3.2三维晶格振动 固体物理研究生课程讲义
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固体物理第三章2
U U U0 i 1 ui
3N
2 1 3N U ui 2 u u i , j 1 i j 0
ui u j , 0
因在平衡位置势能取极小值，所以上式右端第二项为零，若取U0为能 量零点，并略去二次以上的高次项，得到
上一节关于晶格的运动方程之所以能够化成线性齐次方程组，是
简谐近似的结果，即忽略原子相互作用的非线性项得到的。
处理小振动问题的理论方法和主要结果－－做为晶格振动这部分
内容的理论基础。
在第二章已经讨论过，当原子处于平衡位置时，原子间的相互
作用势能
1 A B ' U0 m n 2 i j r r ij ij
用独立简谐振子来表述。
下面根据分析力学原理，引入简正坐标，直接过渡到量子理论， 并引入声子概念－－晶格振动中的简谐振子的能量量子。
数学处理：通过引入简正坐标，将晶格振动总能量（哈密顿量）= 动能 +
势能（化成）= 独立简谐振子能量之和
一、简谐近似和简正坐标
从经典力学的观点，晶格振动是一个典型的小振动问题，凡是力 学体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动。
(9)
代表q空间均匀分布的点子。 若 K 是倒格矢，则 q q' q K h h
u
l p
不变。
因此q的取值可限制在第一布里渊区之内。
h3 h1 h2 q b1 b2 b3 (10) N1 N2 N3
波矢q的点阵具有周期性，均匀分布。 其中
b1 b2 b3 是波矢q的基矢，最小重复单元的体积为 , , N1 N 2 N3
对于有N个原胞的三维晶体，每个原胞有n个原子，每个原子有3个
3.2三维晶格振动
−
π π <q≤ 2 2
u2n = u2(n+ N )
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数 ， 晶体的原胞数N， 晶体的原胞数 格波振动频率数目=晶体的自由度数， 晶体的自由度数 晶体的自由度数， 格波的支数 =原胞内原子的自由度数。 原胞内原子的自由度数 原胞内原子的自由度数。
ω
ωm
一维单原子链，设晶体有N个原胞。
色散关系 波矢q范围 波矢 范围 B--K条件 条件 波矢q取值 波矢 取值
u2n+1 = B e
'
u2n = Ae i[qna+qb−ωt ]
i (qna−ωt )
= Be
i (qna−ωt )
12 (β1 + β2 ) 16mMβ1β2 2 qa 2 sin ( ) ω2 = (m + M) ± (m + M) − 2mM 2 (β1 + β2 )2
3
(2π)3 每个波矢代表点占有的体积为： 每个波矢代表点占有的体积为： Vc l q′ = q + K h u α ( q ′ ) = A α s e − i (ω t − R l .( q + K h ) ) s l − i (ω t − R l .q ) = Aαs e = uα ( q ) s
(2)运动方程和解 运动方程和解
l m s uα = ⋅ ⋅ ⋅ (α=1,2,3；s=1,2,3,···,n) ； s [ (α=3,s=n)共有 个方程 共有3n个方程 共有 个方程]
..
在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。 上式的右端是位移的线性代数式。
′ 试探解： 试探解：uα l = A α s e i [(R l + r s ). q − ω t ] = A α s e i (R l . q − ω t )
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
3.2三维晶格振动
m 3, n 2,
有6支格波，3支声学波，3支光学波。 振动模式数为6N。
设三维无限大的晶体，每个原胞中有n个原子，各原子的
质量分别为m1，m2，m3，…mn。原胞以l(l1l2l3)标志，表明原 胞的中心位置位于格点：
R(l ) l1 a1 l 2 a 2 l3 a 3
则原胞中各原子的位置表示如下：
l l l l R , R , R ,..., R 1 2 3 n
2
2n
Aei t 2 naq
i t 2 n 1aq
波矢q范围 B--K条件
{( m M ) m 2 M 2 2mM cos 2aq } mM
π π q 2a 2a
波矢q取值
2n 2(n N )
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N，
mk 2 Ak
Ak有非零解，必须其系数行列式为零，由此得到一个关于ω2 的3n次方程式，进而得到ω的3n个解。具体分析证明： 当q→0时，有三个解ωj正比于q，与弹性波一致，这3支格 波称为声学支格波。而且A1j， A2j ，… Anj趋于相同，说明在 长波极限整个原胞一起运动。其余的(3n-3)个解的长波极限 描述原子之间的相对振动，并且具有有限的振动频率，比声学
Vc 1 3 ( 2 π) ( 2 π)3 Vc
注意：q空间体积的量纲具有正空间体积量纲的倒 数，因此波矢密度具有体积的量纲。
Vc Ω N Ω 波矢可取的数目： Ω ( 2π)3 ( 2π)3 N
另一方法：根据
e
i[t R (l )q ]
e
i[t R (l )q N1 a1 q ]
固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
3.2 三维晶格振动
a1 , a2 , a3
a2 Rl
Rl N 2 a 2
a1N N 1 N 2 N 3
Rl N1 a1
(l 1 N 1 )a 1 l 2 a 2 l 3 a 3
根据玻恩---卡门周期性条件：
Rl N 2 a 2
l1 a 1 (l 2 N 2 )a 2 l 3 a 3
l i R l . q -t u A e s
e
i ( R l q t )
e
i ( R l q t )
e
i ( R l q t )
e i R q N a q -t e
三维情况下的态密度：
设一边长为 L的立方体，体积
V L3 包含有N3个原胞，
3
2 于是每个 q 值在波矢空间占据的体积是： L
4 3 L V 3 q 半径为q 的球体积内的模式数目为： 2q 3 2 6
3
V 2 q q dq 球壳内的模式数： 2 q dq 2
l l1 , l2 , l3 l1 N1 , l2 , l3 u u u s s s l l1 , l2 , l3 l1 , l2 N 2,l3 u s u s u s l l1 , l2 , l3 l1 , l2 , l3 N 3 u u u s s s
1 2 2
L dq 2 N 2 g ( ) m d
分立晶格和连续模型的区别：
m , g ( ) 0
g ( )
固体物理第三章 晶格振动与晶体的热学性质
28
取行波解:只假设两种原子振幅不一样
ul Aei ( qla t ) vl Bei ( qla t ) M 2 2 1 e iqa
1 e iqa A 0 m 2 2 B
真空中的光线性色散关系对长波有效我们将看到当波长很短时与弹性波偏离增加需考虑晶格的结构格波这是本章的重点减小时晶格的不连续性变得更重要原子开始对波产生散射散射的结果是减小波速而阻碍波的传播这是本章的重点主要结论一般的晶体有n个原子3n个自由度对应3n个位移分量u3n个耦合谐振子10处理这样的问题有标准的线性代数方法
1 n n , n 0,1,, 2
长波极限：q→0，λ → ∞
2 mM , mM
M B m A
34
q →0 时，两种原子相对振动，保持质 心不变
对离子晶体，这是两种离子的电偶极矩 振荡，能够对ω ≈ω + 的红外光产生强 烈共振吸收，所以称为光学支。
35
在布里渊区边界
2 , m B A
振幅满足：
2 B m 2 A 1 e iqa
30
二、声学波和光学波
1.周期性与布里渊区
2 q q h q K h a
q , 1BZ a a
单链的频率谱成为带，即有最低、最高频 率
26
§3.3 一维双原子链振动
本节讨论最简单的复式晶格, 模拟 双原子分子
27
一、运动方程及其解
设有两种原子，m, M，各N个（N个原胞）， 晶格常数为a
ul
vl
l-1
取行波解:只假设两种原子振幅不一样
ul Aei ( qla t ) vl Bei ( qla t ) M 2 2 1 e iqa
1 e iqa A 0 m 2 2 B
真空中的光线性色散关系对长波有效我们将看到当波长很短时与弹性波偏离增加需考虑晶格的结构格波这是本章的重点减小时晶格的不连续性变得更重要原子开始对波产生散射散射的结果是减小波速而阻碍波的传播这是本章的重点主要结论一般的晶体有n个原子3n个自由度对应3n个位移分量u3n个耦合谐振子10处理这样的问题有标准的线性代数方法
1 n n , n 0,1,, 2
长波极限：q→0，λ → ∞
2 mM , mM
M B m A
34
q →0 时，两种原子相对振动，保持质 心不变
对离子晶体，这是两种离子的电偶极矩 振荡，能够对ω ≈ω + 的红外光产生强 烈共振吸收，所以称为光学支。
35
在布里渊区边界
2 , m B A
振幅满足：
2 B m 2 A 1 e iqa
30
二、声学波和光学波
1.周期性与布里渊区
2 q q h q K h a
q , 1BZ a a
单链的频率谱成为带，即有最低、最高频 率
26
§3.3 一维双原子链振动
本节讨论最简单的复式晶格, 模拟 双原子分子
27
一、运动方程及其解
设有两种原子，m, M，各N个（N个原胞）， 晶格常数为a
ul
vl
l-1
固体物理-第三章
l 1
原 子
上式说明每个坐标gk的振动，都可以分解成3N个简正振动的线 性迭加，Ql新坐标称为简正坐标，所以，我们可以得出结论：N个
的
原子组成晶体的任何一种微振动，可看成3N个简正振动的迭加。
运
动
★简正坐标与原子位移坐标之间的正交变换，
实际上是按付氏展开式把坐标系由位置坐标转
换到状态空间（正格子——倒格子）。
单
体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单
原
独存在，它并不是一种真实的粒子, 只是一种准粒子；
子
➢声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
晶
➢一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子
格
组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子,
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
声子
采用“声子”概念不仅表达简洁、处理问题方便（例晶格与微观粒
3N
动
2 Ak bik Ai 0 k 1, 2,L 3N (9) i 1
方程组（9）又可改写成：
3N
bik 2ik Ai 0 k 1, 2,L 3N (10)
i 1
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
原子的运动方程
3N
bik 2ik Ai 0 k 1, 2,L 3N (10)
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
原子的运动方程
••
gk bik gi 0 k 1, 2,L 3N
(7)
原
gk Ak sin t k 1, 2,L 3N
(8)
子
的 运
（8）式所给出的特解应能够满足方程（7），则将（8）式 代入（7）式，得确定ω与bik之间关系的方程组：
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晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数， 格波的支数=原胞内原子的自由度数。
一维单原子链，设晶体有N个原胞。
原胞内原子的自由度数=1
1支格波
晶体的自由度数=N
频率数为N
一维双原子链，设晶体有N个原胞。
原胞内原子的自由度数=2
2支格波
晶体的自由度数=2N
频率数为2N
每个波矢代表点占有的体积为：
b2
b1 N1
b2 N2
b3 N3
Ω N
(2π)3 NΩ
(2π)3 Vc
N2
b1
正格子原胞体积 晶体体积
N1
(二维图示)
波矢密度：波矢空间中单位体积的波矢数目。
1
Vc
( 2 π) 3
( 2 π) 3
Vc
每个波矢代表点占有的体积为： (2π)3
q q K h
Vc
u
3.2.2 波矢q的取值和范围
设晶体有N个原胞,原胞的基矢为：a1 ,a2 ,a3;
沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞, N N1 N 2 N 3
Rl N1a1
(l1 N1 )a1 l2 a2 l3 a3
Rl N2 a2 l1a1 (l2 N2 )a2 l3 a3
根据玻恩---卡门周期性条件：
i t R l .q s
ms 2 As 可得到3n 个线性齐次方程。
As有非零解,必须其系数行列式为零
3n个的实根
在3n个实根中，其中有3个当波矢q 0时,
Ai vAi (q)q ,(i 1,2,3) 这3支格波称为声学支格波。
其余的(3n-3)支格波的频率比声学波的最高频率还要高称 之为光学支格波。
第二节 三维晶格的振动
本节主要内容: 3.2.1 色散关系 3.2.2 波矢q的取值和范围
模型 运动方程
试探解
色散关系 波矢q范围
B--K条件 波矢q取值
一维问题的处理步骤:
2n-2 2n-1 2
M
m
n
2n+1 2n+2
a ..
x M 2 n x 2 n1 x 2 n1 2 x 2 n ..
晶格振动频率数目: N 3 N (3n 3) 3nN
设晶体有N个原胞,每个原胞有n个原子,
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。
m支声学波，m(n-1)支光学波，这里m是晶体的维数，n 是原胞中原子的数目。
Rl N2 a2
a2 R l a1
Rl N1a1
u
l s
u
l1, l2, l3 s
u
l1
N1, s
l2l3
u
l s
u
l1, l2, l3 s
u
l1 , l2
s
N 2,l3
u
l s
u
l1, l2, l3 s
u
l1 , l2,l3 s
N3
u
l s
A e i t R l . q
例2：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶 体有N个原胞，晶格振动模式数为多少?
答: 晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。
金刚石结构为复式格子, 每个原胞有2个原子。
m 3,n 2,
有6支格波，3支声学波，3支光学波。 振动模式数为6N。
m x 2 n 1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n1
x 2 n 1 A e i t 2 n 1 aq
x 2 n B e i t 2 naq
2 {(m M) m2 M 2 2mM cos2aq}
mM
π q π
2a
2a
x2n x2(n N )
(
q
)
l s
A e i t R l .( s
A e i t Rl .q s
q K h )
u
(
q
)
l s
将 q 的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为简
约布里渊区。
波矢可取的数目：
Ω
(
Vc 2 π)
3
Ω N Ω ( 2 π) 3
N
3支声学波 A (q)
q (3n-3)支光学波 O (q)
e e i(tRl q ) i tRl qN1a1q e e i(tRl q ) i tRl qN2a2q
e e i(tRl q ) i tRl qN3a3q
Rl N2 a2
a2 R l a1
Rl N1a1
N1a1 q 2π1 N2 a2 q 2π2 N3 a3 q 2π3
a1 q 1 2π N1
a2 q 2 2π
N2
a3 q 3 2π
N3
(1、2、3为整数)
波矢q 具有倒格矢的量纲，得出:
q
1
b1 N1
2
b2 N2
3
b3 N3
(b 1、b 2、b 3为倒格基矢 )
三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中 b1 、b2 、b3
N1 N2 N3
为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。
u
l s
表示顶点位矢为
Rl 的原胞内
第s个原子离开平衡位置在方向的位移。
rs
Rl
(2)运动方程和解
u ms
..
l s
(=1,2,3；s=1,2,3,···,n)
[ (=3,s=n)共有3n个方程]
在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。
试探解：
u
l s
A e A e i t R l r s .q s
§3.2 三维晶格的振动
3.2.1 色散关系 1.模型
设三维无限大的晶体,每个原胞中有n个原子，各原子的质
量分别为 m1 , m2 , m3 , , mn; 原胞中这n个原子平衡时的相对位 矢分别为 r1 , r 2 , r 3 , , r。n
Rl r s 表示平衡时顶点位矢为 Rl 的原胞内第s个原子的 位矢；