固体物理晶格振动chap3
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固体物理--第三章 晶格振动
三、周期性边界条件 周期性边界条件：
N n n
e
iNaq
1
2 q h Na
q的分布密度：
h =整数， N：晶体链的原胞数
Na L q const. 2 2
{
简约区中q的取值总数 ＝ q
2 N ＝晶体的原胞数 a 晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数
与晶格的相互作用过程产生，在相互作用的过程中，声
子数不守恒。
§3.2 一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
一、运动方程及其解
a
只考虑近邻原子间的弹性相互作用 运动方程：
{ m
试 解：
{
{
n
M m n-1 n n n+1
M n n n 1 2n
2 1
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
简约区：
a
q
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中 找到唯一一个q，使之满足：
2 q q G a
G 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
1 * 2 * H Q q , t Q q , t q Q q, t Q q , t 2 q
Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原
子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的
坐标，称为简正坐标。
运动方程：
2 Qj q, t j qQj q, t 0
N+1
1 2
固体物理学：第3章 晶格振动
2 2
21 2
cos
qa
1 2
光学支
2 o
1
m
2 1 m
1
2 1
2 2
21
2
cos
qa
2
声学支
2A
1
m
2 1 m
12 22 21 2 cos qa
1 2
三、色散关系
UESTC
ω
当 q=0
ωO
ωA = 0 ωo = 21 2
m
ωA
当
q=
a
a
o
q
a
A
21
m
o
2 2
m
四、格波数
q 2 m
Na
2
Na
m 0 , 1, 2
q
o
波矢q 的取值是分立的，相邻q的“距离”N2a
五、格波数
UESTC
此前研究的晶格原子集体的波动运动就是格波。
晶体中所有原子以相同的频率和振幅在 平衡位置附近作简谐振动，原子的运动状 态在晶体中以波的形式传播，这种简谐波 称为格波。
五、格波数
UESTC
3.1 一维单原子链的振动
一． 物理模型 二． 运动方程 三． 色散关系 四． 波恩-卡曼周期性边界条件 五． 格波数 六． 小结
UESTC
一、物理模型
UESTC
一维简单晶格的振动
平衡位置 振动时偏离 平衡位置
un ：第n个原子偏离平衡位置的位移 m ：原子质量
一、物理模型
UESTC
V (r) V (0) dV (r) r 1 d 2V (r) r2
UESTC
❖ 对于一维原子链，简约区中波数q的取值总
固体物理：第三章 晶格振动总结-
..
x m 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
x2n1 Aei t 2n1aq
2n+2
O A
x2n Bei t2naq
π
o
πq
2a
2a
2 {(m M ) m2 M 2 2mM cos 2aq}
mM
π q π
2a
2a
x x , 2n
2(n N )
三维晶格振动、声子
；
(3)设晶体由N个原子组成,共
有3N个频率为的振动。
E
3N
e kBT
1
1 2
德拜模型 (1)晶体视为连续介质,格波视 为弹性波； (2)有一支纵波两支横波；
(3)晶格振动频率在 0 ~ D 之间 (D为德拜频率)。
E
D 0
e kBT
1
1 2
(
)d
9N
3 D
2
爱因斯坦模型
CV
3 Nk Bf E
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目 或格波振动模式数目是否是一回事？
• 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨 论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中 的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近
似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效 成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W
b11W
b12 E
P b21W b22E
(1) ---黄昆方程 ( 2)
(1)式代表振动方程，右边第一项
b11W
为准弹性恢复力，
固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
Chap3-lattice-vibration解读
晶格结构一章中，所有讨论都是假设原子是静止的。实 际上，根据经典热力学，原子的运动随着温度的增高而 越来越剧烈。根据量子力学，因为测不准原理(Uncerta inty Principle)的限制，甚至在绝对零度原子也不能静止。
如果晶格是静止的，固体的热性质(Thermal property) 无法解释。 例如:在绝缘体中，电子被束缚在各个原子周围，无法 移动传导热量，因此绝缘体的导热必须由晶格原子的运 动来解释。又比如:固体的热膨胀(Thermal expansion) 离开晶格的运动也是不可理解的。在高温下固体会溶解 ，显然，溶解过程没有晶格运动的参与是绝对不可能的 。绝缘体除导电以外，还传导声波。同样，静止晶格模 型是不能解释的。.
—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样
—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等
价的特点
N很大，原子运
动近似为直线运动
处理问题时要考
虑到环链的循环性
优点：协调有限和无限的关系 缺点：忽略了表面少数原子和内部原子的差别
BCS超导体理论证明，没有晶格振动与电子运动的耦 合(一对电子通过电子-声子的相互作用,结合成为Cooper Pair)，超导也不可能实现。
此外，离子晶体在红外区域(Infrared)有强烈的、单色性 很好的反射(也就是共振)，反射能量大大低于电子的能级 ，因此必须用晶格振动来解释。
另外，在激光，X射线及中子的散射实验中，有频率偏 移，漫散射及固定的能量损失，证明晶体中有具备特定 能量(原频率ω只能是某些特定的值）的原子运动。
1907年，Albert Einstein发表了题为“Planck辐 射理论与比热的理论”，第一次提出比热的理论。 更重要的，第一次提出经典力学的点阵振动和量 子力学的谐振子能级可以对应，并决定基本的物 理性质，实际上是wave-particle duality概念(19 24年)最早的不自觉应用。所以他的工作不仅是点 阵动力学的开始，而且在量子理论的发展上也很 重要。
ch3晶格振动
d 2U n m (U n 1 U n 1 2U n ) 2 dt
U ( x, t ) U ( x, t ) 2 m a 2 2 t x
2 2
令 v02= a2β/m,，则上式成为：
U ( x, t ) 2 U ( x, t ) 0 2 t x 2
1 d 2W δ值很小时，W ( R) 2 dR2
相邻原子间的作用:
2 a dW d 2W f ( 2 ) a d dR
此处β称为恢复力常数，其值为：
d 2W 相当于把相邻原子间的相互作用力看作 2 dR 是正比于相对位移的弹性恢复力。 F kx a
1 d 2W 2 1 d 3W 3 dW W ( R) W (a ) W (a ) 2 3 2! dR 3! dR dR a a a
1 d 2W 2 dR2 1 d 3W 2 3! dR3 a 3 a
d 2x 运动方程：F m a m 2 kx dt
解的形式： x Asin( t 0 )
频率： f 2
k m
1 m T 周期： 2 f k
波速：v (c ) f T 2 2
k m
1 2 1 (m v) 2 1 p 2 动能：E动 m v 2 2 m 2 m 1 2 势能： E势 kx 2 1 p2 1 2 总能量(哈密顿量)：E总 E动 E势 kx 2 m 2
由牛顿定律，第n个原子的运动方程为： 当n=1，2，3….N时，每一个原子均有和上式类似的
U ( x, t ) U ( x, t ) 2 m a 2 2 t x
2 2
令 v02= a2β/m,，则上式成为：
U ( x, t ) 2 U ( x, t ) 0 2 t x 2
1 d 2W δ值很小时，W ( R) 2 dR2
相邻原子间的作用:
2 a dW d 2W f ( 2 ) a d dR
此处β称为恢复力常数，其值为：
d 2W 相当于把相邻原子间的相互作用力看作 2 dR 是正比于相对位移的弹性恢复力。 F kx a
1 d 2W 2 1 d 3W 3 dW W ( R) W (a ) W (a ) 2 3 2! dR 3! dR dR a a a
1 d 2W 2 dR2 1 d 3W 2 3! dR3 a 3 a
d 2x 运动方程：F m a m 2 kx dt
解的形式： x Asin( t 0 )
频率： f 2
k m
1 m T 周期： 2 f k
波速：v (c ) f T 2 2
k m
1 2 1 (m v) 2 1 p 2 动能：E动 m v 2 2 m 2 m 1 2 势能： E势 kx 2 1 p2 1 2 总能量(哈密顿量)：E总 E动 E势 kx 2 m 2
由牛顿定律，第n个原子的运动方程为： 当n=1，2，3….N时，每一个原子均有和上式类似的
固体物理(第3章)解析
1 3N ( 2V
2 i, j1 i j
)0 i j
—— 含有坐标的交叉项
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
引入简正坐标
—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来
假设存在线性变换 系统的哈密顿量
拉格朗日函数
T
1 2
3N i 1
Qi 2
V
1 2
3N
Q 2 2
ii
i 1
正则动量
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
系统的哈密顿量
正则方程
pi
H Qi
正则动量
pi
L Q i
Qi
Qi i2Qi 0, i 1, 2, 3, 3N —— 3N个独立无关的方程 简正坐标方程解 Qi Asin(it )
简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
i
aij mi
Qj
aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
2
3N i 1
pi2
1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1, Q3N )
i 1
E (Q1,
Q3N )
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
E
3N
i
i 1
3N i 1
(ni
1 2
)
i
3N
系统本征态函数 (Q1, Q2, Q3,Q3N ) ni (Qi )
固体物理第三章
晶格振动波矢的数目晶格原胞数晶格振动波矢的数目晶格原胞数第一布里渊区内的波矢代表点数目为第一布里渊区内的波矢代表点数目为在波矢空间中每一个可能的在波矢空间中每一个可能的qq所占据的线度为所占据的线度为波矢代表点的密度即为波矢代表点的密度即为单位长度波矢代表点数目单位长度波矢代表点数目二一维复式格子二一维复式格子晶格由质量分别为晶格由质量分别为mm和和mm的两种不同原子构成的一维复式格子晶的两种不同原子构成的一维复式格子晶格常数格常数2a2a相邻同种原子间的距离
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
a
q
v q
v
m
1
2
a
q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
v q
v
m
1
2
a
un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
a
q
v q
v
m
1
2
a
q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
v q
v
m
1
2
a
un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
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2 1 2
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
两种格波的振幅
1 (m M ) 4mM 2 2 {1 [1 sin aq] 2 } mM (m M )2
( 2 m ) A ( 2 cosaq) B 0
—— 两种原子 振动的振幅A 和B一般来说 是不同的
第2n+1个M原子 M 2 n 1 (2 2 n 1 2 n 2 2 n ) 第2n个m原子 m2 n (2 2 n 2 n 1 2 n 1 )
2 n Aei [t ( 2 na ) q ] 方程的解 i [t ( 2 n 1) aq ] 2 n 1 Be
A max 3 1013 rad / s
光学波的最大频率
O max
2
mM 0.2 M mM
O max
2 5 6.7 1013 rad / s M 2 6 1013 rad / s m
15/ 20
光学波的最小频率
O min
2）相应声子的能量
一种振动模式对应一个（ ω ，
q）
2. 色散关系的特点
2.1 短波极限
q
2a
两种格波的频率
2 2 ( ) max ( ) {(m M ) ( M m )} ( ) mM M 1 1 1 2 2 2 2 ( ) min ( ) {(m M ) ( M m )} ( ) mM m
第2n+1个M原子的方程 M 2 n 1 (2 2 n 1 2 n 2 2 n ) 第2n个m原子的方程 m 2 n (2 2 n 2 n 1 2 n 1 )
—— N个原胞，有2N个独立的方程 方程解的形式
2 n Aei [t (2 na ) q ] and 2 n 1 Bei[t (2 n 1) aq ]
1
O min / k BT
1
O O n min ( min ) 2.42 10 -7
声学波频率的声子数目
n
A max
(
A max
) e
1
A max / k BT
E
A max
0.198 eV
1
A A nmax ( max ) 4.93 10-4
三维晶格的振动
—— 声学波的色散关系 就是把一维链看作连续介质 时的弹性波
长声学波中相邻原子的振动
2 ( a )q mM
q 0, 0
2 m 2 B ( ) A 2 cosaq
—— 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致
—— 代表原胞质心的振动
长波极限 q 0 B光学波
l l l l 原胞中各原子的位置 R , R , R , R 1 2 3 n l l l l 各原子偏离格点的位移 , , , 1 2 3 n
2 q h 2aN
—— h为整数
每个波矢的线度
q
Na
允许的q值的数目
a Na
/
N
—— 晶体中的原胞数目 a. 描写晶格振动的波矢q只能取分立的值。 b. 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 c. 总的格波数目为2N
重要结论
1. 2.
晶体中的格波的支数＝原胞内原子的自由度 一种色散关系，即ω ～q，对应一支格波 晶格振动的模式数＝晶体中原子的总自由度
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq] } mM (m M ) 2
2 1 2
4mM sin 2 ( aq) 1 (m M ) 2
mM mM 2 m 2 B ( ) A 2 cosaq , 2
B m ( ) A M
1 2 1 2 1
因为 M＞m
( ) min ( ) max
出现“频率的禁带区”
( ) min ( ) max —— 不存在格波
频率间隙
( ) min ( ) max
10/ 20
2.2 长波极限 q 0
A 声学波
应用
1 x 1 x/2
2 n Aei [t ( 2 na ) q ] 2 n 1 Be
i [t ( 2 n 1) aq ]
2aq
2aq
q
2a
2a
N (2aq) 2h
一维双原子链的布里渊区
采用周期性边界条件
N n n
2 q h 2aN
q的取值
Pn Ce n / kBT 1
n n
归一化常数
n / k BT n / k BT
C
e
n
1
n / k BT
Pn
e
n
e
Pn
Pn
e
n
e
n / k BT n / k BT
x e / kBT
m 2 A ( eiaq e iaq ) B 2 A 2 iaq iaq M B (e e ) A 2 B
(m 2 2 ) A 2 cos aqB 0 2 2 cos aqA ( M 2 ) B 0
—— 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反
—— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
习题
1.
2.
对于NaCl晶体，已知其恢复力常数β ＝1.5×101N/cm。试求NaCl晶体中格波光学支的最高频率 和最低频率；声学支的最高频率。 对于NaCl晶体，其密度ρ ＝2.18g/cm3,正负离子 的平衡距离a＝2.81×10-10m，光学支格波的最 高频率是3.60×10-13rad/s 。试以一维双原子 链模型计算：
2 1 2
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq ] } mM (m M ) 2
2 1 2
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq ] } —— 声学波 mM (m M ) 2 1 (m M ) 4mM 2 2 {1 [1 sin aq ] 2 } —— 光学波 mM (m M ) 2
声学波频率的声子数目
n
A max
(
A max
) e
1
A max / k BT
E
A max
0.198 eV
1
A A nmax ( max ) 4.93 10-4
1 3) 某一特定谐振子具有激发能 n (n ) 的几率 2
Pn Ce n / k BT
根据归一化条件
A max
2 M 2
E
A max
A max
E
A max
0.0198 eV
O max
O O E max max
E
O max
0.0442 eV
O min
2 m
O O Emin min
O Emin 0.0396 eV
O max 的声子所用的电磁 3）如果用电磁波激发光学波，要激发
l l 第k个原子运动方程 mk 2 k k
1, 2, 3
—— 原子在三个方向上的位移分量 —— 一个原胞中有3n个类似的方程 方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解
三维晶格振动的动力学方程组 q取值与倒格子空间 布里渊区 例题
三维晶格振动的动力学方程组
三维复式格子 —— 一个原胞中有n个原子 原子的质量 m1 , m2 , m3 ,mn 晶体的原胞数目 N N1 N 2 N 3
第l个原胞的位置 R(l ) l1a1 l 2 a 2 l3 a 3
2
( 2 cosaq) A ( 2 M 2 ) B 0
m 2 B ( ) A 2 cos aq
2 2 m 2 B ( ) A 2 cos aq
—— 光学波
—— 声学波
1. q的取值 M和m原子振动方程 相邻原胞之间位相差 波矢q的值
A O O 2) 相应声子的能量 E max , E min 和 E max ；
3) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波 波长在什么波段？ 4) 在 T 300 K 下，三种声子数目各为多少？
1) 声学波的最大频率
A max
2 M
M 4 15 N / m m
T 300 K
k BT 0.026 eV
O max
光学波频率的声子数目 n
E
O max
(
O max
) e
1
O max / k BT
0.442 eV
1
O O nmax ( max ) 4.14 10-8
n
O E min 0.396 eV
O min
(
O min
) e
x
n
n
(1 x)
1
Pn e n / k BT (1 e / k BT )
1 n Pn (n ) Pn 2 n
k BT
频率为谐振子的平均能量
n
(1 e ) ne n / kBT x n 2 n nx (1 x ) 2 n 1 1 ( / kBT ) e 1 2 x e / kBT 1 频率为谐振子的能量 [ni ( q) ]i ( q) 2 1 第i个q态的平均数声子 ni ( q) i / k BT e 1
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
两种格波的振幅
1 (m M ) 4mM 2 2 {1 [1 sin aq] 2 } mM (m M )2
( 2 m ) A ( 2 cosaq) B 0
—— 两种原子 振动的振幅A 和B一般来说 是不同的
第2n+1个M原子 M 2 n 1 (2 2 n 1 2 n 2 2 n ) 第2n个m原子 m2 n (2 2 n 2 n 1 2 n 1 )
2 n Aei [t ( 2 na ) q ] 方程的解 i [t ( 2 n 1) aq ] 2 n 1 Be
A max 3 1013 rad / s
光学波的最大频率
O max
2
mM 0.2 M mM
O max
2 5 6.7 1013 rad / s M 2 6 1013 rad / s m
15/ 20
光学波的最小频率
O min
2）相应声子的能量
一种振动模式对应一个（ ω ，
q）
2. 色散关系的特点
2.1 短波极限
q
2a
两种格波的频率
2 2 ( ) max ( ) {(m M ) ( M m )} ( ) mM M 1 1 1 2 2 2 2 ( ) min ( ) {(m M ) ( M m )} ( ) mM m
第2n+1个M原子的方程 M 2 n 1 (2 2 n 1 2 n 2 2 n ) 第2n个m原子的方程 m 2 n (2 2 n 2 n 1 2 n 1 )
—— N个原胞，有2N个独立的方程 方程解的形式
2 n Aei [t (2 na ) q ] and 2 n 1 Bei[t (2 n 1) aq ]
1
O min / k BT
1
O O n min ( min ) 2.42 10 -7
声学波频率的声子数目
n
A max
(
A max
) e
1
A max / k BT
E
A max
0.198 eV
1
A A nmax ( max ) 4.93 10-4
三维晶格的振动
—— 声学波的色散关系 就是把一维链看作连续介质 时的弹性波
长声学波中相邻原子的振动
2 ( a )q mM
q 0, 0
2 m 2 B ( ) A 2 cosaq
—— 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致
—— 代表原胞质心的振动
长波极限 q 0 B光学波
l l l l 原胞中各原子的位置 R , R , R , R 1 2 3 n l l l l 各原子偏离格点的位移 , , , 1 2 3 n
2 q h 2aN
—— h为整数
每个波矢的线度
q
Na
允许的q值的数目
a Na
/
N
—— 晶体中的原胞数目 a. 描写晶格振动的波矢q只能取分立的值。 b. 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 c. 总的格波数目为2N
重要结论
1. 2.
晶体中的格波的支数＝原胞内原子的自由度 一种色散关系，即ω ～q，对应一支格波 晶格振动的模式数＝晶体中原子的总自由度
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq] } mM (m M ) 2
2 1 2
4mM sin 2 ( aq) 1 (m M ) 2
mM mM 2 m 2 B ( ) A 2 cosaq , 2
B m ( ) A M
1 2 1 2 1
因为 M＞m
( ) min ( ) max
出现“频率的禁带区”
( ) min ( ) max —— 不存在格波
频率间隙
( ) min ( ) max
10/ 20
2.2 长波极限 q 0
A 声学波
应用
1 x 1 x/2
2 n Aei [t ( 2 na ) q ] 2 n 1 Be
i [t ( 2 n 1) aq ]
2aq
2aq
q
2a
2a
N (2aq) 2h
一维双原子链的布里渊区
采用周期性边界条件
N n n
2 q h 2aN
q的取值
Pn Ce n / kBT 1
n n
归一化常数
n / k BT n / k BT
C
e
n
1
n / k BT
Pn
e
n
e
Pn
Pn
e
n
e
n / k BT n / k BT
x e / kBT
m 2 A ( eiaq e iaq ) B 2 A 2 iaq iaq M B (e e ) A 2 B
(m 2 2 ) A 2 cos aqB 0 2 2 cos aqA ( M 2 ) B 0
—— 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反
—— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
习题
1.
2.
对于NaCl晶体，已知其恢复力常数β ＝1.5×101N/cm。试求NaCl晶体中格波光学支的最高频率 和最低频率；声学支的最高频率。 对于NaCl晶体，其密度ρ ＝2.18g/cm3,正负离子 的平衡距离a＝2.81×10-10m，光学支格波的最 高频率是3.60×10-13rad/s 。试以一维双原子 链模型计算：
2 1 2
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq ] } mM (m M ) 2
2 1 2
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq ] } —— 声学波 mM (m M ) 2 1 (m M ) 4mM 2 2 {1 [1 sin aq ] 2 } —— 光学波 mM (m M ) 2
声学波频率的声子数目
n
A max
(
A max
) e
1
A max / k BT
E
A max
0.198 eV
1
A A nmax ( max ) 4.93 10-4
1 3) 某一特定谐振子具有激发能 n (n ) 的几率 2
Pn Ce n / k BT
根据归一化条件
A max
2 M 2
E
A max
A max
E
A max
0.0198 eV
O max
O O E max max
E
O max
0.0442 eV
O min
2 m
O O Emin min
O Emin 0.0396 eV
O max 的声子所用的电磁 3）如果用电磁波激发光学波，要激发
l l 第k个原子运动方程 mk 2 k k
1, 2, 3
—— 原子在三个方向上的位移分量 —— 一个原胞中有3n个类似的方程 方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解
三维晶格振动的动力学方程组 q取值与倒格子空间 布里渊区 例题
三维晶格振动的动力学方程组
三维复式格子 —— 一个原胞中有n个原子 原子的质量 m1 , m2 , m3 ,mn 晶体的原胞数目 N N1 N 2 N 3
第l个原胞的位置 R(l ) l1a1 l 2 a 2 l3 a 3
2
( 2 cosaq) A ( 2 M 2 ) B 0
m 2 B ( ) A 2 cos aq
2 2 m 2 B ( ) A 2 cos aq
—— 光学波
—— 声学波
1. q的取值 M和m原子振动方程 相邻原胞之间位相差 波矢q的值
A O O 2) 相应声子的能量 E max , E min 和 E max ；
3) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波 波长在什么波段？ 4) 在 T 300 K 下，三种声子数目各为多少？
1) 声学波的最大频率
A max
2 M
M 4 15 N / m m
T 300 K
k BT 0.026 eV
O max
光学波频率的声子数目 n
E
O max
(
O max
) e
1
O max / k BT
0.442 eV
1
O O nmax ( max ) 4.14 10-8
n
O E min 0.396 eV
O min
(
O min
) e
x
n
n
(1 x)
1
Pn e n / k BT (1 e / k BT )
1 n Pn (n ) Pn 2 n
k BT
频率为谐振子的平均能量
n
(1 e ) ne n / kBT x n 2 n nx (1 x ) 2 n 1 1 ( / kBT ) e 1 2 x e / kBT 1 频率为谐振子的能量 [ni ( q) ]i ( q) 2 1 第i个q态的平均数声子 ni ( q) i / k BT e 1