固体物理第三章晶格振动与晶体的热力学函数
固体物理：晶格振动与晶体的热学性质
5. k空间中点的分布密度
k 点在 k 空间中均匀分布，其分布密度为
k
b1 N1
1
b2 N2
b3 N3
N
(2 )3
V
/ (2 )3
简约布里渊区内 k 点的总数等于原胞的数目，即
N
(2 )3
(2 )3
N
相应的简正模式的数目等于体系的自由度数，为
N[(3n 3) 3] 3nN
五、离子晶体中的长光学波
解： 原子的平均平方位移为（计及相位因子的任意性）
un2
j
1 2
a
2 j
每个格波的平均能量为
Ej
N
1 2
a2j
1 2
Nm
a2 2
jj
由于 Ej kT ，所以
a
2 j
2kT
Nm
2 j
从而
un2
j
kT
Nm
2 j
四、三维晶格的振动 1. 原子位移的表示方法
第 l 个原胞的位置 R(l) l1a1 l2a2 l3a3
l s
k
动力学方程
ms2 As
s ',
D ,
k
s,
s
'
As
'
该方程共有 3n 个解，其中 3 个为声学模式，其余 3n-3 个为光学模式。
4. K的取值与倒格矢及布里渊区
玻恩-卡门边界条件要求
u(Rl N1a1) u(Rl ) u(Rl N2a2 ) u(Rl ) u(Rl N3a3 ) u(Rl )
I m / 1 2 (M M ') / M
M ' M
当 M’> M 时，就会出现一种所谓的共振模式，这是一种准局域模 式，其频率位于原来的频带之中。这种模式虽然不是局域的，但在 杂质附近表现的特别强。
固体物理--第三章 晶格振动
三、周期性边界条件 周期性边界条件：
N n n
e
iNaq
1
2 q h Na
q的分布密度：
h =整数， N：晶体链的原胞数
Na L q const. 2 2
{
简约区中q的取值总数 ＝ q
2 N ＝晶体的原胞数 a 晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数
与晶格的相互作用过程产生，在相互作用的过程中，声
子数不守恒。
§3.2 一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
一、运动方程及其解
a
只考虑近邻原子间的弹性相互作用 运动方程：
{ m
试 解：
{
{
n
M m n-1 n n n+1
M n n n 1 2n
2 1
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
简约区：
a
q
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中 找到唯一一个q，使之满足：
2 q q G a
G 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
1 * 2 * H Q q , t Q q , t q Q q, t Q q , t 2 q
Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原
子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的
坐标，称为简正坐标。
运动方程：
2 Qj q, t j qQj q, t 0
N+1
1 2
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
第三章晶格振动与晶体的热学性质PPT课件
4ed
0
e
2
1
CV 1254NkBTD3T3
德拜 T3 定律 ：CV 与 T3 成比例
注意：T3 定律一般只适用于大约
1 T 30 D
的范围
这表明，Debye模型可以很好地解释在很低 温度下晶格热容CV∝ T3的实验结果。
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
的色散关系，称为晶格振动的振动谱。 (q )
利用波与格波的相互作用，以实验的方法直接
测定 (q)
一、格波振动使中子流的非弹性散射 二、（可见光）光子与晶格的非弹性散射 三、X光的非弹性散射
只讨论单声子过程
因而，光散射只能和长波声子，即接近布里渊区 心的声子发生相互作用。
用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一 部分长波声子的振动谱，而不能测定整个晶格振 动谱，这是光可见散射法的最根本缺点。
<<1
(1)★ 声学波
2m m M M 11m 4 m M M 2si2n aq 1/2
2m m M M 11m 4 mM M2sin2aq1/2
简化
m4mMM2sin2aq1 1m 4 m M 2 M si2a n 1 q /2 11 2m 4 m M 2 M si2a nq
32
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
固体物理(第三章 晶格振动与晶体的热学性质)
µi 之间，通过如下形式的正交变
mi µ i = ∑ aij Q j
j =1
3N
= ai1Q1 + ai 2Q2 + L + ai 3 N Q3 N
m1 µ1 = a11Q1 + a12Q2 + L + a13 N Q3 N
§3-1 简谐近似和简正坐标 8 / 17
& i2 µ
mi µ i = ∑ aij Q j = ai1Q1 + ai 2Q2 + L + ai 3 N Q3 N
15 / 17 11/11
§3-1 简谐近似和简正坐标
由上所述，只要能找到体系的简正坐标，或者说振动模， 问题就解决了。
§3-1 简谐近似和简正坐标
16 / 17
§3-1 简谐近似和简正坐标
17 / 17
Qi = A sin(ωi t + δ )
§3-1 简谐近似和简正坐标 10 / 17
任意简正坐标的解为：
Qi = A sin(ωi t + δ )
ωi
是振动的圆频率，ωi
= 2πν i
表明：一个简正振动是表示整个晶体所有原子都参与的振 动。而且它们的振动频率相同。一个简正振动并不是表示某一 个原子的振动。 由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的共同振动 常常称为一个振动模。
能量本征值
ε i = (ni + )hωi
ϕ n (Qi ) =
i
1 2
本征态函数
ωi
ξ=
Qi h H ni (ξ ) 表示厄密多项式
14 / 17
ω
ξ2 exp H ni (ξ ) − 2 h
固体物理第三章晶格振动与晶体的热力学函数
固体物理第三章晶格振动与晶体的热力学函数第三章晶格振动与晶体的热力学函数一、填空体1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。
2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。
3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。
4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。
考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。
5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。
6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。
7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。
8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。
9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。
10.绝缘体中与温度有关的内能来源于晶格振动能。
11.导体中与温度有关的内能来源于晶格振动能和价电子热运动动能。
12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。
考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有4N 支，其中2N 支声学波，包括N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。
13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。
考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。
14.晶格振动的元激发为声子，其能量为ω ，准动量为 q。
15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、介质是各向同性介质。
16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：3)2(Vπ ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2)2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：π2L 。
固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。
若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。
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第三章 晶格振动与晶体的热力学函数一、 填空体1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。
2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。
3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。
4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。
考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。
5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。
6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。
7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。
8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。
9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。
10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。
11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。
12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。
考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。
13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。
考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。
14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为ω ，准动量为 q。
15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。
16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：3)2(Vπ ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2)2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：π2L 。
二、基本概念 1. 声子晶格振动的能量量子。
2.波恩-卡门条件即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。
3.波矢密度波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3c)2(V π，Vc 为晶体体积。
4. 模式密度单位频率间隔内模式数目。
5.晶格振动。
答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。
6.简谐近似答：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。
这个近似即称为简谐近似。
7.格波答：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的，这种波就叫格波。
三、简答题1.试分析爱因斯坦模型和德拜模型的特点及局限性.特点：1）爱因斯坦模型假设晶体中所有原子都以相同的频率作振动；2）德拜模型的基本思想是把格波作为弹性波来处理。
局限性：1）在爱因斯坦的假设下，解释了在甚低温时温度的变化趋势，但是不能解释为什么晶体热熔随温度T3的速度变化，这是因为，爱因斯坦模型只考虑了光学支格波，忽略了声学支格波，而在甚低温决定晶体热容的主要是长声学波。
爱因斯坦模型过于简化。
2）德拜模型不仅能够很好解释在甚低温时晶体热容随温度的变化趋势，同时得出了在甚低温下，热容与T3成正比的规律。
但是德拜模型忽略了晶体的各向异性，即光学波和高频声学波对热容的贡献。
2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.3. 晶体中声子数目是否守恒???答：频率为的格波的(平均) 声子数为,即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.4. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多?答：频率为的格波的(平均) 声子数为.因为光学波的频率比声学波的频率高, ( )大于( ), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.5. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多?????答：设温度TH>TL, 由于( )小于( ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.6. 高温时, 频率为的格波的声子数目与温度有何关系?????答：温度很高时, ?, 频率为的格波的(平均) 声子数为.可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比. 7. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化?答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.8. 试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度。
答：由一维单原子链的色散关系2sin2qamβω= 可求得一维单原子链中振动格波的相速度为2/2sinqaqa maqp βωυ==群速度为9. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？答：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。
考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。
其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第Nt+j 个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。
引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。
如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。
10. 下图表示一维双原子复式晶格振动的两支格波的色散关系。
请简要分析并判断：在长波极限下，图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的质心振动？图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的相对振动？ 答:上半部分曲线表示光学支，光学支格波反映了晶体中分子内两个原子的相对振动；下半部分曲线表示声学支，声学支格波反映了晶体中分子的质心振动。
由N 个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r 个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模式的取值数各为多少？答：共有3r 支色散关系，波矢取值数=原胞数N ，模式取值数=晶体的总自由度数。
11.对于初基晶胞数为N 的二维晶体，基元含有四个原子，声学支震动模式和光学支震动模式的数目各为多少？ 答：2N ，6N 。
12.在三维晶体中，格波独立的点数N ，格波个数，格波总支数，声学波支数分别等于多少？答：在三维晶格中，格波独立的点数是，格波个数有3Nn ，格波总支数是3nN ，对每个波矢q ，有3支声学波，（3n-3）支光学波。
13.试述长光学波与长声学波的本质区别?答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式。
长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数。
任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。
14. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化?答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移。
长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。
15. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?答:按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 1013, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。
16. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?答：在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发,得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符。
四、证明计算1. 证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波方程， 证明：第n 个原子的运动方程为 因为所以第n 个原子的运动方程化为 在长波近似下， 运动方程又化为在长波近似下，当l 为有限整数时，上式说明，在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集体运动．因此（ l ）式可统一写成观上的质点位移u ，从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离a l n )(+可视为准连续坐标x ，即于是（2）化成 其中2. 在一维双原子链中，如1>>m M ，求证证明：双一维原子链声学支m M >> ，14<<∴mM mM由近似式()nx x n-≈-11，）当1(<<x得()}]sin )(4211[1{2/12221qa M m mMmMM m +--+=βωqa M qa M m 22sin 2sin 2ββ≈+=，对22ω，由于m M >>，M m M ≈+0220=-=M mA B ββ 故B ＝0， 重原子静止。
3.在一维无限长的简单晶格中，原子质量为M ，若只考虑近邻原子之间的相互作用，恢复力系数为β，试求格波的色散关系。
解：设原子的质量为 M ，第n 个原子对平衡位置的位移为un 第n+1和n-1个原子对平衡位置的位移分别为un+1与 un-1，则第n+m 和n-m 个原子对第n 个原子的作用力为 因此第 n 个原子的运动方程为 将格波的试解 代入运动方程，得 由此得格波的色散关系为 4. 证明：在温度T 时，一个量子谐振子的能量为讨论当温度很高时，结果又会怎样？证明：按照量子理论，一个谐振子的能级是式中，ω为谐振子的角频率；n 取正整数。
在热平衡条件下，谐振子的平均能量为 ∑=nnn P εε式中nP 为谐振子处于能级n ε的几率。