第二讲：三角形一边的平行线性质定理
三角形一边的平行线(二)
第3讲三角形一边的平行线（二）知识框架本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．3.1 三角形一边的平行线判定定理及推论我们来讨论三角形一边平行线性质定理的逆命题是否正确．如图，在ABC△中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD AEDB EC=，那么DE//BC吗？解析：要肯定上述问题结论的正确，只要证明有一个平行四边形的相对两边分别在直线DE和BC上．如图，过点C作平行于AB的直线CF，交直线DE于点F，得四边形BCFD．证明：∵CF//AB∵AD AECF EC=（三角形一边平行线性质定理的推论）又∵AD AE DB EC=∵ AD ADCF DB=，得CF DB=．由CF//DB，CF DB=，可知四边形BCFD是平行四边形∵ DF//BC，即DE//BC．根据比例的性质可知，在关系式∵AD AEDB EC=、∵AD AEAB AC=、∵BD CEAB AC=中，由其中一个可推出其余两个．因此，以关系式∵、∵、∵之一为已知条件，都可推出DE//BC．这样，就得到以下定理：三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，如果点D 、E 分别在边AB 、AC 的延长线或反向延长线上，且具备条件∵、∵、∵之一，那么也可以用上述同样的方法推出DE //BC ．由此由得到：三角形一边的平行线判定定理的推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．思考：如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE ADBC AB=，那么能否得到DE //BC ，为什么？例1. 如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，根据下列条件，试判断DE 与BC是 否平行． （1）3cm AD =，4cm DB =， 1.8cm AE =， 2.4cm CE =； （2）6cm AD =，9cm BD =，4cm AE =，10cm AC =； （3）8cm AD =，16cm AC =，6cm AE =，12cm AB =；（4）2AB BD =，2AC CE =．例2. 如图，::1:3AM MB AN NC ==，则:MN BC =__________．例1题图 例2题图例题分析例3. 如图，ABC △中，E 点在边AB 上，F 点在边AC 上，下列命题中不正确的是（ ）（A ）若EF //BC ，则AE AFEB FC=； （B ）若AE AFEB FC=，则EF //BC ； （C ）若EF //BC ，则AE EFAB BC=；（D ）若AE EFAB BC=，则EF //BC ． 例4. 如图，点D 、F 在ABC △的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC ，AF ADAD AB=．求证：EF //DC ．例5. 点D 、E 分别在ABC △的边AB 、AC 上，且DE //BC ，以DE 为一边作平行四边形DEFG ，延长BG 、CF 交于点H ，连接AH ，求证：AH //EF ．例6.如图，M为AB的中点，EF//AB，联结EM、FM分别交AF、BE于点C和点D．求证：CD//AB．例7.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BAF DAE∠=∠，AE与BD交于点G，又DF AD FC DF=．求证：四边形BEFG是平行四边形．3.2 平行线分线段成比例定理如图，已知ABC△，直线1l与边AB、AC分别相交于点D、E，直线2l与边AB、AC分别相交于点F、G，12////l l BC．那么所截得的线段是否成比例？解析：对于这个问题，只需讨论DF EGFB GC=是否成立即可．证明：如图，过点D作直线AC的平行线'l，设直线'l与BC、2l分别交于点'C、'G，则'DG EG=，''G C GC=.利用三角形一边的平行线的性质定理和等量代换，可得DF EGFB GC=．根据上述结论，在利用比例的性质，可知截得的线段成比例．如图，将ABC△的三边AB AC BC、、改为三条直线，则上述结论表述为：直线DB与EC被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．于是得到：平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．如图5，当直线2l过DB中点M，即DM MB=时，则EN NC=．也就是说：两直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．这是平行线分线段成比例定理的特例，也称为平行线等分线段定理．例1.如图，1l//2l//3l，3AB=，8AC=，10DF=，则EF的长为__________．例1题图知识精讲例题分析例2. 如图，直线1l 、2l 、3l 分别交直线4l 于点A 、B 、C ，交直线5l 于点D 、E 、F ，且1l //2l //3l ．已知3AB =，5AC =，9DF =，则EF 的长为________．例3. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，5AC =，3BC =，则:AE DF =___________．例2题图 例3题图例4. 命题“梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 、F 在AB 、CD 上，且::AE EB DF FC =，则EF //BC ”是__________命题．（填“真”或“假”） 例5. 已知线段a 、b 、c ，求作线段x ，使::a b c x =．例6. 如图，AB 、CD 、EF 都垂直于直线l ，12AB =，7EF =，:2:3BD DF =，求CD 的长．例7. 如图，ABC △中，M 为BC 中点，O 为AM 上一点，BO 的延长线交AC 于点D ，CO的延长线交AB 于点E ，PQ //BC ，且PQ 过点O 与AB 、AC 分别交于点P 和点Q ．求证：（1）PO OQ =；（2）DE //BC ．例8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 作EF//AB ，且10EF =，若:1:3AE ED =，求梯形ABCD 中位线的长．例9. 如图，已知点A 、C 、E 和点B 、F 、D 分别是O ∠两边上的点，且AB //ED ，BC//EF ．求证：AF //CD ．例10.如图，M、N分别是ABC△两边AB、AC的中点，P是MN上任一点，延长BP、CP交AC、AB于K、H，求AH AKHB KC+的值．例11.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE BC⊥于点E．（1）连接DE交OC于点F，作FG BC⊥于点G，求证：点G是线段BC的一个三等分点；（2）请你仿照（1）的作法，在原图上作出BC的一个四等分点（要求保留作图痕迹,可不写作法及证明过程）．3.3 课堂检测1. 如图，ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知=3AD ，5AB =，2AE =，43EC =，由此判断DE 和BC 的位置关系是__________，理由是_________________________．2. 在ABC △中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，以下能推出DE //BC 的条件是（ ）（A ）23AB AD =，12EC AE =； （B ）23AD AB =，23DE BC =；（C ）23AD DB =，23CE AE =； （D ）43AD AB =，43AE EC =．3. 在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，2AD =，3DB =，10BC =，要使DE//AC ，则BE =__________． 4. 如图，ABC △中，DE //BC ，AF ADDF DB=，求证：EF //CD ．5. 如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果6AB =，10BC =，8EF =，求DE 的长； （2）如果:3:5DE EF =，24AC =，求AB 、BC 的长．6. 如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，2AB =，3BC =，1AF =，BA的延长线交OF 的延长线于点E ，求AE ．7. 如图，在ABC △中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且EF //BC ，D 为BC 的中点，ED 、FD 的延长线分别交AC 、AB 的延长线于点H 、点G ，连接HG ，求证：EF //GH ．8. 如图1，在菱形ABCD 中，点G 是CD 边上的一点，联结BG 交AC 于F ，过F 作FH//CD 交BC 于H ，可以证明结论FH FGAB BG=成立（不必证明）． （1）如图2，上述条件中，若点G 在CD 的延长线上，其他条件不变时，结论FH FGAB BG=是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）在（1）的条件下，若已知4AB =，60ADC ∠=︒，9CG =，求线段BG 与FG 的长．BC=，在线段AB上9.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，4AB=，3取一点P，过点P作AC的平行线交BC于点E，连接EO，并延长交AD于点F，连接PF．（1）求证：PF//BD；（2）设的AP长为x，PEF△的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域．3.4 课后作业1. 在A ∠的一边上顺次有B 、C 两点，在另一边上顺次有D 、E 两点，下列条件能判断BD //CE 的个数是（）．（1）3cm AB =，4cm BC =， 1.8cm AD =， 2.2cm DE =； （2）:2:3AB AD =， 1.8cm AE =， 1.2cm AC =； （3）5cm AB =，6cm BC =， 4.4cm AE =， 2.4cm DE =； （4）10cm AB =，15cm AC =，10cm BD =，15cm EC =． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个2.ADE △中，点B 和点C 分别在AD 、AE 上，且2AB BD =，2AC CE =，则:BC DE =_______．3. 已知点D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 的反向延长线上的点，如果25AD AB =， 当=AEAC_______时，BD //CE ． 4. 如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上，且3DE =， 4.5BF =，25AD AE AC AB ==．求证：EF //AC ．5. 如图，在梯形ABCD 中，EF //AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，且分别与EF相交于点M 、N ，下列比例式中正确的是（ ）（A ）AO BO ABCO DO CD ==； （B ）AM BN MNCM DN AB ==； （C ）AE AB BF DE CD CF==；（D ）BD AC ABDN CM MN==． 6. 如图，1l //2l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，则不成立的是（ ）（A ）:2:1AE EC =； （B ）:2:5FG GD =； （C ）:2:5GF FD =；（D ）:1:2AG BC =第5题图 第6题图7. 如图，直线1l //2l //3l ，若5cm AB =，8cm BC =，2cm EG =，3cm GF =，求线段DE 与GC 的长．8. 如图，已知线段AB ，在线段AB 上求作一点C ，使得:1:2AC BC =．9. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，点G 是三角形的重心，8AB =． （1）求GC 的长；（2）过点G 的直线MN //AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．AB10. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的点，且AE FD EB AF ⋅=⋅，BG HC GC DH ⋅=⋅，连接EH 、GF 相交于点O ．求证：OE GO FO OH ⋅=⋅．11. 如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =， 求:AF BF 的值．12. 梯形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AD a =，BC b =．（1）如图（a ），如果点E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：EF //BC 且2a bEF +=； （2）如图（b ），如果AE DF mEB FC n==，判断EF 和BC 是否平行，并证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF ．图（a ） 图（b ）。
三角形一边的平行线性质定理
1.
三角形一边平行线性质定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线， 截得的对应线段成比例。 三角形一边平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在 的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边 对应成比例。
三角形重心性质 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它 到这个顶点对边中点的距离的两倍。
6. 如图，在△ABC中，DE//BC，AE=3，DE=4，
4.5 DF=2，CF=5, 则EC的长为______.
7. 如图，菱形ADEF内接于△ABC，AB=16， BC=14，,
8 则BE=_______.
8. 在
ABCD中，点E在DC上，若DE:EC=1:2，则
3:5 BF:BE=_________.
2．例题分析
1、如图，△ABC与△DEF是相似图形， 且AB=1.7cm,BC=2.9cm,AC=3.7cm,DE=3.4cm, A 50 , B 70
求 DF,EF,∠C, ∠D, ∠E, ∠F.
A D
B
C
Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
问题拓展
两个矩形、两个等腰三角形、两个正方形、 两个等腰直角三角形一定是相似图形吗？为什么呢？
（二）、某两地的实际距离是5000米，画在地图上的距离是 20厘米，求图距与实际距离之比是多少？
24.2 比例线段（1）
图形的相似与线段长度的比及比例有密切关联， 为了研究相似形，需先研究比例线段。 一般来说，两个数或两个同类的量 a与b相除，叫 b 做a与b的比，记作a:b（或表示为 a ），其中b≠0， a除以b 所得的商叫做比值，如果a:b的比值等于k， 那么a =kb。
24.1 放缩与相似形
一、 情景引入
三角形一边的平行线知识讲解
三角形一边的平行线 知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；2、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；3、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【要点梳理】要点一、三角形一边的平行线性质定理及推论1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.要点诠释：(1)主要的基本图形：分A 型和X 型；A 型 X 型（2）常用的比例式：,,AD AE AD AE DB EC DB EC AB AC AB AC=== 3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：(1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、三角形一边的平行线判定定理及推论1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.要点诠释：判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).要点三、平行线分线段成比例定理1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；(3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.【典型例题】类型一、三角形一边的平行线性质定理1. 如图已知直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点且AD=BE.求证：EF：FD=CA ：CB.【答案与解析】过D 作DK ∥AB 交EC 于K 点.则，，即 又∵AD=BE ，∴.【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成比例.举一反三【变式】如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2AE AB AD =⋅ 【答案】∵DG ∥EC,∴AD AG AE AC=, ∵EG ∥BC,∴AE AG AB AC =, ADEG∴AD AE AE AB=, 即2AE AB AD =⋅.2.已知，△ABC 中，G 是三角形的重心， AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长.【答案与解析】延长BG 交AC 于点D,∵G 是三角形的重心，∴点D 是线段AC 的中点，又∵AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，∴AC=5，即DG=，∵BG:GD=2:1.∴BG=5.【总结升华】三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.类型二、三角形一边的平行线判定定理3. 如图，AM 是△ABC 的中线，P 是AM 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点.求证：DE ∥BC.【答案与解析】延长AM 到H ，使HM=MP ，连接BH 、CH∵BM=MC∴四边形BPCH 是平行四边形GBCA∵BH∥CD，CH∥BE在△ABH和△ACH中，有，∴DE∥BC【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.举一反三【变式】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证：BP BD CP CE=.【答案】过点C作CF∥AB交DP于点F, ∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴BP BD CP CF=,即BP BD CP CE=.类型三、平行线分线段成比例定理4. 如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，，求证：EF∥DC．【答案与解析】证明：∵DE∥BC，∴=，∵=，∴=，∴=，∴EF∥DC．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例．注意找准对应关系，以防错解．举一反三【变式】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A.12B. 2C.25D.35【答案】D提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=，。
24.3(3)三角形一边的平行线
H
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与 边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长， 与线段BC的延长线交于点P. （3）若 ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数 关系式.
H
6.过△ ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中 线AD分别交于和E.求证：AE:ED=2AF:FB
三角形一边的 平行线的判定
1.三角形一边的平行线的性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两 边所在的直线，截得的对应线段成 比例.
字母 A 型
A
复 习
字母 X 型
E D
A
D B
E C
B C
2.三角形一边的平行线的性质定理的推论
平行于三角形的一边的直线，截其它两 边所在的直线，截得的三角形的三边与 原三角形的三边对应成比例.
所得的对应线段成比例，那么
A
这条直线平行于三角形的第三边
AD AE 已知： DB EC 求证： DE∥BC
C
D B
E’
E
问题二
AB AC 已知： AD AE
A求证： DE∥BC NhomakorabeaB D
C E
问题三
AD AE 已知： AB AC
求证： DE∥BC
E D
A
M
N
B
C
1.三角形一边的平行线的判定定理 A
问题四
AD DE 若 那么 DE∥BC吗？ AB BC 你能举反例吗?
A
A
E'
D B
E C
B
D
E C
练一练
1. △ABC的边AB、AC上各有一点D、E， 使DE//BC的条件是（ ）
沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第3讲 三角形边的平行线(二)(提高版)
三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．1、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．2、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC∆中，直线l 与AB、AC 所在直线交于点D和点E，如果AD AEDB EC=那么l//BC．三角形一边的平行线（二）内容分析知识结构模块一：三角形一边的平行线判定定理及推论知识精讲AB CD EAB CD E AB CDE2 / 13ABC DEFM A B C D PNMABCDEF【例1】 点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，如果DE ADBC AB=，能否得到DE //BC ，为什么？【例2】 如图，M 为AB 的中点，EF //AB ，联结EM 、FM 分别交AF 、BE 于点C 和点D ．求证：CD //AB ．【例3】 如图，MC //ND ，且::PB AB PD CD =．求证：BN //AM ．【例4】 如图，D 、F 是ABC ∆的AB 边上的两点，满足2AD AF AB =．联结CD ，过点F 作FE //DC ，交边AC 于点E ，联结DE ． 求证：DE //BC ．例题解析ABC A’B’ C’OA BCD EF GH【例5】 如图，AC //''A C ，BC //''B C ．求证：AB //''A B ．【例6】 将上题中的四边形OABC 绕点O 旋转180︒得下图，而其他已知条件不变，结论还成立吗？【例7】 点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，且DE //BC ，以DE 为一边作平行四边形DEFG ，延长BG 、CF 交于点H ，连接AH ，求证：AH //EF ．AB CA’B’C’O4 / 13AB CDEFG k A DBCE F P QA B CDEF GABCDEFOGH【例8】 如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，BAF DAE ∠=∠，AE 与BD 交于点G ，又DF ADFC DF=． 求证：四边形BEFG 是平行四边形．【例9】 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的点，且AE FD EB AF =，BG HC GC DH =，连接EH 、GF 相交于点O ．求证：OE GO FO OH =．【例10】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD a =，BC b =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长．【例11】 如图，点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线k ，交AB 于点E ，交AC 于点F ．求证：1BE CFAE AF +=．ABA BCNMG1、 平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么DF EGFB GC=．2、 平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【例12】 如图，已知线段AB ，在直线AB 上求作一点C ，使得:1:2AC BC =．【例13】 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，点G 是三角形的重心，8AB =．（1）求GC 的长；（2）过点G 的直线MN //AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．模块二：平行线分线段成比例定理知识精讲例题解析BCD E FG6 / 13ABCDEFlABDCE FABCD EOP QM【例14】 如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =，求:AF BF 的值．【例15】 如图，AB 、CD 、EF 都垂直于直线l ，12AB =，7EF =，:2:3BD DF =，求CD 的长．【例16】 如图，ABC ∆中，M 为BC 中点，O 为AM 上一点，BO 的延长线交AC 于点D ，CO 的延长线交AB 于点E ，PQ //BC ，且PQ 过点O 与AB 、AC 分别交于点P 和点Q ．求证： （1）PO OQ =； （2）DE //BC ．A BCPNM H KA BCD EFOABCDEFO【例17】 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 作EF //AB ，且10EF =，若:1:3AE ED =，求梯形ABCD 中位线的长．【例18】 如图，已知点A 、C 、E 和点B 、F 、D 分别是O ∠两边上的点，且AB //ED ，BC //EF ．求证：AF //CD ．【例19】 如图，M 、N 分别是ABC ∆两边AB 、AC 的中点，P 是MN 上任一点，延长BP 、CP 交AC 、AB 于K 、H ，求AH AKHB KC +的值．8 / 13ABCDPABCDE FGO【例20】 如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE BC ⊥于点E ．（1）连接DE 交OC 于点F ，作FG BC ⊥于点G ，求证：点G 是线段BC 的一个三等分点；（2）请你仿照（1）的作法，在原图上作出BC 的一个四等分点（要求保留作图痕迹，可不写作法及证明过程）．【例21】 如图，ABC ∆中，12BC =，82AC =45C ∠=︒，P 是BC 边上的一个动点，过点P 作PD //AB 与AC 相交于点D ，连接AP ，设线段BP 的长为x ，APD ∆的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）是否存在一个位置的点P ，使APD ∆的面积等于APB ∆的面积的13？如果存在，求出BP 的长；如果不存在，请说明理由．ABC D EF GHABCD E FABCDEFO【习题1】如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果6AB =，10BC =，8EF =，求DE 的长； （2）如果:3:5DE EF =，24AC =，求AB 、BC 的长．【习题2】如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，2AB =，3BC =，1AF =，BA 的延长线交OF 的延长线于点E ，求AE ．【习题3】如图，在ABC ∆中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且EF //BC ，D 为BC的中点，ED 、FD 的延长线分别交AC 、AB 的延长线于点H 、点G ，连接HG ，求证：EF //GH ．随堂检测10 / 13ABCDEFOPA B C DFGH【习题4】如图1，在菱形ABCD 中，点G 是CD 边上的一点，联结BG 交AC 于F ，过F 作FH //CD 交BC 于H ，可以证明结论FH FGAB BG =成立（不必证明）． （1）如图2，上述条件中，若点G 在CD 的延长线上，其他条件不变时，结论FH FGAB BG=是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （2）在（1）的条件下，若已知4AB =，60ADC ∠=︒，9CG =，求线段BG 与FG 的长．图1图2【习题5】如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，4AB =，3BC =，在线段AB 上取一点P ，过点P 作AC 的平行线交BC 于点E ，连接EO ，并延长交AD 于点F ，连接PF ． （1）求证：PF //BD ；（2）设的AP 长为x ，PEF ∆的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域．ABCD FG HABCDEF ABCD E F ONMABCDE FG【作业1】如图，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上，且3DE =，4.5BF =，25AD AE AC AB ==． 求证：EF //AC ．【作业2】如图，在梯形ABCD 中，EF //AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，且分别与EF 相交于点M 、N ，下列比例式中正确的是（ ）A ．AO BO AB CO DO CD== B ．AM BN MNCM DN AB==C ．AE AB BF DE CD CF ==D ．BD AC AB DN CM MN==【作业3】如图，1l //2l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，则不成立的是（////） A ．:2:1AE EC = B ．:2:5FG GD = C ．:2:5GF FD = D ．:1:2AG BC =课后作业12 / 13ABCDEFABCDE F ABA BCD E FG【作业4】如图，直线1l //2l //3l ，若5AB cm =，8BC cm =，2EG cm =，3GF cm =，求线段DE 与GC 的长．【作业5】 如图，已知线段AB ，在线段AB 上求作一点C ，使得:2AC BC =【作业6】梯形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AD a =，BC b =． （1） 如图（a ），如果点E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：EF //BC 且2a bEF +=； （2） 如图（b ），如果AE DF mEB FC n==，判断EF 和BC 是否平行，并证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF ．F E A (D)B CNMBCNMB CNMADE F ADEF 【作业7】 已知MN //EF //BC ，点A 、D 为直线MN 上的两动点，AD a =，BC b =，AE mBE n=． （1）当点A 、D 重合，即0a =时（如图1），试求EF ；（用含a 、b 、m 、n 的代数式表示）（2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当A 、D 不重合，即0a ≠，○1如图2这种情况时，试求EF ；（用含a 、b 、m 、n 的代数式表示） ○2如图3这种情况时，试猜想EF 与a 、b 之间有何种数量关系？并证明你的猜想．。
初三数学第二课
CBDCCB初三数学第二课:三角形一边的平行线(一)知识要点:1.三角形一边平行线性质定理:平行于三角形一边的直线截其它两边所在直线,截得的线段对应成比例.2.推论:两边所在的直线,原三角形的三边对应成比例.性质定理和推论的推理表达式为:如图:1.∵DE∥BC∴2.∵DE∥BC∴3.三角形的重心定理:三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到对边中点距离的两倍.如图:点G是△ABC重心，则AG=2GD例题讲解：例题1.如图,已知D E∥BC,AE:EC=3:2,BD=4,BC=15,求DE和AB例题2.如图,△ABC是等腰直角三角形,点G是其重心,GD∥AB,求DG:BC的值.例题3.如图,已知梯形ABCD的对角线交于点O,过点O作MN∥BC交AB与点M,交CD于点N.求证:OM=ON12(第1题)B (第2题)B(第3题)(第4题)C D CB A(第7题)A(第8题)(第1题)(第2题)(第3题)CB(第4题)巩固练习: 一. 选择题:1.如图,在△ABC 中,D E ∥BC,DF ∥AC,则下列比例式中正确的是( )A.AE ECBC FC D AC DF BC DE C FBCFEC AE B BCDEEC AE ====...2.如图, 在△ABC 中,D E ∥BC,若) (S :S ,32ADC ADE ==∆∆则DB AD A.2:3 B.4:9 C.2:5 D.3:53.如图,在△APM 中,N 是MP 上一点,C 为AP 上一点,且B N ∥AM,ND ∥MC, 则下列结论正确的是( ) A.NCNDNB MA D MCNDPB PA C PDPCPB PA B NMPNDA PD ====...4.如图,四边形ADEF 是菱形,且AB=14cm ，BC=12cm ，AC=10cm,则BE=（ ） A ．5cm B.6cm C.7cm D.8cm5.已知，线段a,b,c,求做线段x ，使2ax=bc ，则可能正确的是（ ）6. 在△ABC 中,D,E 分别在BA 和CA 的延长线上, D E ∥BC,下列等式成立的是( )ECEA DB DA D BC DE DB DA C AB EA AC DA B EC AC DB DA A ====....7.如图, 在△ABC 中,AC=8,BC=6,EC=5,且D E ∥BC,则DE=( )A.320.25.518.49D C B8.如图,在直角△ABC 中,∠C=90°,中线BF,AE 相交于点G, 若AB=2,则CG=( ) A.1 B.0.5 C.31.32D 二.填空题:1.如图,在△ABC 中,D E ∥BC,AC=9,DB=2,AD=4,则AE=2.如图,C,D 在△AOB 两边AO,BO 的延长线上,A B ∥CD,且OA=2,OC=3,AB=5,BD=6,则OB=3.如图,在△ABC 中,D E ∥BC,32=EC AE ,DE=5,则BC= 4.如图,已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=3,BC=8,AB=4,两腰的延长线相交于点E,则EA=3(第5题)B(第8题)CB(第7题)C(第10题)C(第9题)C(第11题)DBDPC5.如图,在△ABC 中,D E ∥BC,EF ∥AB,23DB AD ,FC=4,则DE= 6.如图,E 是□ABCD 中AD 边上一点,且ED=2AE,BE 和AC 交于点F,则AF:FC= 7.如图,在△ABC 中,D E ∥BC,AD:DB=4:3,则DE:BC=8.如图,DE ∥AB,DF ∥BC,AD:AC=2:3,AB=9,BC=6,则□BEDF 的周长为9.如图, △ABC 的两条中线BD,CE 交于点G , E F ∥BD,则AF:FC= 10.如图,在△ABC 中,D E ∥BC,且AD:AB=2:3,则EO:EB= 11.如图,在△ABC 中,E 是AC 的中点,DC=BC,则DE:EF=12.如图,A C ∥BD,则线段x 是线段 的第四比例项。
三角形的一边的平行线判定定理及其推论
三角形的一边的平行线判定定理及其推论好嘞，今天咱们来聊聊三角形和它的一边的平行线判定定理。
这听起来可能有点枯燥，不过别担心，我会尽量让它变得有趣，咱们就当是在喝茶聊天，轻松一下。
三角形，哎，这个小家伙，虽然形状简单，但在几何里可真是个大明星。
它有三个角、三条边，看似平常，但却隐藏了很多有趣的秘密。
说到平行线，这个词儿你肯定不陌生，生活中到处都是平行线，比如铁轨、马路两旁的树，咱们平时走路、开车都在和它们打交道。
啥是三角形的一边的平行线判定定理呢？想象一下，你有一个三角形，像个披萨切了三角形，感觉都饿了。
现在在这三角形的某一边，咱们要画一条平行线，这条线就得和三角形的一边保持平行。
根据这个定理，如果你能找到一个角的对边与这条平行线相交，哎，你会发现这个三角形的某个角和交点的角是相等的，真是个神奇的现象！就像在舞会上，两个人跳舞时，竟然有一个神秘的默契，动作一模一样。
这个小小的定理告诉我们，平行线和三角形之间的关系其实是非常亲密的。
再说说这个定理的推论，听起来好像很高深，其实不然。
咱们看看，平行线有啥妙用。
比如，在生活中设计房子，建筑师经常得用到这些原理。
他们在画图时，得确保墙壁、窗户和楼梯的设计是多么的和谐，跟平行线就有着密不可分的联系。
你说，这能不重要吗？设计一个好房子，简直就像造一个美丽的梦，谁不想住得舒服呢？再举个例子，咱们在学校学几何的时候，老师总是让我们找角、找边，甚至让我们画图。
每次拿起尺子，哎呀，心里就会想，能不能一次性把这个图画得漂亮些。
掌握了平行线的定理，画三角形就像骑自行车一样，越骑越顺手。
你会发现，只要你能找到平行线和三角形的那些联系，画图再也不会是个麻烦事。
如果说生活是一本书，那么几何就像是其中的一章，虽然有点难懂，但只要细细品味，里面的智慧和乐趣就会慢慢显露。
三角形的一边的平行线判定定理，虽然简单，却在不知不觉中教会我们许多道理。
比如，平行线代表着一种稳定和平衡的状态，就像人际关系中那些相互理解的朋友，总是在一条线上，互不干扰却又相互支持。
三角形一边平行线性质定理题型+答案详解
基础知识点三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线，截得的对应线段成比例。
如图(1)，若DE//BC ，则AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CEAB AC =如图(2)，若DE//BC ，则AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DAEB DC=EDE（2）（1）CBADC BA三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
如图(1)已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE//BC ，则AD DE AEAB BC AC==; 如图(2)已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE//BC ，则AB BC ACAE DE AD==. EDE（2）（1）CBADC BA同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比（2）（1）DCBADCBA如图(1)：ABD ADCS BDSDC =如图(2)：若AD//BC,则ADC ABCS ADSBC=三角形重心(三中线交点)：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。
1、三角形三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
2、三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍。
例题解析如图，在ABC ∆中，DE //BC ，下列各式中错误的是( ). A.AD AB AE AC = B.BD EC AD AE = C.AD DE DB BC = D.AE DEAC BC =答案：C变式：如图，已知在ABC ∆中，DE //BC ，EF //CD ，那么下列线段的比中与AEAC相等的有( )个。
①AF AB②AF AD ③FD FB④ADABA.0B.1C.2D.3答案：C,①和④例题讲解:在△ABC 中，DE//BC ，DE 与AB 相交于D ，与AC 相交于E 。
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第二讲：三角形一边的平行线性质定理
一、知识要点：
1复习、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，
（2）
（1）
D
C
B
A
D C
B
A
如图（1）：
ABD ADC
S
BD
S
DC =
如图（2）：若AD ∥BC,则
ADC ABC
S AD
S
BC
=
2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。
如图（1），若DE ∥BC ，则
AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CE
AB AC =
1
＝＝特殊地：EC AE
DB AD ，
如图（2），若DE ∥BC ，则
AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DA
EB DC
=
E
D
E
（2）
（1）
C
B
A
D
C B
A
3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则AD DE AE
AB BC AC ==
; 如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则A B B C A C
A E D E A D
==
. 小试牛刀：
选择题
1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，所用的思想方法是（ ）
A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立
B 、利用平行线性质
C 、利用三角形全等
D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比 一、填空题
1、 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC
2、 已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则
AC=____________
3、 已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5厘米，
则AC=_______厘米。
4、 如图，已知：AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O 。
若AC:BD=2:3,AO=1.2,则AB=___________.
5、 如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AD:BD=3:4，BE 和CD 相交于
点O ，则EO:OB=____________。
第1题
E D C
B
A
第4题
O
D
C
B
A
O
E
D
C
B
A
二、典型例题：
例1、 如图所示，DE ∥AB,EF ∥BC ，AF=5厘米，FB=3厘米，CD=2厘米。
求BD 。
F E
D
C
B
A
例2、 如图所示，E 为平行四边形ABCD 边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于点O 。
求证：
注意：（1）在证明时，常把等积式转化成比例式证明；（2）当证明的比例式中线段在同一直线上时，常采取用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量；（3）证明比例式常利用中间比来转化。
O F
E
D
C
B
A
例3、如图，平行四边形ABCD，E是AB的中点，F是BC的三等分点，EF与BD交于O点，求BO：OD的值。
A D
E
O
B F C
例4、如图，平行四边形ABCD，E是AB的中点，F是BC的三等分点，G是AD上的四等分点，EF与BG交于O点，求BO：OG的值
A G D
E
O
B F C
尖峰时刻
例5、如图所示，AB⊥BD于点D，连接AD、BC，它们交于点E，EF⊥BD于点F。
求证：
111
+=
AB CD EF
F
E
D
C
B
A
试一试：上题中，如将条件“AB⊥BD,EF⊥BD,CD⊥BD”改为“AB∥EF∥CD”那么原结论是否成立呢？
三、课堂练习
1、如下左图，AM:MB=AN:NC=1:3,则MN:BC=________
N
M
C
B
A
O
D
C
B
A
2、如上右图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若AO DO
=
CO BO
,AO=8,CO=12,BC=15,则AD=______________。
3、 如图，四边形DECF 为菱形，AC=15,BC=10，则菱形的周长为___________
F E D
C
B
A
F
E
D C
B A
4、如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，AF ＝3，FD ＝2，求AB 的长。
5、如图平行四边形ABCD ，AD=12，P 、Q 是对角线BD 上的三等分点，延长CQ 交AD 于点S ，延长SP 交BC 于点R ，求BR 的值？ A S D
Q P
B R C
重心问题 一、知识要点
1、三角形三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
2、三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍。
数学表达：
如图，已知：AD 、BE 、CF 分别是△ABC 的中线，AD 、BE 、CF 交于点G,则
2
1
AG BG CG GD GE GF === G
F
E
D
C B
A
牛刀小试：
1、如图，已知：△ABC 的中线AD 、CE 相交于点G ，AD=6cm ，EG=3cm ，则AG=_____,EC=_______.
G
E
D
C
B
A
G
E
D
C
B
A
2、如图，已知：G 是△ABC 的重心，GE ∥AC ，则DE ：BD=__________
3、如图，已知：△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC.BE 是AC 上的中线，BE=15cm ，AG=12cm ，则ABC S ∆=————————。
G
E D
C
B
A D
C
B
A
4、如图△ABC 中，D 为重心，且△ABC 的面积为60。
则ABD S ∆=__________
二、典型例题
例1、如图△ABC 中，G 为重心GD ∥AB ，GE ∥AC ，求证：BD=DE=EC 。
A
G
B D E C
第 3 次课后作业
学生姓名：
一、
填空题
1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC,下列各式中错误的是（ ）
A 、
AD AB =AE AC B 、BD EC
=
AD AE C 、AD DE =DB BC D 、AE DE =
AC BC
2、如图，DE ∥BC,BD 和CE 相交于点O ，EO 1
=OC 3
，AE=3,则EB 为（ ） A 、6 B 、9 C 、12 D 、15
3、如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC,EF ∥CD,那么下列线段的比中与AE
AC
相等的有（ ）个。
①
AF AD ;②AF AB ;③FD FB
;④AD
AB A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
第1题
E D C
B
A
第2题
O
E
D
C
B
A
第3题
F E
D
C
B A
二、填空题
1、 如图，已知AB ∥DE ，AC ＝4，BC ＝3，CD ＝5，那么CE:CD ＝_______
E
D
C B
A
2、 在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上，DE ∥BC ，若AD:AB ＝3:4，EC ＝14厘
米，则AE:EC ＝______，AC ＝______，AE ＝______。
3、如图，已知△ABC中D为BC的中点，过D的一条直线，交AC于点F，交BA的延长线于点E，AGBC，交EF于点G，那么线段EG、ED、GF、FD之间有什么关系？
E
A G
F
B D C
思维拓展：
1、如图，△ABC中，四边形DECF是正方形，AC=5，BC=3，求AE：DF
A
E D
C F B
2、如图△ABC中，∠B的平分线BD交AC于D，过D作DE∥AB，交BC于E，AB=5，BE=3，求EC的值。
A
D
B E C
3、在△ABC中，AD是中线，G是AD上一点，GE∥AB，GF∥AC，E、F都在边BC上
（1）求证:BE=CF
EF
（2）如果G是△ABC的重心，求
BC
A
G
B E D F C
4、如图AD∥BC，DB与AC交于O，过O作OM∥AD，交AB于M点，AD=2，BC=5，求OM的值。
C
D
O
A M B
问题AB的长度发生改此题中OM的长度是否发生改变？。