晶格振动 (5.热膨胀)
晶格振动与晶体的热容与热膨胀的关系
晶格振动与晶体的热容与热膨胀的关系晶格振动是晶体中原子的周期性振动运动，它对晶体的物理性质产生着深远的影响。
其中，晶体的热容与热膨胀是晶格振动的两个重要表现，它们之间存在着密切的关系。
本文将从晶格振动的角度，探讨晶体的热容与热膨胀之间的内在联系。
1. 热容与晶格振动晶体的热容是指在单位温度变化下，晶体内部储存的热能的变化。
晶体中原子的周期性振动运动是晶体的内部热激动，而热容正是描述晶体在受到热激动时储存和释放热能的能力。
晶格振动越强烈，晶体的热容就越大。
这是因为振动运动能引起晶格的势能和动能的变化，从而增加晶体储存的热能。
2. 热膨胀与晶格振动晶体的热膨胀是指在受到温度变化时，晶体的体积发生的变化。
晶体中原子之间的相互作用力与振动强度有密切关系，而晶格振动正是导致晶体热膨胀的根本原因。
晶格振动引起原子的位移和质心的位置变化，从而影响晶体的体积。
晶格振动强烈，晶体的原子位移越大，晶格常数就越增大，导致晶体膨胀。
3. 晶格振动与热容热膨胀的关系由于晶格振动对晶体的热容和热膨胀有着重要的影响，因此晶格振动与热容热膨胀之间存在着密切的关系。
一方面，晶体的热容与晶格振动的强度成正比。
晶格振动越强烈，晶体的热容就越大。
这是因为强烈的振动能够增加晶格的势能和动能，进而增加晶体储存的热能。
另一方面，晶体的热膨胀与晶格振动的强度也是正相关的。
晶格振动越强烈，晶体的热膨胀就越大。
这是因为强烈的振动能引起晶体中原子的位移和质心的位置变化，导致晶格常数增大，进而引起晶体的膨胀。
4. 晶格振动对热容与热膨胀的影响机制晶格振动影响晶体的热容与热膨胀，其机制主要包括两个方面。
首先，晶格振动可以通过改变晶格势能、动能以及动能与势能的平衡关系来影响晶体的热容。
晶格振动引起晶体原子相对位置的变化，影响晶体内部的能量分布，从而改变晶体储存的热能。
其次，晶格振动可以通过改变晶格常数来影响晶体的热膨胀。
晶格振动引起原子的位移和质心的位置变化，使晶格常数发生变化，进而影响晶体的体积。
晶格振动与晶体热膨胀系数的理论推导
晶格振动与晶体热膨胀系数的理论推导晶体是由周期性排列的原子或分子构成的，晶格振动是晶体性质和热传导等相关现象的基础。
本文将从理论推导的角度探讨晶格振动与晶体热膨胀系数之间的关系。
一、晶格振动的基本原理晶体中原子在平衡位置周围存在弹性常数，晶格振动可以看作是原子在平衡位置附近发生的微小振动。
简化模型得到的一维铰链模型和二维弹簧模型可以帮助我们理解晶格振动的基本原理。
1. 一维铰链模型一维铰链模型可以看作是一根串联的原子链，原子间只能相对振动。
根据牛顿第二定律和胡克定律，可以推导出铰链模型的运动方程：m(d^2u/dt^2) = -k(u - u_0) - k(u - u_1)其中，m为原子的质量，k为弹性常数，u为原子的位移，u_0和u_1分别是左右两侧原子的平衡位置之间的距离。
根据上述方程可以解得一维铰链模型的振动频率。
2. 二维弹簧模型二维弹簧模型可以看作是由原子组成的网格，相邻原子通过弹簧连接。
根据牛顿第二定律和胡克定律，可以推导出弹簧模型的运动方程：m(d^2u/dt^2) = -k(u - v) - k(u - w) - k(u - x) - k(u - y)其中，v、w、x和y分别为与原子u相邻的原子的平衡位置。
根据上述方程可以解得二维弹簧模型的振动频率。
二、晶体热膨胀系数的理论推导晶体热膨胀系数描述了晶体在温度变化下的膨胀程度。
晶体中原子的热振动导致了晶体的膨胀现象。
根据一维铰链模型和二维弹簧模型的理论，我们可以推导出晶体热膨胀系数与晶格振动的关系。
1. 一维铰链模型的热膨胀考虑一维铰链模型在温度升高ΔT下，各原子的位移发生变化。
根据经典统计物理学中玻尔兹曼分布的推导，可以得到：u = u_0 + Δu其中，u为原子的位移，u_0为原子的平衡位置。
将上述结果带入一维铰链模型的运动方程，可以得到：m(d^2u/dt^2) = -k(Δu) - k(Δu - u_1)解以上方程可得到一维铰链模型在温度变化下的振动频率。
晶格振动对晶体的热膨胀性质的晶格尺寸
晶格振动对晶体的热膨胀性质的晶格尺寸晶体是由大量离子、分子或原子有序排列而成的固态物质，其晶格结构是由周期性的排列单元所组成。
在晶体中，晶格振动是晶体中原子或分子相对于平衡位置的周期性运动。
晶格振动对晶体的热膨胀性质具有重要影响，晶格尺寸则是衡量晶格结构的参数之一，下面将从晶格振动和晶格尺寸两个方面来探讨晶体热膨胀的特性。
1. 晶格振动与晶体热膨胀的关系晶体中的原子或分子不断进行热运动，其平衡位置附近存在着相对于平衡位置的小幅度振动。
晶格振动是晶体中原子或分子在平衡位置周围发生的一种有序的波动行为，它与晶体的结构密切相关。
晶体在受热时，晶格振动的能量随温度的升高而增加。
振动能量的增加将导致晶体结构的变化，进而使晶体的尺寸发生变化。
在晶格振动过程中，原子或分子的平均间距发生变化，从而引起晶体内部的应变变化，即发生热膨胀。
2. 晶格尺寸与晶体热膨胀的关系晶格尺寸是指晶格结构中相邻原子或分子之间的距离。
晶格振动引起的晶体热膨胀主要表现为晶格尺寸的变化。
在晶体的热膨胀过程中，晶体结构在温度升高时会发生膨胀，而在温度降低时会发生收缩。
晶格尺寸随温度的变化可以用线膨胀系数（linear expansion coefficient）来描述。
线膨胀系数是指晶体在温度升高时单位长度的膨胀量与原始长度的比值。
晶格尺寸的变化与晶格振动产生的能量有关。
晶格振动使原子或分子之间相对平衡位置的平均距离增加，从而导致晶体膨胀。
晶格尺寸的变化程度取决于晶格振动的能量和晶体的结构特征。
热膨胀是晶体物理性质的重要表现，也是工程领域中需要考虑的一个因素。
在材料的选择和设计过程中，需要充分了解晶体的热膨胀性质，以保证在不同温度环境下的工程应用稳定和可靠。
总结：晶格振动对晶体的热膨胀性质具有重要影响，晶格尺寸是晶体热膨胀的一个关键参数。
晶格振动引起的晶体热膨胀主要表现为晶格尺寸的变化。
晶体的热膨胀性质与晶格振动的能量和晶体的结构特征密切相关。
晶格振动与晶体热膨胀行为的影响机理解析
晶格振动与晶体热膨胀行为的影响机理解析晶体是由大量有序排列的原子或分子构成的固体物质，其热膨胀行为是由晶格振动引起的。
晶格振动是指晶体中原子或分子在其平衡位置附近发生的微小振动。
这些振动以横波和纵波的形式传播，直接影响到晶体的性质和行为。
晶格振动是晶体热膨胀的基本机理之一。
当晶体受热时，晶格振动的振幅和频率会增大，导致晶体内原子或分子之间的距离增加，从而引起晶体的膨胀。
晶体的热膨胀行为是由晶格振动的几个关键方面决定的。
首先，晶体的晶格结构决定了晶体内原子或分子之间的排列方式和相互作用强度。
不同的晶体结构具有不同的弹性特性，因此其热膨胀行为也各不相同。
其次，晶格振动的频率和振幅对晶体的热膨胀行为有重要影响。
晶格振动的频率与晶体的弹性常数和物质的质量有关。
振幅则与晶体的温度、固有结构和原子或分子间的相互作用力有关。
振幅越大，晶体的膨胀程度越大。
还有，晶体的晶格振动模式也会影响其热膨胀行为。
晶格振动可分为纵向振动和横向振动，其传播速度和传播方向不同。
晶体的热膨胀行为在纵向振动和横向振动方面可能存在差异。
除了晶格振动，晶体的热膨胀行为还受到其他因素的影响，如晶体的结晶度、温度变化范围等。
结晶度越高，晶体的热膨胀行为越受晶格振动的影响。
温度变化范围越大，晶体的热膨胀行为也越显著。
在应用中，了解晶格振动与晶体热膨胀行为的影响机理对材料工程和结构设计具有重要意义。
例如，在建筑工程中，需要考虑材料在温度变化下的热膨胀行为，以避免由于温度变化引起的结构变形和破坏。
在微电子领域，晶体材料的热膨胀行为对芯片的性能和可靠性也有着重要影响。
总结起来，晶格振动是晶体热膨胀行为的重要机理之一。
晶格振动的特性，包括频率、振幅和振动模式，对晶体的热膨胀行为具有重要影响。
了解晶格振动与晶体热膨胀行为的影响机理对材料工程和结构设计具有重要意义。
晶格振动与晶体热膨胀的关联
晶格振动与晶体热膨胀的关联晶体是由晶格组成的，晶格是一个由原子、离子或分子等排列而形成的三维结构。
晶格的振动是指晶格中原子、离子或分子在温度变化时通过相互碰撞而发生的振动。
而晶体的热膨胀则是指在温度变化下，晶体的尺寸也会发生相应的变化。
晶格振动与晶体热膨胀之间存在着紧密的联系。
晶体的热膨胀是由晶格振动引起的。
在晶体内，原子之间通过键结构相连，形成了晶体的稳定结构。
在温度升高的过程中，晶体会吸收热能，导致晶格的振动加剧。
原子、离子或分子之间的距离由于振动而发生变化，导致晶体的尺寸扩大，即发生热膨胀现象。
晶格振动的强弱与晶体热膨胀的程度有直接的关系。
当晶格振动剧烈时，晶体的热膨胀也相对较大；当晶格振动较弱时，晶体的热膨胀也相对较小。
因此，晶格振动对晶体热膨胀的影响是不可忽视的。
晶格的振动可以通过多种方式来描述，其中最常见的是声子理论。
声子是晶体中的一种元激发，代表着晶格振动的量子。
通过声子理论，我们可以计算出晶格振动的频率和振幅，进而推导出晶体的热膨胀系数。
晶体的热膨胀系数描述了晶体单位温度变化下长度变化的比例关系。
一般情况下，晶体的热膨胀系数是正值，即随着温度升高，晶体的尺寸会扩大。
不同晶体的热膨胀系数大小各不相同，这与晶体的结构、键结构等因素有关。
晶格振动与晶体热膨胀的关系还可以通过实验来验证。
通过测量晶体在不同温度下的长度变化，可以得到晶体的热膨胀系数。
同时，可以通过利用红外光谱等技术来研究晶体中原子、离子或分子的振动情况，从而确定晶格振动的特性。
总结起来，晶格振动与晶体热膨胀之间有着密切的关联。
晶格振动的强弱影响着晶体的热膨胀程度，而晶体的热膨胀系数描述了晶体长度随温度变化的比例关系。
通过实验和理论计算，我们可以深入研究晶体的热膨胀机制，为材料科学和工程技术提供有价值的参考。
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晶格振动与晶体的热膨胀性质的晶格变形
晶格振动与晶体的热膨胀性质的晶格变形晶体是由原子、离子或分子排列有序构成的固体材料。
晶体的热膨胀性质是指在升温或降温时，晶体的体积、长度或形状发生变化的现象。
这种变化主要源自晶体结构中晶格的变形。
晶体的晶格可以看作是由原子、离子或分子组成的周期性排列。
在晶格振动中，晶体中的原子、离子或分子在平衡位置周围做微小的振动运动。
这种振动称为晶格振动或者晶体的内部振动。
晶格振动是晶体物理学中一个重要的现象，与晶体的许多性质密切相关。
晶格振动的频率和幅度决定了晶体的热力学性质，包括热膨胀性质。
晶体的热膨胀性质是晶体随温度变化时体积、长度或形状发生的变化。
晶体的热膨胀性质与晶格变形密切相关。
晶体的晶格在温度变化时发生微小的变形，从而导致晶体的体积、长度或形状发生变化。
晶体的热膨胀性质受到晶格振动的影响。
当晶格振动频率较高时，晶体的热膨胀性质较大，因为频率较高的晶格振动会引起晶格变形较大。
当晶格振动频率较低时，晶体的热膨胀性质较小。
晶体的热膨胀性质还与晶体结构的对称性有关。
具有较高对称性的晶体，其热膨胀性质较小。
这是因为高对称性的晶体结构在温度变化时晶格的变形相对较小。
晶体的热膨胀性质在工程应用中有广泛的应用。
例如，在制造精密仪器、精密机械和高精度测量仪器时，需要考虑晶体的热膨胀性质，以避免由于温度变化引起的尺寸变化而导致的误差。
总结起来，晶格振动是晶体中原子、离子或分子的振动运动。
晶体的热膨胀性质与晶格变形密切相关，晶体热膨胀性质随着晶格振动的频率和幅度而变化。
晶体的热膨胀性质在工程应用中具有重要意义。
此篇文章介绍了晶体的热膨胀性质，重点阐述了晶格振动与晶体的热膨胀性质之间的关系。
晶格振动的频率和幅度对晶体的热膨胀性质具有重要影响。
在工程应用中，了解晶体的热膨胀性质可以帮助我们设计出更加精确的设备和测量仪器。
晶格振动与晶体的热膨胀性质的调控方法
晶格振动与晶体的热膨胀性质的调控方法晶格振动与晶体的热膨胀性质密切相关，并在材料科学领域中具有重要意义。
晶体的结构决定了它的热膨胀性质，而晶格振动则是晶体结构发生变化的关键因素。
本文将探讨晶格振动与晶体热膨胀的关系，并介绍几种可以调控晶格振动从而实现热膨胀性质调控的方法。
一、晶格振动与晶体的热膨胀关系晶体是由原子或分子通过特定的方式排列而成的固态物质。
晶格振动是晶体中原子或分子围绕其平衡位置做小的振动运动。
晶格振动的频率和振幅直接决定了晶体的热膨胀性质。
晶格振动的频率与晶体的弹性常数有关。
晶体中原子或分子围绕平衡位置的振动是通过原子间作用力进行的，因此晶格振动的频率取决于原子间作用力的强弱。
当晶体中原子间作用力较强时，晶格振动的频率较高，晶体的热膨胀性质较小；而当原子间作用力较弱时，晶格振动频率较低，晶体的热膨胀性质较大。
二、调控晶格振动的方法1. 合金掺杂合金掺杂是一种常见的调控晶格振动的方法。
通过将其他原子引入到晶体的晶格结构中，可以改变原子间作用力的强弱，从而调控晶格振动。
例如，将小尺寸的原子引入到晶体中，可以引起晶格收缩，减小晶体的热膨胀性质；相反，将大尺寸的原子引入到晶体中，可以引起晶格膨胀，增大晶体的热膨胀性质。
2. 杂化效应杂化效应是通过改变晶体结构中原子或分子的杂化状态来调控晶格振动的方法。
晶体中的原子或分子可以存在不同的杂化状态，而不同的杂化状态具有不同的振动频率。
因此，通过改变晶体中杂化状态的比例，可以调控晶格振动的频率，进而改变晶体的热膨胀性质。
3. 外加电场或磁场外加电场或磁场可以改变晶体中原子或分子的排列方式，进而影响晶格振动。
研究表明，外加电场或磁场可以使晶体中的原子或分子发生位移，从而改变原子间作用力的强弱。
通过调控外加电场或磁场的强度和方向，可以精确控制晶格振动的频率与振幅，实现对晶体热膨胀性质的调控。
总结：晶格振动是影响晶体热膨胀性质的关键因素。
通过调控晶格振动的频率和振幅，可以实现对晶体热膨胀性质的调控。
晶格振动对晶体热膨胀性质的影响机理解析
晶格振动对晶体热膨胀性质的影响机理解析晶体是由原子、离子或分子构成的，其结构呈现空间有序性。
而晶体的热膨胀性质是指在温度变化时，晶体的尺寸也会发生相应的变化。
晶体的热膨胀性质是由晶格振动所引起的，晶格振动的特性决定了晶体的热膨胀系数。
本文旨在探讨晶格振动对晶体热膨胀性质的影响机理。
1. 晶格振动的基本概念晶体的晶格振动是指晶体中原子、离子或分子沿着晶体晶格周期性振动的运动。
晶格振动可以分为晶格弛豫振动和晶格固有振动两种。
前者是指晶格在外部作用下的响应振动，后者是指晶格固有的自由振动。
2. 晶格振动对热膨胀的影响晶格振动是晶体发生热膨胀的基本原因。
晶格振动对晶体热膨胀的影响可以从以下几个方面进行解析。
2.1 晶格振动与晶格常数的关系晶格振动引起晶体结构的变化，从而影响晶体的晶格常数。
晶格常数的改变导致晶体尺寸的变化，进而导致晶体的热膨胀性质。
2.2 晶格振动与弹性常数的关系晶格振动还与晶体的弹性常数有密切的关系。
弹性常数是描述晶体变形性质的参数，而晶体的热膨胀性质与晶体的变形性质相关。
晶格振动会改变晶体的弹性常数，从而进一步影响晶体的热膨胀性质。
2.3 晶格振动与能量势垒的关系晶体中的原子、离子或分子在晶格振动中会改变其相对位置，从而改变了能量势能垒的高度。
能量势垒的改变会导致晶体结构的变化，进而影响晶体的热膨胀性质。
3. 分子动力学模拟在解析晶格振动影响机理中的应用分子动力学模拟是研究原子、离子或分子在时空尺度上的运动行为的一种计算方法。
其通过考虑相互作用势能和动力学规则，模拟晶体的振动行为。
3.1 振动密度态分子动力学模拟可以得到晶体的振动模式，即振动密度态。
振动密度态可以定量描述晶格振动对晶体热膨胀性质的影响。
3.2 温度效应利用分子动力学模拟，可以模拟晶体在不同温度下的振动行为。
通过对比不同温度下的振动密度态，可以分析晶格振动对晶体热膨胀性质的温度依赖关系。
4. 热膨胀模型的建立与改进为了更好地解析晶格振动对晶体热膨胀性质的影响，研究者们不断改进热膨胀模型，以提高其准确性和适用范围。
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9、确定振动谱的实验方法
色散关系(q) 中子非弹性散射 吸收或发射声子
为什么中子？
中子性质
• 中子仅与核有相互作用，可以毫无困难地穿透 晶体 • 使用中子能量：0.01eV数量级，与声子的能量 相同数量级 • 这样能量的中子的德布洛依波长几个埃，与晶 格常数同数量级
中子和声子相互作用
能量守恒
• 由于非谐振动，体积改变时，频率变化，因而 压强
U (V ) F 1 i p i / kBT V e 1 V V T i 2 i U (V ) 1 1 ln i i / k T V V i 2 e 1 ln V
简谐近似的局限
• 不发生热膨胀 • 在高温时，比热是常数 • 两个格波之间不发生相互作用，不交换能量， 单个格波不会衰减 • 弹性常数与压力和温度无关 • 实际情况并非如此 • 热膨胀 • 热传导 • 非简谐效应
• 准简谐处理：非简谐项是个小量时：声子+微扰
7、热膨胀
• 热胀冷缩
* 温度升高，晶体体积膨胀
时，通过碰撞，把平均动能传给其他分子；反
过来也一样，这样的能量传递宏观上就表现为
热传导，热导率为
1 cV v 3
• 理想气体：温差——能量输运——热传导 • 晶格振动热传导？• 晶格Fra bibliotek动——声子——分布
n 1 e ( q ) / k B T 1
• 与温度有关 • 因此如果将晶格热运动系统看作是声子气，则 晶格导热就是声子扩散的过程 • 看作从声子密度高的区域向低的区域扩散 • 声子是能量子，声子的“定向流动”就意味着 能量输运，形成热传导
V Na
• 而频谱
4 2 aq sin M 2
2
• 这里
n aq N
• n取整数 • 如果在简谐近似下，力常数与晶格常数无关
ln ln 0 lnV ln(Na )
• 因此，简谐近似不能说明热膨胀
8、热传导
• 如果存在非简谐项，则
d d d 2U 2 da da dr
i B
ln i ln V • Grueneisen假定这是一个对所有的振动都相同 的与温度无关的常数(Grueneisen常数) • 于是压强为
U (V ) p V V i 1 2 i ei / kBT 1 i
• 即得Grueneisen状态方程
B
• 如果用简谐近似 U ( r ) 1 2 1 r r0 2
2 2
移动坐标零点：相当于变换r r0
• U是δ的偶函数
r
r0 e U ( ) / k T d
B
e U ( ) / k BT d
r0 e U ( ) / k BT d e U ( ) / k BT d
典型情况：高温
• 高温时，声子数为
nq e q / k BT 1
T D
k BT 1 q
• 即在高温时，平均声子数正比于温度T • 声子数随温度增加，碰撞几率增大，平均自由 程减少，与温度成反比
~ 1/ T
• 高温时，比热与温度无关，则
~ 1/ T
Grueneisen状态方程
• 压强、熵、比热等都可用自由能表示 • 晶格的自由能分为两部分，一部分与结构有关， 另一部分与晶格振动有关(与温度有关)，为
F kBT lnZ
• 根据统计力学，第i支格波的配分函数Zi
Zi e n1/ 2 i / kBT
n 0
e i / 2 kBT 1 e i / k BT
• 忽略格波相互作用，总的配分函数为
e i / 2k BT Z Zi 1 e i / k BT i i
• 于是可得自由能为（第一项结构能）
1 i / k BT F U (V ) i k BT ln 1 e 2 i
• 利用
p / T V V p / V T T p
p B V V T
• 按定义，体积弹性模量为
• 于是
1 p B T V
• 利用Grueneisen状态方程和 • 可得
U (V ) E p V V
非谐
简谐
r0
r
E (T )
非谐平均位置
热膨胀定量计算
• 考虑一维原子链。如果两个原子的间距为r， 根据玻尔兹曼统计，温度T时原子的能量分布 为
e
U ( r ) / k BT
• 那么两个原子之间的平均间距为
r
re U ( r ) / k T dr
B
e U ( r ) / k T dr
晶体热传导系数
• 如果势能的非简谐项比简谐项小得多时，用微 扰，这时声子仍可看作是理想气体，但声子之 间有相互作用——碰撞 • 用与理想气体同样的方法可以得到同样的结果
1 cV v p 3
• 该式中的比热已知，平均速度可用声子速度代 替，问题是如何确定声子平均自由程？
平均自由程取决于声子碰撞
d 2U 2 dr d 3U 3 dr
0
0
• 线膨胀系数为
1 dr k B r0 dT 2r0 2
• 线膨胀系数直接与非简谐系数有关 • 如果只计入势能的三次项时，线膨胀系数与温 度无关，否则，还需计入势能的更高次项 • 上述讨论只适用偏离平衡位置较小时的情况， 太高，晶体已被融化而不复存在
0 r a
• Grueneisen常数就不为零，热膨胀系数不为零 • Grueneisen常数是一个与非简谐效应有关的量， 一般在1~2之间
• 固体导热：电子导热+？
• 晶格导热：格波的传播
• 考察理想气体热传导？
• 思考：什么在热传导中决定作用？
• 碰撞！温度高区域的分子运动到温度低的区域
kx
q2
正常过程： Gh等于零
• 常称N过程(Normal process)，对应q1和q2较小 • 声子的动量没有发生变化，因此，N过程只改 变声子的动量分布 • 如果声子的总动量为零，就没有热流
Q qi 0
i
• 在热平衡下，由于
q q
• 因此，N过程由于只改变声子的动量分布，而 基本上不影响热流的方向
声子气
• • • • 将有限温度下的晶体想象成包含声子气的容器 不同模式的声子具有不同的动量，能量 速度，按Debye近似，声速 声子间的相互作用就象气体间分子的碰撞一样， 交换动量、能量简谐近似下不可能 • 虽然当作气体分子处理，但注意：声子是晶格 振动的能量量子，是一种元激发，不具有质量， 声子数也不守恒，可以产生和湮灭
r r0
e
e
f 2 k BT
d
f 2 k BT
d
g k BT
e
e
f 2 k BT 4 f 2 k BT
d
d
• 于是得 • 其中
3 g 1 r r0 k T r0 kT 2 B 2 B 4 f 2
• 理论分析非常复杂：取决于声子与声子之间的 碰撞，还有声子与杂质的碰撞，声子与样品边 界的碰撞 • 声子与声子之间碰撞：三声子碰撞过程的动量、 能量守恒关系（Gh是倒格矢）
1 2 3 q1 q 2 q3 G h
• N过程
q1 q2 q3
ky
q1
q3 q1 q 2
r0
• 简谐近似下，平均间距不随温度变化
• 如果用非简谐近似
U (r ) f g
2
3
1 d 2U f; 2 2 dr 0
U ( ) / k BT 0
1 d 3U g 3 6 dr 0
r e r e
d
U ( ) / k BT
简谐振动热传导?
• 与温度有关的声子分布的均匀过程如何建立？
• 靠相互作用，靠碰撞？
• 简谐近似：格波独立，声子间没有相互作用！
• 必须考虑非简谐效应——声子与声子之间的碰
撞，各个格波之间有相互作用
声子之间相互作用的图象
• 一个声子的存在会引起周期性弹性应变 • 这种弹性应变如果较大，则不能再用简谐近似 来描写 • 这样，非简谐弹性应变对晶体的弹性常数产生 空间和时间上的调制 • 第二个声子感受到这种弹性常数的调制，受到 散射而产生第三个声子
U (V ) E p V V
热膨胀与Grueneisen常数
• 热膨胀系数定义为
1 V V T p
• 对各向同性的立方晶体，线膨胀系数是体膨胀 系数的1/3，即
1 l 1 V l l T p 3V T p
k
k’
k' k q 2m 2m
2
2
2
2
+ 激发声子 - 吸收声子
动量守恒
k ' k q Gh
(q) (q Gh )
2 2 2 2
选择倒格矢Gh 使q在第一布里 渊区
k' k 守恒关系现为 k'k 2m 2m
• 温度升高？ • ——晶格振动能量增大 • 晶体体积膨胀？ • ——原子平均间距或晶格常数增加 • 严格的简谐振动不会产生热膨胀？
热膨胀定性分析
U (r )
• 简谐近似下，平 衡位置与温度无 关，始终是r0， 即晶体体积不会 变化 • 简谐近似不能说 明膨胀现象 • 只有考虑非简谐 效应才能说明热 膨胀现象