固体物理：3_9 晶格振动模式密度

m
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3-9晶格振动模式密度
• 为准确地求出晶格热容及它与温度的变化 关系，必须较准确的办法计算出晶格振动 的模式密度（或称频率分布函数）。
• 一般来说，ω与q之间的关系是复杂的，除 非在一些特殊情况下，得不到g(ω)解析表 达式。
对于Debye模型有：gD(ω)= gl(ω)+2 gt(ω)。
Debye模型的色散关系是：
ωl=Clq; ωt=Ctq
l
Clq
d
q
Cldq
l
Cl
gl ()
dnl
d
V
(2 )3
ds
V 4 q2 V2
ql (q) (2 )3 Cl 2 2Cl3
gt ()
dnt
d
V
(2 )3
ds V 4 q2 V2 qt (q) (2 )3 Ct 2 2Ct3
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
模式密度（振动模式密度、状态密度、频率分布函数）
计算方法：若设Δn=g(ω) Δω表示ω到ω+ Δω范围内的晶格振动模式数，则定义：
g( ) lim n (1) Δn=(q空间中格波0 分布密度)×(频率为ω
到ω+ Δω的等频面间的体积)； (2) q空间中格波分布密度分别为：
) 1
E
dgD ( )[
1 2
e kBT
] 1
弹性波的色散关系ω(q)——ω(q)=Cq 晶格振动的色散关系ω(q)——不同体系不同结论
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
ωw(qq))
德拜 近似
ω～q 关系
0.5
0
0.5
q
w2 2 [1 cos aq]
回顾晶格比热的模型
实验规律：室温或更高温度段—Cv=3NkB；
低温段—符合T3规律； 零点—T趋近于零时，Cv趋近于零。
理论模型：
杜隆-柏替定律 爱因斯坦模型
德拜模型
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
CV
(
E T
)V
E
3N j
E j (T )
3N j
(
1
2
j
j
e j kBT
dL V 2q A
d (2 )2 q(q) (2 )2 2Cq 4C
qy
q qx
q (q)
d
dq
2Cq 2C
C
dL 2q
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
例三
解：（3）一维情况 q空间有两个等频点；
g( )
dn
d
L
(2
)dqq (q) NhomakorabeaL
qz
g j ()
n j
V
(2 )3
ds
q j (q)
g() g j ()
j
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
3、举例求解g(ω)
d
例一、一维单原子链的g(ω)。 dq
m
cos( 1 2
aq)
1 2
a
已知：L=Na，q分布密度为L/2π；
4
m
sin 1 aq 2
dn
d
V
(2 )3
ds
q (q)
V
(2 )3
4q 2
2Cq
V
(2 )2
C3
qy q qx
qz
q (q)
d
dq
2Cq 2C
C
ds 4q2
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
例三
解：（2）二维情况
q空间的等频面为圆形，圆半径为 q
C
g( ) dn A
示出某种奇异性，即q (q) 0 ，称这样的
点为范霍夫奇点(又称临界点)
例如：一维单原子情况的范霍夫奇点。
一维单原子情况： g( ) 2N
1
m2 2
显然：当ω→ ωm时，g(ω) →∞。即ω m为
一维单原子情况的范霍夫奇点。
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
模式密度（振动模式密度、状态密度、频率分布函数）
定义:
~ d 频率范围内的晶格振动模式个数
g ( )
1im
n
0
dn
d
频率范围
g ( ) 圆频率 附近每单位频率间隔内的晶格振动模式 个数
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
1
m2 2
当 m 时,会如何呢?
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
一维单原子情况的范霍夫奇点
15
g( )
1 100
m
100
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
定义：在ω(q)对q的梯度为零的点， ω(q)显
m
sin 1 aq 2
g() L
dq L
2
2L
1
2 q(q)
2
m
cos(1 aq) 2
(1 a) 2
a
m
cos( 1 2
aq)
g() 2N
1
2N
1
m
1 sin2 1 aq 2
m2 2
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
例二、Debye模型的计算
(2 )
1 2 2Cq
2
L
C
q q 0 q
q (q)
d
dq
2Cq 2C
C
dq 2
可见，在三维、二维和一维情况下模式密度函数分别与ω
的1/2，0，-1/2次方成比例。
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
4、范霍夫奇点
一维单原子链的g(ω)
g() 2N
补充例题:P581—3.7
设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有
(q) 0 Aq2
求证:频率分布函数为
V
f
(
)
4
2
1
A3/ 2
0 1/2 , 0
0, 0
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
证明: (q) 0 Aq2
g()
一维： L
2
二维： A
(2 )
2
三维：
(
V
2
)3
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动模式密度g(ω)的一般表达式
考虑三维情况，写出一般表达式。
qy
n j
V
(2
)3
dsdq
dq
q j (q)
dq ds
qx
n j
V
(2 )3
ds
q j (q)
gD ()
gl
()
2gt ()
V2 2 2
1 ( Cl 3
2 Ct 3
)
3V 2
2
2
3
C
东北师范大学物理学院
3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
例三、给定ω=Cq2，求一维、二维及三维情 况的g(ω)
解：（1）三维情况 q空间的等频面为球面，球半径为 q
C
g( )