固体物理第三章晶格振动

位距离两点间的振动位相差。
格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波
的形式在整个晶体中传播，称为格波。
把该解代入运动方程
(i)2 mu exp[i(t nqa)] u exp[i(t nqa)](eiqa eiqa 2)
同理，2n+1号原子的运动方程为 F 2n
2
F2n+2
d m 2 u 2 n 1 2 u 2 n 2 u2 n 1 1 u2 n 1 u2 n dt
3、试探解
u2 n Ae unB Be
i ( qna t ) i q ( na b ) t
Be
晶格振动与格波
实际晶体中的原子并非完全固定不动， 原子是不断运动的，具有动能，但是通常情 况下原子又不能远离格点，被束缚在格点附 近做周期性振动 由于晶体具有周期性结构，原子振动相 互关联，在晶体中形成格波。
3.1 一维晶格的振动 一、一维简单格子
a
n2 n 1
n
n 1
n2
u n 1
a un1 un
N+1 1 2 n N N+2
N+n

N n

n
上述方程具有波动形式的解
其中A为振幅， 是圆频率，q是波矢。
un Ae
i naq -t
对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动
对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相
q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单
2、一维单原子链的运动方程与解
第 n 个原子的运动方程
d un M 2 (un1 un 1 2un ) dt
每个原子对应一个方程，如果原子链有 N 个原子则有 N 个方程，上式实际上就是 N 个联 立的齐次方程组
2
3、玻恩-卡门条件（周期性边界条件）：
设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体 相联结，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。
2 a N 2 Na
重要结论：上式说明晶格振动的波矢数目等于晶格 原胞数目，由色散关系式知给定一个q总有一个 与之对应。给定一组 ，q 就表示原子的一种振动形 式，我们称之为振动模式。 13
3.2 一维双原子链晶格的振动
一、一维双原子链晶格的振动
第 2n号原子,由虎克定律
2n
设晶格常量为 a ，原子 n 偏离平衡位置的位移为 un，只考虑最近邻的相互作用，晶格振动时相邻两原子 在t时刻的距离
r un1 a un
1、一维简单格子的互作用力
晶格作小幅度振动，即 |d |<<a ，则相邻两原子 的相互作用能可以展开为
dU U (r ) U (a) dr 1 d 2U r a 2 2! dr r a
r a
r a
为相邻原子间的作用力
忽略高阶项，只保留到2阶项，则
dU F dr
2U 令 = 2 r ,
r a
d 2U 2 dr r a
(r a )
r a
则F （r a) （un1 un )
该近似称为简谐近似，在该近似下，原子间的相互作用力 是弹性恢复力，式中
3 1 d U (r a) 2 3 3 ！ dr r a
(r a )3
r a
其中 U(a) 为相邻两原子在间距等于晶格常量时的相互 作用能，一般可取为0，而
U F r dU dr d 2U 2 dr r a 1 d 3U (r a) 3 2 dr r a (r a) 2
如果 qa 改变 2 值，结果并没有什么不同，因为
A exp{i[t n(qa 2π)]} A exp[i(t nqa)}
所以 qa 可以取在 – 与 之间，已涵盖该指数函 数的所有独立值
π qa π
或
π π q a a
此即一维单原子链的第一布里渊区
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即
2m (eiqa eiqa 2) 2 (cos qa 1)
2
2 (1 cos qa) m
由上式可以看出频率是波矢q的周期函数，周期 为 2 a ，正好为一维链的倒格矢，即格波频率具有 倒格子周期性,式中q换成-q时，频率也不变，频率 具有反演对称性。
设波包的传播速度为v，则 v
3、波矢q的个数，模式数
由于晶体的体积是很有限的，因而格波波矢的取值不 能是任意的，必然受到边界条件的限制，设晶体包含 N个原子，由边界条件的周期性有： un N 带入位移的表达式可得到
2 Na
un
e
iqNa
2 l 1 q , l为整数 Na
q
12
o
这说明q只能取一系列不连续的值，在q空间，一个q值 与一个点对应，这些点在空间均匀分布，相邻q点的 2 “距离”为 N a ，而q的取值在第一布里渊区，它的 2 大小为 a ,所以允许的q的总数为

是弹性恢复力常数
第 n 个原子的所受作用力为
U Fn (un un1 ) (un1 un ) f n,n 1 f n ,n 1 un (un 1 un 1 2un )
f n,n1
u n 1
f n,n1
a un1 un
由 2( ) m 得
1 2

q
1 sin( qa) 2
1
2 a v sin( ) m
波格传播的速度是波长的函数，波长不同的 波格传播速度不同。通常称 与q的关系称为色 散关系。
10
格波的波矢量q 的取值范围？对于指数函数
un A exp[i(t nqa)]
2n-1
2n
2n+1
2n+2
2
F2n-1
F2n+1
F2 n 1 1 u2 n 1 u2 n
1
2
F2 n 1 2 u2 n u2 n 1
2n号原子的运动方程
d m 2 u2 n 1 u 2 n 1 u 2 n dt
2
2
u2n u2n1