晶格振动的经典理论
f
dV dr
d2V dr2
a
相当于把相邻原子间的相互作用力看 作是正比于相对位移的弹性恢复力。
β称为恢复力常数
d2V dr2
a
如只考虑最近邻原子间的相互作用，第 n 个原子受到的力：
fn f1 f2 n n1 n n1 n1 n1 2n
n2
n 1
n
n 1
n2
为了建立起运动方程，我们首先要对原子之间的相互作用力 做些讨论，设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生 相对位移（例如 n1 n ）后势能发生变化是V(a+δ) ， 将它在平衡位置附近做泰勒展开：
V (r)
V (a
)
V (a)
于是第n个原子的运动方程可写为：
m
d 2n
dt 2
n1 n1 2n
一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应 有同样的方程，所以它是和原子数目相同的 N个联立的线 性齐次方程。
方程的解：这样的线性齐次方程应有一个波形式的解：
nq Aeitnaq
q 2
一. 简谐晶体的经典运动。
晶 1.简谐近似 格 2. 一维单原子链，声学支 振 3.一维双原子链，光学支 动 4. 三维情形 与 二. 简谐晶体的量子理论。
晶 1. 简正坐标
体 2. 声子
的 3.晶格热容 热 4.声子态密度（晶格振动模式密度） 学 三. 晶格振动谱的实验测定—中子的非弹性散射。 性 四. 非简谐效应。 质 1. 热膨胀
研究固体中原子的振动时的两个假设: （1）每个原子的中心的平衡位置在对应Bravais点阵的格 点上. （2）原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量,可以 用简谐近似.在简谐近似下,晶体中原子振动有精确解,大部 分符合实验.
一. 一维单原子链的振动
运动方程：
考虑N个质量为 m 的同种原子组成的一维单原子链。设平 衡时相邻原子间距为 a（即原胞大小），在 t 时刻第 n 个原子 偏离其平衡位置的位移为 n
2. 晶格热导率
晶格振动认识的历史： 静止晶格模型→振动形成“格波”→声子
晶格热容认识的历史： 杜隆—珀替经验规律→爱因斯坦模型→德拜模型
实验验证
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即 晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严 格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X 光衍射 发生的条件，以后还将在此框架内，建立能带论，计 算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子 构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固 定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量 范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了 晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如： 固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导 率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变， 超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
4.1 晶格振动的经典理论
一. 一维单原子链的晶格振动 二. 一维双原子链的晶格振动 三. 三维晶体中原子的振动 四. 态密度函数 五. 近似条件与使用范围
晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条 件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最 典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出 晶格振动的基本特点。
A是振幅，ω 是角频率，q 是波数，λ 是波长，naq 是第n
个原子的位相因子，将试解代入方程求解。
m2 Aeitnaq Aeitn1aq Aeitn1aq 2Aeitnaq
dV dr
a
1 2
d2V dr2
a
2
1
3!
d3V dr3
a
3Байду номын сангаас
首项是常数，可取为能量零点，由于平衡时势能取极小值，第
二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式
中的二阶项（δ2项），而忽略三阶及三阶以上的项，显然， 这只适用于微振动，即δ值很小的情况。此时，恢复力：
1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》 (Dynamical Theory of Crystal Lattices)一书（英国牛津 出版社，1954年）。（2006年中文版）
黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡 献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振 动长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是 “极化激元”概念的最早阐述者 。
晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过
Dulong-Petit 定律
cV
E T
V
3N AkB
f
(T ),(E
3N AkBT )
认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到 20世纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什 么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子 振动的研究，1912年玻恩(Born，1954年 Nobel物理学奖获得者) 和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使 用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发 表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的 说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye 模型不足，所以1935年Blackman才重新利用Born和Von-Karman 近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先 生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作 的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。
我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。
黄昆院士简介: （摘录）
1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学 物理系学习，获哲学博士学位；发表《稀固溶体的X 光漫散射》论文，理论上预言“黄散射”。
1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博 士后研究员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子 极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys）建立了多 声子跃迁理论。
sec21
• 写出关于第n个原子的运动方程
* 这里β是力常数(force constant)
d 2 xn m 2 ( xn 1 xn ) ( xn 1 xn ) http://10.107.0.68/~jgche/ 晶格振动的经典理论 dt
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晶格振动的经典理论
3
1、静止晶格模型的修正
• 绝热近似
ˆ ˆ H ˆ (H H 电子 核 电子-核 ) ({ri }, {RJ }) E ({ri }, {RJ }) • 基本事实：原子核比电子重得多 • 绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核得 运动。原子核固定在它的瞬间位置。
2 (1 cos qa ) Ae
• 即
i ( qna t )
m 2 2 (1 cos qa )
2 (1 cos qa ) qa sin (q) 2 m m 2
(q) (q K )
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晶格振动的经典理论
6
哪些性质受此影响？
• 平衡性质
* 比热：静止晶格模型只计入电子贡献，cV ~T，但只 有在10K时才能明显地观察到；更高温：cV ~ T2- T3 * 热膨胀：物质的密度与温度有关。但在静止晶格模 型中，显然没有考虑
• 输运性质
2 作用势能展开 后，零次项是 0 常数，一次项 为零，只保留 位移的二次项 简谐近似
12
1 d 2V dV V (a ) V (a) 2 2 d d 0 1 d 2V V (a) 2 2 d 2 0
3.1一维晶格振动
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组：
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解：
nq Aei (t naq )
其中ω，A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，可以看作是最简单的复式 晶格：每个原胞含有两个不同的原子P、Q，质量为m和M，且 m<M。相邻原子间距均为a，(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用，r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u（r）为原子间的互作用势能。
固体物理学：第3章 晶格振动
2 2
21 2
cos
qa
1 2
光学支
2 o
1
m
2 1 m
1
2 1
2 2
21
2
cos
qa
2
声学支
2A
1
m
2 1 m
12 22 21 2 cos qa
1 2
三、色散关系
UESTC
ω
当 q=0
ωO
ωA = 0 ωo = 21 2
m
ωA
当
q=
a
a
o
q
a
A
21
m
o
2 2
m
四、格波数
q 2 m
Na
2
Na
m 0 , 1, 2
q
o
波矢q 的取值是分立的，相邻q的“距离”N2a
五、格波数
UESTC
此前研究的晶格原子集体的波动运动就是格波。
晶体中所有原子以相同的频率和振幅在 平衡位置附近作简谐振动，原子的运动状 态在晶体中以波的形式传播，这种简谐波 称为格波。
五、格波数
UESTC
3.1 一维单原子链的振动
一． 物理模型 二． 运动方程 三． 色散关系 四． 波恩-卡曼周期性边界条件 五． 格波数 六． 小结
UESTC
一、物理模型
UESTC
一维简单晶格的振动
平衡位置 振动时偏离 平衡位置
un ：第n个原子偏离平衡位置的位移 m ：原子质量
一、物理模型
UESTC
V (r) V (0) dV (r) r 1 d 2V (r) r2
UESTC
❖ 对于一维原子链，简约区中波数q的取值总
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
晶格振动与晶体热膨胀系数的理论推导
晶格振动与晶体热膨胀系数的理论推导晶体是由周期性排列的原子或分子构成的，晶格振动是晶体性质和热传导等相关现象的基础。
本文将从理论推导的角度探讨晶格振动与晶体热膨胀系数之间的关系。
一、晶格振动的基本原理晶体中原子在平衡位置周围存在弹性常数，晶格振动可以看作是原子在平衡位置附近发生的微小振动。
简化模型得到的一维铰链模型和二维弹簧模型可以帮助我们理解晶格振动的基本原理。
1. 一维铰链模型一维铰链模型可以看作是一根串联的原子链，原子间只能相对振动。
根据牛顿第二定律和胡克定律，可以推导出铰链模型的运动方程：m(d^2u/dt^2) = -k(u - u_0) - k(u - u_1)其中，m为原子的质量，k为弹性常数，u为原子的位移，u_0和u_1分别是左右两侧原子的平衡位置之间的距离。
根据上述方程可以解得一维铰链模型的振动频率。
2. 二维弹簧模型二维弹簧模型可以看作是由原子组成的网格，相邻原子通过弹簧连接。
根据牛顿第二定律和胡克定律，可以推导出弹簧模型的运动方程：m(d^2u/dt^2) = -k(u - v) - k(u - w) - k(u - x) - k(u - y)其中，v、w、x和y分别为与原子u相邻的原子的平衡位置。
根据上述方程可以解得二维弹簧模型的振动频率。
二、晶体热膨胀系数的理论推导晶体热膨胀系数描述了晶体在温度变化下的膨胀程度。
晶体中原子的热振动导致了晶体的膨胀现象。
根据一维铰链模型和二维弹簧模型的理论，我们可以推导出晶体热膨胀系数与晶格振动的关系。
1. 一维铰链模型的热膨胀考虑一维铰链模型在温度升高ΔT下，各原子的位移发生变化。
根据经典统计物理学中玻尔兹曼分布的推导，可以得到：u = u_0 + Δu其中，u为原子的位移，u_0为原子的平衡位置。
将上述结果带入一维铰链模型的运动方程，可以得到：m(d^2u/dt^2) = -k(Δu) - k(Δu - u_1)解以上方程可得到一维铰链模型在温度变化下的振动频率。
(完整版)第四章晶格振动
➢研究的意义：利用晶格振动的理论解释晶
体的热学性质
➢研究的方法：
一维 格波 原子链 声子
三维 晶格
晶格振动与热 学性质之间的 关系
§1 一维原子链的振动
简谐近似：假设原子间的相互作用力仅存在于最近 邻原子之间，在简谐近似下，我们可以用 一个力 常数为k 的弹簧表示最紧邻原子间的相互作用。一 维情况下，原子的振动是纵向的。 一 独立简谐振动 二 简谐振动的耦合 （一）一维单原子链的振动 （二）一维双原子链的振动
—— 一维复式格子存在两种独立的格波
5 分析讨论
振动状态的传递
波矢q的取值
色散关系 两种格波的振幅 长波极限下的两种格波
1)振动状态的传递
Aei[t(2na)q] 2n
and
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
轻原子(质量为m)之间相互传递振动状态，相邻轻原 子之间的最小空间位相差为2qa。同样，相邻重原子 (质量为M)之间相互传递振动状态，其最小空间位相 差也是2qa。
5 讨论
un Aeiqnat
1） 格波与连续介质中弹性波的差别与联系
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动
➢ 差别：格波的空间坐标是离散的。
➢联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替
较复杂的格波。（证明）
例1
证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代 替较复杂的格波。
i[t (2n1)aq]
m2 A k(eiaq eiaq )B 2kA
M2B
k (eiaq
eiaq
)A
2kB
(2k m2 )A (2k cos aq)B 0
固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
第24讲晶格振动的量子理论
第25讲、晶格振动的量子理论（授课时间2课时）本讲要点• 晶格振动是一种集体振动——称为格波* 格波可以不是简谐的，如是非谐的，可以展开为简谐振动的迭加；在简谐近似下，格波就是简谐波，这时格波之间的没有相互作用• 独立的简谐振动模式——声子——简谐振动的能量量子格波能量→能量量子化→声子主要内容1. 一维单原子链解的讨论2. 简正坐标：一维情况3. 简正坐标：三维情况4. 晶格振动的量子化1、一维单原子链解的讨论• 方程• 解• 设问：那么，这个解到底表示什么？• 位移与频率ω(q)有关* 如果位相差2\pi的整数倍时，位移完全相等• 而振动频率与n无关！* 这表示所有的原子都同时在做的频率为ω的振动讨论：位移？• 位移与格点* 不同格点原子的位移，由Bloch定理决定，差一个相因子* 这说明，各个原子的振动并不是独立的• 晶格振动是一种集体的振动！* 对应某个给定频率，需要N个互相有关联的位移来描写在不同原胞中原子具有这个频率的集体振动，这说明振动是互相有关的* 或者说，提到某个频率的振动，就得与这N个的位移联系起来• 位移与波矢* 波矢的取值由周期性边界条件决定* 这是振动的状态数目，一个状态q对应s个频率，s即自由度，一维单原子，s=1 • 这些振动互相之间独立，没有关系* 简谐振动• 设问：那么多解，那么，原子到底怎么振动？* 或问：原子在任意时刻t，到底处在什么位置？• 上面只是一个个特解，一般解应是它们的迭加，即在任意时刻t，n格点的原子处在• 振幅与q有关，Aq(t)把e-iωt也包括进去* 即各种不同波矢、不同频率的格波的迭加• 因此用这种方法来确定晶体中各个原子的空间坐标随时间的变化从而描写晶格振动非常复杂* 因为各个原子相互之间是关联的• 问题在哪里？不同原子的振动是互相关联的，* 振动状态是独立的，但每个位移并不是独立的• 自然要问：有无更简便的方法来描写这种振动2、简正坐标：一维情况• 一维单原子链解的分析* 换个角度，如果晶格振动中各个不同的波矢、不同频率的格波的振幅知道了，振动情况也就完全确定了——格波之间没有相互作用* 因此，就没有必要去知道每个原子的空间坐标• 但是原子之间关联怎么办？关联？看势能• 如果能简化交叉项，就可以分离变量。
固体物理学中的晶格振动与声子理论
固体物理学中的晶格振动与声子理论晶体是由原子或分子按照一定的规则排列形成的三维空间周期性结构。
在晶体中，原子或分子不是静止不动的，而是以不同的方式振动。
这种振动称为晶格振动，它是固体物理学中的一个重要研究课题，与晶体的性质和行为密切相关。
晶格振动是晶体中原子或分子的协同振动。
晶格振动可以分为长波和短波两种类型。
长波振动是指原子或分子在晶格中以相对偏移的方式振动，而短波振动则是指原子或分子在晶格中以体积变化的方式进行振动。
晶格振动是通过声波传播的，因为声波是介质中粒子振动的传递方式。
声子理论是描述固体中晶格振动的重要理论框架。
根据声子理论，晶体中的振动可以看做是自由度离散的量子力学系统。
它引入了一个新的物理量，即声子，它代表了晶格中的元激发，类似于固体中的粒子。
声子具有能量和动量，并且可以在固体中传播和相互作用。
声子的能量与振动模式相关。
在晶体中，存在不同的振动模式，每种振动模式对应一个特定的波矢和频率。
通过声子理论，可以计算出不同振动模式的能量，进而获得晶体中的频谱信息。
频谱信息反映了晶体中的振动性质，可以用来解释和预测材料的热力学性质、电子结构等。
声子理论还可以解释和预测晶体的热传导性能。
晶体的热传导是通过声子的散射传递热量的，因此理解声子的传播性质对于研究和优化热传导材料至关重要。
通过声子理论，可以计算声子的群速度和散射率，进而预测材料的热导率。
这对于设计新的热障涂层、热电材料等具有重要意义。
声子理论也在纳米材料和低维材料中发挥着重要作用。
在这些材料中，表面效应和尺寸效应导致晶格振动的变化，进而影响材料的性质。
声子理论可以用来研究这种尺寸效应，并解释纳米材料的热力学性质、凝聚态物理行为等。
总之，固体物理学中的晶格振动与声子理论是研究晶体性质和行为的重要工具。
通过声子理论，可以揭示晶体中振动模式的能量、频率和传播性质，进而解释和预测材料的热力学性质、热传导性能等。
声子理论在材料科学和凝聚态物理研究中具有广泛的应用前景。
晶格振动热容理论
CV CVa CVe
晶格振动热容
晶体电子热运动热容
通常情况下， CVe CVa 本节只讨论晶格振动热容。
1.杜隆--珀替定律(经典理论) 根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是kBT,若晶
体有N个原子，则总自由度为： 3N。
E3NB kT
热容为： CV
E T
V
3NkB
它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆--珀替定律。
CV
3NkBf
E
T
爱因斯坦温度E确定：
选取合适的E值，使得在热容显著改变的温度范围内，理 论曲线与试验数据相当好的符合。
对于大多数固体材料， E在100 ~ 300k的范围内。
3.高低温极限讨论
(1) 高温时，当T>> E时，
f
E
T
E
T
2
E
eT eET 12
E
T
2
(1E
1
)(1E
2
)
2T
3.6.3 晶体热容的德拜模型
1.模型: （1）晶体视为连续介质，格波视为弹性波； （2）对于一个波失q有一支纵波两支横波；
（3）晶格振动频率在 0~D 之间(D为德拜频率)。
2.计算
(1)模式密度表达式
在各向同性的弹性介质中，对于一定的波矢q，有一
个纵波和两个横波。各种不同波矢q的纵波和横波，构成
1 ni i
e kBT 1
第i个谐振子的能量为： Ei ei kBTi 112i
上式中
1 2
i
为零振动能，
对上式 求微商就得到第i个谐振子对晶格热容的贡献：
dEi dT
kB
i