第三章 晶格振动

1声子是一种集体激发的振动形式
• 例: • 双原子分子振动,声学支的短波极限的频率 对应于分子的振动频率，但其长波极限的 频率则低得多，可见，只需很小的能量就 可以激发晶格振动，即低温下的热振动. 是 集体行为的结果。
1声子是一种集体激发的振动形式
• 这一点，我们可以通过定性考察当原子 数目增加时是如何影响系统的最低本征 振动频率的： • 1）长度增加 • 2）集体运动总质量增加 • 显然，激发频率降低是集体运动的结果。 • 从直观的经典图像来看，则似乎有出入： 需要更大的力或能量才能使质量大的物 体运动起来！
二.能量量子化与声子
• 格波在晶体中传播受到的散射的过程，可 以理解为声子同晶体中振动着的原子的碰 撞（或声子与声子之间的碰撞） • 电子波在晶体中被散射也可看作是由电子 和声子的碰撞引起的 • 声子与声子、声子与其它粒子或准粒子作 用，遵守能量守恒和准动量守恒定律
声子与格波的波包有何同异
• 它们都有粒子运动的特性，传递能量和动量； • 声子是元激发，一个声子的能量为 ，波包是宏 观“粒子”，其能量由其振幅决定，因而，对应于 频率为ω的波包的能量约为n ；或理解为一个 波包含有许多声子.
三.三维晶格振动
• 1.波矢
2 q h Na
h =整数， N：晶体的原胞数
л) 3 q的分布密度：V/(2 V/(2л 简约区中q的取值总数 ＝晶体的原胞数 晶格振动的格波总数＝3N＝晶体的自由度数
三.三维晶格振动
• 2.纵波和横波
• 可以解得与q的三个关系式，对应于三维情况沿 三个方向的振动，即三支声学波：一支纵波，两支 横波。
• 简谐振动波解 • 说明： 1)晶格中各原子的振动间存在固定的位相关系。 2)对应某一确定的振动状态，可以有无限多个波矢 q ，它们间相差的整数倍。为了保证 xn的单值 性，把一维布喇菲格子的 q 值限制在 (- ),其中 a 是晶格常数。
,
二.周期性边界条件 (玻恩-卡门边界条件)
• 设想在一长为 Na 的有限晶体边界之外， 仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶 体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第 tN+j 个原子的运动情况一 样，其中 t = 1,2,3,…。 • Un = UN+n • q=2mπ /Na • 说明： q取值不连续，间隔2 π /Na
第三章 晶格振动
§3.1 一维单原子晶格的振动 物理模型与运动方程 • 1.近邻作用近似：只考虑近邻原子的相 互作用 • 2. 简谐近似：当温度不太高时，原子间 的相对位移较小，互作用势能在平衡点a 处的泰勒展开式中，可只取到二阶项， 即为简谐近似
§3.1 一维单原子晶格的振动
• 3. 运动方程
§3.1 一维单原子晶格的振动
• 推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格 振动有1支声学波 • 和（s-1）支光学波。 晶格振动格波的总数＝sN＝晶体的自由度 数。
二. 声学波和光学波的讨论
• 2.声学波和光学波的振动特点 • 1.长波极限 • 当q0时，声学波（acoustic branch）原胞内 两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同， 这时的格波非常类似于声波，所以我们将这种晶 格振动称为声学波或声学支 • 当q0时，光学波（optical branch）原胞中两 种原子振动位相完全相反。离子晶体在某种光波 的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动， 因此，我们称这种振动为光学波或光学支
三.三维晶格振动
• 3.格波支数
• 对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由运动 方程可以解得3s个与q的关系式（即色散关系 式），对应于3s支格波，其中3支为声学波（一 s－1)支为光学波。 支纵波，两支横波），3( 3(s
三.三维晶格振动
• 4.格波总数：
• 晶格振动的格波总数＝3Ns＝晶体的自由度数
eV，与声 热中子（慢中子）的能量：0.020.04 0.04eV 子的能量同数量级；中子的de Broglie波长： 2 3×10－10m（2 3），正好与晶格常数同 数量级，可直接准确地给出晶格振动谱的信息。 中子的非弹性散射被广泛地用于研究晶格振动 谱。 p89图3-16 对比：p88表3-1 3-1p89 局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的 情况。
(二)、中子的非弹性散射
• 晶体三轴谱仪（p90图3-17） • 钠的声子谱（p90图3-18）
五. 软模
• 简谐振动模式:Ns个原子组成的三维晶体中, 简谐振动模式为3Ns • 环境条件(温度、应力、外电场)等会影响弹 性系数的值 • 软模定义：如果晶体的宏观条件变化使某 个模式的弹性系数减小至零，则该模式称 为软模。
2 M
2 M 2
2
1 aq B 0 A 2 cos 2
2 2 cos 1 aq A 2 m B 0 2
久期方程：
2 cos 1 2 aq 2 m
2
2 cos 1 2 aq
0
M m 4 Mm 2 1 ＝ 1 1 2 sin 2 aq Mm M m
（一）光子与声子的非弹性散射
• ħ K=ħ K’ ± ħ (q+Kh) • ħ Ω=ħ Ω’± ħω K和 K’ ：入射和出射光子的动量； Ω和Ω’：入射和出射光子的能量
“－” ：吸收声子的散射过程， “＋” ：发射声子的散射过 程；
Kh ：倒格矢。
（一）光子与声子的非弹性散射
入射光为可见光和红外光时，取倒格矢为0 声子频率的确定：测出入射和出射光子的频 率，可确定声子的频率 声子波矢的确定：
§3.2一维双原子链的晶格振动
• 一模型与色散 • 考虑由两种不同原子构成的一维复式格 子，相邻同种原子的距离为2a（复式格子 的晶格常数），原子质量分别为 M 和 m (M ＞ m)。
a
{
M m n-1 n n n+1
§3.2一维双原子链的晶格振动
• 1. 在简谐近似和最近邻近似下，运动方程 和解
e
i / k B T
1
四.确定声子谱的实验方法
声子谱：引入声子概念后，色散关系又名晶 格振动的声子谱 确定声子谱的实验方法：利用微探针与晶格 振动交换能量（即受晶格的非弹性散 射），从而获得晶格振动的信息 微探针：中子、可见光光子或X光光子
四.确定声子谱的实验方法
中子（或光子）与晶格的相互作用即中子 （或光子）与晶体中声子的相互作用。 中子（或光子）受声子的非弹性散射表现为 声子吸收或发射声子的过程。 确定声子谱的理论基础：动量守恒与能量守 恒
五. 软模
• 软模对应零振动频率 • 晶体中的各原子失去恢复力而不能回到原 位置 • 出现新的晶体结构 • 新晶体中通常存在相应的软模，即软模经 常成对出现
• 声子:声子就是晶格振动中的简谐振子的能 量量子,其能量为 。 • 在简谐近似中，声子间无相互作用 • 对非简谐振动系统，则声子与声子之间就 存在着相互作用
二.能量量子化与声子
• 声子有什么特性？ • 1.格波所对应的某一（独立）模式的简谐振动在 晶体中的传播，它是晶体中所有原子参与的集体 运动 • 2.服从玻色分布 • 3.具有量子化能量 • 4．具有不确定量子化动量
• 一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子
•
组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子 区分： nj：声子数
三.平均声子数
• 频率为 ωi的格波的(平均) 声子数为
n( i )
1
• P87图3-13 • 声子与热传导的关系：声子间相互碰撞， 高密度区的声子向低密度区扩散，伴随热 量的传导
E1和p1 （E2和 2） ：入射（出射）中子的能量与动量； “＋”：吸收声子的散射过程， “－”：发射声子散射过 程； Mn：中子质量；Gl：倒格矢。
p p E E q 2 1 p 2M 2 M n n p p q G 2 1
2 2
2 1
2声子是玻色子
• 声子与光子一样，声子服从玻色统计分 布，为玻色子 • 声子与光子不同的是：声子具有纵向振动 模而光子没有 • 声子既可以产生，也可以消灭
3声子具有量子化能量
• 与光子相比较，引入声子的概念 • 声子服从量子统计 • 证明略
4声子具有不确定量子化动量
• 在引入声子概念后，格波波矢q代表声子波 矢， 是声子的晶体动量（或称赝动量 psuedo momentum）。 是不确定的， 因为 ， 和 描述完全 相同的晶格振动状态，所以， 和 所 起的作用是相同的。
• 例
§3.3晶格振动量子化与声子
• 以上几节我们用格波来描述晶体中原子实 的运动规律； • 那么，是否存在一种更便于人们思考习惯 的粒子图像，来等效地描述格波的性质 呢？
一 晶格振动和谐振子
• 当振动微弱时，格波可近似为简谐波，这 时，各格波之间的相互作用可以忽略，这 就是格波所具有的独立模式。 • 晶格的周期性及平移对称性使得其独立的 运动模式是分立的。
(二)、中子的非弹性散射
• 中子散射可以是弹性散射，也可以是非弹 性散射 • 弹性散射提供晶体结构特别是磁性结构信 息，非弹性散射提供晶格动力学信息 • 声子谱的测量要求非弹性散射起主要作用 • 中子被散射是核力和磁力作用的结果
(二)、中子的非弹性散射
中子的非弹性散射是确定晶格振动谱最有效的实验 方法。
• 两个色散关系即两支格波：（＋：光学波； －：声 学波）
+
-/a 0 /a q
简约区： q a a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中找到唯 一一个q，使之满足：
2 q q G a
G 为倒格矢
二. 声学波和光学波的讨论
• 1.格波数
一 晶格振动和谐振子