31一维晶格振动
3.1一维晶格振动

2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组:
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程,若原子链有N个原子,则有N个方
程,上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解:
nq Aei (t naq )
其中ω,A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链,可以看作是最简单的复式 晶格:每个原胞含有两个不同的原子P、Q,质量为m和M,且 m<M。相邻原子间距均为a,(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用,r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u(r)为原子间的互作用势能。
一维原子链的晶格振动方程

一维原子链的晶格振动方程晶体是由原子或分子组成的周期性排列的结构,其内部的原子或分子通过振动相互作用,从而产生晶格振动。
晶格振动方程描述了一维原子链中原子的振动行为,对研究固体物理和材料科学具有重要意义。
一维原子链的晶格振动方程可以通过简化模型来描述。
我们假设原子链中的原子质量相同,且原子间的相互作用力为弹簧力。
在平衡位置附近,原子的位移可以用小量近似表示,即位移量远小于原子间距。
此时,可以利用胡克定律,将原子间的相互作用力近似为线性弹簧力。
根据胡克定律,弹簧的力与其伸长(或缩短)的长度成正比,且方向与伸长(或缩短)的方向相反。
对于一维原子链中相邻两个原子,其相互作用力可以表示为:F = -k(x - a) - k(x + a)其中,F为相互作用力,k为弹簧常数,x为原子的位移量,a为原子间距。
根据牛顿第二定律,物体的加速度与作用力成正比,与物体的质量成反比。
在一维原子链中,每个原子的加速度与相邻原子的相互作用力有关,可以表示为:m(d^2x/dt^2) = -k(x - a) - k(x + a)其中,m为原子的质量,d^2x/dt^2为原子的加速度,t为时间。
将上述方程进行简化,可得:d^2x/dt^2 = -k/m * (2x - a - a)化简后得到:d^2x/dt^2 = -2k/m * (x - a/2)这就是一维原子链的晶格振动方程。
从中可以看出,原子的加速度与位移量成正比,且与原子间距和弹簧常数有关。
当原子受到外力作用时,晶格振动方程可以进一步进行修正。
一维原子链的晶格振动方程可以通过求解微分方程得到解析解,也可以通过数值模拟方法进行计算。
对于周期性边界条件下的一维原子链,可以采用傅里叶变换的方法,将晶格振动分解为一系列特定频率的波动模式。
晶格振动在固体物理和材料科学中具有广泛的应用。
通过研究晶格振动,可以揭示物质的热力学性质、电子结构和传热传电等基本行为。
此外,晶格振动还与声学性质、热导率、热膨胀和热容等宏观性质密切相关,对于材料的设计和优化具有重要意义。
3-1 一维单原子晶格的振动

(3-4)
即第n个原子的加速度不仅与Un有关,且与 Un-1,Un+1有关,这意味着原子运动之间的耦合, 由于对每一个原子都有一个类似的方程,n共可 取N个值,故该式实为N个方程组成的方程组, 可有N个解,而此时晶体的总自由度也为N。
五.解方程
设λ>>a, 相邻原子的相位差小―― 可把晶体看作 是连续媒质. na x a Δx U(x,t) U(x+Δx,t) Δx 为小量 Un(t)=U(na,t)
∴ qNa = 2πm(m=0,±1,±2...) 得(3-10)式
2 q m Na
(3-10)
结论:
1. 格波的波矢q不连续; 2. q点的分布均匀, 相邻q点的间 距为 2π /(Νa); 3. λ=2π/q =Na/ m
七、讨论
(Hale Waihona Puke )格波由(3-8)表示的是一个格波,它是 简谐 行波,又称为简正格波,简正模式。格波 相速度vp(等相位面移动的速度) 设t1时刻,n1a处振动,某一确定的相 位面到t2 时刻传到n2a处,则
ω(q)= ω(q+Kh)
其中Kh为倒格矢。
倒格子平移对称性
(3-16)
由式(3-11)还可知: ω(q)= ω(-q)-―倒格子反演对称性 关于色散关系的倒格子平移对称性和反 演对称性的这两个结论对三维晶格也是 适用的。 说明:
1. q和-q对应相同的ω,但q和-q代表 了不同的格 波,与唯一性不 矛盾。 2. q的不唯一性是由晶体的不连续性所致。
把式(3-8)代入式(3-4)并用尤拉公 式整理得到 (3-11)式 2 4 2 2 qa (1 cos qa) sin m m 2
4 m
1.3晶格振动

因
得
22 2ks/ m,
cos(qa)0
( A/B)2 0
说明:对于光学波,相邻两种不同原子的振 动方向是相反的。
当q很小时,即波长很长的光学波(长光学波), cos(qa)1,
又
由
22=2ks/ ,
-(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0
得
( A/B)2 =-M/m
mA+MB=0
波恩和卡门把边界对内部原子的振动状态的影响考虑成 如下面所述的周期性边界条件模型(包含N个原胞的环 状链作为有限链的模型): 包含有限数目的原子,保持所有原胞完全等价。
如果原胞数N很大使环半径很大,沿环的运动仍可以 看作是直线的运动。
和以前的区别:需考虑链的循环性。即原胞的标数增 加N,振动情况必须复原。
说明波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊 区边长.
由布里渊区边界 得: / 2 = a q= /a=2 /
满足形成驻波的条件
q= ±/a正好是布里渊区边界,满足布拉格反射条 件,反射波与入射波叠加形成驻波。
入射波
反射波
(3) 分析讨论 一维单原子简谐振动的波函数:xn=Aei{t-qna} 将波矢 : q=2s/a+q´(为任意整数)代入
正的q对应在某方向前进的波,负的q对应于相 反方向进行的波。
(2)频谱图
色散关系为周期函数; 当q=0时,=0 当sin(qa/2)=1时,有最大值, 且max=2(ks/m)1/2 max max
-2/a
-/a
0
/a
2/a
一维不喇菲格子振动的频谱
有:
(q)= (q+2 /a)
晶格振动是晶体中诸原子(离子)集体在作振动, 其结果表现为晶格中的格波。
31一维单原子解析

第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章、晶格振动与晶体热学性质
主要内容
§3-1一维单原子晶格振动(掌握) • §3-2一维双原子晶格振动 • §3-3 三维晶格振动(理解) • §3-4 声子,声子谱的测定 • §3-6 晶格热容 • §3-7 非简谐效应
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主 要 内 容
• • • • • 3-1.1介绍一维单原子链体系及参数; 3-1.2体系恢复力与相对位移关系; 3-1.3写出运动方程(根据牛顿定律); 3-1.4解出一维单原子链的色散关系; 3-1.5讨论一维单原子链晶格振动特点
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3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) Fn1,n n1,n ( xn1 xn ) F Fn1,n Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) [ n1,n ( xn1 xn )] F ( xn1 xn1 2 xn ) n ( xn1 xn1 2 xn ) m x
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
绝热近似
固体是由大量原子组成的,原子又由价电子和离子实 组成,所以固体实际上是由电子和离子实组成的多粒 子体系。由于电子之间、电子与离子实以及离子实之 间的相互作用,要严格求解这种复杂的多体总量是不 可能的。但注意到电子与离子实的质量相差很大,离 子实的运动速度比电子慢得多(3个数量级)可以近似 地把电子的运动与离子实的运动分开来考虑, 这种近似方法称为绝热近似-Born-Oppenheimer 近似-1927年
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3 – 1 一维单原子链
固体物理:第三章 晶格振动总结-

长声学支格波可以看成连续波,晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W
b11W
b12 E
P b21W b22E
(1) ---黄昆方程 ( 2)
(1)式代表振动方程,右边第一项
b11W
为准弹性恢复力,
第二项表示电场 E 附加了恢复力。
(2)式代表极化方程,b21W 表示离子位移引起的极化,第
..
m xn xn xn1 xn xn1
• 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相 邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其 它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个 原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动 相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的 运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了 很大的困难.
高次项均忽略掉的近似为简谐近似(忽略掉作用力中非线性项
的近似)。
f nk
d2u dr 2
r0
xnk
nk xnk
nk
d2u dr 2
r0
在简谐近似下,格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链,m,a,
n-2 n-1 n n+1 n+2
• (2) 与实验结果吻合得较好.
• 对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻 不在运动. 对于有N个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条 件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为 了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定 是对晶格振动理论的最有力验证). 玻恩卡门条件是晶格振动理 论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
一维简单晶格振动

d xn m 2 xn 1 xn 1 2 xn dt
得
2
m Ae
2
i ( qna t )
(2 e
iqa
e
iqa
) Ae
i ( qna t )
2 (1 cos qa ) Aei ( qna t )
即
m 2 2 (1 cos qa )
1 d 2V 2 V (a ) 2 2 d 0
力与位移成线性关系
d 2V dV F 2 d d 0 为恢复力常数
只考虑最近邻原子相互作用,第n个原子所受合力为
( xn 1 xn ) ( xn 1 xn ) ( xn 1 xn 1 2 xn )
2 (1 cos qa) qa 2 si n (q) m m 2
一维单原子晶格振动的色散关系
格波
xn (t ) A e
相速度
i t
——原子在平衡位置附近的振动以前进波的形式在晶格中传播。
e
iqna
,
(q ) 2
波长
m
1/ 2
sin
qa 2
vp q
运动方程
d 2 xn m 2 ( xn 1 xn 1 2 xn ) dt
因为晶格周期性,它的解应满足Bloch定理
n 1, 2, , N
xn (t ) x0 (t )e iqna Ae it e iqna
q: 波矢 波 na: 第n个原子的坐标
将尝试解代入运动方程
基本图象
位移
R是原子的平衡位 置,具有周期性, 但在任一时刻有一 远远小于原子间距 的偏离平衡位置的 位移,<<R。 瞬时位置 r
固体物理:3-1 一维晶格的振动

4
第n个原子受到近邻原子的 作用力(最近邻近似)为: 第n个原子的运动方程:
5
通式 Born-Karman周期性边界条件
简谐振动
第n’个原子的位移: 若 若 格波,其中q为波矢
两个原子 位移相同
两个原子 位移相反
6
说明:原子的运动不是孤立的,而是以行波形式在晶体中 传播,不同原子通过相位qna相关联。对于每一波矢q,每 个原子的运动情况均由通解所描述,所以由波矢q所确定 的行波是晶体中原子的一种集体运动,这种波称为格波。
晶格振动的 普遍规律
24
a1,a2,a3为晶体原胞的基矢,沿基矢方向晶体各有N1,N2,N3 个原胞。共有N= N1N2N3个原胞;晶体由n种不同原子构成, 原子的质量分别为m1,m2…mn ,每个原胞中n个不同原子平 衡位置的相对坐标为r1,r2…rn.设顶点的位置矢量为
Rl l1a1 l2a2 l3a3
晶格振动的模式数目等 于原子的自由度数之和。
2、声学波与光学波
q0
sin2(qa/2)
(qa/2)2
18
当q0时,波速中无q,即传播速度 与波矢无关,弹性波,类似于声波 A格波为声学波,频率可以到0(实际到无限低)。整体运动。
omin> Amax
o格波为光学波,频率大概在远红外波段。 原子间相对运动,与电磁波耦合。
19
20
声学波: q0
A0
B/A1
对于长声学波,相邻原子的 位移相同,描述的是刚性的 运动,代表原胞质心的运动。
21
光学波:
长光学波, q0
Mu2n mu2n1 0 M m
22
光学波:产生交变的偶极矩, 可以和外界电磁波发生耦合
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2.N很大,原子运动近似为直线运动
3. 处理问题时要考虑到环链的循环性
第n个原子的动力学方程:m d 2un dt2
(un1 un-1 - 2un ) : (n 1,2,3.......n)
A : 振幅;
动力学方程解:un Aei(qnat) : :圆频率;
un :序号为n的原子t 时刻离开平衡位置的位移; r a un1 un 晶格振动时序号n和n+1的两原子间在t时刻的距离.
U(r) 两原子间相互作用势.
平衡位置附近U (r)与U (a)相差不大,将U (r)在平衡位置附近展成泰勒级数:
2
3
U
(r)
U
(a)
(
dU dr
)a
(r
a)
2(
1
)2
sin(
qa
)
m
m
2
qa变化范围0 ~ 2,q的变化范围0 ~ 2 ,考虑到q q;所以
a
格波的波矢q : q
a
a
2 M
格波传播速度v:v
(
1
)2
sin( a
)
q m
频率与波矢的关系:色散关系 振动频谱或振动谱
1.一维布拉菲格子的振动
第三章 晶格振动与晶体热力学性质
□ 一维晶格的振动 □ 三维晶格的振动 □ 简正振动 声子 □ 晶格振动热容理论
复习:简谐振动与简谐波
简谐振动:
物体在一固定位置附近作来回的往复运动,称为机械振动。 任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。
弹簧振子谐振动方程及解
K
F
F kx d2x
F kx m d 2t
aq2
2
2
晶格中具有物理意义的波长 仅在于第一布里渊区内
q
a
a
由于原子质量集中在原子实,所以对格点振动有贡献的是原子 实,两原子实之间的振动在物理上是没有意义的。即
原子实: 原子中,原子核及除价电子以外 的内层电子组成原子实。例如,钠Na的该 外电子排布为:1s22s22p63s1,其中第1、 2电子层与原子核组成原子实,此原子实与 氖Ne(1s22s22p6)的结构相同,
晶格具有周期性,晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 : 先计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程,最后求解波方程
第三章 晶格振动与晶体热力学性质
□ 一维晶格的振动 □ 三维晶格的振动 □ 简正振动 声子 □ 晶格振动热容理论
1.一维布拉菲格子的振动
一维晶格由质量为m的全同原子构成; a:相邻原子平衡位置的间距;
(
dU dr2
)a
(r
a)
1 2
(
dU dr3
)a
(r
a)2
......
r
a
un1
un
令:
dU ( dr2
)
,忽略上式非线性小量,
a
得到第n个原子与第n 1个原子的互作用力:
f
(un1 un )
f
(un1
un
)
(un1 (un1
un un
格波的截止频率
max
2(
)
1 2
m
q
a
1.一维布拉菲格子的振动
m
d 2un dt2
(un1 un-1 - 2un )
un Aei(qnat)
un1 Aei(qnat)eiqa
un1 Ae e i(qnat ) iqa
q 0 :un1un un1;相邻原子以相同的振幅和相位作振动;
1.一维布拉菲格子的振动
q0
2
q
:un1un un1;长波极限;
q
a
2
a
2a;un1un un1;短波极限.
2. 一维复式格子的振动
只考虑最近邻原子间相互作用,采用简谐近似, 第2n个原子和第2n+1个原子的运动方程和位移分别为
M
d 2u2n dt2
a
a
周期性边界玻恩-卡曼边界条件:
un
u(nN )
N 2
l
N 2
光学波和声学波的色散关系
q 0, A
(m
1 M )(1
2 )
qa, vA
1
a
(m M )(1 2)
结论
格波:晶格中的原子振动是以角频率w为平面波形式在晶体中传 播、存在,这种波为格波。
1 2
(
dU dr2
)a
(r
a)2
1 6
(
dU dr3
)a
(r
a)3
......
2
3
相互作用力:f
(r)
(
dU dr
)a
(
dU dr2
)a
(r
a)
1 2
(d U dr3
)a
(r
a)2
......
1.一维布拉菲格子的振动
两原子间相互作用力:
2
3
f
(r)
(
dU dr
)a
2
即原子的位移构成了波 格波
振 动
简谐近似下,格波为简谐波.
1.一维布拉菲格子的振动
简谐近似下,格波为简谐波
向右的箭头:原子沿X轴正向振动 向左的箭头:原子沿X轴负向振动
1.一维布拉菲格子的振动
简谐近似下,格波为简谐波
向上的箭头:原子沿X轴向右振动
向下的箭头:原子沿X轴向左振动
格波方程 un Aei(naqt ) :
波动方程解 :
y
i( 2
Ae
qna : 序列号为n的原子在t
xt )
0时刻的振动相位;
一
x na:从坐标原点数第n个原子距离原点的距离; 维
比较两式
:
q
2
: 格波的波矢, 属于倒格空间物理量;
布
拉
un Aei(naqt) :
菲
1(u2n1 u2n ) 2 (2un
u2n1)
m
d 2u2n1 dt2
2 (u2n2
u2n1) 1(2u2n1
u2n )
u2n
i[( q( 2n )at ]
Ae 2
Aei(qnat )
u2n1
i[( q( 2n )aqbt ]
1.一维布拉菲格子的振动----
m
d 2un dt2
(un1 un-1 - 2un ) m
un Aei(qnat)
色散关系: 2un un (eiqa
eiqa
d2x dt2
2x
0
2) 2uncosqa1
格波的频率: 2
2
1 cos( qa )
晶体原子集体热运动形成的波成为格波。格波可以看成由相互 独立的各种简振振动模式所构成。
(1 2 ) 2mM
(m
M
)
(m
M
)2
16mM12 (1 2 )2
sin
2
(
qa 2
)
2
O光学波频率;
1 对于声学波
B 1 2eiqa A 1 2 m2A
q 0 A
0 un
) )
0 0
向右的拉伸力 向左的排斥力
第n个原子受力:
f (un1 un ) - (un un-1) (un1 un-1 - 2un )
m d 2un dt2
(un1 un-1 - 2un ) : n 1,2,3......
1.一维布拉菲格子的振动
0 xX
谐振动微分方程:
d2x dt2
2x
0
方程的解:: x Acost 0 i sint 0
运动学方程: x A cost 0
复习:简谐振动与简谐波
x Acost 0 Acos2ft 0
位移(x):从平衡位置指向物体所在位置的有向线段. 振幅(A): 振动物体离开平衡位置的最大距离,它等于振 动位移的最大值。 反映了振动强弱和振动能量大小. 频率(f)—— 单位时间内振动物体完成全振动的次数.
格波波长 2 q
格波波矢
q
2
n
格波相速度 vp / q
格波的波形图
不同原子间位相差 n' aq naq (n'n)aq
相邻原子的位相差 (n 1)aq naq aq
1.一维布拉菲格子的振动
分析波长为1
4a和2
4a 5
格波:
m
d 2un dt2
M
)2
16mM12 (1 2 )2
sin2
(
qa 2
)
2