三角形一边的平行线判定定理

第三讲：三角形一边的平行线判定定理

一、知识要点：

1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。数学表达：

如图，直线DE 截△ABC 得两边AB 、AC ，若①

AD AE DB EC =,②AD AE AB AC =,③BD EC

AB AC

中之一为已知条件，则DE ∥BC 2、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。数学表达：

若点D 、E 分别在射线AB 、AC 上，如图（1）或分别在他们的方向延长线上如图（2），且具备上述条件①、②、③之一，则D E ∥BC. 牛刀小试：

1、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上。判断在下列条件下能否推出D E ∥BC,为什么？

（1）

AD DB =,AE=2，AC=3 （2）25AD AB =,25DE BC =

（3）23AD DB =,53

AC CE =

2、△ABC 中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么能推出D E ∥BC 的条件是（）

A 、

AB 3=AD 2,EC 1=AE 2B 、AD 2=AB 3,DE 2

=BC 3 C 、

AD 2=DB 3,CE 2=AE 3D 、AD 3=AB 4,AE 3

=EC 4

二、典型例题

例1、如图EF ∥BC ，3

=AC AF ，BF=4，FD=2，求证：EF ∥

例2、如图所示，M 为AB 的中点，EF ∥AB,连接EM 、FM ，分别交AF 、BE 于点C 、D ，连接CD 。求证：CD ∥AB.

分析：判定两直线平行的方法一般有四种：（1）通过“三线八角”的相等或互补判定两直线平行；（2）通过三角形、梯形中位线定理判定两直线平行；（3）通过平行四边形的判定间接证平行；（4）通过比例线段证平行。

本题运用第（4）种方法，因为它包含了比例线段的几种基本图形。

例3、如图，已知MB ∥ND ，PA PD PB ?=2，求证：

NB ∥MA M N

ABDP

例4、作图题：已知线段a 、b 、c 求作线段x ，使a ：b =c ：x

扩展训练：

例5、如图△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，DEFG 为平行四边形，连BG 、CF 且分别延长交于H ，连AH ，求证：AH ∥DG A DE BC GF H A DE H GF B

三、课堂练习

一、选择题：

1、如图在ΔABC 中，DE 与AB 、AC 交于D 、E ，由以下比例式能判定DE//BC 的是

()

D C B

（A ）

AC AE AB AD =（B ）BC DE AB AD =（C ）AE AD

EC BD =

（D ）AE

EC AD =

2、如图，四边形ABCD 中，取AD 边上一点E ，连结BE 并延长交CD 的延长线于F ，由以下比例式能判定FC//AB 的是（）（A ）

AE DE AB FD =（B ）FB FE FC FD =（C ）DE AD FE FB =（D ）EA

EB EF =

3、如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，则AG:GD 等于（） A 、2:1B 、3:1C 、3:2D 、4:3

4、已知线段a 、b 、c 求作线段x ，使b

x =，以下作法正确的是（） ABCD

5、如图，O 是△ABC 内一点，D 、E 、F 分别在AB 、AO 、AC 上，如果DE ∥BO ，

DF ∥BC ，求证：EF ∥OC A

E D

F O

6、如图，G 为四边形ABCD 的对角线BD 上一点，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，满足EG//AD

，FG//CD 。求证：EF//AC 。

作业：

1、如图，在△ABC 中，如果D E ∥BC ，点且BD=2

5AB ，

那么DE:BC 的比值为（） A 、

27B 、38C 、25

D 、35

2、如图，DE ∥FG ∥BC ，如果AD:DF:FB=1:2:3,那么DE:FG:BC 等于（） A 、1:2:3B 、1:3:6C 、1:9:36D 、1:8:27

3、已知a

x =

,求作x,则下列作图正确的是（） 4、如图已知EG ∥BC ，F 为EG 上任意一点，AF 延长线交BC 于D ，求证：DC

FG EF =

A EFG

G F

BDC

5、如图已知DE∥BC，求证PG：PB=PH：PC

DQE

BGHC

6、如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、DC上，且

（1）求证：EFGH为平行四边形

（2）当ABCD的对角线AC与BD有怎样的数量关系时，EFGH为菱形

AED

BGC

7、如图，E、G、H、F分别是四边形ABCD各边上的点，且AE?FD=EB?AF，BG?HC=GC?DH，求证：EO?GO=FO?HO

EOH

BGC

三角形性质和判定定理

等腰三角形：定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。性质： 1.等腰三角形的两条腰相等； 2.等腰三角形的两个底角相等； 3.等腰三角形是轴对称图形； 4.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。判定： 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。等边三角形：定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。性质： 1.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，任意边的垂直平分线都是它的对称轴； 2.等边三角形的三个角都相等，每个角都是60°。判定： 1.三条边都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 3.有两个角是60°的三角形是等边三角形。直角三角形：定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。其中，构成直角的两边叫做直角边，直角边所对的边叫做斜边。性质：1.直角三角形的两个余角互余； 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半； 4.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 判定： 1．有一个角是直角的三角形是直角三角形； 2..有两个角互余的三角形是直角三角形； 3.如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半，那么这个三角形是直角三角形； 4.如果三角形的三边长a、b、c满足于 a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。角平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等逆定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上中垂线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 1 定理三角形两边的和大于第三边 2 推论三角形两边的差小于第三边 5外角2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 3 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°4外角1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和全等的判定： 6边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 7角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 8推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

三角形一边的平行线(二)

第3讲三角形一边的平行线（二）知识框架本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备． 3.1 三角形一边的平行线判定定理及推论我们来讨论三角形一边平行线性质定理的逆命题是否正确．如图，在ABC △中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD AE DB EC =，那么DE//BC 吗？解析：要肯定上述问题结论的正确，只要证明有一个平行四边形的相对两边分别在直线DE和BC上．如图，过点C作平行于AB的直线CF，交直线DE于点F，得四边形BCFD．证明：∵CF//AB ∵AD AE CF EC =（三角形一边平行线性质定理的推论）又∵AD AE DB EC = ∵ AD AD CF DB =，得CF DB =．由CF//DB，CF DB =，可知四边形BCFD是平行四边形∵ DF//BC，即DE//BC．根据比例的性质可知，在关系式∵AD AE DB EC =、∵ AD AE AB AC =、∵ BD CE AB AC =中，由其中一个可推出其余两个．因此，以关系式∵、∵、∵之一为已知条件，都可推出DE//BC．这样，就得到以下定理：三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

如图，如果点D 、E 分别在边AB 、AC 的延长线或反向延长线上，且具备条件∵、∵、∵之一，那么也可以用上述同样的方法推出DE //BC ．由此由得到：三角形一边的平行线判定定理的推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．思考：如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE AD BC AB =，那么能否得到DE //BC ，为什么？例1. 如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，根据下列条件，试判断DE 与BC 是否平行．（1）3cm AD =，4cm DB =， 1.8cm AE =， 2.4cm CE =；（2）6cm AD =，9cm BD =，4cm AE =，10cm AC =；（3）8cm AD =，16cm AC =，6cm AE =，12cm AB =；（4）2AB BD =，2AC CE =．例2. 如图，::1:3AM MB AN NC ==，则:MN BC =__________．例1题图例2题图例题分析

相似三角形的判定定理2

A B C A 1 B 1 C 1 A B C D O 1、相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ?与111A B C ?中，1A A ∠=∠，1111 AB AC A B AC = ，那么ABC ?∽111A B C ?．【例1】如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， 2OA =，3OB =，6OC =，4OD =．求证：OAD ?与OBC ?是相似三角形．相似三角形判定定理2 知识精讲

A B C D A B C D E 【例2】如图，点D 是ABC ?的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ．求证：ACD ?∽ABC ?．【例3】如图，在ABC ?与AED ?中， AB AC AE AD = ，BAD CAE ∠=∠．求证：ABC ?∽AED ?．【例4】下列说法一定正确的是（） A ．有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 B ．对应角相等的两个三角形不一定相似 C ．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D ．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似【例5】在ABC ?和DEF ?中，由下列条件不能推出ABC ?∽DEF ?的是（） A ．A B A C DE DF = ，B E ∠=∠ B ．AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠ C ．AB AC DE DF = ，A D ∠=∠ D ．AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠

三角形全等的判定定理教案

教案课题三角形全等的条件（SSS）专业指导教师班级学号 §三角形全等的条件（SSS）一.教学目标知识目标：掌握“边边边”条件的内容，并能结合已学过的三角形全等的判定定理来判定两个三角形是否全等. 能力目标：在探索三角形全等的判定条件的过程中，培养学生动手画图和观察识图的能力，及类比推理的能力. 情感目标：通过实践，在探索中体验发现数学规律的乐趣，以及获得成功的愉悦感.

二.教学重难点重点：“SSS”判定定理并灵活运用. 难点：尺规作图画全等三角形；及恰当地选择三角形全等的判定定理. 三.教学分析教学方法：探究式教学法为主、讲练结合法为辅. 教学手段：粉笔、木条、直尺、多媒体. 课型：新授课. 四.教学过程 (一) 复习引入，自然过渡. 问题1：目前我们已经学习了几种三角形全等的判定方法(找同学回答，在同学回答问题的过程时，写下他们回答的三个判定定理SAS、ASA、AAS) 问题2：两个三角形具有哪些性质（找同学回答）思考1：如果两个三角形只有对应角相等，那么这两个三角形一定全等吗（在学生回答后，给出图形加以说明）思考2：如果两个三角形只有对应边相等，那么这两个三角形一定全等吗（学生猜想结果）（二）探索发现 1．作出猜想根据同学的回答，做出猜想——三边分别对应相等的两个三角形一定全等. 2．证明猜想将班集体分为3个小组，第一组的同学画一个边长为2cm、9cm、12cm的三角形；第二组的同学画一个边长为6cm、8cm、10cm的三角形；第三组的同学画一个边长为7cm、11cm、17cm的三角形.每位同学将自己画好的三角形用剪刀剪下来.（每一组叫两个同学展示他们的图形，同学们可以发现他们是重合的，说明这两个三角形是全等的），此时，证明同学们的猜想正确. 3．得出结论带领学生总结出结论：三边对应相等的两个三角形一定全等.（SSS）（三）例题讲解例1 如下图，在四边形ABCD中，已知,. AD CB AB CD ==求证ABC CDA ???. 证明：在ABC ?与CDA ?中， () () () CB AD AB CD AC CA = ? ? = ? ?= ? 已知已知公共边

04三角形一边平行线的判定

期中考试复习讲义(4) 三角形一边平行线的判定一、填空题 1. 如图,在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上,已知AD=3，AB=5，AE=2，EC=3 4 ,由此判断DE 与BC 的位置关系是 ,理由是 . 2. 如图,AM∶MB=AN∶NC=1∶3，则MN∶BC= . 3.如图, △PMN 中, 点A 、B 分别在MP 和NP 的延长线上, 83==BN BP AM AP 则=A B MN 4.△ADE 中,点B 和点C 分别在AD 、AE 上,且AB=2BD ，AC=2CE ，则BC∶DE= . 5.如图,四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于O,若BO DO CO AO =，AO=8，CO=12，BC=15，则AD= . 二、选择题 6.△ABC 中,直线DE 交AB 于D,交AC 于点E,那么能推出DE∥BC 的条件是( ) (A) ；，2123==AE EC AD AB (B) 32 32==BC DE AB AD ，; (C) ；，3232==AE CE DB AD (D) ；，3 4 34==EC AE AB AD 三、解答题 7.△ABC 中,DE∥BC， DB AD DF AF =,求证:EF∥CD.

8.如图,AC 、BD 相交于点O,且AO=2,OC=3，BO=10，OD=15，求证：∠A=∠C. 9.已知在△ABC 中,点D 、 E 、 F 分别在AB 、BC 、CA 上,且EB CE DB AD FC AF ==,CF=CE ，求证：四边形CFDE 是菱形. 10.在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上,且DE=3,BF=4.5，5 2 ==AB AE AC AD ，求证：EF∥AC.

第三讲：三角形一边的平行线判定定理

第三讲：三角形一边的平行线判定定理一、知识要点： 1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。数学表达：如图，直线DE 截△ABC 得两边AB 、AC ，若① AD AE DB EC =,②AD AE AB AC =,③BD EC AB AC =中之一为已知条件，则DE ∥BC E D C B A 2、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。数学表达：若点D 、E 分别在射线AB 、AC 上，如图（1）或分别在他们的方向延长线上如图（2），且具备上述条件①、②、③之一，则D E ∥BC. E D C B A E D C B A 牛刀小试： 1、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上。判断在下列条件下能否推出D E ∥BC,为什么？（1） 2 3 AD DB =,AE=2，AC=3 （2） 25AD AB =,2 5DE BC = （3） 23AD DB =,5 3 AC CE = E D C B A

2、△ABC 中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么能推出D E ∥BC 的条件是（） A 、 AB 3=AD 2,EC 1=AE 2 B 、AD 2=AB 3,DE 2 =BC 3 C 、 AD 2=DB 3,CE 2=AE 3 D 、AD 3=AB 4,AE 3 =EC 4 二、典型例题例1、如图EF ∥BC ， 3 1 =AC AF ，BF=4，FD=2，求证：EF ∥AD A D E F B C 例2、如图所示，M 为AB 的中点，EF ∥AB,连接EM 、FM ，分别交AF 、BE 于点C 、D ，连接CD 。求证：CD ∥AB. 分析：判定两直线平行的方法一般有四种：（1）通过“三线八角”的相等或互补判定两直线平行；（2）通过三角形、梯形中位线定理判定两直线平行；（3）通过平行四边形的判定间接证平行；（4）通过比例线段证平行。本题运用第（4）种方法，因为它包含了比例线段的几种基本图形。例3、如图，已知MB ∥ND ，PA PD PB ?=2 ，求证：NB ∥MA M N A B D P O F E D C B A

三角形相似判定定理的证明

第四章图形的相似 5．相似三角形判定定理的证明驻马店市第四中学：田慧婷一、学生知识状况分析 “相似三角形判定定理的证明”是“探索三角形相似的条件”之后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识，对相似三角形已有一定的认识，并且在前一节课的学习中，以充分经历了猜想，动手操作，得出结论的过程。本节主要进行相似三角形判定定理的证明，证明过程中需添加辅助线，对学生来说具有挑战性，需要通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程。二、教学任务分析本节共一个课时，本节是从证明相似三角形判定定理1、两角分别相等的两个三角形相似入手，使学生进一步通过推理证明上节课所得结论命题1的正确性，从而学会证明的方法，为后续证明判定定理2,3打下基础。三、教学过程分析本节课设计了个教学环节：第一环节：复习回顾,导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：动手实践，推理证明；第四环节：方法选择，合理应用；第五环节：课堂小结，布置作业。第一环节：复习回顾，导入课题内容：1.平行线分线段成比例公理及推论定理； 2.判定两个三角形全等的方法有哪些？ 3.三角形相似的定义，判定两个三角形相似的方法有哪些？在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，您能证明它们一定成立吗？目的：通过学生回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣。效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。第二环节：动手操作，探求新知

内容：命题1、两角分别相等的两个三角形相似。如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流. 目的：通过学生回顾证明文字命题的步骤入手，引导学生进行画图，写出已知，求证。第一步：引导学生根据文字命题画图，第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证。已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。求证: △ABC∽△A’B’C’。第三步：写出证明过程。（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可。根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A’B’C’全等的三角形。）教师可以以填空的形式进行引导。证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A’B’,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C, ________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。过点D作AC的平行线，交BC于点F,则 __________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。 ∴____________ ∵DE∥BC，DF∥AC

全等三角形判定方法四种方法”_

三角形全等的条件（一）学习要求 1 ?理解和掌握全等三角形判定方法 1―― “边边边”， 2?能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 课堂学习检测一、填空题 1 ?判断 ____ 的 _____ 叫做证明三角形全等. 2?全等三角形判定方法 1―― “边边边”（即 ________ ）指的是 _____ 3?由全等三角形判定方法 1―― “边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的 _____ 也就确定了. 在厶 ______ 和厶 ______ 中， RP RQ(已知), PM _______ , _____ _______ (), 二 _____ 也 ______ ( )? / PRM = _______ ( ______ ) ? 即RM ? 5. 已知：如图 2 — 2, AB = DE , AC = DF , BE = CF. 求证：/ A =Z D . 4. 已知：求只要证_ 证明：如图 2 —〔，△ RPQ 中， RM 平分/ PRQ . 要证 RM 平分/ PRQ ，即/ PRM = M 为PQ 的中点（已知），

分析：要证/ A =Z D，只要证_________ 也 ______ 证明：??? BE = CF ( ), 二BC = ____ . 在厶ABC和厶DEF中， AB _______ , BC _______ , AC _______ , 二 _____ 也______ ( ). ???/ A=Z D ( __________ ). 6. 如图2- 3, CE = DE, EA = EB, CA = DB , 求证：△ ABCBAD . 证明：??? CE= DE , EA= EB, ? _____ + _______ = _______ + 即 _____ = _______ . 在厶ABC和厶BAD中， = ______ (已知)， _____ _______ (已知), (已证), _____ ( ), ? △ ABC◎△ BAD ( ). 综合、运用、诊断一、解答题 7. 已知：如图2 —4, AD = BC . AC= BD .试证明：/ CAD = /DBC . &画一画. 已知：如图2 —5,线段a、b、c . 求作：△ ABC，使得BC = a, AC= b, AB = c .

三角形一边平行线的知识总结及试题

一、本节知识点汇总： 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==()b 、 d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. 用符号语言表示： AD ∥BE ∥CF, ,,AB DE BC EF AB DE BC EF AC DF AC DF ∴===. 4.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等. 用符号语言表示： AD BE CF AB BC DE EF ? ?=?=? . 5. 三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 6.三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. E C

23．1——23．3比例线段单元测试班级_______姓名________学号________分数________ 一、填空 1．已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a ＝9，c ＝4，则b ＝． 2．线段AB ＝6cm ，点P 在线段AB 上，且AP 是是AB 与BP 的比例中项，则PB ＝_______cm ． 3．△ABC 与△A 1B 1C 1中3 2 111111===C B BC C A AC B A AB ，若AB ＋AC ＋BC ＝40cm ，则△A 1B 1C 1的周长是__________． 4．在比例尺为1︰1000000的地图上，AB 两地的图上距离是3．4厘米，则AB 两地的实际距离是____________千米． 5．已知 832=-b b a ，则______=b a ． 6．已知：在ABC ?中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，AB ＝6，AD ＝2，EC ＝3，则AE ＝． 7．已知：点D 、E 分别在⊿ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上，且DE ∥BC ，15,3 2 ==BC AB AD ，则DE ＝． 8．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ．若S △AOD ＝4，S △AOB ＝6，则S △BOC ＝_________． 9．如图，l 1∥l 2∥l 3 ， AB ＝2，AC ＝5，DF ＝10，则DE ＝． 10．如图,AM ∶MB ＝AN ∶NC=1∶3，则MN ∶BC = ． 11．如图，在ΔABC 中，AM 是中线，G 是重心，GD ∥BC ，交AC 于D ．若BC ＝6，则GD ＝． 12．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝13厘米、BC ＝18厘米，AE ︰EB ＝2︰3，则EF ＝．（第13题）（第12题）（第11题） L3 M M B A B C C 第10题第11题第12题

三角形相似的判定数学教案

三角形相似的判定数学教案三角形相似的判定数学教案一、教学目标 1．使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用． 2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解． 3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力． 4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．类比学习，探讨发现三、重点及难点 1．教学重点：是直角三角形相似定理的应用． 2．教学难点：是了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路．四、课时安排 3课时五、教具学具准备多媒体、常用画图工具六、教学步骤［复习提问］ 1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？（5种）

2．叙述预备定理、判定定理1、2、3（也可用小纸条让学生默写）．其中判定定理1、2、3的.证明思路是什么？（①作相似，证全等；②作全等，证相似） 3．什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性质？【讲解新课】类比判定直角三角形全等的“HL”方法，让学生试推出：直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．已知：如图，在∽中，求证：∽ 建议让学生自己写出“已知、求征”．这个定理有多种证法，它同样可以采用判定定理l、2、3那样的证明思路与方法，即“作相似、证全等”或“作全等、证相似”，教材上采用了代数证法，利用代数法证明几何命题的思想方法很重要，今后我们还会遇到．应让学生对此有所了解．定理证明过程中的“都是正数，，其中都是正数”告诉学生一定不能省略，这是因为命题“若，到”是假命题（可举例说明），而命题“若，且、均为正数，则”是真命题．例4已知：如图，，，，当BD与、之间满足怎样的关系时∽．解（略）教师在讲解例题时，应指出要使∽．应有点A与C，B与D，C与B成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边．还可提问：（1）当BD与、满足怎样的关系时∽？（答案：）

初三数学第3讲：三角形一边的平行线性质定理

教学内容一、知识要点： 1、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，（2）（1） D C B A D C B A 如图（1）： ABD ADC S BD S DC = 如图（2）：若A D ∥BC,则 ADC ABC S AD S BC = 2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。如图（1），若D E ∥BC ，则 AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CE AB AC = 如图（2），若D E ∥BC ，则AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DA EB DC = E D E （2）（1） C B A D C B A 3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则 A D D E A E A B B C A C ==; 如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则 AB BC AC AE DE AD ==.

E D E （2）（1） C B A D C B A 小试牛刀：选择题 1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，课本上所用的思想方法是（） A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立 B 、利用平行线性质 C 、利用三角形全等 D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比一、填空题 1、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC 2、已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则 AC=____________ 3、已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5 厘米，则AC=_______厘米。 4、如图，已知：AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O 。若AC:BD=2:3,AO=1.2,则AB=___________. 5、如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AD:BD=3:4，BE 和CD 相交于点O ，则EO:OB=____________。第1题 E D C B A 第4题 O D C B A O E D C B A

三角形相似的判定教案(共3课时) 人教版

《三角形相似的判定》教案重点、难点分析相似三角形的判定及应用是本节的重点也是难点．它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形的基础上，进一步研究相似三角形的本质，以完成对相似三角形的定义、判定全面研究．相似三角形的判定还是研究相似三角形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大．释疑解难（1）全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形全等的3个定理和判定两个三角形相似的3个定理之间有内在的联系，不同之处仅在于前者是后者相似比为1的情况．（2）相似三角形的判定定理的选择：①已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2；②已知有二边对应成比例时，可选择判定定理

2与判定定理3；③判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形的方法来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．（3）相似三角形的判定定理的作用：①可以用来判定两个三角形相似； ②间接证明角相等、线段域比例；③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件．（4）三角形相似的基本图形：①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似； ②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交．图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似。

全等三角形的判定常考典型例题和练习题

全等三角形的判定一、知识点复习 ①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）图形分析：、书写格式：在△ABC和△DEF中 ? ? ? ? ? = ∠ = ∠ = EF BC E B DE AB ∴△ABC≌△DEF（SAS） ②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA) 图形分析： # 书写格式：在△ABC和△DEF中 ? ? ? ? ? ∠ = ∠ = ∠ = ∠ F C EF BC E B ∴△ABC≌△DEF(ASA) ③“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS） { 图形分析：书写格式：在△ABC和△DEF中！ ? ? ? ? ? = ∠ = ∠ ∠ = ∠ EF BC F C E B ∴△ABC≌△DEF(AAS)

④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS ）图形分析：、书写格式：在△ABC 和△DEF 中 ?? ? ??===EF BC DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF(AAS) — ⑤“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL ）图形分析：书写格式： ) 在△ABC 和△DEF 中 ?? ?==DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （HL ）一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法，还有其他的三角形全等识别法吗比如说“SSA ”、“AAA ”能成为判定两个三角形全等的条件吗两个三角形中对应相等的元素两个三角形是否全等反例 $ SSA ? AAA |

初三数学第4讲：三角形一边的平行线判定定理

教学内容一、知识要点： 1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。数学表达：如图，直线DE 截△ABC 得两边AB 、AC ，若① AD AE DB EC =,②AD AE AB AC =,③BD EC AB AC =中之一为已知条件，则DE ∥BC E D C B A 2、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。数学表达：若点D 、E 分别在射线AB 、AC 上，如图（1）或分别在他们的方向延长线上如图（2），且具备上述条件①、②、③之一，则D E ∥BC. E D C B A E D C B A 牛刀小试：

1、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上。判断在下列条件下能否推出D E ∥BC,为什么？（1） 2 3 AD DB =,AE=2，AC=3 （2） 25AD AB =,2 5DE BC = （3） 23AD DB =,5 3 AC CE = E D C B A 2、△ABC 中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么能推出D E ∥BC 的条件是（） A 、A B 3=AD 2,E C 1=AE 2 B 、A D 2=AB 3,D E 2 =BC 3 C 、 AD 2=DB 3,CE 2=AE 3 D 、AD 3=AB 4,AE 3 =EC 4 二、典型例题例1、如图EF ∥BC ， 3 1 =AC AF ，BF=4，FD=2，求证：EF ∥AD A D E F B C 例2、如图所示，M 为AB 的中点，EF ∥AB,连接EM 、FM ，分别交AF 、BE 于点C 、D ，连接CD 。

相似三角形的判定定理

24.4（1）相似三角形的判定教学目标 1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1； 3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长. 4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l. 一、复习 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形）本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课相似三角形的概念：我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. [说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例．相似比的概念：相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或相似系数）． [说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形．注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比. 如图，111,ABC A B C ??是相似三角形，则111,ABC A B C ??相似可记作ABC ?∽111A B C ?.由于 111 2 AB A B =，则ABC ?与111A B C ?的相似比111 2 AB k A B = =，则111A B C ?与ABC ?的相似比,112A B k AB == . C 1 B 1 A 1 C B A

三角形一边平行线性质定理

个性化辅导授课案教师：卢天明学生: 时间 2016年7月日时段三角形一边的平行线性质定理一、知识要点： 1、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比（2）（1） D C B A D C B A 如图（1）： ABD ADC S BD S DC = 如图（2）：若AD ∥BC,则 ADC ABC S AD S BC = 2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。如图（1），若DE ∥BC ，则 AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CE AB AC = 如图（2），若DE ∥BC ，则AB AC AE AD = 或AB AC EB DC =或EA DA EB DC = E D E （2）（1） C B A D C B A 3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则 AD DE AE AB BC AC == ; 如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则AB BC AC AE DE AD == .

E D E （2）（1） C B A D C B A 小试牛刀：选择题 1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，课本上所用的思想方法是（） A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立 B 、利用平行线性质 C 、利用三角形全等 D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比一、填空题 1、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC 2、已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则AC=____________ 3、已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5厘米，则AC=_______厘米。 4、如图，已知：AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O 。若AC:BD=2:3,AO=1.2,则AB=___________. 5、如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AD:BD=3:4，BE 和CD 相交于点O ，则EO:OB=____________。第1题 E D C B A 第4题 O D C B A O E D C B A 二、典型例题：例1、如图所示，DE ∥AB,EF ∥BC ，AF=5厘米，FB=3厘米，CD=2厘米。求BD 。

相似三角形的判定定理1

1 / 7 1、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ?的中位线，那么在ADE ?与ABC ?中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠； 1 2AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作 ADE ?∽ABC ?，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“?”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．如图，已知直线l 与ABC ?的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ?∽ABC ?．相似三角形判定定理1 A B C D E A B C D E A B C D E D A B C E

2 / 7 A B C A 1 B 1 C 1 3、相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ?与111A B C ?中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ?∽111A B C ?．常见模型如下：

三角形一边平行线的判定定理

学科教师辅导讲义讲义编号_ 学员编号：年级：初二课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题三角形一边平行线的判定定理授课日期及时段教学目的 1、巩固三角形一边平行线的性质定理，理解三角形一边平行线的判定定理及推论； 2、掌握三角形一边平行线的判定定理及推论的应用教学内容学一、复习 1、三角形一边平行线的性质定理及推论的作业检查与点评； 2、三角形一边平行线的性质定理及推论？ 3、三角形的重心及性质？二、导入 A 思考1：如图，在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上 EC AE DB AD , 求证：DE ∥BC D E B C

1、三角形一边平行线的判定定理: 如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（由成比例得平行） A 如图，若 EC AE DB AD =(或AC AE AB AD =或AC EC AB BD =) 则D E ∥BC D E B C 2、三角形一边平行线的判定定理的推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两条延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于第三边。 A E D B C A D E B C 若 CE AC BD AB =(或AE AC AD AB =或AC EC AD BD =) 若AC AE AB AD =(或EC AE BD AD =或CE AC BD AB =) 则D E ∥BC 则D E ∥BC 思考2：如图，若AB AD BC DE =,则DE 与BC 平行吗？为什么？ A D E B C

三角形相似定理

三角形相似定理（第3课时）一、教学目标 1．使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用． 2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解． 3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力． 4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．二、教学设计类比学习，探讨发现三、重点及难点 1．教学重点：是直角三角形相似定理的应用． 2．教学难点：是了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路．四、课时安排 3课时五、教具学具准备多媒体、常用画图工具、六、教学步骤［复习提问］ 1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？（5种） 2．叙述预备定理、判定定理1、2、3（也可用小纸条让学生默写）．其中判定定理1、2、3的证明思路是什么？（①作相似，证全等；②作全等，证相似） 3．什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性质？【讲解新课】

类比判定直角三角形全等的“HL”方法，让学生试推出：直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．已知：如图，在∽中，求证：∽ 建议让学生自己写出“已知、求征”．这个定理有多种证法，它同样可以采用判定定理l、2、3那样的证明思路与方法，即“作相似、证全等”或“作全等、证相似”，教材上采用了代数证法，利用代数法证明几何命题的思想方法很重要，今后我们还会遇到．应让学生对此有所了解．定理证明过程中的“都是正数，，其中都是正数”告诉学生一定不能省略，这是因为命题“若，到”是假命题（可举例说明），而命题“若，且、均为正数，则”是真命题．例4已知：如图，，，，当BD与、之间满足怎样的关系时∽．解（略）教师在讲解例题时，应指出要使∽．应有点A与C，B与D，C 与B成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边．还可提问：（1）当BD与、满足怎样的关系时∽？（答案：

全等相似三角形的判定定理

相似三角形的判定定理: (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(简叙为两角对应相等两三角形相似). (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.) (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.) (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似. (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例. (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (4)相似三角形的周长比等于相似比. (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 射影定理射影定理（又叫欧几里德定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。全等三角形 1. 三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。 4．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL，属于SSA)，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。