46隐函数及参数方程函数的求导
隐函数和由参数方程确定的函数求导
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
隐函数与参数式函数的求导法则
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升t分后其高度为h ,仰角为 ,
则 tan h
500 两边对 t 求导
h
500
sec2 d 1 d h
d t 500 d t
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m时,tan 1 ,sec2 2 ,
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
§4.3 隐函数与参数式函数的求导法则
一、隐函数求导法则 二、由参数方程确定的函数的求导法则 三、极坐标式求导 四、相关变化率问题
一、隐函数求导法则
若由方程 函数为隐函数 .
可确定y是x的函数 , 则称此
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
F(x, y) 0
y f (x) 隐函数的显化
y
3 2
3
3 4
法线斜率为
故切线方程为 y即3 3 3 (x 2)
2
4
法线方程为 即
处的
解:解法1 应用隐函数的求导方法，得
（4.15）
于是 上式两边再对x求导，得
解法2 由(4.15)两边再对x求导，得
联合（4.15）解得
例5. 求
的导数 .
解:解法1 两边取对数 , 化为隐式
高数-隐函数与参数方程求导.ppt
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 (*)
dx dx
因 x = 0 时 y = 0 , 故 代入(*)求解。
4
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
将点
代入
1 3 y 0 43
y x2 3
第四节
第二章
隐函数与参数方程求导
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
1
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称
此函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
exy1 x2 y y 1 0 可确定 y 是 x 的函数 ,
如 x 0 e y 1 0
若将直角坐标系中的原点取为极点，
把 x 轴的正半轴取为极轴。
设直角坐标系中点 M 的坐标 x, y 极坐标系中点M 的坐标 r,
r oM 称为极坐标的极径。
y
• M r,
ry
0x
x
0r
称为极坐标的极角。
0 2
由极轴出发逆时针方向为正。
两坐标系中变量间关系：xy
r r
cos sin
x 2 y 2 r 2
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
第四部分隐函数与参数方程的求导法教学课件
则称此函数为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 若消参困难或无法消参，如何求导?
一 般 地, 给 了 参 数 方 程
x (t)
y
(t
)
设函数x (t)单调，可导，且'(t) 0
则由反函数求导法则知 ：
() dt dx
dx
dt
dt
dt
例7
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy
dx
dt dx
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
例10 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
上升,其速率为140米 / 秒.当气球高度为500米时,
观察员视线的仰角增加率是多少?
解 设气球上升t秒后, 其高度为h米, 观察员视线
的仰角为 , 则
tan h
500
上式两边对t求导,得 sec2 d 1 dh
dt 500 dt dh 140(米 / 秒), 当 h 500时, sec2 2
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
隐函数及参数方程函数的求导及取对数的方法介绍
dy 存在可导的反函数 t x ，则 存在，且 t dx dy yt dx xt
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 y ( t ) dx dt dx dt dx x( t ) dt
即
记住公式
y t 0 dy y t 且 dx x x0 xt x x0 xt0
即 y x a( 2 ) 2
例9
不计空气的阻力 以初速度 v0 , 发射角 ,
发射炮弹, 其运动方程为 x v0 t cos , 1 2 y v0 t sin 2 g t , 求 (1) 炮弹在时刻 t0 的运动方向; ( 2) 炮弹在时刻 t0 的速度大小 .
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 1 x 2 x2 2 y x yt ( ) 2 2 4 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
设函数 x x( t ), y y( t )可导, x( t ) 0，且x xt
dy a sin t sin t dy dt 解 dx dx a a cos t 1 cos t dt sin dy 2 1. 当 t 时, x a( 1), y a . t dx 2 2 2 1 cos 2
所求切线方程为 y a x a( 1) 2
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 u( x )v ( x )的情形. 数
( x 1)3 x 1 例4 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解 等式两边取对数得
隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x (t ), y (t ),
t [ , ]为参数 .
若x (t )与y (t )都可导，且 (t ) 0. 又x (t )存在
反函数 t 1 ( x)，则y为x的复合函数 y ( 1 ( x)) ，即
y (t )，t 1 ( x).
Yunnan University
7
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
由复合函数与反函数的 求导法则，有
dy dy dy dt (t ) dt 1 (t ) ( ( x)) . dx dt dx (t ) dx dt
这即是参数方程所表示 函数的求导法，从而导 函数的
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 一、隐函数求导法
设二元方程 F ( x, y) 0
确定了唯一的单值可导函数y f ( x)，求 dy . dx
例如: F ( x, y) x 2 y 2 R2 0可确定隐函数
y R 2 x 2，x [ R, R]，y [0, R]; 和 y R 2 x 2，x [ R, R]，y [ R,0].
4
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x2 y2 例3. 求 垂 直 于 直 线 l : 2 x 4 y 3 0并 与 双 曲 线 1 2 7 相切的直线方程。
解： 设双曲线上一点 ( x, y)的切线斜率为 k，则由隐函数求
导法，有
2x 2 y 7x y 0， 即 k y . 2 7 2y
即
y y( x) x x . y ( x) y
方 法I : 对 于 由 方 程 F ( x, y) 0确 定 的 隐 函 数 ， 只 需 用 应复 合 函 数 的 求 导 法 ， 对 恒 等 式方 或程 两 端 关 于 x求 导 数 ， 即 可 得 隐 函 数的导数（注意 y是x的 函 数 ） .
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数式函数的导数解析
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
,
即
dy (t) dx (t)
dt
注意 这里的导数是通过参数表达出来的．
例8
设
x y
1 t
t t
2 3
，
求
dy .
dx
dy
解
dy dx
dt dx
(t t3 ) (1 t 2 )
1 3t 2
2t
dt
讨论分析
讨论分析
例9
求曲线
x
y
sin t, cos 2t
讨论分析
例7 求函数 y ( x 1)3 x 2 的导数．
x4
解 函数两边同时取对数，得
ln y 3ln( x 1) 1 ln( x 2) ln( x 4)
2
两边同时对 x 求导，得
1 y
y
3 x1
1 2
1 x2
1 x 4
于是
y ( x 1)3
x x
2 4
3 x1
1 2
求导的方程中解出 y (所得的表达式中一般同时含有
x 和 y, 这与显函数求导式中不含 y 相异).
对数求导法 注意使用类型；
参数式函数的求导法
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
讨论分析
二、对数求导法 对数求导法则
主要用于解决两类函数的求导问题： （1） 一类是幂指函数，即 y [u( x)]v( x)
（2） 一类是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所 构成的函数. 对数求导法——在等式两边先取对数，将显函数 化成隐函数，然后用隐函数的求导法则求出导数．
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。
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设 x 4 xy y 4 1 , 求 y 在点(0,1)处的值 .
解 方程两边对x求导得
4 x 3 y xy 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1得
y
x0 y 1
(1)
1 ; 4
2016/9/4
5
二、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
2016/9/4
8
例2
x a( t sin t ) 求摆线 在 t 处的切线 2 y a(1 cos t )
方程 .
解
dy sin t a sin t dy d t a a cos t 1 cos t dx dx dt
dy dx
t
2
y [ 1 ( x )]
再设函数 x ( t ) , y ( t )都可导, 且 ( t ) 0 ,
由复合函数及反函数的求导法则得
d y d y d t d y 1 ( t ) d x d t d x d t d x ( t ) dt
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边对x求 导,y看成x的函数.
2016/9/4 2
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy d y y的导数 , dx d x
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
dy e x y 解得 , y dx x e
2016/9/4
dy dy ( t ) d t 即 dx dx ( t ) dt
7
例1
x a cos 3 t 求由方程 表示的函数的一阶导数 . 3 y a sin t
解
dy 2 3 a sin t cos t dy d t tan t 2 dx dx 3a cos t ( sin t ) dt
y
33 ( , ) 22
y x2 2 y x
3 3 ( , ) 2 2
1.
3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2 3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
2016/9/4 4
例3
第六节 隐函数及参数方程所 表示函数的求导法
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
2016/9/4 1
一、隐函数的导数
定义: 由方程F ( x , y ) 0所确定的y关于x的
函数称为隐函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
2016/9/4 6
x (t ) 在方程 中, y (t )
设函数 x (t ) 具有单调连续的反函数t 1 ( x ) ,
sin
2
1 cos
2
1.
2016/9/4
9
当 t 时, x a( 1), y a . 2 2
所求切线方程为
y a x a( 1) 2
即 y x a( 2 ) 2
2016/9/4
10
例3 证
x 1 t 设 y 1 t
dy dy dt 2 dx dx dt 2
dy x 证明 dx y
1 1 t 1 t x 1 y 1 t 1 t
2016/9/4
11
四、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
2016/9/4
12
dy dx
2016/9/4
由原方程知 x 0, y 0,
1.
3
x0
ex y xey
x0 y0
例2 设曲线C 的方程为x 3 y 3 3 xy , 求过 C 上在该点的法 2 2 线通过原点. 解 方程两边对 x 求导 , 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy