3.9 晶格振动模式密度
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格波模式数及模式密度密度
b1 ( b2 b3 )
*
* ,
N1 N 2 N3
N1N 2 N3 N
*为倒格矢原胞体积（第一布里渊区体积），
* (2 )3
q的可取数目：
* / * N（晶体的原胞数） N
而每个波矢量q 在倒空间所占体积可写为
* (2 )3 (2 )3
N N Vc
N3 2
可知
q
l1 N1
b1
l2 N2
b3
l3 N3
b3
l1,l2 ,l3 0,1,2,...
量在波每矢一空组间(表l1,示l2出l3来)对,它应们于是一均个匀q矢分量布,的将点这,些每矢个
点的体积等于边长为
b1 , b2 , b3 N1 N 2 N 3 3
• 每个平行六面体的体积为
• 晶体单位体积中格波的频谱密度g(ω)dω定 义为频率ω到ω＋dω之间的简正模式数目 除以晶体的体积
g()d
1
8
3
dq sd
s
选取dq的表达式之后，简 模式密度可以表达为：
g ( )d
1
8 3
lds
1
8
3
dsd grad
由于d是任意的
g()
1
8 3
Vc 为晶体体积。
所以波矢q的点在布里渊区中的密度为
N *
N
(2 )3
Vc
(2 )3
一维：
波矢q点在布里渊区中的密度为
N *
N
2
Na
2
固体物理：3_9 晶格振动模式密度
m
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3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3-9晶格振动模式密度
• 为准确地求出晶格热容及它与温度的变化 关系，必须较准确的办法计算出晶格振动 的模式密度（或称频率分布函数）。
• 一般来说，ω与q之间的关系是复杂的，除 非在一些特殊情况下，得不到g(ω)解析表 达式。
对于Debye模型有：gD(ω)= gl(ω)+2 gt(ω)。
Debye模型的色散关系是：
ωl=Clq; ωt=Ctq
l
Clq
d
q
Cldq
l
Cl
gl ()
dnl
d
V
(2 )3
ds
V 4 q2 V2
ql (q) (2 )3 Cl 2 2Cl3
gt ()
dnt
d
V
(2 )3
ds V 4 q2 V2 qt (q) (2 )3 Ct 2 2Ct3
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
模式密度（振动模式密度、状态密度、频率分布函数）
计算方法：若设Δn=g(ω) Δω表示ω到ω+ Δω范围内的晶格振动模式数，则定义：
g( ) lim n (1) Δn=(q空间中格波0 分布密度)×(频率为ω
到ω+ Δω的等频面间的体积)； (2) q空间中格波分布密度分别为：
) 1
E
dgD ( )[
1 2
e kBT
] 1
弹性波的色散关系ω(q)——ω(q)=Cq 晶格振动的色散关系ω(q)——不同体系不同结论
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3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
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3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3-9晶格振动模式密度
• 为准确地求出晶格热容及它与温度的变化 关系，必须较准确的办法计算出晶格振动 的模式密度（或称频率分布函数）。
• 一般来说，ω与q之间的关系是复杂的，除 非在一些特殊情况下，得不到g(ω)解析表 达式。
对于Debye模型有：gD(ω)= gl(ω)+2 gt(ω)。
Debye模型的色散关系是：
ωl=Clq; ωt=Ctq
l
Clq
d
q
Cldq
l
Cl
gl ()
dnl
d
V
(2 )3
ds
V 4 q2 V2
ql (q) (2 )3 Cl 2 2Cl3
gt ()
dnt
d
V
(2 )3
ds V 4 q2 V2 qt (q) (2 )3 Ct 2 2Ct3
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
模式密度（振动模式密度、状态密度、频率分布函数）
计算方法：若设Δn=g(ω) Δω表示ω到ω+ Δω范围内的晶格振动模式数，则定义：
g( ) lim n (1) Δn=(q空间中格波0 分布密度)×(频率为ω
到ω+ Δω的等频面间的体积)； (2) q空间中格波分布密度分别为：
) 1
E
dgD ( )[
1 2
e kBT
] 1
弹性波的色散关系ω(q)——ω(q)=Cq 晶格振动的色散关系ω(q)——不同体系不同结论
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3 – 9 晶格振动模式密度
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
固体物理 第13讲晶体热容的量子理论和晶格振动模式密度
在极低温范围内，爱因斯坦理论值下降比较陡，与实验不符合。 爱因斯坦理论值反映了随温度下降的趋势。
11
晶体热容 温度较高时
k B E 0
2 x ex 1 x 2!
CV 3Nk B
—— 与杜隆 — 珀替定律相符
12
晶体热容
温度非常低时
k B E 0
0 2 CV 3Nk B ( ) e k BT
实验测得结果
0 k BT
—— 按温度的指数形式降低
—— 爱因斯坦模型认为各原子的振动是相互独立的，因而3N 个频率是相同的。 —— 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别。
13
2. 德拜模型 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇 菲晶格看作是各向同性的连续介质。
—— 对于一定的波矢量q，有1个纵波和2个独立的横波
频率在 之间振动模式的数目
实际晶体由N个原子组成，自由度为3N个 格波总的数目 德拜认为： 当频率大于某一频率 m时，短波振动不存在， 在m之上的振动可当作弹性波来处理。
18
3V 2 g ( ) 2 3 2 C
N 1/ 3 m C [6 ( )] V
2
晶体总的热容 CV
lognitudinalwave不同的振动模能量不同色散关系1515三维晶格态密度受边界条件限制波矢q分立取值允许的取值在q空间形成了均匀分布的点子体积元态的数目q是近连续变化的dq振动数目1616频率在之间振动模式的数目各向同性的介质振动频率分布函数或者振动模的态密度函数一个振动模的热容晶体总的热容的计算1717频率在之间纵波数目频率在之间格波数目频率在之间横波数目波矢的数值在之间的振动方式的数目1818频率分布函数频率在间格波数目频率在之间振动模式的数目实际晶体由n个原子组成自由度为3n个格波总的数目德拜认为
固体物理总复习
gap
2 )q 一维双原子链的长声学波 ( a mM B 长声学波中相邻原子的振动 ( A ) 1
光学波 长波极限
2
mM B m , ( ) － mM A M
§3.4
1. 三维复式格子
三维晶格的振动
l i [ t R l k q ] 格波的一般形式 A e k k
ab c
§5 晶体的宏观对称性
点对称操作 1. 绕轴旋转 2.旋转-反演(反演，镜面) 对称操作
1. 绕轴旋转
2.旋转-反演 3.空间平移
晶体的宏观对称性只有8种独立的对称操作： 1，2，3，4，6， 1 ( i ),
2 (m)
和
4
能证明为何晶体中没有5次对称性？
第二章
• 晶体结合的类型？ • 晶体结合的物理本质？ • 固体结合的类型与固体性质之间的联系？
T —— 电子对比热的贡献, 即电子热容
AT 3—— 晶格振动对比热的贡献, 即晶格热容
温度不太低时，可以忽略电子的贡献 爱因斯坦模型与德拜模型 爱因斯坦温度和德拜温度
§3.9 晶格振动模式密度
晶格振动模式密度 —— 单位频率间隔的振动模式数目
n g ( ) lim 0
在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度
本课程的主要内容
晶格动力学
原子核的运动规律 核外电子的运动规律
固体物理
固体电子论
晶格动力学
1. 晶体结构 2. 固体的结合 3. 晶格振动和热学性质
固体电子论
4. 能带理论 5. 外场中电子的运动 6. 金属电子论
第一章 摘
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6 §1-7 §1-8 §1-9
2012-固体物理(3-5)-1 模密度
11
例2：三维晶体，ω = cq 求模式密度。 q 其中c为常量， 解1: 在波矢空间，等频率面为球面，球 半径为q。
qy
∇ω q = c
V
3
qx
g (ω ) =
(2π )
V
∫
ds V 1 = ∇ qω (2π )3 c
∫
ds
=
(2π )
3
2 2 1 V 4π ⎛ ω ⎞ 2 V ω 4πq = ⎜ ⎟ = 2 3 3 c 2π c (2π ) c ⎝ c ⎠
12
解2:
ω ~ ω + dω
间隔内的振动模式数为 间隔内的振动模式数为： qy
v Δn = g(ω )dω = g( q ) d q
v dq ∴ g(ω ) = g( q ) dω
dω dω c = v = 2 dq 4πq dq 4πq 2
v dq = 4πq 2dq d
qx
∴ g (ω ) =
1/ 2
a 2 1/ 2 = (ωm − ω 2 ) 2
L dq Δn = 2 × dω 2π dω
2L 2 = ωm − ω 2 πa
= 2×
L 1 2π a ω 2 − ω 2 m 2
(
)
1/ 2
dω
(
)
−1 / 2
dω
Δn = g(ω )Δω
2N 2 2 −1 / 2 g (ω ) = (ωm − ω ) π
(2π )3Vຫໍສະໝຸດ 2 4πq 2 V 4π ⎛ ω ⎞ ⋅ = ⎜ ⎟ 3 c (2π ) c ⎝ c ⎠
V ω2 = 2π 2 c3
二维呢？ 13
例3：若
ω = cq
2
晶格振动模式密度定义
晶格振动模式密度定义晶格振动模式密度（Phonon Density of States，简称PDOS）是描述晶体中原子振动模式的一种物理量。
晶体中的原子在平衡位置附近以小振幅做简谐振动，这些简谐振动构成了晶体的振动模式。
PDOS给出了不同频率的振动模式在能量空间中的分布情况，反映了晶体各种振动模式的丰度和分布情况。
PDOS对于研究晶体的热力学性质、热传导、声学性质等都具有重要意义。
它是计算晶体热容、热导率、声子散射等性质的基础。
此外，PDOS还可以用于研究晶体的相变、物理化学性质以及材料的设计和优化。
PDOS的具体定义如下：设晶体中的原子总数为N，晶格振动模式的总数为M，则PDOS可以定义为每单位频率范围内单位原子数的平均数，即：PDOS(ω) = (1/ N) * ∑(m=1 to M) δ(ω - ω_m)其中，δ(ω-ω_m)为狄拉克函数，当ω等于ω_m时取值为1，否则取值为0。
PDOS可以分为各向同性的PDOS和各向异性的PDOS。
各向同性PDOS是指晶体中各个晶向上的振动模式在一些频率范围内的分布情况，它是晶体的各向同性介质的特征。
各向异性PDOS是指晶体中不同晶向上的振动模式在一些频率范围内的分布情况，它反映了晶体的各向异性效应，比如晶体的声子色散关系。
在实际计算中，PDOS通常通过量子力学计算或者分子动力学模拟得到。
对于固体材料，计算PDOS是一个复杂的过程，需要考虑晶胞、原子的排列方式、晶格常数等诸多因素。
目前，常用的计算方法包括密度泛函理论（DFT）、哈密顿动力学模拟（HMD）等。
根据计算得到的PDOS，可以进一步研究晶体的声子态密度（Phonon Density of States，简称PhDOS），PhDOS是PDOS的积分，表示在一些频率以下的所有振动模式的能量状态密度。
总结起来，晶格振动模式密度（PDOS）是指描述晶体中不同频率的振动模式在能量空间中的分布情况。
它是了解晶体物理、热学以及声学性质的重要指标，可以通过理论计算或者模拟得到。
晶格振动模式密度
热力学
热容量
晶格振动模式密度可以影响固体 的热容量，通过分析晶格振动模 式密度，可以更准确地描述固体
热容量的变化规律。
热传导
晶格振动模式密度对热传导过程也 有重要影响，它决定了固体内部热 能传递的速率和方式。
相变
晶格振动模式密度在相变过程中扮 演着重要角色，可以影响相变温度 和相变过程中的能量变化。
根据晶体的结构和对称性，建立晶格模型 。
根据原子间的相互作用势，确定原子间的 相互作用。
3. 求解振动方程
4. 计算振动模式密度
根据晶格模型和原子间的相互作用，求解 晶体的振动方程。
根据求解得到的振动方程，计算晶体的振 动模式密度。
结果分析
振动模式密度的分布
振动模式的能量分布
分析计算得到的振动模式密度在晶格 中的分布情况，了解晶体的振动特性。
CHAPTER
材料科学
材料性质预测
晶格振动模式密度可用于预测材 料的物理性质，如热导率、弹性 常数等，有助于材料设计和优化 。
相变研究
通过研究晶格振动模式密度随温 度的变化，有助于理解材料的相 变行为，如金属向绝缘体的转变 等。
环境科学
污染物扩散
晶格振动模式密度可以影响气体在材料中的扩散系数，对于 理解污染物在环境中的传播和扩散具有重要意义。
光学
光的吸收和散射
晶格振动模式密度对光与物质相互作用过程中的吸收和散射有重 要影响，可以改变光的传播方向和强度。
光的折射和反射
晶格振动模式密度可以影响光的折射和反射，从而改变光在物质表 面的行为。
非线性光学效应
通过研究晶格振动模式密度，可以深入了解非线性光学效应的机制， 为新型光学材料和器件的开发提供理论支持。
03-09晶格振动模式密度
固 体 物 理
Solid State Physics
固体物理 Solid State Physics
第三章 晶格振动
§ 3.9 晶格振动模式密度
西 南 科 技 大 学
固 体 物 理
Solid State Physics
晶格振动对热容的贡献 —— 量子理论
一个频率为j的振动模对热容的贡献
频率为j的振动模由一系列量子能级组成
2 德拜模型
—— 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波 将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质 晶体总的热容
—— 振动频率分布函数
西 南 科 技 大 学
和m的计算
晶体总的热容
固 体 物 理
Solid State Physics
爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?
在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?
一维情况振动模式密度 在 的一些点 奇点
西 南 科 技 大 学
—— 范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点__布里渊区边界 —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联
一个振动模的平均能量
西 南 科 技 大 学
一个振动模对热容贡献
固 体 物 理
Solid State Physics
晶体中有3N个振动模，总的能量
晶体总的热容
1 爱因斯坦模型 —— N个原子构成的晶体，所有原子以相同的频率
西 南 科 技 大 学
0振动
固 体 物 理
Solid State Physics
西 南 科 技 大 学
固 体 物 理
Solid State Physics
§3.9 晶格振动模式密度
晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动
Solid State Physics
固体物理 Solid State Physics
第三章 晶格振动
§ 3.9 晶格振动模式密度
西 南 科 技 大 学
固 体 物 理
Solid State Physics
晶格振动对热容的贡献 —— 量子理论
一个频率为j的振动模对热容的贡献
频率为j的振动模由一系列量子能级组成
2 德拜模型
—— 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波 将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质 晶体总的热容
—— 振动频率分布函数
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和m的计算
晶体总的热容
固 体 物 理
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爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?
在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?
一维情况振动模式密度 在 的一些点 奇点
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—— 范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点__布里渊区边界 —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联
一个振动模的平均能量
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一个振动模对热容贡献
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晶体中有3N个振动模，总的能量
晶体总的热容
1 爱因斯坦模型 —— N个原子构成的晶体，所有原子以相同的频率
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0振动
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§3.9 晶格振动模式密度
晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动
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03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
10/10
g ( )
V 2 c
2 3
2
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
07/10
色散关系 cq2 —— 三维情形 q空间的等频率面是一个球面，球面面积
振动模式密度
V g ( ) 2 3/ 2 (2 ) c
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
01/10
在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度
根据 两个等频率面 和 做出一个等频率面
之间的振动模式数目
频率是q的连续函数
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
02/10
之间振动模式数目
振动模式密度函数
V ds g () (2 )3 q( q)
2N
1
2 m 2
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
05/10
也可以直接由q空间的状态密度来计算 状态密度
振动模式密度
g ( )
2N
1
2 m 2
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
06/10
德拜近似下的振动模式密度
振动频率与波矢成正比
08/10
——二维情况 等频率是一个圆 振动模式密度
g ( ) ห้องสมุดไป่ตู้
——一维情况
S 4 c
L g ( ) 2 c
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
09/10
如果色散关系
三维情况振动模式密度 二维情况振动模式密度 一维情况振动模式密度 在 的一些点 奇点 —— 范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点（布里渊区边界） —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联
§3.9 晶格振动模式密度 晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 —— 不同频率的振动模对应不同的能量 对于给定晶体，总的振动模数目是一定的，可以用晶格振动 模式密度来描述频率分布
—— 由振动模式密度，可研究晶格热容、晶体电学、光学性质 定义晶格振动模式密度 —— 单位频率间隔振动模式的数目
n g ( ) lim 0
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
03/10
几种简单情况下振动模式密度的表示 一维无限长单原子链 —— 色散关系 —— 最大频率
振动模式密度 一维情况下
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
04/10
考虑到一个频率可以有 振动模式密度
两个值
g ( )
10/10
g ( )
V 2 c
2 3
2
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色散关系 cq2 —— 三维情形 q空间的等频率面是一个球面，球面面积
振动模式密度
V g ( ) 2 3/ 2 (2 ) c
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
03_09_晶格振动与晶体的热学性质——晶格振动模式密度
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在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度
根据 两个等频率面 和 做出一个等频率面
之间的振动模式数目
频率是q的连续函数
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之间振动模式数目
振动模式密度函数
V ds g () (2 )3 q( q)
2N
1
2 m 2
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也可以直接由q空间的状态密度来计算 状态密度
振动模式密度
g ( )
2N
1
2 m 2
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德拜近似下的振动模式密度
振动频率与波矢成正比
08/10
——二维情况 等频率是一个圆 振动模式密度
g ( ) ห้องสมุดไป่ตู้
——一维情况
S 4 c
L g ( ) 2 c
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如果色散关系
三维情况振动模式密度 二维情况振动模式密度 一维情况振动模式密度 在 的一些点 奇点 —— 范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点（布里渊区边界） —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联
§3.9 晶格振动模式密度 晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 —— 不同频率的振动模对应不同的能量 对于给定晶体，总的振动模数目是一定的，可以用晶格振动 模式密度来描述频率分布
—— 由振动模式密度，可研究晶格热容、晶体电学、光学性质 定义晶格振动模式密度 —— 单位频率间隔振动模式的数目
n g ( ) lim 0
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几种简单情况下振动模式密度的表示 一维无限长单原子链 —— 色散关系 —— 最大频率
振动模式密度 一维情况下
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考虑到一个频率可以有 振动模式密度
两个值
g ( )