，其它都不满足．【总结】考查三角形一边平行线的判定定理，需要结合比例的合比性等性质进行判断．【习题3】在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，2AD =，3DB =，10BC =，要使DE //AC ，则BE =．【难度】★ 【答案】6．【解析】根据三角形一边平行线的判定定理，要得到DE //AC ，则必有DB BEAB BC=， 即3=2+310BE，即可求得6BE =． 【总结】考查三角形一边平行线的判定定理，注意性质和判定的相互转化．随堂检测ABCD E【习题4】如图，ABC ∆中，DE //BC ，AF ADDF DB=，求证：EF //CD ． 【难度】★ 【答案】略． 【解析】证明：DE //BC ，AD AEDB EC∴=． 又AF AD DF DB =，AF AEDF EC∴=． ∴EF //CD ．【总结】考查三角形一边平行线性质及其判定定理，先利用性质构造等比例线段再判定．【习题5】如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果6AB =，10BC =，8EF =，求DE 的长； （2）如果:3:5DE EF =，24AC =，求AB 、BC 的长． 【难度】★★【答案】（1）245；（2）915AB BC ==，．【解析】（1）根据平行线等分线段成比例定理，则有DE AB EF BC =，代入可求得245DE = （2）根据平行线等分线段成比例定理，则有35AB DE BC EF ==， 根据比例的合比性，则有38AB AC =，代入可得9AB =，15BC AC AB =-= 【总结】考查平行线等分线段成比例定理和比例的合比性的综合应用．1l 2lAB CD E FACD EFABCDEF O【习题6】如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，2AB =，3BC =，1AF =，BA 的延长线交OF 的延长线于点E ，求AE ．【难度】★★ 【答案】2．【解析】延长FO 交线段BC 于点G ．四边形ABCD 是平行四边形，////3A D B C A B C DA DBC ∴==，，．又由AO CO =，可得1GC AF ==，2B G B C G C ∴=-=． 由//AF BG ，可得12AE AF BE BG ==，即122AE AE =+，解得：2AE =．【总结】平行四边形中容易出现“A ”字型和“X ”字型，利用平行可进行相应的等比例转化解决问题．【习题7】如图，在ABC ∆中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且EF //BC ，D 为BC 的中 点，ED 、FD 的延长线分别交AC 、AB 的延长线于点H 、点G ，连接HG ，求证：EF //GH ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：EF //BC ，GD BD DH CDGF EF EH EF∴==，． 又BD CD =，GD DHGF EH∴=． 根据比例的合比性，即GD DHDF DE=， //EF GH ∴．【总结】考查三角形一边平行线性质及其判定定理，根据平行进行等比例转化．ABCDE F G GA BCDFGH【习题8】如图1，在菱形ABCD中，点G是CD边上的一点，联结BG交AC于F，过F作FH//CD交BC于H，可以证明结论FH FGAB BG=成立（不必证明）．（1）如图2，上述条件中，若点G在CD的延长线上，其他条件不变时，结论FH FGAB BG=是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）在（1）的条件下，若已知4AB=，60ADC∠=︒，9CG=，求线段BG与FG的长．图1 图2【难度】★★★【答案】（1）成立；（2）BG=FG=【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形，//AB CD AB CD∴=，．FH//CD，//FH AB∴，FH CFAB CA∴=．由//AB CG，FG FCFB FA∴=，根据比例的合比性FG FCBG CA=，F H F GA B B G∴=．（2）过点B作BM DC⊥交DC延长线于点M．四边形ABCD是菱形，4//BC AB AD BC∴==，．60ADC∠=︒，60BCM∴∠=︒，122CM BC BM∴===，由9CG=，可得11GM=，BG∴=由//AB CG得94GF CGFB AB==，913GFGB∴=．代入即得：FG=【总结】平行四边形中容易出现“A”字型和“X”字型，利用平行可进行相应的等比例转化解决问题，同时注意对图形中一些特殊角的运用，实际上在上图中产生了三个等边三角形，利用等边三角形也可以解决问题．A BCDFGHMABC DEF OP 【习题9】如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，4AB =，3BC =，在线段 AB 上取一点P ，过点P 作AC 的平行线交BC 于点E ，连接EO ，并延长交AD 于点F ，连接PF ．（1）求证：PF //BD ；（2）设的AP 长为x ，PEF ∆的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域． 【难度】★★★【答案】（1）略；（2）()233044y x x x =-+<<．【解析】（1）证明：//PE AC ，AP CEAB BC∴=． 又四边形ABCD 为矩形， //AO CO AD BC AD BC ∴==，，．由此可得CE AF =．AP AFAB AD∴=，∴PF //BD ． （2）解：由（1）可得PF //BD ，//PE AC ，故34AF AD AP AB ==，34BE BC BP AB ==，AP x =，则4BP x =-，34AF x =，33344BE BP x ==-，同时由于CE AF =，DF BE =，1134622ABCD ABEF S S ∴==⨯⨯=矩形梯形APF BPE ABEF y S S S ∆∆∴=--梯形11622AP AF BP BE =-⋅-⋅ ()221313642424x x =-⋅-⋅-()233044x x x =-+<<．【总结】考查三角形一边平行线性质运用时，经常可以将对应边的比例关系转化到一个三角形中相应边的比例关系，并且在平行四边形中，过对称中心的点平分平行四边形的周长和面积，且截得的线段都相等．【作业1】在A ∠的一边上顺次有B 、C 两点，在另一边上顺次有D 、E 两点，又下列条件能判断//BD CE 的个数是（）．（1）3AB cm =，4BC cm =， 1.8AD cm =， 2.2DE cm =； （2）:2:3AB AD =， 1.8AE cm =， 1.2AC cm =； （3）5AB cm =，6BC cm =， 4.4AE cm =， 2.4DE cm =； （4）10AB cm =，15AC cm =，10BD cm =，15EC cm =． （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个【难度】★ 【答案】C【解析】根据三角形一边平行线的判定定理，可知（2）（3）都满足AB ADAC AE=，可得到//BD CE ， （1）不满足；同时，在（4）的条件下，ABD ∆和ACE ∆都是等腰三角形，且有公共底角A ∠， 由此可知两三角形每个角都对应相等，也可得到平行．【总结】考查三角形一边平行线的判定定理的条件，一般只考虑有公共夹角的情况，但有时候在等腰三角形中需要进行更详细分析再得出结论．【作业2】ADE ∆中，点B 和点C 分别在AD 、AE 上，且2AB BD =，2AC CE =，则:BC DE =．【难度】★ 【答案】2:1．【解析】由2AB BD =，2AC CE =，即有12AD AE AB AC ==． 故//DE BC ，可得：::2:1BC DE AB AD ==．【总结】考查三角形一边平行线的性质和判定定理，先判定再利用性质得出结论．课后作业ABCDE F ON M【作业3】已知点D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的反向延长线上的点，如果25AD AB =，当AEAC为何值时，//DE BC ？ 【难度】★【答案】25．【解析】25AE AD AC AB ==． 【总结】考查三角形一边平行线性质判定定理的推论，在反向延长线上也成立．【作业4】如图，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上，且3DE =， 4.5BF =，25AD AE AC AB ==．求证：EF //AC ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：25AD AE AC AB ==，//DE BC ∴， 25D E A E B C A B ∴==．由3DE =，可得7.5BC =，则有35BF BE BC AB ==， ∴EF //AC ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，也可通过证明四边形CDEF 是平行四边形间接证得．【作业5】如图，在梯形ABCD 中，EF //AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，且分别与EF 相交于点M 、N ，下列比例式中正确的是（ ）（A ）AO BO AB CO DO CD == （B ）AM BN MN CM DN AB ==（C ）AE AB BF DE CD CF==（D ）BD AC ABDN CM MN==【难度】★★ 【答案】A【解析】根据三角形一边平行线的性质定理及其推论可知A 正确．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理及其推论，找准相应比例线段，确立好对应关系．AB CDEFA BCD EFG1l 2l 3lABCD E FG1l2l【作业6】如图，1l //2l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，则不成立的是（ ） （A ）:2:1AE EC = （B ）:2:5FG GD = （C ）:2:5GF FD = （D ）:1:2AG BC = 【难度】★★ 【答案】B【解析】由1l //2l ，可得:::2:5AG BD GF FD AF FB ===，B 错误，C 正确； 又根据:4:1BC CD =，可得:2:41:2AG BC ==，:2:1AG CD =，由平行可得：::2:1AE EC AG CD ==，A 、D 正确．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，注意根据题目已知条件进行等比例转化．【作业7】如图，直线1l //2l //3l ，若5AB cm =，8BC cm =，2EG cm =，3GF cm =，求线段DE 与GC 的长．【难度】★★ 【答案】258DE cm =，245GC cm =． 【解析】根据平行线分线段成比例定理，可以得到DE ABEF BC =， 即5238DE =+，可得258DE cm =． 由12//l l ，可得：EG BG DE AB =，代入可解得：165BG =，245GC BC BG cm ∴=-=．【总结】考查平行线分线段成比例定理，往往可以在过程中应用三角形一边的平行线性质定理进行比例转化和计算．AB【作业8】如图，已知线段AB ，在线段AB 上求作一点C，使得:AC BC = 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】作法：在平面内任作一等腰直角三角形DEF ，其中点E 为其直角顶点，以点F 为 圆心，FD 长为半径画弧交EF 的延长线于点G，则:EF FG =A 任作一条 射线l ，在l 上顺次截取AM EF =，MN FG =，连结NB ，过点M 作//MC NB 交线段AB于点C ，点C 即为所求．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，平行情况下截得的对应线段长度比例相等，关键在于构造比为【作业9】梯形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AD a =，BC b =． （1）如图（a ），如果点E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：EF //BC 且2a bEF +=； （2）如图（b ），如果AE DF mEB FC n==，判断EF 和BC 是否平行，并证明你的结论，并用a 、 b 、m 、n 的代数式表示EF ．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）平行，an bmEF m n+=+． 【解析】（1）证明：过点F 作//MN AB 交AD 延长线于点M ，交BC 于点N ， 则四边形ABNM 为平行四边形，AB MN AM BN ∴==，．F 为CD 中点，由平行可得F 为MN 中点，即12FN MN =，DM CN =．E 为AB 中点，1122BE AB MN NF ∴===． 由//MN AB ，∴四边形EBNF 为平行四边形，//EF AB ∴且EF AM BN ==．即()()()111222EF AM BN a DM b CN a b =+=++-=+．（2）证明：过点F 作//MN AB 交AD 延长线于点M ，交BC 于点N ， 则四边形ABNM 为平行四边形，AB MN AM BN ∴==，．由//DM CN ，DM MF DFCN FN CF∴==． AE DF EB FC =，AE MF EB FN ∴=，AB MNEB FN∴=，EB FN ∴=． 由//MN AB ，∴四边形EBNF 为平行四边形．//EF AB ∴且EF AM BN ==． 由DM DF m CN FC n ==，可得AM a m b BN n -=-，即EF a mb EF n-=-，解得：an bmEF m n+=+．【总结】考查梯形中位线性质的证明，实际上也是平行线分线段成比例定理的一种逆运用，通过平移构造并证明平行线段．F EA (D)B CNMNM【作业10】已知MN //EF //BC ，点A 、D 为直线MN 上的两动点，AD a =，BC b =，AE mBE n=． （1）当点A 、D 重合，即0a =时（如图1），试求EF ； （用含a 、b 、m 、n 的代数式表示）（2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当A 、D 不重合，即0a ≠， ①如图2这种情况时，试求EF ；（用含a 、b 、m 、n 的代数式表示）②如图3这种情况时，试猜想EF 与a 、b 之间有何种数量关系？并证明你的猜想．【难度】★★★ 【答案】（1）mb EF m n =+；（2）①mb na EF m n +=+；②mb naEF m n-=+． 【解析】（1）0a =时，EF AE m BC AB m n ==+，可得mbEF m n=+； （2）①过点D 作//DH AB 交EF 于点G ，交BC 于点H ， 易得EG AD BH a CH b a ====-，． 同时由平行可得：FG AE mCH AB m n ==+， 则()m b a FG m n-=+，∴()m b a mb naEF EG FG a m nm n-+=+=+=++． ②过点A 作//AH DC 交EF 延长线于点G ，交BC 延长线于点H ， 易得FG AD CH a BH b a ====+，，同时由平行可得：EG AE mBH AB m n==+，则()m b a FG m n +=+， ()m b a m b n aE F E G F G a m n m n +-=-=-=++． 【总结】考查平行线分线段成比例定理，通过平移转化到一个三角形中对应边成比例即可．H。
4-三角形一边平行线判定定理
1.已知：如图，点D，F在 的边AB上，点E在边AC上，且DE//BC， ，求证：EF∥DC .
2．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取AF=FD，EF交AC于点G.求的值.
3.如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且，CF=CE.求证：四边形CFDE是菱形。
三、练习
1.梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.如图，AD是△ABC的中线，E是AC边上的三等分点，BE交AD于点F.则AF:FD为( )
3.如图，梯形ABCD的中位线MN与对角线BD、AC分别相交于点E、F，若AD：BC=1：3.则EF：MN等于( ).
一、基础知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点
1、三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
如果D ,E分别在AB,AC的延长线上时，或在反向延长线上时，以上结论同样成立.
2、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
4、如图，在△ABC中，点D是AC的中点，3BE=2EC，AE与BD相交于点F.求DF:BF的值.
5.如图4，点O为△ABC的中线AD上任意一点，BO、CO的延长线分别交AC、AB于点E、F，连结EF，且 。求证：EF∥BC.
6、如图，D、E分别为△ABC的AB和AC上的点，且BC的延长线于F点，且求证：DB=EC.
4.如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、EC的中点.则PQ：BC等于( )
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第三讲：三角形一边的平行线判定定理
一、知识要点：
1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
数学表达：
如图，直线DE 截△ABC 得两边AB 、AC ， 若①
AD AE DB EC =,②AD AE AB AC =,③BD EC
AB AC
=
中之一为已知条件，则DE ∥BC E
D C
B
A
2、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
数学表达：
若点D 、E 分别在射线AB 、AC 上，如图（1）或分别在他们的方向延长线上如图（2），且具备上述条件①、②、③之一，则DE ∥BC.
E
D
C
B
A
E
D
C B A
牛刀小试：
1、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上。
判断在下列条
件下能否推出DE ∥BC,为什么
（1）
2
3
AD DB =,AE=2，AC=3 （2）
25AD AB =,2
5
DE BC = E
D
C
B
A
（3）23AD DB =,5
3
AC CE =
2、△ABC 中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么能推出DE ∥BC 的条件是（ ）
A 、
AB 3=AD 2,EC 1=AE 2 B 、AD 2=AB 3,DE 2
=BC 3 C 、AD 2=DB 3,CE 2=AE 3 D 、AD 3=AB 4,AE 3=EC 4
二、典型例题
例1、如图EF ∥BC ，
3
1
=AC AF ，BF=4，FD=2，求证：EF ∥AD A D
E F
B C
例2、如图所示，M 为AB 的中点，EF ∥AB,连接EM 、FM ，分别交AF 、BE 于点C 、D ，连接CD 。
求证：CD ∥AB.
分析：判定两直线平行的方法一般有四种：（1）通过“三线八角”的相等或互补判定两直线平行；（2）通过三角形、梯形中位线定理判定两直线平行；（3）通过平行四边形的判定间接证平行；（4）通过比例线段证平行。
本题运用第（4）种方法，因为它包含了比例线段的几种基本图形。
例3、如图，已知MB ∥ND ，PA PD PB •=2
，求证：NB ∥MA M
N
O
F
E
D
C
B
A
A B D P
例4、作图题：已知线段a、b、c求作线段x，使a：b=c：x
a
b
c
扩展训练：
例5、如图△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，DEFG为平行四边形，连BG、CF且分别延长交于H，连AH，求证：AH∥DG
A
D E
B C
G F
H
A
D E
H
G F
B
三、课堂练习
一、选择题：
1、如图在ΔABC 中，DE 与AB 、AC 交于D 、E ，由以下比例式能
判定DE//BC 的是( ) （A ）
AC AE AB AD = （B ）BC DE AB AD = （C ）AE AD
EC BD =
（D ）AE
BD
EC AD =
2、如图，四边形ABCD 中，取AD 边上一点E ，连结BE 并延长交CD 的延长线于F ，由以下比例式能判定FC//AB 的是（ ） （A ）AE DE AB FD = （B ）FB FE FC FD = （C ）DE AD FE FB = （D ）EA
ED
EB EF =
3、如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，则AG:GD 等于（ ）
A 、2:1
B 、3:1
C 、3:2
D 、4:3
4、已知线段a 、b 、c 求作线段x ，使b
ac
x =
，以下作法正确的是（ ） b b
a
a
a a
b x
c x x c c x b c A B C D
5、如图，O 是△ABC 内一点，D 、E 、F 分别在AB 、AO 、AC 上，如果DE ∥BO ， DF ∥BC ，求证：EF ∥OC
A
E D F
G
F
E
D C
B
A
O
B C
6、如图，G为四边形ABCD的对角线BD上一点，E、F分别是AB、BC上的点，满足EG//AD，FG//CD。
求证：EF//AC。
作业：
1、如图，在△ABC 中，如果DE ∥BC ，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且BD=2
5
AB ，那么DE:BC 的比值为（ ） A 、
27 B 、38 C 、25
D 、35
E
D
C
B A
G
F
E D
C
B
A
2、如图，DE ∥FG ∥BC ，如果AD:DF:FB=1:2:3,那么DE:FG:BC 等于（ ） A 、1:2:3 B 、1:3:6 C 、1:9:36 D 、1:8:27
3、已知a
bc
x =
,求作x,则下列作图正确的是（ ） A
x
c b
a B
x
c b
a
C
x
c
b
a D
x c b
a
4、如图已知EG ∥BC ，F 为EG 上任意一点，AF 延长线交BC 于D ，求证：
DC
BD
FG EF =
A
E F G
B D C
5、如图已知DE ∥BC ，求证PG ：PB=PH ：PC
A
D Q E
P
B G H C
6、如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在边AD 、AB 、BC 、DC 上，且
2
1
====CH DH GC BG AF BF AE ED （1）求证：EFGH 为平行四边形
（2）当ABCD 的对角线AC 与BD 有怎样的数量关系时，EFGH 为菱形
A E D H
F
B G C
7、如图，E 、G 、H 、F 分别是四边形ABCD 各边上的点，且AE FD=EB AF ，BG HC=GC DH ，求证：EO GO=FO HO
D F A
E O H
B G C。